Ling Xueling
L.P,模型因其应用极广,方法成熟,已被证明是 OR 中最成功的定量方法本章尝试利用 L.P,模型解决经济,金融,管理中的一些问题要点,L.P,模型应用的广度？ 建立 L.P,模型的一般思路是？ 别人是如何考虑问题的？ 虽然例子可能很简单不要忘了：非负约束始终是 L.P,模型的特征之一 。
第四章 L.P,应用凌晨,凌晨,
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一,广告媒介的选择
1,概念有多种媒介可供选择：报纸,杂志,广播,电视,广告牌,邮寄等可能的限制－－预算,公司战略,媒体可用性目标－－共知度最大
2,例子一房产公司在第一个月为售房委托广告公司设计广告方案房产公司第一个月的预算,30,000元根据销售经验,房产公司合同要求：
1〕 利用电视次数不少于 10 次；
2〕 至少 50,000 潜在购房户了解到广告；
3〕 用在电视广告上的花费不应多于 18,000。
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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一,广告媒介的选择
3,广告公司的经验数据和调研数据广告媒体 达到潜在 广告成本 每月最大可期望 的购房户数可用次数 的共知度电视
（ 白天 ） 1000 1500 15 65
电视
（ 晚间 ） 2000 3000 10 90
晨报 1500 400 25 40
周刊 2500 1000 4 60
广播 300 100 30 20
问题：广告公司如何面对合同要求,资源,以上数据,适当选择媒体使共知度最大？ （ 建模课堂练习 ）
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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一,广告媒介的选择
4,建模
max 65 x1 + 90 x2 + 40 x3 + 60 x4 + 20 x5
s.t.
媒体可用量,x1 ≤15,x2 ≤10,x3 ≤25,x4≤4,x5 ≤30
预算,1500x1 + 3000x2 + 400x3 + 1000x4 + 100x5 ≤30000
客户要求,x1 + x2 ≥10
1000x1 + 2000x2 + 1500x3 + 2500x4 + 300x5 ≥50000
1500x1 + 3000x2 ≤ 18,000
非负约束,xi ≥0
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一,广告媒介的选择
5,计算机求解
x1 = 10,x3 = 25,x4 = 2,x5 = 30
对应的预算,15,000 10,000 2,000 3,000
o.f,= 2370 (audience exposure)
6,几点说明
1） 第一个月结束之际,做什么？ 要检验,H 0,? = 2370
2） 模型以共知度为目标,不保证利润,销售额等变量的最优,可以考虑设置不同的目标；
3） 模型的简化：没有考虑 反复使用 同一媒体可能会有价格折扣,
但单位共知度反而会下降等因素,不然的话,模型会太复杂 。
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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二,营销调研
1,概述营销调研－－了解消费者的特点,消费倾向,对某产品或服务的评价等实际的营销调研常常由专业的调研公司进行
2,例子
1） 约束
A 公司委托 MSI 调研公司对 A 公司新近上市的一种家用产品了解反应,
双方商谈后订立下列合同,规定
（ 1） 上门访问 1000户；
（ 2） 至少要走访 400户有孩子的家庭；
（ 3） 至少要走访 400户无孩子的家庭；
（ 4） 晚上被访问的户数至少要与白天被访问的户数一样多；
（ 5） 被访问的有孩子户数中至少要有 40％ 是在晚上访问的；
（ 6） 被访问的无孩子户数中至少要有 60％ 是在晚上访问的第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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二,营销调研
2,例子
2） 成本分析
MSI 调研公司经验是：晚上对有孩子家庭的访问成本较高,数据表明：
家庭 访问成本白天 晚上有孩子 x11 = 20 x12 = 25
无孩子 x21 = 18 x22 = 20
3） 目标如何安排访问可使既满足合同,成本又最低？ （ 建模课堂练习 ）
提示：用双下标 。
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二,营销调研
3,建模
min z = min 20x11 + 25x12 + 18x21 + 20x22
s.t,(合同约束 ＋ 非负约束 )
x11 + x12 + x21 + x22 = 1000
x11 + x12 ≥ 400
x21 + x22 ≥ 400
－ x11 + x12 － x21 + x22 ≥ 0
－ 0.4x11 + 0.6x12 ≥ 0
－ 0.6x21 + 0.4x22 ≥0
xij ≥0
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二,营销调研
4,解答及其解释最优解,x11 = 240,x12 = 160,x21 = 240,x22 = 360
第一 （ 访问总数 ） 约束之对偶价格 dual price = － 19.2
对偶：目标函数的改善值,负数－－,恶化,
说明：访问总数若从 1000 增加到 1001,则成本上升 19.2,此为增加次数的追加成本或减少次数的节省成本 。
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一,证券组合问题高抛低吸还是追涨杀跌？ 经济学基本假设已受到心理学质疑投资管理理论告诉我们：组合品种数量增加时,非系统风险将会下降风险非系统风险系统风险 （ 市场风险 ）
组合品种数量第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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一,证券组合问题
1,概念
1） 财务管理常见问题 之一是,多种投资方向中选择合理,
有效的投资途径
2） 总是 同时 考虑：投入,产出,风险
3） 目标：回报最大,风险最小
4） 约束：资本额,可承受之风险,公司战略,法律,政令等等 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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一,证券组合问题
2,例子
C.B,信用社兑换一笔债券后手头有 10万元现金,拟寻找新的投资对象 。 仔细分析后认为：新的投资应放在石油,钢铁和政府债券,由此,选出了如下五种投资机会及其有关数据：
1) 投资回报估计数据项目 预计的年利率 (％ )
(1) A 石油公司股票 7.3 ％
(2) B 石油公司股票 10.3 ％
(3) C 钢铁公司股票 6.4 ％ ＝ 0.064
(4) D 钢铁公司股票 7.5 ％
(5) 政府债券 4.5 ％
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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一,证券组合问题
2,例子 （ 续 ）
2) 专家建议
(1) 对任一类工业 (石油或钢铁 )之投资总数不得超过总额 50％
(2) 对公债的投资额不得少于对钢铁业投资的 25％
(3) B 石油公司股息虽高,但风险也大,故所投资金不应超过对石油业投资总额的 60％
问题：如何制定投资方案？
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一,证券组合问题
3,建模定义决策变量,xi ＝ 对 ( i ) 项目之投资额,则
max 0.73x1 + 0.103x2 + 0.064x3 + 0.075x4 + 0.045x5
s.t.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 100,000 (可用资金 )
x1 + x2 + ≤ 50,000 (石油业 )
x3 + x4 ≤ 50,000 (钢铁业 )
－ 0.25x3－ 0.25x4 + x5 ≥ 0 (政府公债 )
0.6x1 － 0.4x2 ≥ 0 (B 石油公司 )
