综 合 题
1,图示结构均用Q235钢制成，弹性模量，屈服极限，强度安全因数，。在梁端B正上方有一重量为的物体，自高度处自由下落。已知梁AB为工字钢，截面惯性矩，弯曲截面系数；杆CD为大柔度杆，横截面直径，稳定安全因数。试校核该结构是否安全。
解：变形协调
结构安全。
2,图示重物自梁AB正上方高处自由下落于梁AB的中点C处。已知，梁AB为工字钢No.20a，查表知其横截面惯性矩，弯曲截面系数，材料弹性模量。试求梁内的最大正应力（梁AB的自重不计）。
解：变形协调
3,图示重量为P的重物自高为处自由下落冲击于薄壁圆环顶点A，已知弯曲刚度EI为常数。试求点A的动位移。
解：先求静位移。
将P作为静载荷加在点A，点B的约束力也为P。
将截面A固定，从截面D截开如图
由，即
得
点A静位移:
点A动位移,,将值代入即得。
4,图示杆AC与弹簧相连，受到重量为P的重物自高处自由下落的冲击。杆AC长为，横截面面积为A，材料弹性模量为E，弹簧刚度为 N/mm，在未受冲击时弹簧不受力。试导出C处的最大动位移的计算公式。
解：平衡
5,图示截面为的矩形铝合金简支梁，跨中点C增加一弹簧刚度为的弹簧。重量的重物自C正上方高处自由落下，如图a所示。若铝合金梁的弹性模量。试求：
（1）冲击时，梁内的最大正应力。
（2）若弹簧如图b所示放置，梁内最大正应力又为多大？
解：
弹簧受压力（静荷时）
,, N
,
6,图示正方形框架，绕轴O-O以匀角速度旋转，已知框架各段横截面面积均为A，材料密度为，试作框架弯矩图。
解：惯性力
,
7,图示重量为的重物，自高度处自由下落冲击直径为的圆横截面杆组成的水平框架上的点C处。已知弯曲刚度，，切变模量（E为材料的弹性模量）。试求截面C的最大铅垂位移。
解：
()
(顺)
8,图示A端固定、B端铰支的超静定梁，受高处的重量为的自由落体冲击。试求:
(1) 动荷因数；
(2) 若A端改为铰支（其他不变），动荷因数是变大还是缩小？
解：,
B处约束力
C处静位移
若A端改为简支，则变大，将变小。
9,图示结构，圆杆AB和刚性杆CD相互垂直地刚结于C，且在平面内。B为球铰，杆AB相对B端可转动。重量为P的重物自点D正上方高处自由下落，若材料的弹性模量，切变模量，，，，圆杆AB直径，试用第3强度理论（最大切应力理论）求梁AB上危险点的相当应力。
解：
,
截面A
10,图示两端固定的圆轴AB，直径，由钢制成，材料的弹性模量，泊松比，，CD为刚性臂，，重物重自D处正上方高处自由落下，试用第3强度理论（最大切应力理论）求危险点处的相当动应力。
解：
,
,
11,图示，直径的等截面直角折杆ABC位于水平面内，B处为刚结点。重量为的重物自B处正上方处自由落下冲击折杆B处。已知材料的弹性模量，切变模量，试求：
（1）B点的铅直动位移；
（2）危险截面的相当应力。
解：
，
危险截面A
,
12,图示重量为P的重物自高度处自由下落于双铰拱中点C处，已知双铰拱的弯曲刚度为EI，试求点C处动位移。
解：
,
(←)
13,图示等圆截面直角曲拐ABC位于水平面内，，直径，圆截面杆CD直径，ABC和CD均由Q235钢制成，弹性模量，泊松比，，重物自B处正上方高处落下，杆CD的稳定安全因数，试校核杆CD是否安全。
解：，
杆CD
,安全
14,图示半径为R的圆环，以等角速度绕在圆环平面内的直径轴Oy旋转，圆环的材料密度为，横截面积为A，试求圆环截面A和B的弯矩值。
