Ling Xueling
生活中排队现象司空见惯,如：超市,银行里的排队,马路上红绿灯前的排队,计算机指令排队等待被执行几乎没有人喜欢排队,只要有选择,排长队的人都会变得不耐烦 。 所以,管理人员都知道：队伍长意味着服务质量不高,可能导致潜在的回头客另寻出路,于今后不利从管理看,降低服务成本与提高服务质量相互矛盾,如何平衡？
第十二章 排队模型凌晨,凌晨,
Ling Xueling
排队模型被用来 识别 排队系统的 运行特征,帮助了解下列对管理决策有价值信息：
服务设施闲置的概率；
排队系统中刚好有一定数量服务对象 （ 如顾客 ） 的概率 （ 系统包括：等待,服务 ） ；
系统中排队者的平均数量；
服务对象花费在排队系统中的平均时间 （ 服务,等待时间 ）
每个队列中排队者的平均数量；
每个排队对象平均等待时间；
刚抵达的对象将不得不排队等待的可能性能获得上述信息,定量的,理性的平衡和调整就不难了 。
第十二章 排队模型凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,问题的提出
1,例子及其管理问题中联公司多年前建立的配送仓库前的单通道卡车坞构造图是由于近年出货量大幅增长,使得公司上述卡车坞成为出货增长的瓶颈,有时甚至有多达 5 辆次卡车需要长时间等待后才能装卸货 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
系统装 /卸之后卡车离开系统卡车到达 排队列卡车坞装 /卸
Ling Xueling
一,问题的提出
2,对系统进行描述的意义面对排队问题,可以考虑在卡车坞内添加新传送带系统以便加速装卸运作,也可以考虑增加一条新的并行卡车坞以便两辆卡车可以同时装,卸运作,等等 。 但这些可行方案都会增加卡车坞的 运行成本决策前,当然应该试着了解更多的有关信息,如：
各种备选方案下排队等待时间和运作成本分别是什么？ 显然,比较,权衡之后的决策会更加合理 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
1,单通道排队系统及其描述如：机场出租车排队待客系统就是一个典型的单通道排队系统为了对单通道排队系统进行描述,首先需要建立相应模型,而前提是先要拥有以下三方面信息：
（ 1） 服务对象 到达 之分布；
（ 2） 服务对象 接受服务 的时间分布；
（ 3） 服务对象的 排队纪律 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
2,服务对象到达的分布希望了解：一定 周期 内到达的单位数及其到达的方式 。 因为到达数通常是随机变量,故只能依靠概率分布进行描述研究发现,假定到达数服从 Poisson 分布常常是合理的描述
。 即,在一个给定的时间周期内到达数为 x 的概率是：
此处,x ＝ 给定时间周期内到达数；? ＝ 时间周期内到达数的平均或期望值 。 实践中,利用统计方法 （ 如用?2 统计量 ）
不难检验历史观察数据的频率分布与 Poisson 概率分布间的差异是否显著,从而确认 Poisson 分布的合理性 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)1,........(2,1,0!)(
xx exP
x
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
2,服务对象到达的分布假定中联公司卡车坞每小时到达的 平均 卡车数大约是 3 辆 （?
＝ 3）,则每小时内有 x 辆卡车到达的概率是：
易得：一小时内分别到达 0,1 和 2 辆卡车的概率分别是：
0.0498,0.1494,0.2241。 概率分布图形可表示如下：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)2(!3!)(
3
x
e
x
exP xx
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
设：平均每小时 3辆车到达
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
3,服务时间分布每位排队对象获得的服务时间显然也是随机变量 。 数学知识告诉我们：指数概率分布常常能给出不错的描述 。 即,在一个时间周期 t 内单项服务得以完成的概率是：
注意：
是单位时间服务率,而 1/? 是对象平均获得的服务时间同理,可利用历史数据检验指数分布的合理性 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)3(1 tetP ）（服务时间
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
3,服务时间分布假定中联公司的历史数据表明：当连续作业时,卡车坞平均每小时可为 4 辆卡车提供服务,则由? ＝ 4 可求出 t 小时内单项服务得以完成的概率是：
类似可得：一辆卡车在任意指定 0.1 小时内装卸运作得以完成的概率是,P (服务时间 ≤0.1小时 ) = = 0.3297
此分布的图形说明如下所示：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
tetP 41 ）（服务时间
4.01e
0
0.5
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
T时内服务能完成的 Pr.
