压杆稳定
1,图示结构，AB为刚性杆，其它杆均为直径的细长圆杆，弹性模量 屈服极限，试求此结构的破坏载荷值。
解：,
,
由杆1，4，，
由杆2，3，,
结构破坏载荷
2,图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为。各杆的弹性模量均为，直线经验公式系数，许用应力，并规定稳定安全因数，试求此结构的许可载荷。
解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为
杆5受拉，其轴力为
按杆5的强度条件：
按杆1，2，3，4的稳定条件
由欧拉公式
3,钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长，横截面积，惯性矩；钢的弹性模量，铜的弹性模量，钢的线膨胀系数℃-1，铜的线膨系数℃-1。
解：铜杆受压，轴力为，钢杆受拉，轴力为，
由协调条件 即
铜杆为细长杆
当 时失稳,此时
4,图示矩形截面杆AC与圆形截面杆CD均用低碳钢制成，C，D两处均为球铰，材料的弹性模量，强度极限，屈服极限，比例极限，直线公式系数,。，强度安全因数，稳定安全因数，试确定结构的最大许可载荷F。
解：(1) 由梁AC的强度
(2) 由杆CD的稳定性
5,图示两端固定的工字钢梁，横截面积，惯性矩，,长度，材料的弹性模量，比例极限，屈服极限，直线公式的系数，线膨胀系数℃，当工字钢的温度升高℃时，试求其工作安全因数。
解：
由欧拉公式，可得临界应力
温度应力
工作安全因数
6,图示正方形平面桁架，杆AB，BC，CD，DA均为刚性杆。杆AC，BD为弹性圆杆，其直径，杆长；两杆材料也相同，比例极限,屈服极限，弹性模量，直线公式系数,，线膨胀系数℃，当只有杆AC温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量。
解：由平衡方程可得： (压)
由变形协调方程，并注意到小变形,有
即
又由 ,知
令 ,得 ℃
7,图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E，杆长l，横截面积A及线膨胀系数均相同。问：当升温为多大时，该结构将失稳。
解：由 ,可得
细长杆,
当 时失稳 得
8,图示结构ABC为矩形截面杆，，BD为圆截面杆，直径，两杆材料均为低碳钢，弹性模量,比例极限,屈服极限，直线经验公式为，均布载荷，稳定安全因数。试校核杆BD的稳定性。
解：(1) 由协调方程，
得
解得
(2) 杆BD：
由欧拉公式：
，安全。
9,正方形截面杆，横截面边长和杆长成比例增加，它的长细比有4种答案：
(A)成比例增加； (B)保持不变； (C)按变化； (D)按变化。
答：B
10,非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力 。
答：大。
11,两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形，其它条件均相同，则横截面为 的柔度大，横截面为 的临界力大。
答：圆形；正方形。
12,在水平面上用同材料的三根杆支持。、、、均为铰链节点。铅直力的作用线恰好通过等边三角形的形心。已知。三杆截面均为圆形，直径为，材料的弹性模量为。适用欧拉公式的临界柔度是90。已知，试确定最大力。
解：
13,图示结构，由圆杆、通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹性模量均分别相等，间的距离保持不变，为给定的集中力。试按稳定条件确定用材最省的高度和相应的杆直径。（设给定条件已满足大柔度压杆的要求。）
解：杆达到临界状态时，，
此时之值为：
可求得： (a)
二杆之总体积为： (b)
(c)
将(c)式代入(a)式得，
14,长方形截面细长压杆，；如果将改为后仍为细长杆，临界力是原来的多少倍？有4种答案：
(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。
答：C
15,压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因数的范围有4种答案：
(A)； (B)；
(C)； (D)。
答：C
16,圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。
答：。
17,试导出具有初始挠度的图示压杆的挠度曲线方程。
证：
由
得
18,某结构失稳时，挠曲线如图（a）所示，即上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推导临界力欧拉公式及挠曲线方程。