解：圆环旋转时，惯性力集度轴对称。
取静基图a
微段惯性力在角截面引起的弯矩（图b）
角截面弯矩
（外侧受拉）
（内侧受拉）
15,图示吊索悬挂有带一切口的薄壁圆环，圆环有切口，不受力时切口宽度为零，环的下端吊有重量为P的物体。已知吊索横截面面积为A，圆环横截面的惯性矩为I，圆环平均半径为R，圆环和吊索的弹性模量均为E，吊索与圆环的自重不计。当重物P以速度v匀速下降至吊索长度为l时，突然刹住。试求此时薄壁圆环切口张开量的大小。
解：
重物匀速v下降至突然刹住前，吊索与环的变形分别为与，即
,动荷因数
故切口张开量
16,图示半圆形圆截面钢杆位于水平面内，R = 500 mm，已知杆的弹性模量E = 200 GPa，切变模量G = 80 GPa，杆横截面直径d = 20 mm。重量为P = 100 N的重物自杆跨中点C正上方高h = 10 mm处自由下落冲击跨中点C。试求杆对称截面C中的动弯矩（在水平面内的内力素都很小，可略去不计）。
解：由对称性，取静定基如解图
17,图示弯曲刚度为EI的悬臂梁AB，在B端有弹簧刚度为k的弹簧支承，受重为P的自由落体冲击梁的B端。已知梁横截面高度为h，宽度为b，梁长为l，
弹性模量为E，许用应力为[]，且，。试求梁允许承受自由落体冲击的最大高度h0。
解：
动荷因数
18,图示等截面小曲率杆位于铅垂面内，在线弹性范围工作，横截面的弯曲刚度为EI，轴线曲率半径为R。重量为P的重物自C正上方高h处自由下落于C处。试求C处铅垂动位移。
解：由图示静基：
动荷因数
19,图示梁在中间铰C的正上方受到自高h处自由下落的重量为P的重物冲击。已知梁的弯曲刚度EI、弯曲截面系数W和许用应力 []及a > b，试写出强度校核的具体表达式。
解：设P分配到梁AC和BC上的作用力分别为F1和F2，则由图
F1 + F2 = P
又
故
因为a > b，所以
20,图示相同两梁，受自由落体冲击，已知弹簧刚度。如h远大于冲击点的静挠度，试求两种情况下的动荷因数之比及最大动应力之比。
解：（1）对于梁(a)
当h>>时，
（2）对于梁(b)设静载时右端支反力为Fk
若h>>，
21,图示梁AB和杆CD由钢制成，弹性模量，，梁AB横截面为矩形，其高，宽，杆CD横截面直径。试求：
杆CD的临界力；
按杆CD的稳定问题计算临界分布载荷。
解：,
22,图示平面结构，刚性横梁AB与圆横截面直径相同的杆1和2均由钢制成，弹性模量，直径均为，杆长。试求此结构的临界载荷。
解：杆1
，
杆2
，
，
23,图示刚性横梁AD，，杆1，2均由钢制成，屈服极限，弹性模量，横截面均为圆形，直径，。试求结构的极限载荷。
解：结构的极限状态，杆1屈服，杆2失稳杆1：
杆2：
24,图示杆1，2，3材料相同，弹性模量，三杆横截面均为圆形，直径都是。安装后升温℃，已知，线膨胀系数 1/℃，稳定安全因数，许用应力，材料能采用欧拉公式的临界柔度值为。试校核此结构的强度和结构平面内的稳定性。
解：
（压）
（受拉）
，
杆1
，稳定不安全杆1、2
，强度满足
25,图示杆1、2、3与刚性平板相连，杆端均为铰链。三杆材料相同，弹性模量为E，三杆截面均为圆截面，直径都是，在平板上加有力偶M。已知，采用欧拉公式的临界柔度值为。试求此结构中有一杆失稳时的M值。
解：， （1）
， （2）
变形协调 即