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
4,队列纪律的假定生活中,有许 多种 排队纪律或习惯,如：先来先得,
随意插队,混乱等又比如：排队乘电梯,排在最后的人却是最先得到服务的一位也算是一种纪律本章将始终假定：所有队列都遵循：按先后次序 依次等待 服务的纪律 。 又称为 FCFS （ first-come first-
served） 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,具有 Poisson 到达和 指数 服务的单通道排队系统的描述首先假定：
（ i） 队列只有一个 单 通道；
（ ii） 到达的类型服从 Poisson 概率分布 （? ＝ 3） ；
（ iii） 服务时间服从指数概率分布 （? ＝ 4） ；
（ iv） 队列纪律是 FCFS
将并 不直接建立定量决策模型,而是关注如何 描述系统的运行特征 ！
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述 （ 微分差分方程 ）
1,单通道排队系统 （ 排队＋服务 ） 一般运行特征式
1） 服务设施空闲的概率 （ 即：系统中 0 个排队对象的概率 ）
2） 系统中有 n 个排队对象的概率：
3） 排队等待服务的平均对象数：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)4()1(0P
)5()( 0PP nn
)6()(
2
qL
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
1,单通道排队系统 （ 排队＋服务 ） 一般运行特征式
4） 系统中平均对象数：
5） 某对象花在排队等待服务上的平均时间：
6） 某对象花在系统中的平均时间 （ 排队时间＋服务时间 ）,
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)7( qLL
)8(?qq LW?
)9(1 qWW
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
1,单通道排队系统 （ 排队＋服务 ） 一般运行特征式
7） 某到达对象不得不排队等待服务的概率：
8） 注释从方程 （ 10） 可以看出?/? 是由于服务设施没有空闲,使新到达的对象不得不等待的概率,被称为利用率 （ utilization
factor） ；显然,当?/? < 1 时上述 （ 4） 到 （ 10） 公式才有现实的意义 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)10(wP
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
2,中联公司排队系统运作描述中联公司卡车坞,因为? = 3,? = 4,则?/? ＝ 3/4 < 1,所以可以利用方程 （ 4） 到方程 （ 10） 确定该卡车坞之运行特征,
结果如下：
P0 = 0.25 Lq = 2.25辆 L = 3 辆 Wq = 0.75/小时 /每辆车
W = 1 /小时 /每辆车 Pw = 0.75
可见,（ 1） 卡车在装卸之前平均要等待 W9 ＝ 0.75 小时或 45
分钟,当然令人心烦 ！
（ 2） 等待服务的平均卡车数是 L9 ＝ 2.25 辆；
（ 3） 大约 75％ 的卡车 （ PW ＝ 0.75） 在到达后将不得不先排队再装卸 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
3,描述与决策上述描述结果表明：中联公司应该改善自身的仓库卡车坞系统 ！ 如何决策改善？ 可以先 提出多种可行方案,然后分别予以描述,再比较结果 。 例如,经理无法改变每小时到达率?
＝ 3,但通过采用一系列措施 （ 如增加人手,添加传送带等 ）
可以调整?值,假定各备选方案下有：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
单位时间 服务率?