证：
由
。
19,图示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度为，试导出它的临界载荷。
解：给以微干扰，由其平衡状态求
20,图示刚性杆，由弹簧支持，左右弹簧的刚度分别为、，试导出它的临界载荷。
解：由微干扰后的平衡状态
21,导出图示结构在图形平面内失稳的临界载荷。已知：杆、均为刚性杆，杆的弯曲刚度为。注：悬臂梁端部受有横向集中力时，端点的挠度公式为。
解：
已知
22,图示刚架，为刚性杆，为弹性梁，在刚性杆顶端受铅垂载荷作用，试导出该载荷的临界值。设梁的弯曲刚度为常值。
证：由微干扰后的平衡状态知梁在端的外力偶
23,两根直径为的杆，上下端分别与刚性板刚性连接，试按细长杆考虑确定临界力。
解：压杆将首先在与两杆组成的平面相垂直的面内失稳。
此时，
24,图示压杆，、两杆均为细长压杆，问为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与处不加支撑时承载能力的比值。
解：(1) 由当时承载能力最高，
(2)
25,图示结构，和是两端铰支的细长杆，弯曲刚度均为。钢丝绳两端分别连结在、两铰点处，在点悬挂一重量为的重块。试求：
(1) 当时，能悬挂的最大值是多少？
(2) 为何值时悬挂的重量最大？
解：(1)
钢丝绳受力
杆受力
由杆求：
由杆求：
(2) 由杆
由杆
又由图知
26.铰接桁架，由竖杆和斜杆组成，两杆均为弯曲刚度为的细长杆，在节点处承受水平力作用。
(1)设，试确定水平力的最大值（用、表示）。
(2)保持斜杆的长度不变，确定充分发挥两杆承载能力的角。
解：(1)由力三角形容易求得
令
令
(2)
令
27,桁架由两根具有相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。确定使载荷为最大时的角（设）。
解：
设支座间距离为，按稳定公式：
。
当杆和杆的承载能力同时达到临界值的为最大。
此时，
28,图示空间框架由两根材料、尺寸都相同的矩形截面细长杆和两块刚性板固接而成。试确定压杆横截面尺寸的合理比值。
解：在平面内：
在平面内：
合理的截面应使，
29,在一般情况下，稳定安全因数比强度安全因数大。这是因为实际压杆总是不可避免地存在,以及 等不利因素的影响。当柔度越大时，这些因素的影响也越 。
答：初曲率；载荷的偏心；材料的不均匀；大。
30,图示构架，AB为刚性杆，作用在跨中，AC、BD、BE均为细长压杆，且它的材料、横截面积均相同。设弹性模量E、横截面面积A、惯性矩I和图示尺寸a已知，稳定安全因数，试求许可载荷。
解：
故杆BD、BE杆先失稳
31,托架横梁AB由斜杆CD支撑。杆CD由两根的等边角钢焊成，两端CD为球铰。角钢的惯性矩，横截面面积，。材料的比例极限,屈服极限，稳定直线公式系数,，弹性模量。稳定安全因数。试根据杆CD求托架的许可载荷。
解：,,中柔度
由 ，并考虑
32,图示桁架ABC由两根材料相同的圆截面杆组成，该桁架在节点B处受载荷作用，其方位角可在间变化，。已知杆1,2的直径分别为，，，材料的屈服极限，比例极限，弹性模量，屈服安全因数，稳定安全因数。试计算许可载荷值。
解：(1),1杆所受最大力为
，2杆所受最大力为
(2)
(3) 1杆
(4) 2杆
33,图示结构，两细长杆弯曲刚度EI相同，设载荷与杆AB轴线的夹角为，且，稳定安全因数，试求许可载荷。
解,,稳定性由杆BC控制
34,若表示压杆的临界应力，为压杆材料的比例极限，则下列结论中哪些是正确的？
(1) 当时， (2) 当时，
(3) 当时， (4) 在一切情况下，
(A) (1),(2)； (B) (3),(4)； (C) (1),(2),(3)； (D)(2),(3),(4)。
答：D
35,设为压杆的折减系数，下列结论中哪些是正确的？
(1) 值越大，表示压杆的稳定性越好。
(2) 表示杆不会出现失稳破坏。
(3) 值与压杆的柔度有关，与杆件材料的性质无关。
(A) (1),(2)； (B) (2),(3)； (C) (1),(3)； (D) 全对。
答：A
36,如图所示结构，横梁AB的中央受集中力F作用，木杆AC，BD，BE的横截面相同，其面积为A，材料许用应力为，杆AC的柔度，试求构件的最大许可载荷。(稳定折减系数，假定杆满足弯曲强度条件)
解：杆AC容许最大轴力；
杆BD容许最大轴力；
由此可求得构件最大许可载荷。
37,正方形截面压杆CD，EF，材料截面尺寸相同，已知：边长100 mm，许用应力，当时，，当时，。试求CD，EF两杆能同时达到稳定许用应力时的x与a的关系。
解：
由几何关系：