（3）
，，
，杆3易失稳
26,图示由钢制成的杆1、2的弹性模量均为E，杆1、2的横截面均为正方形，边长分别是和。已知，适用欧拉公式的临界柔度值为。试求杆2失稳时载荷F的临界值。
解：
27,图示由材料弹性模量E和横截面惯性矩I均相同的3根圆截面大柔度杆组成一平面支架，A、C、D三点为铰接，B处为固定端。试确定该支架因局部失稳时的F值（要分别考虑支架平面内及与支架平面垂直面内的稳定问题）。
解：,
变形协调，得
（1）
（2）
若杆AD先失稳
（3）
(2) 若杆BD在面（结构平面）内先失稳，有
（4）
(3) 若杆BD在面（与结构平面垂直）内先失稳时，有
（5）
由式（1），（3）
由式（4），（2）
由式（5），（2）
28,图示结构，AB是刚性杆，AC是线弹性杆，杆AC拉压刚度为EA。试求此桁架在桁架平面内失稳时的临界载荷Fcr。
解：给杆AB以微干扰，使其倾斜角，则保持微干扰状态的F，即为Fcr。
微干扰后，如图（b）所示，杆AC伸长
杆AC的拉力
Fcr可由求出
29,图示梁AB的中点用一细长圆杆CD支撑，梁与杆具有相同的弹性模量E。梁的上表面温度降低℃，下表面温度升高℃，设温度沿梁高度线性变化。已知梁的横截面尺寸b，h，以及材料的线膨胀系数 1/℃，杆CD的直径为d、长度为l。试求此结构的临界变化温度。
解： （1）
（2）
积分得
（3）
式（2）、（3）代入式（1），得
解得
30,试求使细长连杆AB保持直线状态的最大载荷。
解：杆AB受压，轴力为
由协调方程,
即
因为 AB为细长杆,则
时，杆AB保持直线状态。
即
31,图示边长a = 10 mm的正方形截面钢杆两端被固定，在中段三分之一长度上，四周侧面作用均布压力p = 100 MPa。设泊松比= 0.3，试求杆两端的约束反力。
解：设杆两端的约束反力为FR。
变形协调条件为三段总伸长量为零
物理条件：上段和下段的压缩量相等
中段伸长量
解出
32,图a所示纯弯梁试样，电阻片和分别粘贴在试件的上下表面，并按图b半桥接线，实验中测出应变仪读数为，材料的弹性模量为E，试求试件的最大弯曲正应力。
解：应变片1、2均处于单向应力状态
受拉
受压 ，且 。
半桥接法 ，
33,图示结构由两根横截面相同的圆管铰接而成，圆管的横截面积，惯性矩，材料的曲线如图所示，弹性模量，试：
问随着载荷F的增大，哪根圆管先失效；
求结构能承受的极限载荷F。
解：（拉） （压）
杆BA：，
杆BC：，
,，
取F最小值，
34,对于均质梁、不同材料组合梁、材料拉压弹性模量不等梁、平面曲梁，在纯弯曲时横截面上中性轴的位置均由静力学关系式确定。试画出下列各情况下中性轴（水平方向）的位置，图中C为形心。图a为均质直梁弹性弯曲；图b为均质直梁全塑性弯曲；图c为异料组合梁弹性弯曲；图d为时的弹性弯曲；图e为曲梁的弹性弯曲。
解：中性轴位置均由静力学关系式 来确定，下图中表示中性轴。
35,如图所示，三根直径和材料均相同的实习圆杆，沿水平圆周方向均匀对称布置，下端固定，上端与刚性板固定连接，若在上端施加扭转力偶矩Me，试分析杆的受力情况。设杆的扭转刚度为弯曲刚度的三分之二。
解：设扭转力偶矩使各杆沿圆周转角。
变形分析：杆上端沿圆周发生侧向挠度
杆上端相对下端相对扭转角
杆上端的侧向弯曲转角
受力分析：杆受到扭矩T，剪力FS和侧向弯矩M的作用
平衡方程
变形关系 ， ，
