能 量 法
1,试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。
证：先加F1后加F2，则
先加F2后加F1，则
所以 V( 1 = V( 2
2,直杆的支承及受载如图，试证明当F1=2F/3时，
杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。
解： ；
,,
3,图示杆系的各杆EA皆相同，杆长均为a。求杆系内的总应变能，并用功能原理求A、B两点的相对线位移(AB。
解,
视CD相对固定2(F(AB /4 = 5F2a/(6EA)
(AB = 5Fa/(3EA) ( 拉开 )
4,杆AB的拉压刚度为EA，求
(a) 在F1及F2二力作用下，杆的弹性应变能；
令F2为变量，F2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？
答,,
(a)
(b) ，，
此时
5,力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。问：如果不移动千分表而移动F力，则千分表应放在x = (((((((((处，其根据是((((((((((((((((((。
答：x = l – a ；位移互等定理。
6,试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E、G、( 间有如下关系：
G = E / [ 2 ( 1+( ) ]
证：(1) 纯切应力状态应变能密度为：
u = ( 2 /（ 2G ）
(2) 纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示，其上的主应力为
( 1 = (,( 2 = 0,( 3 = - (
应变能密度为,u = ( 2 ( 1+( ) / E
( 2 / ( 2G ) = ( 2 ( 1+( ) / E
得,G = E / [ 2 ( 1+( ) ]
7,图示简支梁，受均布荷载q作用，试问与广义力q相对应的广义位移是什么？并给予证明。
解：设梁的弯曲轴线方程为w = w(x),则广义力q所作之功为
W = ( l qdx ( w (x) = q ( l w (x) dx
与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。
8,图示等截面直杆，受轴向载荷F作用，已知杆件的横截面面积为A，材料的应力应变关系为( = C ( 1/2,其中C为已知常数。试计算外力所作的功。
解,
9,处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为EA。试求在图示力F作用下的应变能。
解,F = 2FNsin( ( 2FN(,( = ( l /cos( - l )/l ( ( 2/2,FN =(A=E( A=( 2EA/2,
( = [F/(EA)]1/3,( = ( l = l [F/(EA)]1/3
( / 4 ( 式中(为C点的最终位移 )
10,试用莫尔积分法求图示曲杆在力F作用下，截面A的水平位移(Ax及铅垂位移(Ay。EI为已知。
解：，，
(Ax （水平向左），
(Ay （铅垂向下）
11,用莫尔法求图示桁架点A的水平位移(Ax。各杆EA均相同。 A
解：，，
，
(Ax = （→）
12,已知梁的EI为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁A点的挠度。
解：AB：, （）
CB：，
（）
（↓）
13,试用莫尔积分法求图示结构C点的铅垂位移。已知杆AC的弯曲刚度EI和BD杆的拉压刚度EA。受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD杆不会失稳。
解：梁：CD,,
AD,,
杆,,
(C y =
14,简支梁受均布载荷q作用如下，弯曲刚度EI已知。试用莫尔积分法求横截面A、C之间的相对角位移(AC 。
解：AB：,
BC：,
15,由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为EI。该弹簧在B端受水平力F作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。