1,图示结构，AB为刚性杆，其它杆均为直径的细长圆杆，弹性模量 屈服极限，试求此结构的破坏载荷值。
解：,
,
由杆1，4，，
由杆2，3，,
结构破坏载荷
2,图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为。各杆的弹性模量均为，直线经验公式系数，许用应力，并规定稳定安全因数，试求此结构的许可载荷。
解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为
杆5受拉，其轴力为
按杆5的强度条件：
按杆1，2，3，4的稳定条件
由欧拉公式
3,钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长，横截面积，惯性矩；钢的弹性模量，铜的弹性模量，钢的线膨胀系数℃-1，铜的线膨系数℃-1。
解：铜杆受压，轴力为，钢杆受拉，轴力为，
由协调条件 即
铜杆为细长杆
当 时失稳,此时
4,图示矩形截面杆AC与圆形截面杆CD均用低碳钢制成，C，D两处均为球铰，材料的弹性模量，强度极限，屈服极限，比例极限，直线公式系数,。，强度安全因数，稳定安全因数，试确定结构的最大许可载荷F。
解：(1) 由梁AC的强度
(2) 由杆CD的稳定性
5,图示两端固定的工字钢梁，横截面积，惯性矩，,长度，材料的弹性模量，比例极限，屈服极限，直线公式的系数，线膨胀系数℃，当工字钢的温度升高℃时，试求其工作安全因数。
解：
由欧拉公式，可得临界应力
温度应力
工作安全因数
6,图示正方形平面桁架，杆AB，BC，CD，DA均为刚性杆。杆AC，BD为弹性圆杆，其直径，杆长；两杆材料也相同，比例极限,屈服极限，弹性模量，直线公式系数,，线膨胀系数℃，当只有杆AC温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量。
解：由平衡方程可得： (压)
由变形协调方程，并注意到小变形,有
即
又由 ,知
令 ,得 ℃
7,图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E，杆长l，横截面积A及线膨胀系数均相同。问：当升温为多大时，该结构将失稳。
解：由 ,可得
细长杆,
当 时失稳 得
8,图示结构ABC为矩形截面杆，，BD为圆截面杆，直径，两杆材料均为低碳钢，弹性模量,比例极限,屈服极限，直线经验公式为，均布载荷，稳定安全因数。试校核杆BD的稳定性。
解：(1) 由协调方程，
得
解得
(2) 杆BD：
由欧拉公式：
，安全。
9,正方形截面杆，横截面边长和杆长成比例增加，它的长细比有4种答案：
(A)成比例增加； (B)保持不变； (C)按变化； (D)按变化。
答：B
10,非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力 。
答：大。
11,两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形，其它条件均相同，则横截面为 的柔度大，横截面为 的临界力大。
答：圆形；正方形。
12,在水平面上用同材料的三根杆支持。、、、均为铰链节点。铅直力的作用线恰好通过等边三角形的形心。已知。三杆截面均为圆形，直径为，材料的弹性模量为。适用欧拉公式的临界柔度是90。已知，试确定最大力。
解：
13,图示结构，由圆杆、通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹性模量均分别相等，间的距离保持不变，为给定的集中力。试按稳定条件确定用材最省的高度和相应的杆直径。（设给定条件已满足大柔度压杆的要求。）
解：杆达到临界状态时，，
此时之值为：
可求得： (a)
二杆之总体积为： (b)
(c)
将(c)式代入(a)式得，
14,长方形截面细长压杆，；如果将改为后仍为细长杆，临界力是原来的多少倍？有4种答案：
(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。
答：C
15,压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因数的范围有4种答案：
(A)； (B)；
(C)； (D)。
答：C
16,圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。
答：。
17,试导出具有初始挠度的图示压杆的挠度曲线方程。
证：
由
得
18,某结构失稳时，挠曲线如图（a）所示，即上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推导临界力欧拉公式及挠曲线方程。