不同? 时的系统特征
4 6 8 10
卡车坞空闲的概率 P 0 0,25 0,5 0,62 5 0,7
排队的平均卡车数 L q 2,25 0,5 0,22 5 0,12 9
系统中的平均卡车数 L 3 1 0,6 0,42 9
卡车用来等待的平均小时数 W q 0,75 0,16 7 0,07 5 0,04 3
卡车用在系统中的平均小时数 W 1 0,33 0,2 0,14 3
到达的卡车不得不等待服务的概率 P w 0,75 0,5 0,37 5 0,3
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
3,描述与决策表列结果可见：当?＝ 6 时,每辆车花费在系统中的平均时间将从 1小时减少到 0.33 小时或 20 分钟；不得不排队等待服务的卡车之百分比会从 75％ 下降到 50％ 。 拥有上述信息后,再加上各种改善措施的附加成本信息,决策应该不是难事 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
单位时间 服务率?
不同? 时的系统特征
4 6 8 10
卡车坞空闲的概率 P 0 0,25 0,5 0,62 5 0,7
排队的平均卡车数 L q 2,25 0,5 0,22 5 0,12 9
系统中的平均卡车数 L 3 1 0,6 0,42 9
卡车用来等待的平均小时数 W q 0,75 0,16 7 0,07 5 0,04 3
卡车用在系统中的平均小时数 W 1 0,33 0,2 0,14 3
到达的卡车不得不等待服务的概率 P w 0,75 0,5 0,37 5 0,3
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一,多通道排队系统
1,什么是多通道排队系统所谓 多 通道排队系统,是指系统中至少有两个通道或服务位置,如,中国银行新设计的柜台服务系统 。 又如,中联公司的双通道排队系统可以设计成：
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
卡车坞 A卡车到达单队列装 /卸之后卡车离开通道 2
通道 1
卡车坞 B
Ling Xueling
一,多通道排队系统
2,对多通道排队系统的假定为描述运行特征,本章对多通道排队系统预设下列假定：
1） 队列有两个或更多个相同的单通道；
2） 整个系统的到达服从 P (? )；
3） 服务时间服从 E(? )；
4） 各单通道的平均服务率? 是相同的 （ 各单通道服务效率基本一致 ） ；
5） 对象到达后以单队列排队等待服务；
6） 队列纪律是先来先得到服务 （ FCFS） 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征令,K = 通道数；? ＝系统的平均到达数；?＝每一单通道的单位时间服务率,并设? >?,则一般多通道排队系统运行特征是
1） 所有 k 个服务通道均为闲着的概率 （ 即：系统中只有 0 单位服务对象的概率 ）
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)11(
)!1(!
1
1
0
0
kkn
P
k
k
n
n
Ling Xueling
一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征
2） 系统中有 n 个服务对象的概率第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)12(,
! 0
时knP
kk
P
kn
n
n
)13(0,
! 0
时knP
n
P
n
n
Ling Xueling
一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征
3） 等待服务的平均对象数
4） 系统中的平均对象数第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)14(!1 02 PkkL
k
q
)15( qLL
Ling Xueling
一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征
5） 某对象花费在等待服务上的平均时间
6） 某对象花费在系统中的平均时间
7） 某到达对象不得不排队等待服务的概率第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)16(? qq Lw?