解：取一半计算水平位移(
,
( / 2 = ds
= d( （ A = 0,B = ( ）
可得,( = ,
弹簧刚度：k = F / ( = 0.32EI / r 3
16,试用单位载荷法求图示桁架中杆AB的转角。各杆的拉压刚度EA相同，且均为常数。
解： （顺时针）
17,试用单位载荷法计算图示结构中铰链A左、右两截面间的相对转角(A 。设各杆的弯曲刚度EI相同，且均为常数。
解,(A = （反向转动）
18,图示一缺口圆环，(( 为很小的角度，((,EI和R均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两截面上应加多大的力偶M。必须验证此时两截面的相对线位移为R((( 。（用莫尔积分法）
解,,
((,
19,图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为R，C端固定A端自由并作用一铅垂力F。杆的EI及均为常数。用莫尔积分法求A端铅垂位移和水平位移的表达式。
解,,
，
(x = 0,(y =
20,半径为R的开口圆环受力如图所示，A点F力垂直纸面向外，B点F力垂直纸面向里。EI及GIp均为常数。试用莫尔积分法求开口处A及B两点的相对铅垂位移。
解：,；
，
(AB =
21,由拉杆AB、AC和小曲率杆BDC组成的结构及其受力情况如图。已知各杆的截面积均为A，弯曲刚度均为EI。试用莫尔积分法求B、C 两点之间的相对位移。
解：
，
(BC = （两点靠近）
22,薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度b、厚度h（见图），弹性模量E。试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。
解：(1) 相对线位移：
（张开）
(2) 相对角位移：
（张开）
23,图示刚架各杆的EI和分别相同，并均为已知。 试用莫尔积分法求由于力F的作用使缺口两侧上下错开的距离。
解：
24,承受径向均布载荷半径为R的开口薄壁圆环如图。已知该环的b、h、弹性模量E。求缺口两侧面的张开位移。
解：,
(AA1=
25,已知梁的弯曲刚度EI为常数。试用莫尔积分法求图示三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角(A和(B。
解：，，
（顺时针）
（逆时针）
26,一半径为R的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d ( R 。此曲杆A端固定，在自由端B承受一力偶Me（Me作用面平行于xOz平面，z轴垂直于图面）。试用莫尔积分法求B点的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI和GIp。
解,，
，
27,一半径为R的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d ( R 。此曲杆A端固定，在自由端B承受一位于yz面内的力偶Me（xyz构成右手直角坐标系）。试用莫尔积分法求B端的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI和。
解,，
，
28,图示桁架，各杆的横截面面积均为A，拉压应力应变关系呈非线性，拉伸时，，压缩时，，B为材料常数。试用单位载荷法计算节点C的铅垂位移(C y 。
解,(C y = （方向向下）
29,图示矩形截面梁AB，设其底面和顶面的温度分别升高℃和T2℃（( T2）,且沿横截面高度h按线性规律变化。试用单位载荷法计算横截面A的铅垂位移(A y 和水平位移(A x。材料的线膨胀系数为 ( 。
解：微段dx两端截面的相对转角：dd
微段dx的轴向变形为,d d x / 2
,1( (A y = d( dx
(A y = （↑）
,1( (A x = ddx
(A x = （←）
30,对于图示线弹性简支梁，试用单位载荷法计算变形后梁的轴线与变形前梁的轴线所围成的面积A(。已知EI为常数。
解：,
加单位均布载荷，
，
dd
31,画出下列两结构对所求位移的单位力