证：
由
。
19,图示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度为，试导出它的临界载荷。
解：给以微干扰，由其平衡状态求
20,图示刚性杆，由弹簧支持，左右弹簧的刚度分别为、，试导出它的临界载荷。
解：由微干扰后的平衡状态
21,导出图示结构在图形平面内失稳的临界载荷。已知：杆、均为刚性杆，杆的弯曲刚度为。注：悬臂梁端部受有横向集中力时，端点的挠度公式为。
解：
已知
22,图示刚架，为刚性杆，为弹性梁，在刚性杆顶端受铅垂载荷作用，试导出该载荷的临界值。设梁的弯曲刚度为常值。
证：由微干扰后的平衡状态知梁在端的外力偶
23,两根直径为的杆，上下端分别与刚性板刚性连接，试按细长杆考虑确定临界力。
解：压杆将首先在与两杆组成的平面相垂直的面内失稳。
此时，
24,图示压杆，、两杆均为细长压杆，问为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与处不加支撑时承载能力的比值。
解：(1) 由当时承载能力最高，
(2)
25,图示结构，和是两端铰支的细长杆，弯曲刚度均为。钢丝绳两端分别连结在、两铰点处，在点悬挂一重量为的重块。试求：
(1) 当时，能悬挂的最大值是多少？
(2) 为何值时悬挂的重量最大？
解：(1)
钢丝绳受力
杆受力
由杆求：
由杆求：
(2) 由杆
由杆
又由图知
26.铰接桁架，由竖杆和斜杆组成，两杆均为弯曲刚度为的细长杆，在节点处承受水平力作用。
(1)设，试确定水平力的最大值（用、表示）。
(2)保持斜杆的长度不变，确定充分发挥两杆承载能力的角。
解：(1)由力三角形容易求得
令
令
(2)
令
27,桁架由两根具有相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。确定使载荷为最大时的角（设）。
解：
设支座间距离为，按稳定公式：
。
当杆和杆的承载能力同时达到临界值的为最大。
此时，
28,图示空间框架由两根材料、尺寸都相同的矩形截面细长杆和两块刚性板固接而成。试确定压杆横截面尺寸的合理比值。
解：在平面内：
在平面内：
合理的截面应使，
29,在一般情况下，稳定安全因数比强度安全因数大。这是因为实际压杆总是不可避免地存在,以及 等不利因素的影响。当柔度越大时，这些因素的影响也越 。
答：初曲率；载荷的偏心；材料的不均匀；大。
30,图示构架，AB为刚性杆，作用在跨中，AC、BD、BE均为细长压杆，且它的材料、横截面积均相同。设弹性模量E、横截面面积A、惯性矩I和图示尺寸a已知，稳定安全因数，试求许可载荷。
解：
故杆BD、BE杆先失稳
31,托架横梁AB由斜杆CD支撑。杆CD由两根的等边角钢焊成，两端CD为球铰。角钢的惯性矩，横截面面积，。材料的比例极限,屈服极限，稳定直线公式系数,，弹性模量。稳定安全因数。试根据杆CD求托架的许可载荷。
解：,,中柔度
由 ，并考虑
32,图示桁架ABC由两根材料相同的圆截面杆组成，该桁架在节点B处受载荷作用，其方位角可在间变化，。已知杆1,2的直径分别为，，，材料的屈服极限，比例极限，弹性模量，屈服安全因数，稳定安全因数。试计算许可载荷值。
解：(1),1杆所受最大力为
，2杆所受最大力为
(2)
(3) 1杆
(4) 2杆
33,图示结构，两细长杆弯曲刚度EI相同，设载荷与杆AB轴线的夹角为，且，稳定安全因数，试求许可载荷。
解,,稳定性由杆BC控制
34,若表示压杆的临界应力，为压杆材料的比例极限，则下列结论中哪些是正确的？
(1) 当时， (2) 当时，
(3) 当时， (4) 在一切情况下，
(A) (1),(2)； (B) (3),(4)； (C) (1),(2),(3)； (D)(2),(3),(4)。
答：D
35,设为压杆的折减系数，下列结论中哪些是正确的？
(1) 值越大，表示压杆的稳定性越好。
(2) 表示杆不会出现失稳破坏。
(3) 值与压杆的柔度有关，与杆件材料的性质无关。
(A) (1),(2)； (B) (2),(3)； (C) (1),(3)； (D) 全对。
答：A
36,如图所示结构，横梁AB的中央受集中力F作用，木杆AC，BD，BE的横截面相同，其面积为A，材料许用应力为，杆AC的柔度，试求构件的最大许可载荷。(稳定折减系数，假定杆满足弯曲强度条件)
解：杆AC容许最大轴力；
杆BD容许最大轴力；
由此可求得构件最大许可载荷。
37,正方形截面压杆CD，EF，材料截面尺寸相同，已知：边长100 mm，许用应力，当时，，当时，。试求CD，EF两杆能同时达到稳定许用应力时的x与a的关系。
解：
由几何关系：