解出
1,图示结构均用Q235钢制成，弹性模量，屈服极限，强度安全因数，。在梁端B正上方有一重量为的物体，自高度处自由下落。已知梁AB为工字钢，截面惯性矩，弯曲截面系数；杆CD为大柔度杆，横截面直径，稳定安全因数。试校核该结构是否安全。
解：变形协调
结构安全。
2,图示重物自梁AB正上方高处自由下落于梁AB的中点C处。已知，梁AB为工字钢No.20a，查表知其横截面惯性矩，弯曲截面系数，材料弹性模量。试求梁内的最大正应力（梁AB的自重不计）。
解：变形协调
3,图示重量为P的重物自高为处自由下落冲击于薄壁圆环顶点A，已知弯曲刚度EI为常数。试求点A的动位移。
解：先求静位移。
将P作为静载荷加在点A，点B的约束力也为P。
将截面A固定，从截面D截开如图
由，即
得
点A静位移:
点A动位移,,将值代入即得。
4,图示杆AC与弹簧相连，受到重量为P的重物自高处自由下落的冲击。杆AC长为，横截面面积为A，材料弹性模量为E，弹簧刚度为 N/mm，在未受冲击时弹簧不受力。试导出C处的最大动位移的计算公式。
解：平衡
5,图示截面为的矩形铝合金简支梁，跨中点C增加一弹簧刚度为的弹簧。重量的重物自C正上方高处自由落下，如图a所示。若铝合金梁的弹性模量。试求：
（1）冲击时，梁内的最大正应力。
（2）若弹簧如图b所示放置，梁内最大正应力又为多大？
解：
弹簧受压力（静荷时）
,, N
,
6,图示正方形框架，绕轴O-O以匀角速度旋转，已知框架各段横截面面积均为A，材料密度为，试作框架弯矩图。
解：惯性力
,
7,图示重量为的重物，自高度处自由下落冲击直径为的圆横截面杆组成的水平框架上的点C处。已知弯曲刚度，，切变模量（E为材料的弹性模量）。试求截面C的最大铅垂位移。
解：
()
(顺)
8,图示A端固定、B端铰支的超静定梁，受高处的重量为的自由落体冲击。试求:
(1) 动荷因数；
(2) 若A端改为铰支（其他不变），动荷因数是变大还是缩小？
解：,
B处约束力
C处静位移
若A端改为简支，则变大，将变小。
9,图示结构，圆杆AB和刚性杆CD相互垂直地刚结于C，且在平面内。B为球铰，杆AB相对B端可转动。重量为P的重物自点D正上方高处自由下落，若材料的弹性模量，切变模量，，，，圆杆AB直径，试用第3强度理论（最大切应力理论）求梁AB上危险点的相当应力。
解：
,
截面A
10,图示两端固定的圆轴AB，直径，由钢制成，材料的弹性模量，泊松比，，CD为刚性臂，，重物重自D处正上方高处自由落下，试用第3强度理论（最大切应力理论）求危险点处的相当动应力。
解：
,
,
11,图示，直径的等截面直角折杆ABC位于水平面内，B处为刚结点。重量为的重物自B处正上方处自由落下冲击折杆B处。已知材料的弹性模量，切变模量，试求：
（1）B点的铅直动位移；
（2）危险截面的相当应力。
解：
，
危险截面A
,
12,图示重量为P的重物自高度处自由下落于双铰拱中点C处，已知双铰拱的弯曲刚度为EI，试求点C处动位移。
解：
,
(←)
13,图示等圆截面直角曲拐ABC位于水平面内，，直径，圆截面杆CD直径，ABC和CD均由Q235钢制成，弹性模量，泊松比，，重物自B处正上方高处落下，杆CD的稳定安全因数，试校核杆CD是否安全。
解：，
杆CD
,安全
14,图示半径为R的圆环，以等角速度绕在圆环平面内的直径轴Oy旋转，圆环的材料密度为，横截面积为A，试求圆环截面A和B的弯矩值。