(a) 求BD杆转动的角(BD时；
(b) 求铰链C左、右两截面的相对转角(C时。
解：
32,试用图乘法求图示刚架B截面的水平位移(Bx及C截面的铅垂位移(C y（EI为常量）。
解,(Bx = （→）
(C y =（↓）
33,图示刚架中各杆的EI相同，不计轴力和剪力对变形的影响，用图乘法求截面B的转角(B 和A、C两点间的相对位移(AC 。
解：(B =（顺时针），
(AC =（离开）
34,用图乘法求图示刚架截面C水平位移及转角，截面D的水平位移，EI为常数。
解：(Cx = (向右),
(C = (逆时针),
(Dx = (向右)
35,用图乘法求图示简支梁截面A的挠度及截面B的转角，EI为常数。
答：（向下）
（逆时针）
36,用图乘法求图示梁截面A的挠度及截面B的转角，EI为常数。
答：（向下）
（逆时针）
37,用图乘法求图示梁截面A的挠度及截面B的转角，EI为常数。
答：（向下）
（逆时针）
38,用图乘法求图示刚架铰链B处左右两截面的相对转角，EI为常数，不计轴力和剪力对变形的影响。
答,
39,图示刚架EI为常数，试用图乘法求铰链C处的铅垂位移wC及左右两截面的相对转角，不计轴力和剪力对变形的影响。
解：（向上），
（左逆、右顺时针）
40,用图乘法求图示刚架截面C的转角(C,不计轴力和剪力对变形的影响。
解,（顺时针）
41,图示刚架在自由端受集中力F作用，AB、BC的弯曲刚度为EI。现欲使C点位移发生在沿力F的方向。试问力F应沿什么方向？
(用图乘法求解，规定(角在0( ( ( (/2区间内变化)
解：利用与力F垂直方向的位移为零的条件，在点C加上一个与力F垂直的单位力FS =1，由图乘法得：
42,矩形截面梁AB、CD如图所示。已知材料的弹性模量E，现测得力F作用下，中间铰B左右两截面相对转角(B =1，试用图乘法求梁横截面上的最大正应力。
解,
解得：，Mmax ，( max =
43,已知图示刚架各段EI相同，不计轴力和剪力对变形的影响。试用图乘法求该刚架A、G端沿连线AG的张开位移。
解,（张开）
44,开口刚架各段的EI相等且已知，受力如图。试用图乘法求开口两侧截面由于F力引起的相对铅垂位移和相对角位移。
解,,
45,带中间铰链的等直梁ABC受力如图所示，
已知q、a及弯曲刚度EI。试用图乘法求：
中间铰链B左右两侧截面的相对转角；
B点的铅垂位移。
解,（B面左逆时针，右顺时针）
（向上）
46,图示平面刚架各杆的EI和均相同。试用图乘法求在铅垂力F作用下缺口两侧沿铅垂方向的相对位移(。
解：( =
47,用图乘法求图示刚架A截面转角(A及B截面水平位移(Bx，
EI为常数。
解：(A =（顺时针）
(Bx =（水平向右）
48,用图乘法求图示刚架A截面的转角(A及C处的铅垂位移(C y,EI为常数。
解：（逆时针）
(C y =（向下）
49,求图示刚架的处的约束力。已知各杆弯曲刚度相同（略去剪力和轴力的影响）。
解：(C = ，
得：
再由平衡方程求得：（向下），
（向左）,（逆时针）
50,四根材料、面积均相同的弹性杆，铰接于O点，另一端则分别支承在刚性铰接点A、B、C、D处，各杆的长度均为l。试用能量法求在图示载荷作用下各杆的内力。
解：设AO、BO、CO、DO各杆轴力分别为,,,
以和为未知量。
，
，
kN， kN， kN， kN
51,用能量法求图示等截面梁中央横截面C的弯矩MC 。
解：
52,图示刚架各段杆的EI相同，受力如图。
用能量法计算A、E两点的相对线位移；
欲使A、E间无相对线位移，试求与的比值；
试大致画出刚架在A、E间无相对线位移情况下的变形曲线。
解：(1) （相对离开）
(2) 令，
(3) 当时，刚架变形如图示：
53,图示平面刚架ABC的各杆均为直径等于d的圆截面杆，材料为低碳钢，已知弹性常数。试用能量法求F力作用点的铅垂位移。 (略去剪力的影响)
解：解除C点约束，得静定基ABC。
由位移协调条件：
= 0,
可得：
（向下）
54,欲测定图示梁端截面的转角，但只有测量挠度的仪器，怎样用改变加载方式的方法达到此目的？
解：利用功的互等定理，在A处施加一个数值等于F的力偶M，并测出这时C处的挠度，则此值即为欲测之力F作用下的。