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
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一,证券组合问题
4,求解投资项目 合计 (单位：元 ) 可期望的年利息收入
A 石油 20,000 1,460
B 石油 30,000 3,090
C 钢铁 0 0
D 钢铁 40,000 3,000
政府公债 10.000 450
∑,100,000 8,000
即：可望收入 8,000 元,相当利率为 8％ 。
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一,证券组合问题
5,关于解的说明
1) 关于对偶价格
Constraint Slack/surplus Dual Price
1 0.000000 0.069000
4 0.000000 － 0.024000
约束 1 －－ 0.069000 说明：总投资上升 1 元,可多创利 0.069 元,故决策：
(1) 若能获年利低于 6.9％ 之贷款,可将贷款投入投资基金
(2) 若有年利在 6.9％ 以上的存款项目,则考虑取消部分投资方案改为存款,但要注意,b1 之可行区间是,[50,000 112,500],要使 6.9％
有效,只能在此区间内考虑问题 。 问：有 150,000可用资金,如何？
约束 4 －－ (－ 0.024)说明：增加公债投资只会使获利下降,并不是什么倒贴 ( 无非是每增加一元投资,获利下降 0.024利息 )。
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一,证券组合问题
5,关于解的说明
2 ) 关于缩减成本 （ reduced costs）
x3 之缩减成本是 0.011,说明：最优解中 x3 = 0,0.011
告诉我们：除非 C 钢铁公司之投资回报率增加 0.011 达到 0.064 + 0.011 = 0.075,否则不会考虑对此公司投资
3 ) 股票有自己的购买价,不能拆开 。 若 A 石油公司股价为 75元 /股,投入 x1 = 20,000,可购 226 (2/3) 股,如何操作？ 买 226 还是 227？ 此时很难保证解仍然是最优解 。 此乃模型之一大局限 。
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二,资金配备问题
1,概念任何经营活动 （ 生产,库存,基建,设备,.....） 都要先筹措资金－－ 预先 作出理财决定－－哪些项目由内部资金支付？ 哪些项目由外部资金支付？ 各占多少？
内外部资金如何 细分？
伴随改革开放,大量外资进入中国,合资企业数量不断增加,为加强合作和有效运作资本,企业内部资金调配 等活动在所难免,即使是全资企业,如许多大型工程项目中,也会同时有自有资金,贷款资金,企业债券资金,外资资金等 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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二,资金配备问题
2,例子
J.A,公司计划在未来 3 个月内开始试产二种新型号的计算器 Y 型和 Z 型,由于在启动阶段没有可利用的收益,只能靠公司先行筹措资金
1) 内部可用资金：公司内部可安排 3,000 元于试产,若不够,只能贷款
2) 一家银行答应的授信额度是 10,000 元短期贷款,三个月内按 年利
12％ 计息,银行同时对授信额度提出要求：
公司内部资金 3000 元在试产后的余额＋试产带来的应收款在三个月后至少是所借贷款加上利息的二倍
3) 为了测试市场,公司经验规定：试产时 Y 型至少生产 50pcs
试产时 Z 型至少生产 25pcs。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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二,资金配备问题
2,例子
4) 生产,财务部门提出以下数据表格：
型号 单位制造成本 销售价 毛利 装配工时 包装运输工时
Y 50 58 8 12 1
Z 100 120 20 25 2
试产阶段,公司可排劳动力：
装配工时－－ 2500,包装运输工时－－ 150
目标：试制新产品时如何 配备 资金？
贷款多少？ 可使利润最大？
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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二,资金配备问题
3,建模
1) 决策变量 x1 = 公司资金生产的 Y 型之单位数
x2 = 贷款资金生产的 Y 型之单位数
x3 = 公司资金生产的 Z 型之单位数
x4 = 贷款资金生产的 Z 型之单位数
2) o.f,－－ max 利润 (同时,当然要尽量少借钱 )
∵ x1 产生的利润,8x1
x2 产生的利润,[ 8 － (50*0.12*1/4)]x2 = 6.5x2
x3 产生的利润,20x3
x4 产生的利润,[ 20 － (100*0.12*1/4)]x4 = 17x4
∴ o.f,= max 8x1 + 6.5x2 + 20x3 + 17x4
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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3） 约束
(1) 12( x1 + x2 ) + 25( x3 + x4 ) ≤2500 装配能力
(2) ( x1 + x2 ) + 2( x3 + x4 ) ≤150 包装运输能力
(3) 50x1 + 100x3 ≤3000 内部可用资金
(4) 50x2 + 100x4≤10000 外部可贷资金
(5) x1 + x2 ≥50 公司规定 Y 量
(6) x3 + x4 ≥25 公司规定 Z 量
(7) 银行要求,现金 ＋ 应收帐 ≥ 2(贷款 ＋ 利息 )
现金 ＝ 3000－ 50x1 － 100x3
应收帐 ＝ 58(x1 + x2) + 120(x3 + x4)
贷款 ＝ 50x2 + 100x4
利息 ＝ (0.12*1/4) (50x2 + 100 x4) = 1.5x2 + 3x4
故 － 8x1 + 45x2 － 20x3 + 86x4 ≤3000 银行要求
(8) x1,x2,x3,x4 ≥0 非负约束 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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二,资金配备问题
4,计算机解产品单 期望利润 贷款量位 (千 )
Y 型 公司款 x1 0 0 0
Y 型 银行贷款 x2 50 325 2500
Z 型 公司款 x3 30 600 0
Z 型 银行贷款 x4 15.7 267 1570
∑ 1192 4070
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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二,资金配备问题
5,关于解的四点说明
1) 第一,二约束 Slack/Surplus Dual Price
1 757.558 0.00000
2 8.60465 0.00000
说明：生产能力有 slack
2) 第三约束
3 0.00000 0.239535
说明：内部资金每增加 1.00,利润可增加大约 0.24,如此高的收益,公司应尽量 内部挖潜,如内部集资等
3) 第五约束
5 0.00000 － 2.395349
说明,( 关于 Y 量之规定 ) 增加 Y 产量,只会使利润下降,反之可使利润增加
4) 遗留问题：
实际上,内部资金或者是要付息,或者存款会有利息收入,此例中没有考虑 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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一,生产计划问题
1,概念经济学原理告诉我们：若其他投入不变,只是不断地增加某一种投入,则这一投入的 边际 产出量最终会逐渐减少生产计划问题属于 多周期计划问题,常用周期－－月,常常需要制订
1) 特点,（ 经济学原理 ） 短期成本的变化不足以使企业调整 资本 投入,虽然市场需求常常变化,但生产工时,产能,库存能力,设备能力等并不常变,故 L.P,模型一旦建好,以后只需修改部分数据即可反复可用－－适用于计算机管理中相应模块
2) 目标,总 生产成本最小 ( 或利润最大,.....)