解：圆环旋转时，惯性力集度轴对称。
取静基图a
微段惯性力在角截面引起的弯矩（图b）
角截面弯矩
（外侧受拉）
（内侧受拉）
15,图示吊索悬挂有带一切口的薄壁圆环，圆环有切口，不受力时切口宽度为零，环的下端吊有重量为P的物体。已知吊索横截面面积为A，圆环横截面的惯性矩为I，圆环平均半径为R，圆环和吊索的弹性模量均为E，吊索与圆环的自重不计。当重物P以速度v匀速下降至吊索长度为l时，突然刹住。试求此时薄壁圆环切口张开量的大小。
解：
重物匀速v下降至突然刹住前，吊索与环的变形分别为与，即
,动荷因数
故切口张开量
16,图示半圆形圆截面钢杆位于水平面内，R = 500 mm，已知杆的弹性模量E = 200 GPa，切变模量G = 80 GPa，杆横截面直径d = 20 mm。重量为P = 100 N的重物自杆跨中点C正上方高h = 10 mm处自由下落冲击跨中点C。试求杆对称截面C中的动弯矩（在水平面内的内力素都很小，可略去不计）。
解：由对称性，取静定基如解图
17,图示弯曲刚度为EI的悬臂梁AB，在B端有弹簧刚度为k的弹簧支承，受重为P的自由落体冲击梁的B端。已知梁横截面高度为h，宽度为b，梁长为l，
弹性模量为E，许用应力为[]，且，。试求梁允许承受自由落体冲击的最大高度h0。
解：
动荷因数
18,图示等截面小曲率杆位于铅垂面内，在线弹性范围工作，横截面的弯曲刚度为EI，轴线曲率半径为R。重量为P的重物自C正上方高h处自由下落于C处。试求C处铅垂动位移。
解：由图示静基：
动荷因数
19,图示梁在中间铰C的正上方受到自高h处自由下落的重量为P的重物冲击。已知梁的弯曲刚度EI、弯曲截面系数W和许用应力 []及a > b，试写出强度校核的具体表达式。
解：设P分配到梁AC和BC上的作用力分别为F1和F2，则由图
F1 + F2 = P
又
故
因为a > b，所以
20,图示相同两梁，受自由落体冲击，已知弹簧刚度。如h远大于冲击点的静挠度，试求两种情况下的动荷因数之比及最大动应力之比。
解：（1）对于梁(a)
当h>>时，
（2）对于梁(b)设静载时右端支反力为Fk
若h>>，
21,图示梁AB和杆CD由钢制成，弹性模量，，梁AB横截面为矩形，其高，宽，杆CD横截面直径。试求：
杆CD的临界力；
按杆CD的稳定问题计算临界分布载荷。
解：,
22,图示平面结构，刚性横梁AB与圆横截面直径相同的杆1和2均由钢制成，弹性模量，直径均为，杆长。试求此结构的临界载荷。
解：杆1
，
杆2
，
，
23,图示刚性横梁AD，，杆1，2均由钢制成，屈服极限，弹性模量，横截面均为圆形，直径，。试求结构的极限载荷。
解：结构的极限状态，杆1屈服，杆2失稳杆1：
杆2：
24,图示杆1，2，3材料相同，弹性模量，三杆横截面均为圆形，直径都是。安装后升温℃，已知，线膨胀系数 1/℃，稳定安全因数，许用应力，材料能采用欧拉公式的临界柔度值为。试校核此结构的强度和结构平面内的稳定性。
解：
（压）
（受拉）
，
杆1
，稳定不安全杆1、2
，强度满足
25,图示杆1、2、3与刚性平板相连，杆端均为铰链。三杆材料相同，弹性模量为E，三杆截面均为圆截面，直径都是，在平板上加有力偶M。已知，采用欧拉公式的临界柔度值为。试求此结构中有一杆失稳时的M值。
解：， （1）
， （2）
变形协调 即
（3）