55,图示悬臂梁，由于条件的限制，测挠度的千分表只能安装在自由端A点之下，但加力装置允许在梁的任意位置是加载。现欲测载荷F作用在A点时的挠度值，则载荷F应加在((((((((处。
解：根据位移互等定理，只需将载荷F移至B点，此时可测得A点的挠度，其值应与F作用在A点时引起B点的挠度相等。
56,试用位移互等定理证明，图示悬臂梁在扭转力偶Me作用下，其横截面绕截面的弯曲中心A转动，即A点铅垂位移等于零。
解：设单位力加在A处引起截面绕C点的扭转角为，单位力偶加在C处引起
A点的铅垂位移为。
根据位移互等定理,，
而A是弯曲中心，所以 ,故有
57,在形状任意的弹性体上有两点A、B相距为d。该弹性体的弹性模量为E，泊松比为(。试求若在弹性体的表面有集度为q的均布压力作用，试求A、B两点间距离的变化。
若在A、B两点作用一对大小相等、方向相反、作用在一条直线上的集中力F，试求该弹性体的体积变化。
解：(1) 在表面有集度为的均布压力q作用时，体内任一点均为三向受压，压应力均为 q
B两点间距离的变化：（缩短）
(2) 弹性体体积变化时，均布压力q作功，可用功的互等定理求体积的改变
，可得：
58,一薄壁圆环，厚度为(，宽度为1，平均直径为D，受力如图。试根据互等定理求解变形后与受力前圆环所围面积的改变量。
解：设原系统（1）径向位移为，另一系统（2）受均布径向载荷，其径向位移为，根据功的互等定理
系统（2）位移, 因为，
所以,
59,等截面简支梁AB上有一移动的集中载荷F，如图(a)。已知载荷F在截面C处时(图b)梁的挠度曲线方程为
试写出截面挠度随载荷F的位置x变化的关系式。
解：根据功的互等定理： 即
为载荷作用于截面C处时x处的挠度，就是图（b）情形下的挠曲线方程。可见题给挠度方程就是图（a）所示F移动时截面C挠度与载荷位置x的关系式。
60,曲杆受载如图，其弹性应变能为，则
的值表示(((((((((((((((((。
答,A、B两截面的相对转角
61,图示刚架采用卡氏第二定理求位移，则代表(((((((((((((((((。
答,A点水平位移和铅垂位移的代数和
62,图示刚架各段弯曲刚度均为EI。不计轴力和剪力的影响。试用卡氏第二定理求B截面的转角。
解,在B截面加一虚力偶（顺时针）
AB,
CB,
d （顺时针）
1,试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。
证：先加F1后加F2，则
先加F2后加F1，则
所以 V( 1 = V( 2
2,直杆的支承及受载如图，试证明当F1=2F/3时，
杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。
解： ；
,,
3,图示杆系的各杆EA皆相同，杆长均为a。求杆系内的总应变能，并用功能原理求A、B两点的相对线位移(AB。
解,
视CD相对固定2(F(AB /4 = 5F2a/(6EA)
(AB = 5Fa/(3EA) ( 拉开 )
4,杆AB的拉压刚度为EA，求
(a) 在F1及F2二力作用下，杆的弹性应变能；
令F2为变量，F2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？
答,,
(a)
(b) ，，
此时
5,力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。问：如果不移动千分表而移动F力，则千分表应放在x = (((((((((处，其根据是((((((((((((((((((。
答：x = l – a ；位移互等定理。
6,试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E、G、( 间有如下关系：
G = E / [ 2 ( 1+( ) ]
证：(1) 纯切应力状态应变能密度为：
u = ( 2 /（ 2G ）
(2) 纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示，其上的主应力为
( 1 = (,( 2 = 0,( 3 = - (
应变能密度为,u = ( 2 ( 1+( ) / E
( 2 / ( 2G ) = ( 2 ( 1+( ) / E
得,G = E / [ 2 ( 1+( ) ]
7,图示简支梁，受均布荷载q作用，试问与广义力q相对应的广义位移是什么？并给予证明。