)17(1 qWW
)18(!1 0Pk kkP
k
w
Ling Xueling
二,例子及其计算
1,例子仍然讨论中联公司仓库的卡车坞排队系统 。 假定管理人员希望考虑双通道设计,在决策之前当然希望 先描述 出可能的运行特征
2,系统特征在方程 （ 11） － （ 18） 中分别令 K = 2,? = 3,? ＝ 4,可得特征如下,P 0 = 0.4545 L q = 0.123 辆卡车
L = 0.873 辆卡车 W q = 0.123/3 = 0.041 小时
W = 0.041 + 1/4 = 0.291 小时第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
2 0 4 5.0)4 5 4 5.0(3)4(2 )4(243!21
2
wP
Ling Xueling
二,例子及其计算
2,系统特征将结果与单通道系统的相应结果进行比较可以看到：
1） 每车在系统内 （ 等待 +装卸 ） 的平均时间从 1小时降到 W =
0.291（ 17.46分钟 ） ；
2） 排队列的平均长度从 2.25 辆车降至 L q = 0.123 辆；
3） 卡车排队等待的平均时间从 45 分钟降至 Wq = 0.041 小时
（ 2.46 分钟 ） ；
4） 不得不等待服务的卡车之百分比从 75％ 降至 Pw = 0.2045
（ 20.45％ ）
双通道改善系统服务质量的效果是显然的 ！ 但在实施前还应做 投入产出 分析 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,投入产出分析
1,如何分析借助系统描述的帮助,建立排队系统不同可行方案服务成本模型与被服务对象成本模型,然后将各个总成本及其相互间差异与系统调整成本进行比较,决定取舍
2,系统总成本模型令,C1 ＝每辆卡车的小时成本； L ＝ 系统中的平均卡车数；
C2 ＝ 每一单通道的小时成本； K ＝ 通道数量 。
则,每小时总卡车成本 ＝ C1 L
每小时总通道成本 ＝ C2 K
每小时总成本 ＝ C1 L + C2 K (19)
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,投入产出分析
2,系统总成本模型假定中联公司对成本的估算是,C1 = 25,C2 = 30,利用上列总成本模型可以估算出单通道和双通道系统的总成本如下：
结果告诉我们：单通道改为多通道后 小时成本 将减少,105-
81.83 = 23.17,或成本下降 22％ 。 若每年运行 52 周,每周运行 40 小时的话,每一年的小时成本共可节省 (40)(52)(23.17)
= 48193.60。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
系统系统中平均卡车数每小时总卡车成本通道数每小时总通道成本每小时总成本单通道 3,0 0 ( 2 5 ) 3 = 7 5 1 ( 3 0 ) 1 = 30 1 0 5,0 0
双通道 0,8 7 3 ( 2 5 ) 0,8 7 5 = 2 1,8 3 2 ( 3 0 ) 2 = 60 8 1,8 3
Ling Xueling
三,投入产出分析
3,投入产出决策将扩充单通道的投资成本与排队系统总成本进行比较即可上述讨论中其实是假定服务系统 （ 坞 ） 与被服务对象 （ 车 ）
的成本都由中联公司承担,双方利益一致,进行平衡其实并不难 。 但当双方利益不一致,如超市内的排队系统,这种平衡就不是一件容易的事了此时,系统决策者可以先指定一系列服务质量指标,如合理的平均等待时间,从竞争需要出发的一定等待时间之概率,
等等 （ 不是直接衡量被服务对象的成本,而是目标化 ）,再利用排队模型来确定系统的合理设计以实现所提出的服务目标 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,其他排队模型及其模拟
1,其他排队系统现实中,有太多其他种类的排队系统,如公路收费口,食堂排队系统等 。 虽然已经对许多种排队系统,如对象到达是离散变量但不保证任一时刻只有一个到达从而服从多重 Poisson
分布,平均到达数随队列长短而变化,等待服务服务时间不服从指数分布,允许插队现象等系统,都能描述出它们诸如顾客平均排队时间,系统中平均顾客数量,系统空闲时间的百分比等运行特征,但要么超出本课程要求,要么至今尚未有简单的结论收集数据? 估计到达的 分布,服务时间的 分布,并行服务数量 （ 通道数量 ）,队列纪律? 定量描述排队系统? 管理决策,应该成为研究排队系统合乎逻辑的过程 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,其他排队模型及其模拟
2,排队系统的模拟决策者应该设法找出最接近实际问题的模型来,但许多排队问题常常太复杂,若实在无法求出解析模型,利用具有极大灵活性的计算机模拟方法就是明智的选择即使能够获取解析模型,与实际问题之间还是可能有不小的差异 。 例如,当队列变长时,服务人员可能会自动提高工作效率,这样,预先假定服务时间服从参数为? 的指数分布就无法真实反映实际情况 。 此时,决策者应该依然选用指数分布作为一个近似,但同时有必要建立计算机模拟模型对服务人员变化的工作效率进行估算 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
The End of Chapter 12