，，
，杆3易失稳
26,图示由钢制成的杆1、2的弹性模量均为E，杆1、2的横截面均为正方形，边长分别是和。已知，适用欧拉公式的临界柔度值为。试求杆2失稳时载荷F的临界值。
解：
27,图示由材料弹性模量E和横截面惯性矩I均相同的3根圆截面大柔度杆组成一平面支架，A、C、D三点为铰接，B处为固定端。试确定该支架因局部失稳时的F值（要分别考虑支架平面内及与支架平面垂直面内的稳定问题）。
解：,
变形协调，得
（1）
（2）
若杆AD先失稳
（3）
(2) 若杆BD在面（结构平面）内先失稳，有
（4）
(3) 若杆BD在面（与结构平面垂直）内先失稳时，有
（5）
由式（1），（3）
由式（4），（2）
由式（5），（2）
28,图示结构，AB是刚性杆，AC是线弹性杆，杆AC拉压刚度为EA。试求此桁架在桁架平面内失稳时的临界载荷Fcr。
解：给杆AB以微干扰，使其倾斜角，则保持微干扰状态的F，即为Fcr。
微干扰后，如图（b）所示，杆AC伸长
杆AC的拉力
Fcr可由求出
29,图示梁AB的中点用一细长圆杆CD支撑，梁与杆具有相同的弹性模量E。梁的上表面温度降低℃，下表面温度升高℃，设温度沿梁高度线性变化。已知梁的横截面尺寸b，h，以及材料的线膨胀系数 1/℃，杆CD的直径为d、长度为l。试求此结构的临界变化温度。
解： （1）
（2）
积分得
（3）
式（2）、（3）代入式（1），得
解得
30,试求使细长连杆AB保持直线状态的最大载荷。
解：杆AB受压，轴力为
由协调方程,
即
因为 AB为细长杆,则
时，杆AB保持直线状态。
即
31,图示边长a = 10 mm的正方形截面钢杆两端被固定，在中段三分之一长度上，四周侧面作用均布压力p = 100 MPa。设泊松比= 0.3，试求杆两端的约束反力。
解：设杆两端的约束反力为FR。
变形协调条件为三段总伸长量为零
物理条件：上段和下段的压缩量相等
中段伸长量
解出
32,图a所示纯弯梁试样，电阻片和分别粘贴在试件的上下表面，并按图b半桥接线，实验中测出应变仪读数为，材料的弹性模量为E，试求试件的最大弯曲正应力。
解：应变片1、2均处于单向应力状态
受拉
受压 ，且 。
半桥接法 ，
33,图示结构由两根横截面相同的圆管铰接而成，圆管的横截面积，惯性矩，材料的曲线如图所示，弹性模量，试：
问随着载荷F的增大，哪根圆管先失效；
求结构能承受的极限载荷F。
解：（拉） （压）
杆BA：，
杆BC：，
,，
取F最小值，
34,对于均质梁、不同材料组合梁、材料拉压弹性模量不等梁、平面曲梁，在纯弯曲时横截面上中性轴的位置均由静力学关系式确定。试画出下列各情况下中性轴（水平方向）的位置，图中C为形心。图a为均质直梁弹性弯曲；图b为均质直梁全塑性弯曲；图c为异料组合梁弹性弯曲；图d为时的弹性弯曲；图e为曲梁的弹性弯曲。
解：中性轴位置均由静力学关系式 来确定，下图中表示中性轴。
35,如图所示，三根直径和材料均相同的实习圆杆，沿水平圆周方向均匀对称布置，下端固定，上端与刚性板固定连接，若在上端施加扭转力偶矩Me，试分析杆的受力情况。设杆的扭转刚度为弯曲刚度的三分之二。
解：设扭转力偶矩使各杆沿圆周转角。
变形分析：杆上端沿圆周发生侧向挠度
杆上端相对下端相对扭转角
杆上端的侧向弯曲转角
受力分析：杆受到扭矩T，剪力FS和侧向弯矩M的作用
平衡方程
变形关系 ， ，
解出