解：设梁的弯曲轴线方程为w = w(x),则广义力q所作之功为
W = ( l qdx ( w (x) = q ( l w (x) dx
与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。
8,图示等截面直杆，受轴向载荷F作用，已知杆件的横截面面积为A，材料的应力应变关系为( = C ( 1/2,其中C为已知常数。试计算外力所作的功。
解,
9,处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为EA。试求在图示力F作用下的应变能。
解,F = 2FNsin( ( 2FN(,( = ( l /cos( - l )/l ( ( 2/2,FN =(A=E( A=( 2EA/2,
( = [F/(EA)]1/3,( = ( l = l [F/(EA)]1/3
( / 4 ( 式中(为C点的最终位移 )
10,试用莫尔积分法求图示曲杆在力F作用下，截面A的水平位移(Ax及铅垂位移(Ay。EI为已知。
解：，，
(Ax （水平向左），
(Ay （铅垂向下）
11,用莫尔法求图示桁架点A的水平位移(Ax。各杆EA均相同。 A
解：，，
，
(Ax = （→）
12,已知梁的EI为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁A点的挠度。
解：AB：, （）
CB：，
（）
（↓）
13,试用莫尔积分法求图示结构C点的铅垂位移。已知杆AC的弯曲刚度EI和BD杆的拉压刚度EA。受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD杆不会失稳。
解：梁：CD,,
AD,,
杆,,
(C y =
14,简支梁受均布载荷q作用如下，弯曲刚度EI已知。试用莫尔积分法求横截面A、C之间的相对角位移(AC 。
解：AB：,
BC：,
15,由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为EI。该弹簧在B端受水平力F作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。
解：取一半计算水平位移(
,
( / 2 = ds
= d( （ A = 0,B = ( ）
可得,( = ,
弹簧刚度：k = F / ( = 0.32EI / r 3
16,试用单位载荷法求图示桁架中杆AB的转角。各杆的拉压刚度EA相同，且均为常数。
解： （顺时针）
17,试用单位载荷法计算图示结构中铰链A左、右两截面间的相对转角(A 。设各杆的弯曲刚度EI相同，且均为常数。
解,(A = （反向转动）
18,图示一缺口圆环，(( 为很小的角度，((,EI和R均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两截面上应加多大的力偶M。必须验证此时两截面的相对线位移为R((( 。（用莫尔积分法）
解,,
((,
19,图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为R，C端固定A端自由并作用一铅垂力F。杆的EI及均为常数。用莫尔积分法求A端铅垂位移和水平位移的表达式。
解,,
，
(x = 0,(y =
20,半径为R的开口圆环受力如图所示，A点F力垂直纸面向外，B点F力垂直纸面向里。EI及GIp均为常数。试用莫尔积分法求开口处A及B两点的相对铅垂位移。
解：,；
，
(AB =
21,由拉杆AB、AC和小曲率杆BDC组成的结构及其受力情况如图。已知各杆的截面积均为A，弯曲刚度均为EI。试用莫尔积分法求B、C 两点之间的相对位移。
解：
，
(BC = （两点靠近）
22,薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度b、厚度h（见图），弹性模量E。试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。
解：(1) 相对线位移：
（张开）
(2) 相对角位移：
（张开）
23,图示刚架各杆的EI和分别相同，并均为已知。 试用莫尔积分法求由于力F的作用使缺口两侧上下错开的距离。