生活中排队现象司空见惯,如：超市,银行里的排队,马路上红绿灯前的排队,计算机指令排队等待被执行几乎没有人喜欢排队,只要有选择,排长队的人都会变得不耐烦 。 所以,管理人员都知道：队伍长意味着服务质量不高,可能导致潜在的回头客另寻出路,于今后不利从管理看,降低服务成本与提高服务质量相互矛盾,如何平衡？
第十二章 排队模型凌晨,凌晨,
Ling Xueling
排队模型被用来 识别 排队系统的 运行特征,帮助了解下列对管理决策有价值信息：
服务设施闲置的概率；
排队系统中刚好有一定数量服务对象 （ 如顾客 ） 的概率 （ 系统包括：等待,服务 ） ；
系统中排队者的平均数量；
服务对象花费在排队系统中的平均时间 （ 服务,等待时间 ）
每个队列中排队者的平均数量；
每个排队对象平均等待时间；
刚抵达的对象将不得不排队等待的可能性能获得上述信息,定量的,理性的平衡和调整就不难了 。
第十二章 排队模型凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,问题的提出
1,例子及其管理问题中联公司多年前建立的配送仓库前的单通道卡车坞构造图是由于近年出货量大幅增长,使得公司上述卡车坞成为出货增长的瓶颈,有时甚至有多达 5 辆次卡车需要长时间等待后才能装卸货 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
系统装 /卸之后卡车离开系统卡车到达 排队列卡车坞装 /卸
Ling Xueling
一,问题的提出
2,对系统进行描述的意义面对排队问题,可以考虑在卡车坞内添加新传送带系统以便加速装卸运作,也可以考虑增加一条新的并行卡车坞以便两辆卡车可以同时装,卸运作,等等 。 但这些可行方案都会增加卡车坞的 运行成本决策前,当然应该试着了解更多的有关信息,如：
各种备选方案下排队等待时间和运作成本分别是什么？ 显然,比较,权衡之后的决策会更加合理 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
1,单通道排队系统及其描述如：机场出租车排队待客系统就是一个典型的单通道排队系统为了对单通道排队系统进行描述,首先需要建立相应模型,而前提是先要拥有以下三方面信息：
（ 1） 服务对象 到达 之分布；
（ 2） 服务对象 接受服务 的时间分布；
（ 3） 服务对象的 排队纪律 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
2,服务对象到达的分布希望了解：一定 周期 内到达的单位数及其到达的方式 。 因为到达数通常是随机变量,故只能依靠概率分布进行描述研究发现,假定到达数服从 Poisson 分布常常是合理的描述
。 即,在一个给定的时间周期内到达数为 x 的概率是：
此处,x ＝ 给定时间周期内到达数；? ＝ 时间周期内到达数的平均或期望值 。 实践中,利用统计方法 （ 如用?2 统计量 ）
不难检验历史观察数据的频率分布与 Poisson 概率分布间的差异是否显著,从而确认 Poisson 分布的合理性 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)1,........(2,1,0!)(
xx exP
x
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
2,服务对象到达的分布假定中联公司卡车坞每小时到达的 平均 卡车数大约是 3 辆 （?
＝ 3）,则每小时内有 x 辆卡车到达的概率是：
易得：一小时内分别到达 0,1 和 2 辆卡车的概率分别是：
0.0498,0.1494,0.2241。 概率分布图形可表示如下：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)2(!3!)(
3
x
e
x
exP xx
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
设：平均每小时 3辆车到达
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二,单通道排队系统的描述
3,服务时间分布每位排队对象获得的服务时间显然也是随机变量 。 数学知识告诉我们：指数概率分布常常能给出不错的描述 。 即,在一个时间周期 t 内单项服务得以完成的概率是：
注意：
是单位时间服务率,而 1/? 是对象平均获得的服务时间同理,可利用历史数据检验指数分布的合理性 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)3(1 tetP ）（服务时间
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
3,服务时间分布假定中联公司的历史数据表明：当连续作业时,卡车坞平均每小时可为 4 辆卡车提供服务,则由? ＝ 4 可求出 t 小时内单项服务得以完成的概率是：
类似可得：一辆卡车在任意指定 0.1 小时内装卸运作得以完成的概率是,P (服务时间 ≤0.1小时 ) = = 0.3297
此分布的图形说明如下所示：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
tetP 41 ）（服务时间
4.01e
0
0.5
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
T时内服务能完成的 Pr.