3) 约束：各种能力：生产,设备,库存,劳力,.....。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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一,生产计划问题
2,例子
1） 订单某电器设备公司拿到订单要求在今后三个月中加工二种零件：
四月 五月 六月
322 A 1000 3000 5000 ∑＝ 9000
802 B 1000 500 3000 ∑＝ 4500
2） 二种 （ 极端 ） 安排
（ 1） 均衡生产：好处是工作负荷,机器,人力使用都均衡 。 坏处：成本不适当,因为其库存水平高,带来 (i) 库存 成本 (ii) 资金利息 成本 (iii)
资金机会 成本 ； (iv)价格波动 成本
（ 2） 逐月按需求量生产：可消除资金,库存占用等成本 。 坏处：会发生 调整成本 (i) 产能若满足 6 月份峰值产量 8000 单位则其它月有大量闲置； (ii) 劳动力大调整：失业上升,培训费上升 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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一,生产计划问题
2,例子
3） 应考虑的问题,(1) 生产成本 (2) 物流 （ 库存 ） 成本 (3) 生产水平变化导致的波动成本,总之,要使 总 成本最小
4） 有关数据及假设
(1) 生产成本,322A－－ 20/pc 802B －－ 10/pc
(2) 库存成本：每月的库存成本是生产成本的 1.5％,以月底的库存数为计算值
(3) 生产水平调整成本 (解雇职员,营业额浮动,人员培训,....)
管理人员测算出：
总生产水平每增加一单位,调整费 0.5 元总生产水平每减少一单位,调整费 0.2 元
(4) 3 月底已有库存,322A －－ 500pcs 802B－－ 200pcs
公司规定：到六月底库存水平之要求是
322A ≥400pcs 802B ≥200pcs
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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一,生产计划问题
2,例子
4） 有关数据及假设
( 5 )公司资源 (产能 )
月份 机器可用工时 劳力可用工时 仓库可用面积 (m2)
4 400 300 10,000
5 500 300 10,000
6 600 300 10,000
（ 6） 资源消耗零件 机器 (小时 /单位 ) 劳力 (小时 /单位 ) 仓库 ( 平米 /单位 )
322 A 0.1 0.05 2
802 B 0.08 0.07 3
（ 7） 三月份生产水平：
322A －－ 1500 802B－－ 1000 ∑= 2500
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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3,建模
1) 目标函数－－总成本最小
(1) 生产成本 设 x i j －－第 i 种产品第 j 个月之产量则生产成本＝ 20( x11 + x12 + x13 ) + 10( x21 + x22 + x23 )
(2) 库存成本 令,S i j －－第 i 种产品第 j 月份之库存数
322A－－ (20)(0.015)/每月每单位＝ 0.30/每月每单位
802B－－ (10)(0.015)/每月每单位＝ 0.15/每月每单位则 库存成本＝ 0.3(S11 + S12 + S13) + 0.15(S21 + S22 + S23)
(3) 生产水平调整成本令,Im ＝第 m 个月比第 m－ 1 月生产总水平上升数
Dm ＝ 第 m 个月比第 m－ 1 月生产总水平下降数 （ 离差变量 ）
m = 4,5,6
则生产水平调整成本＝ 0.5(I4 + I5 + I6) + 0.2(D4 + D5 + D6)
(4) 总的目标函数
min ( 生产成本 ＋ 库存成本 ＋ 生产水平调整成本 ）
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3,建模
2) 约束
(1) 生产计划必须与客户需求吻合 (3月库存,A---500 B---200)
原则：上月库存量 ＋ 当月产量 － 本月库存 ＝ 当月需求量
(i) 500 + x11 － s11 = 1000 第一个月计划与需求
(ii) 200 + x21 － s21 = 1000
(iii) s11 + x12 － s12 = 3000 第二个月计划与需求
(iv) s21 + x22 － s22 = 500
(v) s12 + x13 － s13 = 5000 第三个月计划与需求
(vi) s22 + x23 － s23 = 3000
(vii) s13 ≥ 400 第三个月月底的库存
(viii) s23 ≥ 200 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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3,建模
2) 约束
(2) 资源与消耗 (i) 机器可用工时
0.1x11 + 0.08x21≤ 400
0.1x12 + 0.08x22≤ 500
0.1x13 + 0.08x23≤ 600
(ii) 劳力可用工时
0.05x11 + 0.07xx1 ≤ 300
0.05x12 + 0.07x22≤ 300
0.05x13 + 0.07x23≤ 300
(iii) 仓库可用面积
2s11 + 3s21 ≤ 10000
2s12 + 3s22 ≤ 10000
2s13 + 3s23 ≤ 10000
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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3,建模
2) 约束
(3) 生产水平波动 （ 注,3 月份生产水平,1500+1000=2500）
4 月份波动 ( x11 + x21 ) － 2500 = I1 － D1
5 月份波动 ( x12 + x22 ) － ( x11 + x21 ) = I2 － D2
6 月份波动 ( x13 + x23 ) － (x12 + x22 ) = I3 － D3
3) 模型综合目标函数 1) 和约束 2) 再加上非负约束 x i j,s i j,I I,D i ≥ 0
共 18 个变量 20 个约束式说明：以上其实是一个很简单的问题,若考虑：多种机器,不同劳力,不同仓库能力,不同工序等等,12 个月的计划,100 种产品,大约会有 1000 个以上的变量和约束,看似复杂,但方法不变 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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4,求解及 O.R.管理报告解的二点说明：
(1) 第 13 个约束,0.05x12 + 0.07x22 ≤ 300
劳力在 5 月份限制之 dual price = 2.14 说明 5 月份每增加一个工时可使总成本下降 2.14 元,此数据可作为
5 月份加班费的依据
(2) 第 16 个约束 2s12 + 3s22 ≤ 10000 仓库在 5 月份之限制之 dual price = 0.046 说明,5 月份每增加 1 平米仓能,总成本可下降 0.046 元,此时仓库已饱和,
0.046可作为租用费的参考 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
1,概念当职工受到过不只一种职能训练 （ 如在德国许多企业中和中国的宝钢里 ） 时,以下的问题就会变得有意义
：当劳动力的安排有机动性且至少有些劳动力可被安排到不只一个部门或工作场所时,L.P,模型可被用来在安排好产品生产的 同时 对不同部门的劳力使用作出最佳安排 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
2,有关数据及建模
(1) 工时
M.E,玻璃杯公司下月生产二种杯子,要经四个车间加工,所需工时如下：
车间 产品 1 产品 2
1 0.07 0.1
2 0.05 0.084
3 0.1 0.067
4 0.01 0.025
(2) 利润产品 1 －－ 1.00/pc 产品 2 －－ 0.9/pc。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
2,有关数据及建模
(3) 模型 －－利润最大化设 x1 －产品 1 产量 x2 －产品 2 产量 b i －第 i 车间劳力限制
max 1 x1 + 0.9x2
s.t.