解：
24,承受径向均布载荷半径为R的开口薄壁圆环如图。已知该环的b、h、弹性模量E。求缺口两侧面的张开位移。
解：,
(AA1=
25,已知梁的弯曲刚度EI为常数。试用莫尔积分法求图示三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角(A和(B。
解：，，
（顺时针）
（逆时针）
26,一半径为R的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d ( R 。此曲杆A端固定，在自由端B承受一力偶Me（Me作用面平行于xOz平面，z轴垂直于图面）。试用莫尔积分法求B点的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI和GIp。
解,，
，
27,一半径为R的半圆形曲杆，杆截面直径为d，d ( R 。此曲杆A端固定，在自由端B承受一位于yz面内的力偶Me（xyz构成右手直角坐标系）。试用莫尔积分法求B端的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EI和。
解,，
，
28,图示桁架，各杆的横截面面积均为A，拉压应力应变关系呈非线性，拉伸时，，压缩时，，B为材料常数。试用单位载荷法计算节点C的铅垂位移(C y 。
解,(C y = （方向向下）
29,图示矩形截面梁AB，设其底面和顶面的温度分别升高℃和T2℃（( T2）,且沿横截面高度h按线性规律变化。试用单位载荷法计算横截面A的铅垂位移(A y 和水平位移(A x。材料的线膨胀系数为 ( 。
解：微段dx两端截面的相对转角：dd
微段dx的轴向变形为,d d x / 2
,1( (A y = d( dx
(A y = （↑）
,1( (A x = ddx
(A x = （←）
30,对于图示线弹性简支梁，试用单位载荷法计算变形后梁的轴线与变形前梁的轴线所围成的面积A(。已知EI为常数。
解：,
加单位均布载荷，
，
dd
31,画出下列两结构对所求位移的单位力
(a) 求BD杆转动的角(BD时；
(b) 求铰链C左、右两截面的相对转角(C时。
解：
32,试用图乘法求图示刚架B截面的水平位移(Bx及C截面的铅垂位移(C y（EI为常量）。
解,(Bx = （→）
(C y =（↓）
33,图示刚架中各杆的EI相同，不计轴力和剪力对变形的影响，用图乘法求截面B的转角(B 和A、C两点间的相对位移(AC 。
解：(B =（顺时针），
(AC =（离开）
34,用图乘法求图示刚架截面C水平位移及转角，截面D的水平位移，EI为常数。
解：(Cx = (向右),
(C = (逆时针),
(Dx = (向右)
35,用图乘法求图示简支梁截面A的挠度及截面B的转角，EI为常数。
答：（向下）
（逆时针）
36,用图乘法求图示梁截面A的挠度及截面B的转角，EI为常数。
答：（向下）
（逆时针）
37,用图乘法求图示梁截面A的挠度及截面B的转角，EI为常数。
答：（向下）
（逆时针）
38,用图乘法求图示刚架铰链B处左右两截面的相对转角，EI为常数，不计轴力和剪力对变形的影响。
答,
39,图示刚架EI为常数，试用图乘法求铰链C处的铅垂位移wC及左右两截面的相对转角，不计轴力和剪力对变形的影响。
解：（向上），
（左逆、右顺时针）
40,用图乘法求图示刚架截面C的转角(C,不计轴力和剪力对变形的影响。
解,（顺时针）
41,图示刚架在自由端受集中力F作用，AB、BC的弯曲刚度为EI。现欲使C点位移发生在沿力F的方向。试问力F应沿什么方向？
(用图乘法求解，规定(角在0( ( ( (/2区间内变化)
解：利用与力F垂直方向的位移为零的条件，在点C加上一个与力F垂直的单位力FS =1，由图乘法得：
42,矩形截面梁AB、CD如图所示。已知材料的弹性模量E，现测得力F作用下，中间铰B左右两截面相对转角(B =1，试用图乘法求梁横截面上的最大正应力。
解,
解得：，Mmax ，( max =
43,已知图示刚架各段EI相同，不计轴力和剪力对变形的影响。试用图乘法求该刚架A、G端沿连线AG的张开位移。
解,（张开）
44,开口刚架各段的EI相等且已知，受力如图。试用图乘法求开口两侧截面由于F力引起的相对铅垂位移和相对角位移。