Ling Xueling
二,单通道排队系统的描述
4,队列纪律的假定生活中,有许 多种 排队纪律或习惯,如：先来先得,
随意插队,混乱等又比如：排队乘电梯,排在最后的人却是最先得到服务的一位也算是一种纪律本章将始终假定：所有队列都遵循：按先后次序 依次等待 服务的纪律 。 又称为 FCFS （ first-come first-
served） 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,具有 Poisson 到达和 指数 服务的单通道排队系统的描述首先假定：
（ i） 队列只有一个 单 通道；
（ ii） 到达的类型服从 Poisson 概率分布 （? ＝ 3） ；
（ iii） 服务时间服从指数概率分布 （? ＝ 4） ；
（ iv） 队列纪律是 FCFS
将并 不直接建立定量决策模型,而是关注如何 描述系统的运行特征 ！
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述 （ 微分差分方程 ）
1,单通道排队系统 （ 排队＋服务 ） 一般运行特征式
1） 服务设施空闲的概率 （ 即：系统中 0 个排队对象的概率 ）
2） 系统中有 n 个排队对象的概率：
3） 排队等待服务的平均对象数：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)4()1(0P
)5()( 0PP nn
)6()(
2
qL
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
1,单通道排队系统 （ 排队＋服务 ） 一般运行特征式
4） 系统中平均对象数：
5） 某对象花在排队等待服务上的平均时间：
6） 某对象花在系统中的平均时间 （ 排队时间＋服务时间 ）,
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)7( qLL
)8(?qq LW?
)9(1 qWW
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
1,单通道排队系统 （ 排队＋服务 ） 一般运行特征式
7） 某到达对象不得不排队等待服务的概率：
8） 注释从方程 （ 10） 可以看出?/? 是由于服务设施没有空闲,使新到达的对象不得不等待的概率,被称为利用率 （ utilization
factor） ；显然,当?/? < 1 时上述 （ 4） 到 （ 10） 公式才有现实的意义 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
)10(wP
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
2,中联公司排队系统运作描述中联公司卡车坞,因为? = 3,? = 4,则?/? ＝ 3/4 < 1,所以可以利用方程 （ 4） 到方程 （ 10） 确定该卡车坞之运行特征,
结果如下：
P0 = 0.25 Lq = 2.25辆 L = 3 辆 Wq = 0.75/小时 /每辆车
W = 1 /小时 /每辆车 Pw = 0.75
可见,（ 1） 卡车在装卸之前平均要等待 W9 ＝ 0.75 小时或 45
分钟,当然令人心烦 ！
（ 2） 等待服务的平均卡车数是 L9 ＝ 2.25 辆；
（ 3） 大约 75％ 的卡车 （ PW ＝ 0.75） 在到达后将不得不先排队再装卸 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
3,描述与决策上述描述结果表明：中联公司应该改善自身的仓库卡车坞系统 ！ 如何决策改善？ 可以先 提出多种可行方案,然后分别予以描述,再比较结果 。 例如,经理无法改变每小时到达率?
＝ 3,但通过采用一系列措施 （ 如增加人手,添加传送带等 ）
可以调整?值,假定各备选方案下有：
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
单位时间 服务率?