0.07x1 + 0.1x2 ≤ b1
0.05x1 + 0.084x2 ≤ b2
0.1x1 + 0.067x2 ≤ b3
0.01x1 + 0.025x2 ≤ b4
x1,x2 ≥ 0
注意：此例中,b i 被视为 常数,这使管理部门 没有 调整的余地 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
3,问题的深化及进一步数据假定不考虑设备情况,简化为只多考虑劳力安排 。 若经过培训,调研后得出如下数据：
仅可用于车间 1 430 工时
2 400 工时
3 500 工时
4 135 工时可同时用于车间 1 或 2 570 工时可同时用于车间 3 或 4 300 工时 有一定机动,870
总可用 2335工时则问：在安排好生产追求最大利润的同时如何优化劳动力安排？ 显然,
此时有二类决策变量：
x1,x2 －－是决策变量 b i －－ 也是 决策变量。（课堂练习）
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
4,新的模型
max x1 + 0.9 x2 + 0b1 + 0b2 + 0b3 + 0b4 （ 因为 b i 不影响利润 ）
s.t.
0.07x1 +,1x2 － b1 ≤0
0.05x1 + 0.084x2 － b2 ≤0 ( 劳力约束 )
0.1x1 + 0.067x2 － b3 ≤0
0.01x1 + 0.025x2 － b4 ≤0
b1 ≤1000
b2 ≤970 ( 各车间最多可用工时 )
b3 ≤800
b4 ≤435
b1 + b2 ≤430 + 400 + 570 = 1400 ( 机动工时只可
b3 + b4 ≤500 + 135 + 300 = 935 用于一个车间 )
x1,x2,b i ≥ 0
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,劳动力调度
5,解及其说明
（ 1） 解生产计划,产品 1 －－ 4700 pcs 产品 2 －－ 4543 pcs
劳力安排,车间 1 －－ 783 车间 2 －－ 617
车间 3 －－ 774 车间 4 －－ 161
总工时 = 2335－－全部用完 无松驰 利润 ＝ 8789
（ 2） 说明若管理部门只是对定 固定 bi 做生产安排,就会有 松 /紧不匀 问题,此模型的前提是：的确可以跨车间作出安排,模型才有意义 。 此模型略加变化可用来求解如下问题：
(i) 生产中原材料的安排；
(ii) 生产中机器工时的安排；
(iii) 经营活动中销售力量的指派 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,概述追求 最优 还是 满意？ 如何 协调 多目标？
普通 L.P,－－ 只能 处理 单个 目标,如最大利润或最小成本目标规划 （ Goal Programming）,
(1) L.P.框架
(2) 能处理 多个 目标
(3) 追求尽可能与所有目标 接近 的,最优,。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,例子
MOS 公司现在要对销售力量建立月度经营计划
1,策略规定与老顾客联系 200 次,与新顾客联系 120 次
2,时间数据除去旅行,等待,展示,.....,公司规定：
与老顾客接触时间为 2 小时与新顾客接触时间为 3 小时公司安排的最大可用时间为,640 小时
3,问题联系 200 位老顾客及 120 位新顾客,显然不可能作为约束－－缺
120 工时 ！ 即,( 200,120 ) －－二个目标不可能同时满足 。 所以,
目标应该,也只能是－－ 尽可能满足数量化目标,( 200,120 )。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,利用 GP建模
1,量化目标将所有目标逐一数量化是 G.P,的第一个特点目标 1 －－ 接待 200 位老顾客目标 2 －－ 接待 120 位新顾客故,引入 离差变量 ( deviation variable )
设 d1+ －－ 与老顾客联系超过 200 位的量
d1－ －－与老顾客联系不足 200 位的量
d2+ －－ 与新顾客联系超过 120 位的量
d2－ －－与新顾客联系不足 120 位的量 。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,利用 GP建模
2,目标函数设 x1 －－实际接待老顾客数量
x2 －－实际接待新顾客数量则 o.f.是：
min 0 x1 + 0 x2 + 0 (d1+) + 1 (d1－ ) + 0 (d2+ ) + 1 (d2－ )
说明：已知时间明显不足,所以不可能在 d i－ 前取正数为系数 ！ 都取,1”,一视同仁也 。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,利用 GP 建模
3,约束将每一个目标单独写成约束式是 G.P,的第二个特点
1) 目标约束
x1 = 200 + (d1+ ) － (d1－ )
x2 = 120 + (d2+ ) － (d2－ )
2) 其它约束
2x1 + 3x2 ≤ 640 －－ 公司 可用时间
x i,d i＋,d i－ ≥ 0 －－ 非负。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,求解若用 DiMI 表示 d i－,DiPL 表示 d i＋,则计算机输出结果是
x1 = 200 d 1＋ = 0 d 2＋ = 0
x2 = 80 d 1－ = 0 d 2－ = 40
o.f,= 40
即：接待老顾客的目标可以达到；而接待新顾客的目标,无法满足 40 人次 。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
五,目标函数－－加 权 和的说明因为已知工时不足,所以不指望 d1+> 0,此处,d1－
与 d2－ 前的系数均为 1,这说明建立模型时对新,
老顾客的重视程度一样若调整 ( 视新顾客之重要性 2 倍于老顾客 )为：
min 0x1 + 0x2+ + 0(d1+) + 1(d1－ )+ 0(d2+ )+ 2(d2－ )
则最优解是：
x1 = 140 ( 差 60 人次 ) x2 = 120 ( 满足目标 )。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
Ling Xueling
The End of Chapter 4
L.P,模型因其应用极广,方法成熟,已被证明是 OR 中最成功的定量方法本章尝试利用 L.P,模型解决经济,金融,管理中的一些问题要点,L.P,模型应用的广度？ 建立 L.P,模型的一般思路是？ 别人是如何考虑问题的？ 虽然例子可能很简单不要忘了：非负约束始终是 L.P,模型的特征之一 。
第四章 L.P,应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,广告媒介的选择
1,概念有多种媒介可供选择：报纸,杂志,广播,电视,广告牌,邮寄等可能的限制－－预算,公司战略,媒体可用性目标－－共知度最大
2,例子一房产公司在第一个月为售房委托广告公司设计广告方案房产公司第一个月的预算,30,000元根据销售经验,房产公司合同要求：
1〕 利用电视次数不少于 10 次；
2〕 至少 50,000 潜在购房户了解到广告；
3〕 用在电视广告上的花费不应多于 18,000。
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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一,广告媒介的选择
3,广告公司的经验数据和调研数据广告媒体 达到潜在 广告成本 每月最大可期望 的购房户数可用次数 的共知度电视
（ 白天 ） 1000 1500 15 65
电视
（ 晚间 ） 2000 3000 10 90
晨报 1500 400 25 40
周刊 2500 1000 4 60
广播 300 100 30 20
问题：广告公司如何面对合同要求,资源,以上数据,适当选择媒体使共知度最大？ （ 建模课堂练习 ）
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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一,广告媒介的选择
4,建模
max 65 x1 + 90 x2 + 40 x3 + 60 x4 + 20 x5
s.t.