解,,
45,带中间铰链的等直梁ABC受力如图所示，
已知q、a及弯曲刚度EI。试用图乘法求：
中间铰链B左右两侧截面的相对转角；
B点的铅垂位移。
解,（B面左逆时针，右顺时针）
（向上）
46,图示平面刚架各杆的EI和均相同。试用图乘法求在铅垂力F作用下缺口两侧沿铅垂方向的相对位移(。
解：( =
47,用图乘法求图示刚架A截面转角(A及B截面水平位移(Bx，
EI为常数。
解：(A =（顺时针）
(Bx =（水平向右）
48,用图乘法求图示刚架A截面的转角(A及C处的铅垂位移(C y,EI为常数。
解：（逆时针）
(C y =（向下）
49,求图示刚架的处的约束力。已知各杆弯曲刚度相同（略去剪力和轴力的影响）。
解：(C = ，
得：
再由平衡方程求得：（向下），
（向左）,（逆时针）
50,四根材料、面积均相同的弹性杆，铰接于O点，另一端则分别支承在刚性铰接点A、B、C、D处，各杆的长度均为l。试用能量法求在图示载荷作用下各杆的内力。
解：设AO、BO、CO、DO各杆轴力分别为,,,
以和为未知量。
，
，
kN， kN， kN， kN
51,用能量法求图示等截面梁中央横截面C的弯矩MC 。
解：
52,图示刚架各段杆的EI相同，受力如图。
用能量法计算A、E两点的相对线位移；
欲使A、E间无相对线位移，试求与的比值；
试大致画出刚架在A、E间无相对线位移情况下的变形曲线。
解：(1) （相对离开）
(2) 令，
(3) 当时，刚架变形如图示：
53,图示平面刚架ABC的各杆均为直径等于d的圆截面杆，材料为低碳钢，已知弹性常数。试用能量法求F力作用点的铅垂位移。 (略去剪力的影响)
解：解除C点约束，得静定基ABC。
由位移协调条件：
= 0,
可得：
（向下）
54,欲测定图示梁端截面的转角，但只有测量挠度的仪器，怎样用改变加载方式的方法达到此目的？
解：利用功的互等定理，在A处施加一个数值等于F的力偶M，并测出这时C处的挠度，则此值即为欲测之力F作用下的。
55,图示悬臂梁，由于条件的限制，测挠度的千分表只能安装在自由端A点之下，但加力装置允许在梁的任意位置是加载。现欲测载荷F作用在A点时的挠度值，则载荷F应加在((((((((处。
解：根据位移互等定理，只需将载荷F移至B点，此时可测得A点的挠度，其值应与F作用在A点时引起B点的挠度相等。
56,试用位移互等定理证明，图示悬臂梁在扭转力偶Me作用下，其横截面绕截面的弯曲中心A转动，即A点铅垂位移等于零。
解：设单位力加在A处引起截面绕C点的扭转角为，单位力偶加在C处引起
A点的铅垂位移为。
根据位移互等定理,，
而A是弯曲中心，所以 ,故有
57,在形状任意的弹性体上有两点A、B相距为d。该弹性体的弹性模量为E，泊松比为(。试求若在弹性体的表面有集度为q的均布压力作用，试求A、B两点间距离的变化。
若在A、B两点作用一对大小相等、方向相反、作用在一条直线上的集中力F，试求该弹性体的体积变化。
解：(1) 在表面有集度为的均布压力q作用时，体内任一点均为三向受压，压应力均为 q
B两点间距离的变化：（缩短）
(2) 弹性体体积变化时，均布压力q作功，可用功的互等定理求体积的改变
，可得：
58,一薄壁圆环，厚度为(，宽度为1，平均直径为D，受力如图。试根据互等定理求解变形后与受力前圆环所围面积的改变量。
解：设原系统（1）径向位移为，另一系统（2）受均布径向载荷，其径向位移为，根据功的互等定理
系统（2）位移, 因为，
所以,
59,等截面简支梁AB上有一移动的集中载荷F，如图(a)。已知载荷F在截面C处时(图b)梁的挠度曲线方程为
试写出截面挠度随载荷F的位置x变化的关系式。
解：根据功的互等定理： 即
为载荷作用于截面C处时x处的挠度，就是图（b）情形下的挠曲线方程。可见题给挠度方程就是图（a）所示F移动时截面C挠度与载荷位置x的关系式。
60,曲杆受载如图，其弹性应变能为，则
的值表示(((((((((((((((((。
答,A、B两截面的相对转角
61,图示刚架采用卡氏第二定理求位移，则代表(((((((((((((((((。
答,A点水平位移和铅垂位移的代数和
62,图示刚架各段弯曲刚度均为EI。不计轴力和剪力的影响。试用卡氏第二定理求B截面的转角。
解,在B截面加一虚力偶（顺时针）
AB,
CB,
d （顺时针）