不同? 时的系统特征
4 6 8 10
卡车坞空闲的概率 P 0 0,25 0,5 0,62 5 0,7
排队的平均卡车数 L q 2,25 0,5 0,22 5 0,12 9
系统中的平均卡车数 L 3 1 0,6 0,42 9
卡车用来等待的平均小时数 W q 0,75 0,16 7 0,07 5 0,04 3
卡车用在系统中的平均小时数 W 1 0,33 0,2 0,14 3
到达的卡车不得不等待服务的概率 P w 0,75 0,5 0,37 5 0,3
Ling Xueling
三,单通道排队系统的描述
3,描述与决策表列结果可见：当?＝ 6 时,每辆车花费在系统中的平均时间将从 1小时减少到 0.33 小时或 20 分钟；不得不排队等待服务的卡车之百分比会从 75％ 下降到 50％ 。 拥有上述信息后,再加上各种改善措施的附加成本信息,决策应该不是难事 。
第一节 单通道排队系统凌晨,凌晨,
单位时间 服务率?
不同? 时的系统特征
4 6 8 10
卡车坞空闲的概率 P 0 0,25 0,5 0,62 5 0,7
排队的平均卡车数 L q 2,25 0,5 0,22 5 0,12 9
系统中的平均卡车数 L 3 1 0,6 0,42 9
卡车用来等待的平均小时数 W q 0,75 0,16 7 0,07 5 0,04 3
卡车用在系统中的平均小时数 W 1 0,33 0,2 0,14 3
到达的卡车不得不等待服务的概率 P w 0,75 0,5 0,37 5 0,3
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一,多通道排队系统
1,什么是多通道排队系统所谓 多 通道排队系统,是指系统中至少有两个通道或服务位置,如,中国银行新设计的柜台服务系统 。 又如,中联公司的双通道排队系统可以设计成：
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
卡车坞 A卡车到达单队列装 /卸之后卡车离开通道 2
通道 1
卡车坞 B
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一,多通道排队系统
2,对多通道排队系统的假定为描述运行特征,本章对多通道排队系统预设下列假定：
1） 队列有两个或更多个相同的单通道；
2） 整个系统的到达服从 P (? )；
3） 服务时间服从 E(? )；
4） 各单通道的平均服务率? 是相同的 （ 各单通道服务效率基本一致 ） ；
5） 对象到达后以单队列排队等待服务；
6） 队列纪律是先来先得到服务 （ FCFS） 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
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一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征令,K = 通道数；? ＝系统的平均到达数；?＝每一单通道的单位时间服务率,并设? >?,则一般多通道排队系统运行特征是
1） 所有 k 个服务通道均为闲着的概率 （ 即：系统中只有 0 单位服务对象的概率 ）
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)11(
)!1(!
1
1
0
0
kkn
P
k
k
n
n
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一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征
2） 系统中有 n 个服务对象的概率第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)12(,
! 0
时knP
kk
P
kn
n
n
)13(0,
! 0
时knP
n
P
n
n
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一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征
3） 等待服务的平均对象数
4） 系统中的平均对象数第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)14(!1 02 PkkL
k
q
)15( qLL
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一,多通道排队系统
3,多通道排队系统的 运行特征
5） 某对象花费在等待服务上的平均时间
6） 某对象花费在系统中的平均时间
7） 某到达对象不得不排队等待服务的概率第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
)16(? qq Lw?