媒体可用量,x1 ≤15,x2 ≤10,x3 ≤25,x4≤4,x5 ≤30
预算,1500x1 + 3000x2 + 400x3 + 1000x4 + 100x5 ≤30000
客户要求,x1 + x2 ≥10
1000x1 + 2000x2 + 1500x3 + 2500x4 + 300x5 ≥50000
1500x1 + 3000x2 ≤ 18,000
非负约束,xi ≥0
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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一,广告媒介的选择
5,计算机求解
x1 = 10,x3 = 25,x4 = 2,x5 = 30
对应的预算,15,000 10,000 2,000 3,000
o.f,= 2370 (audience exposure)
6,几点说明
1） 第一个月结束之际,做什么？ 要检验,H 0,? = 2370
2） 模型以共知度为目标,不保证利润,销售额等变量的最优,可以考虑设置不同的目标；
3） 模型的简化：没有考虑 反复使用 同一媒体可能会有价格折扣,
但单位共知度反而会下降等因素,不然的话,模型会太复杂 。
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,营销调研
1,概述营销调研－－了解消费者的特点,消费倾向,对某产品或服务的评价等实际的营销调研常常由专业的调研公司进行
2,例子
1） 约束
A 公司委托 MSI 调研公司对 A 公司新近上市的一种家用产品了解反应,
双方商谈后订立下列合同,规定
（ 1） 上门访问 1000户；
（ 2） 至少要走访 400户有孩子的家庭；
（ 3） 至少要走访 400户无孩子的家庭；
（ 4） 晚上被访问的户数至少要与白天被访问的户数一样多；
（ 5） 被访问的有孩子户数中至少要有 40％ 是在晚上访问的；
（ 6） 被访问的无孩子户数中至少要有 60％ 是在晚上访问的第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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二,营销调研
2,例子
2） 成本分析
MSI 调研公司经验是：晚上对有孩子家庭的访问成本较高,数据表明：
家庭 访问成本白天 晚上有孩子 x11 = 20 x12 = 25
无孩子 x21 = 18 x22 = 20
3） 目标如何安排访问可使既满足合同,成本又最低？ （ 建模课堂练习 ）
提示：用双下标 。
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,营销调研
3,建模
min z = min 20x11 + 25x12 + 18x21 + 20x22
s.t,(合同约束 ＋ 非负约束 )
x11 + x12 + x21 + x22 = 1000
x11 + x12 ≥ 400
x21 + x22 ≥ 400
－ x11 + x12 － x21 + x22 ≥ 0
－ 0.4x11 + 0.6x12 ≥ 0
－ 0.6x21 + 0.4x22 ≥0
xij ≥0
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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二,营销调研
4,解答及其解释最优解,x11 = 240,x12 = 160,x21 = 240,x22 = 360
第一 （ 访问总数 ） 约束之对偶价格 dual price = － 19.2
对偶：目标函数的改善值,负数－－,恶化,
说明：访问总数若从 1000 增加到 1001,则成本上升 19.2,此为增加次数的追加成本或减少次数的节省成本 。
第一节 L.P,在营销学中的应用凌晨,凌晨,
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一,证券组合问题高抛低吸还是追涨杀跌？ 经济学基本假设已受到心理学质疑投资管理理论告诉我们：组合品种数量增加时,非系统风险将会下降风险非系统风险系统风险 （ 市场风险 ）
组合品种数量第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,证券组合问题
1,概念
1） 财务管理常见问题 之一是,多种投资方向中选择合理,
有效的投资途径
2） 总是 同时 考虑：投入,产出,风险
3） 目标：回报最大,风险最小
4） 约束：资本额,可承受之风险,公司战略,法律,政令等等 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,证券组合问题
2,例子
C.B,信用社兑换一笔债券后手头有 10万元现金,拟寻找新的投资对象 。 仔细分析后认为：新的投资应放在石油,钢铁和政府债券,由此,选出了如下五种投资机会及其有关数据：
1) 投资回报估计数据项目 预计的年利率 (％ )
(1) A 石油公司股票 7.3 ％
(2) B 石油公司股票 10.3 ％
(3) C 钢铁公司股票 6.4 ％ ＝ 0.064
(4) D 钢铁公司股票 7.5 ％
(5) 政府债券 4.5 ％
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,证券组合问题
2,例子 （ 续 ）
2) 专家建议
(1) 对任一类工业 (石油或钢铁 )之投资总数不得超过总额 50％
(2) 对公债的投资额不得少于对钢铁业投资的 25％
(3) B 石油公司股息虽高,但风险也大,故所投资金不应超过对石油业投资总额的 60％
问题：如何制定投资方案？
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
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一,证券组合问题
3,建模定义决策变量,xi ＝ 对 ( i ) 项目之投资额,则
max 0.73x1 + 0.103x2 + 0.064x3 + 0.075x4 + 0.045x5
s.t.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 100,000 (可用资金 )
x1 + x2 + ≤ 50,000 (石油业 )
x3 + x4 ≤ 50,000 (钢铁业 )
－ 0.25x3－ 0.25x4 + x5 ≥ 0 (政府公债 )
0.6x1 － 0.4x2 ≥ 0 (B 石油公司 )
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,证券组合问题
4,求解投资项目 合计 (单位：元 ) 可期望的年利息收入
A 石油 20,000 1,460
B 石油 30,000 3,090
C 钢铁 0 0
D 钢铁 40,000 3,000
政府公债 10.000 450
∑,100,000 8,000
即：可望收入 8,000 元,相当利率为 8％ 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,证券组合问题
5,关于解的说明
1) 关于对偶价格
Constraint Slack/surplus Dual Price
1 0.000000 0.069000
4 0.000000 － 0.024000
约束 1 －－ 0.069000 说明：总投资上升 1 元,可多创利 0.069 元,故决策：
(1) 若能获年利低于 6.9％ 之贷款,可将贷款投入投资基金
(2) 若有年利在 6.9％ 以上的存款项目,则考虑取消部分投资方案改为存款,但要注意,b1 之可行区间是,[50,000 112,500],要使 6.9％
有效,只能在此区间内考虑问题 。 问：有 150,000可用资金,如何？
约束 4 －－ (－ 0.024)说明：增加公债投资只会使获利下降,并不是什么倒贴 ( 无非是每增加一元投资,获利下降 0.024利息 )。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,证券组合问题
5,关于解的说明
2 ) 关于缩减成本 （ reduced costs）
x3 之缩减成本是 0.011,说明：最优解中 x3 = 0,0.011
告诉我们：除非 C 钢铁公司之投资回报率增加 0.011 达到 0.064 + 0.011 = 0.075,否则不会考虑对此公司投资
3 ) 股票有自己的购买价,不能拆开 。 若 A 石油公司股价为 75元 /股,投入 x1 = 20,000,可购 226 (2/3) 股,如何操作？ 买 226 还是 227？ 此时很难保证解仍然是最优解 。 此乃模型之一大局限 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,资金配备问题
1,概念任何经营活动 （ 生产,库存,基建,设备,.....） 都要先筹措资金－－ 预先 作出理财决定－－哪些项目由内部资金支付？ 哪些项目由外部资金支付？ 各占多少？
内外部资金如何 细分？
伴随改革开放,大量外资进入中国,合资企业数量不断增加,为加强合作和有效运作资本,企业内部资金调配 等活动在所难免,即使是全资企业,如许多大型工程项目中,也会同时有自有资金,贷款资金,企业债券资金,外资资金等 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,资金配备问题
2,例子
J.A,公司计划在未来 3 个月内开始试产二种新型号的计算器 Y 型和 Z 型,由于在启动阶段没有可利用的收益,只能靠公司先行筹措资金
1) 内部可用资金：公司内部可安排 3,000 元于试产,若不够,只能贷款
2) 一家银行答应的授信额度是 10,000 元短期贷款,三个月内按 年利
12％ 计息,银行同时对授信额度提出要求：
公司内部资金 3000 元在试产后的余额＋试产带来的应收款在三个月后至少是所借贷款加上利息的二倍
3) 为了测试市场,公司经验规定：试产时 Y 型至少生产 50pcs
试产时 Z 型至少生产 25pcs。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,资金配备问题
2,例子
4) 生产,财务部门提出以下数据表格：
型号 单位制造成本 销售价 毛利 装配工时 包装运输工时
Y 50 58 8 12 1
Z 100 120 20 25 2
试产阶段,公司可排劳动力：
装配工时－－ 2500,包装运输工时－－ 150
目标：试制新产品时如何 配备 资金？
贷款多少？ 可使利润最大？
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,资金配备问题
3,建模
1) 决策变量 x1 = 公司资金生产的 Y 型之单位数
x2 = 贷款资金生产的 Y 型之单位数
x3 = 公司资金生产的 Z 型之单位数
x4 = 贷款资金生产的 Z 型之单位数
2) o.f,－－ max 利润 (同时,当然要尽量少借钱 )
∵ x1 产生的利润,8x1
x2 产生的利润,[ 8 － (50*0.12*1/4)]x2 = 6.5x2
x3 产生的利润,20x3
x4 产生的利润,[ 20 － (100*0.12*1/4)]x4 = 17x4
∴ o.f,= max 8x1 + 6.5x2 + 20x3 + 17x4
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3） 约束
(1) 12( x1 + x2 ) + 25( x3 + x4 ) ≤2500 装配能力
(2) ( x1 + x2 ) + 2( x3 + x4 ) ≤150 包装运输能力
(3) 50x1 + 100x3 ≤3000 内部可用资金
(4) 50x2 + 100x4≤10000 外部可贷资金
(5) x1 + x2 ≥50 公司规定 Y 量
(6) x3 + x4 ≥25 公司规定 Z 量
(7) 银行要求,现金 ＋ 应收帐 ≥ 2(贷款 ＋ 利息 )
现金 ＝ 3000－ 50x1 － 100x3
应收帐 ＝ 58(x1 + x2) + 120(x3 + x4)
贷款 ＝ 50x2 + 100x4
利息 ＝ (0.12*1/4) (50x2 + 100 x4) = 1.5x2 + 3x4
故 － 8x1 + 45x2 － 20x3 + 86x4 ≤3000 银行要求
(8) x1,x2,x3,x4 ≥0 非负约束 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,资金配备问题
4,计算机解产品单 期望利润 贷款量位 (千 )
Y 型 公司款 x1 0 0 0
Y 型 银行贷款 x2 50 325 2500
Z 型 公司款 x3 30 600 0
Z 型 银行贷款 x4 15.7 267 1570
∑ 1192 4070
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,资金配备问题
5,关于解的四点说明
1) 第一,二约束 Slack/Surplus Dual Price
1 757.558 0.00000
2 8.60465 0.00000
说明：生产能力有 slack
2) 第三约束
3 0.00000 0.239535
说明：内部资金每增加 1.00,利润可增加大约 0.24,如此高的收益,公司应尽量 内部挖潜,如内部集资等
3) 第五约束
5 0.00000 － 2.395349
说明,( 关于 Y 量之规定 ) 增加 Y 产量,只会使利润下降,反之可使利润增加
4) 遗留问题：
实际上,内部资金或者是要付息,或者存款会有利息收入,此例中没有考虑 。
第二节 L.P,在金融方面的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,生产计划问题
1,概念经济学原理告诉我们：若其他投入不变,只是不断地增加某一种投入,则这一投入的 边际 产出量最终会逐渐减少生产计划问题属于 多周期计划问题,常用周期－－月,常常需要制订
1) 特点,（ 经济学原理 ） 短期成本的变化不足以使企业调整 资本 投入,虽然市场需求常常变化,但生产工时,产能,库存能力,设备能力等并不常变,故 L.P,模型一旦建好,以后只需修改部分数据即可反复可用－－适用于计算机管理中相应模块
2) 目标,总 生产成本最小 ( 或利润最大,.....)