)17(1 qWW
)18(!1 0Pk kkP
k
w
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二,例子及其计算
1,例子仍然讨论中联公司仓库的卡车坞排队系统 。 假定管理人员希望考虑双通道设计,在决策之前当然希望 先描述 出可能的运行特征
2,系统特征在方程 （ 11） － （ 18） 中分别令 K = 2,? = 3,? ＝ 4,可得特征如下,P 0 = 0.4545 L q = 0.123 辆卡车
L = 0.873 辆卡车 W q = 0.123/3 = 0.041 小时
W = 0.041 + 1/4 = 0.291 小时第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
2 0 4 5.0)4 5 4 5.0(3)4(2 )4(243!21
2
wP
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二,例子及其计算
2,系统特征将结果与单通道系统的相应结果进行比较可以看到：
1） 每车在系统内 （ 等待 +装卸 ） 的平均时间从 1小时降到 W =
0.291（ 17.46分钟 ） ；
2） 排队列的平均长度从 2.25 辆车降至 L q = 0.123 辆；
3） 卡车排队等待的平均时间从 45 分钟降至 Wq = 0.041 小时
（ 2.46 分钟 ） ；
4） 不得不等待服务的卡车之百分比从 75％ 降至 Pw = 0.2045
（ 20.45％ ）
双通道改善系统服务质量的效果是显然的 ！ 但在实施前还应做 投入产出 分析 。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
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三,投入产出分析
1,如何分析借助系统描述的帮助,建立排队系统不同可行方案服务成本模型与被服务对象成本模型,然后将各个总成本及其相互间差异与系统调整成本进行比较,决定取舍
2,系统总成本模型令,C1 ＝每辆卡车的小时成本； L ＝ 系统中的平均卡车数；
C2 ＝ 每一单通道的小时成本； K ＝ 通道数量 。
则,每小时总卡车成本 ＝ C1 L
每小时总通道成本 ＝ C2 K
每小时总成本 ＝ C1 L + C2 K (19)
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
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三,投入产出分析
2,系统总成本模型假定中联公司对成本的估算是,C1 = 25,C2 = 30,利用上列总成本模型可以估算出单通道和双通道系统的总成本如下：
结果告诉我们：单通道改为多通道后 小时成本 将减少,105-
81.83 = 23.17,或成本下降 22％ 。 若每年运行 52 周,每周运行 40 小时的话,每一年的小时成本共可节省 (40)(52)(23.17)
= 48193.60。
第一节 多通道排队系统凌晨,凌晨,
系统系统中平均卡车数每小时总卡车成本通道数每小时总通道成本每小时总成本单通道 3,0 0 ( 2 5 ) 3 = 7 5 1 ( 3 0 ) 1 = 30 1 0 5,0 0
双通道 0,8 7 3 ( 2 5 ) 0,8 7 5 = 2 1,8 3 2 ( 3 0 ) 2 = 60 8 1,8 3
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三,投入产出分析
3,投入产出决策将扩充单通道的投资成本与排队系统总成本进行比较即可上述讨论中其实是假定服务系统 （ 坞 ） 与被服务对象 （ 车 ）
的成本都由中联公司承担,双方利益一致,进行平衡其实并不难 。 但当双方利益不一致,如超市内的排队系统,这种平衡就不是一件容易的事了此时,系统决策者可以先指定一系列服务质量指标,如合理的平均等待时间,从竞争需要出发的一定等待时间之概率,
等等 （ 不是直接衡量被服务对象的成本,而是目标化 ）,再利用排队模型来确定系统的合理设计以实现所提出的服务目标 。
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四,其他排队模型及其模拟
1,其他排队系统现实中,有太多其他种类的排队系统,如公路收费口,食堂排队系统等 。 虽然已经对许多种排队系统,如对象到达是离散变量但不保证任一时刻只有一个到达从而服从多重 Poisson
分布,平均到达数随队列长短而变化,等待服务服务时间不服从指数分布,允许插队现象等系统,都能描述出它们诸如顾客平均排队时间,系统中平均顾客数量,系统空闲时间的百分比等运行特征,但要么超出本课程要求,要么至今尚未有简单的结论收集数据? 估计到达的 分布,服务时间的 分布,并行服务数量 （ 通道数量 ）,队列纪律? 定量描述排队系统? 管理决策,应该成为研究排队系统合乎逻辑的过程 。
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四,其他排队模型及其模拟
2,排队系统的模拟决策者应该设法找出最接近实际问题的模型来,但许多排队问题常常太复杂,若实在无法求出解析模型,利用具有极大灵活性的计算机模拟方法就是明智的选择即使能够获取解析模型,与实际问题之间还是可能有不小的差异 。 例如,当队列变长时,服务人员可能会自动提高工作效率,这样,预先假定服务时间服从参数为? 的指数分布就无法真实反映实际情况 。 此时,决策者应该依然选用指数分布作为一个近似,但同时有必要建立计算机模拟模型对服务人员变化的工作效率进行估算 。
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The End of Chapter 12