3) 约束：各种能力：生产,设备,库存,劳力,.....。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,生产计划问题
2,例子
1） 订单某电器设备公司拿到订单要求在今后三个月中加工二种零件：
四月 五月 六月
322 A 1000 3000 5000 ∑＝ 9000
802 B 1000 500 3000 ∑＝ 4500
2） 二种 （ 极端 ） 安排
（ 1） 均衡生产：好处是工作负荷,机器,人力使用都均衡 。 坏处：成本不适当,因为其库存水平高,带来 (i) 库存 成本 (ii) 资金利息 成本 (iii)
资金机会 成本 ； (iv)价格波动 成本
（ 2） 逐月按需求量生产：可消除资金,库存占用等成本 。 坏处：会发生 调整成本 (i) 产能若满足 6 月份峰值产量 8000 单位则其它月有大量闲置； (ii) 劳动力大调整：失业上升,培训费上升 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,生产计划问题
2,例子
3） 应考虑的问题,(1) 生产成本 (2) 物流 （ 库存 ） 成本 (3) 生产水平变化导致的波动成本,总之,要使 总 成本最小
4） 有关数据及假设
(1) 生产成本,322A－－ 20/pc 802B －－ 10/pc
(2) 库存成本：每月的库存成本是生产成本的 1.5％,以月底的库存数为计算值
(3) 生产水平调整成本 (解雇职员,营业额浮动,人员培训,....)
管理人员测算出：
总生产水平每增加一单位,调整费 0.5 元总生产水平每减少一单位,调整费 0.2 元
(4) 3 月底已有库存,322A －－ 500pcs 802B－－ 200pcs
公司规定：到六月底库存水平之要求是
322A ≥400pcs 802B ≥200pcs
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,生产计划问题
2,例子
4） 有关数据及假设
( 5 )公司资源 (产能 )
月份 机器可用工时 劳力可用工时 仓库可用面积 (m2)
4 400 300 10,000
5 500 300 10,000
6 600 300 10,000
（ 6） 资源消耗零件 机器 (小时 /单位 ) 劳力 (小时 /单位 ) 仓库 ( 平米 /单位 )
322 A 0.1 0.05 2
802 B 0.08 0.07 3
（ 7） 三月份生产水平：
322A －－ 1500 802B－－ 1000 ∑= 2500
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3,建模
1) 目标函数－－总成本最小
(1) 生产成本 设 x i j －－第 i 种产品第 j 个月之产量则生产成本＝ 20( x11 + x12 + x13 ) + 10( x21 + x22 + x23 )
(2) 库存成本 令,S i j －－第 i 种产品第 j 月份之库存数
322A－－ (20)(0.015)/每月每单位＝ 0.30/每月每单位
802B－－ (10)(0.015)/每月每单位＝ 0.15/每月每单位则 库存成本＝ 0.3(S11 + S12 + S13) + 0.15(S21 + S22 + S23)
(3) 生产水平调整成本令,Im ＝第 m 个月比第 m－ 1 月生产总水平上升数
Dm ＝ 第 m 个月比第 m－ 1 月生产总水平下降数 （ 离差变量 ）
m = 4,5,6
则生产水平调整成本＝ 0.5(I4 + I5 + I6) + 0.2(D4 + D5 + D6)
(4) 总的目标函数
min ( 生产成本 ＋ 库存成本 ＋ 生产水平调整成本 ）
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3,建模
2) 约束
(1) 生产计划必须与客户需求吻合 (3月库存,A---500 B---200)
原则：上月库存量 ＋ 当月产量 － 本月库存 ＝ 当月需求量
(i) 500 + x11 － s11 = 1000 第一个月计划与需求
(ii) 200 + x21 － s21 = 1000
(iii) s11 + x12 － s12 = 3000 第二个月计划与需求
(iv) s21 + x22 － s22 = 500
(v) s12 + x13 － s13 = 5000 第三个月计划与需求
(vi) s22 + x23 － s23 = 3000
(vii) s13 ≥ 400 第三个月月底的库存
(viii) s23 ≥ 200 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3,建模
2) 约束
(2) 资源与消耗 (i) 机器可用工时
0.1x11 + 0.08x21≤ 400
0.1x12 + 0.08x22≤ 500
0.1x13 + 0.08x23≤ 600
(ii) 劳力可用工时
0.05x11 + 0.07xx1 ≤ 300
0.05x12 + 0.07x22≤ 300
0.05x13 + 0.07x23≤ 300
(iii) 仓库可用面积
2s11 + 3s21 ≤ 10000
2s12 + 3s22 ≤ 10000
2s13 + 3s23 ≤ 10000
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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3,建模
2) 约束
(3) 生产水平波动 （ 注,3 月份生产水平,1500+1000=2500）
4 月份波动 ( x11 + x21 ) － 2500 = I1 － D1
5 月份波动 ( x12 + x22 ) － ( x11 + x21 ) = I2 － D2
6 月份波动 ( x13 + x23 ) － (x12 + x22 ) = I3 － D3
3) 模型综合目标函数 1) 和约束 2) 再加上非负约束 x i j,s i j,I I,D i ≥ 0
共 18 个变量 20 个约束式说明：以上其实是一个很简单的问题,若考虑：多种机器,不同劳力,不同仓库能力,不同工序等等,12 个月的计划,100 种产品,大约会有 1000 个以上的变量和约束,看似复杂,但方法不变 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
Ling Xueling
4,求解及 O.R.管理报告解的二点说明：
(1) 第 13 个约束,0.05x12 + 0.07x22 ≤ 300
劳力在 5 月份限制之 dual price = 2.14 说明 5 月份每增加一个工时可使总成本下降 2.14 元,此数据可作为
5 月份加班费的依据
(2) 第 16 个约束 2s12 + 3s22 ≤ 10000 仓库在 5 月份之限制之 dual price = 0.046 说明,5 月份每增加 1 平米仓能,总成本可下降 0.046 元,此时仓库已饱和,
0.046可作为租用费的参考 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
1,概念当职工受到过不只一种职能训练 （ 如在德国许多企业中和中国的宝钢里 ） 时,以下的问题就会变得有意义
：当劳动力的安排有机动性且至少有些劳动力可被安排到不只一个部门或工作场所时,L.P,模型可被用来在安排好产品生产的 同时 对不同部门的劳力使用作出最佳安排 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
2,有关数据及建模
(1) 工时
M.E,玻璃杯公司下月生产二种杯子,要经四个车间加工,所需工时如下：
车间 产品 1 产品 2
1 0.07 0.1
2 0.05 0.084
3 0.1 0.067
4 0.01 0.025
(2) 利润产品 1 －－ 1.00/pc 产品 2 －－ 0.9/pc。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
2,有关数据及建模
(3) 模型 －－利润最大化设 x1 －产品 1 产量 x2 －产品 2 产量 b i －第 i 车间劳力限制
max 1 x1 + 0.9x2
s.t.
0.07x1 + 0.1x2 ≤ b1
0.05x1 + 0.084x2 ≤ b2
0.1x1 + 0.067x2 ≤ b3
0.01x1 + 0.025x2 ≤ b4
x1,x2 ≥ 0
注意：此例中,b i 被视为 常数,这使管理部门 没有 调整的余地 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
3,问题的深化及进一步数据假定不考虑设备情况,简化为只多考虑劳力安排 。 若经过培训,调研后得出如下数据：
仅可用于车间 1 430 工时
2 400 工时
3 500 工时
4 135 工时可同时用于车间 1 或 2 570 工时可同时用于车间 3 或 4 300 工时 有一定机动,870
总可用 2335工时则问：在安排好生产追求最大利润的同时如何优化劳动力安排？ 显然,
此时有二类决策变量：
x1,x2 －－是决策变量 b i －－ 也是 决策变量。（课堂练习）
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
4,新的模型
max x1 + 0.9 x2 + 0b1 + 0b2 + 0b3 + 0b4 （ 因为 b i 不影响利润 ）
s.t.
0.07x1 +,1x2 － b1 ≤0
0.05x1 + 0.084x2 － b2 ≤0 ( 劳力约束 )
0.1x1 + 0.067x2 － b3 ≤0
0.01x1 + 0.025x2 － b4 ≤0
b1 ≤1000
b2 ≤970 ( 各车间最多可用工时 )
b3 ≤800
b4 ≤435
b1 + b2 ≤430 + 400 + 570 = 1400 ( 机动工时只可
b3 + b4 ≤500 + 135 + 300 = 935 用于一个车间 )
x1,x2,b i ≥ 0
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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二,劳动力调度
5,解及其说明
（ 1） 解生产计划,产品 1 －－ 4700 pcs 产品 2 －－ 4543 pcs
劳力安排,车间 1 －－ 783 车间 2 －－ 617
车间 3 －－ 774 车间 4 －－ 161
总工时 = 2335－－全部用完 无松驰 利润 ＝ 8789
（ 2） 说明若管理部门只是对定 固定 bi 做生产安排,就会有 松 /紧不匀 问题,此模型的前提是：的确可以跨车间作出安排,模型才有意义 。 此模型略加变化可用来求解如下问题：
(i) 生产中原材料的安排；
(ii) 生产中机器工时的安排；
(iii) 经营活动中销售力量的指派 。
第三节 L.P,在生产管理中的应用凌晨,凌晨,
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一,概述追求 最优 还是 满意？ 如何 协调 多目标？
普通 L.P,－－ 只能 处理 单个 目标,如最大利润或最小成本目标规划 （ Goal Programming）,
(1) L.P.框架
(2) 能处理 多个 目标
(3) 追求尽可能与所有目标 接近 的,最优,。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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二,例子
MOS 公司现在要对销售力量建立月度经营计划
1,策略规定与老顾客联系 200 次,与新顾客联系 120 次
2,时间数据除去旅行,等待,展示,.....,公司规定：
与老顾客接触时间为 2 小时与新顾客接触时间为 3 小时公司安排的最大可用时间为,640 小时
3,问题联系 200 位老顾客及 120 位新顾客,显然不可能作为约束－－缺
120 工时 ！ 即,( 200,120 ) －－二个目标不可能同时满足 。 所以,
目标应该,也只能是－－ 尽可能满足数量化目标,( 200,120 )。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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三,利用 GP建模
1,量化目标将所有目标逐一数量化是 G.P,的第一个特点目标 1 －－ 接待 200 位老顾客目标 2 －－ 接待 120 位新顾客故,引入 离差变量 ( deviation variable )
设 d1+ －－ 与老顾客联系超过 200 位的量
d1－ －－与老顾客联系不足 200 位的量
d2+ －－ 与新顾客联系超过 120 位的量
d2－ －－与新顾客联系不足 120 位的量 。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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三,利用 GP建模
2,目标函数设 x1 －－实际接待老顾客数量
x2 －－实际接待新顾客数量则 o.f.是：
min 0 x1 + 0 x2 + 0 (d1+) + 1 (d1－ ) + 0 (d2+ ) + 1 (d2－ )
说明：已知时间明显不足,所以不可能在 d i－ 前取正数为系数 ！ 都取,1”,一视同仁也 。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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三,利用 GP 建模
3,约束将每一个目标单独写成约束式是 G.P,的第二个特点
1) 目标约束
x1 = 200 + (d1+ ) － (d1－ )
x2 = 120 + (d2+ ) － (d2－ )
2) 其它约束
2x1 + 3x2 ≤ 640 －－ 公司 可用时间
x i,d i＋,d i－ ≥ 0 －－ 非负。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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四,求解若用 DiMI 表示 d i－,DiPL 表示 d i＋,则计算机输出结果是
x1 = 200 d 1＋ = 0 d 2＋ = 0
x2 = 80 d 1－ = 0 d 2－ = 40
o.f,= 40
即：接待老顾客的目标可以达到；而接待新顾客的目标,无法满足 40 人次 。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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五,目标函数－－加 权 和的说明因为已知工时不足,所以不指望 d1+> 0,此处,d1－
与 d2－ 前的系数均为 1,这说明建立模型时对新,
老顾客的重视程度一样若调整 ( 视新顾客之重要性 2 倍于老顾客 )为：
min 0x1 + 0x2+ + 0(d1+) + 1(d1－ )+ 0(d2+ )+ 2(d2－ )
则最优解是：
x1 = 140 ( 差 60 人次 ) x2 = 120 ( 满足目标 )。
第四节 目标规划凌晨,凌晨,
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The End of Chapter 4
