Ling Xueling
Markov 过程是随机过程研究的对象之一运动是世界存在的本质,我们所关注的事物,
对象,目标等等,无不在变化中,其中大多数还处在 随机变化 中探讨随机 运动的趋势,可能的结果,就是
Markov 过程的关注所在重点：掌握 Markov 过程研究问题的思路和方法 。
第十六章 Markov 过程凌晨,凌晨,
Ling Xueling
1,Markov 过程干什么？
虽然,在其任意一个时间周期时运动系统的状态可能都无法完全地 确定,如,17:00 时是否有剩余报纸？
还要研究：在连续的时间周期下,有重复试验的系统之演变 (趋势 ) 之可能结果,如：进 100份报纸,当天能卖完？ 可能性？
与概率论相比,两者都研究无法确定的事物,但概率论研究重点在 特定时间 下系统的 状态本身,而 Markov
过程侧重于 连续时间 周期变化下系统 状态的进化 。
基本概念凌晨,凌晨,
Ling Xueling
2,用处 ( 仅举 4 个方面,后面例子只举 2 个 )
1) 机器在某个周期时处于正常运转状态,则在下一个周期是 正常或不正常 状态之概率是？
2) 顾客在某个周期购买 A 品牌则在下一周期是 买 A
还是 买 B 之概率？
3) 顾客在某个周期进入 A 超市购物则在下一周期进入 A 还是进入 B 之概率？
4) 若将应收帐款按照帐龄分为若干类,则在某一周期属于 可收回 帐目类,在下一周期归于 呆帐 类的概率是？
基本概念凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3,约定 （ 因为本章只作介绍,需要有太多的预备知识,所以只好事先约定 ）
1) 不详细讨论 Markov 过程本身,只从简单例子说明
2) 讨论将限制于－－有 静态 转移概率的 Markov 链,
即：
(1) 系统仅有 有限 个状态；
(2) 转移概率是 常 数；
(3) 某周期的状态概率 仅 决定于紧前周期的状态 。
基本概念凌晨,凌晨,
Ling Xueling
虽然市场份额是由许多顾客之购买行为所决定的,但我们将采用：追踪一个顾客的连续购买行为,以达到研究整个系统之目的 。 所以,以下,系统,常常指,一个顾客,－－因为任意一个,又因为是大量试验,所以被认为可代表 总体一,例子及术语介绍
1,例子假定 1：在一个小镇上仅有两家杂货店 M 和 A； （ 两种 状态 ）
假定 2：每位顾客每周只进行一次采购,要么 M 要么 A,每周不会同时去两家－－从实际出发,此假定是合理的说明,1) 多几家店－－无非多几种状态,此处只为简单方便
2) 以周为周期是个习惯,其实可取平均估计值为周期要研究的 问题,
1) M 和 A 的市场 份额 各为多少？
2) 顾客对 M 和 A 的 忠实度 各为多少？
3) 如果市场份额低的店要搞促销活动，如何定 预算？
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
２,术语将采用跟踪某一位顾客采购行为的方法进行研究
1) 试验－－了解顾客的采购店,一个周期会有一个试验,也就有一个结果
2) 状态－－某周期顾客选定不同店,称为系统的不同状态,此例中,约定：
状态 1,顾客在 M 店购物状态 2,顾客在 A 店购物
3) 状态概率的意义－－购物过程会延续下去,不管能得出什么结论,都不可能事先确定试验结果,
但若能求出某周期两个状态的概率足矣,因为市场份额已可估计得到 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,状态转移概率利用 Markov 过程研究连续试验中不同 状态 的概率,最基本的是先要求得,转移概率
1,调研与转移概率值
1) 市场调研,10 个星期内跟踪任意选定的 100 个人,采集购物数据
2) 数据处理：概率统计方法,注意力集中在顾客对 M 和 A 的转移购物上
3) 假设得出以下的：－－从统计数据可得出 ！！
下一个周期去
M 店 A 店当前周期去 M 店 0.9 0.1
A 店 0.2 0.8
称为 转移概率值 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,状态转移概率
2,关于转移概率的说明
1） 行数据之和＝ 1说明：每行实际给出一个 概率分布
2) 0.9/0.8－－分别是对 M / A 的 忠实度
0.1/0.2－－对 M / A 的 转移特征
3) 在研究的时间段内,假定转移概率不会变,
即：系统无大变化 （ 商业环境相差不大 ）
4) 转移概率值是统计数据得来的 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,状态转移概率
3,转移概率矩阵令,p i j = 某周期 i 状态,下一个周期转移到 j 状态的概率则称为 转移概率矩阵意义：由转移概率矩阵,即可求出系统从某状态向下一个状态转移的概率 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
8.02.0
1.09.0
2221
1211
pp
pp
P
Ling Xueling
三,树形图 研究系统的演变－－ 直观 方法
1,方法系统在第二周去 M (状态 1)的概率,0.81 + 0.02 = 0.83
系统在第二周去 A (状态 2) 的概率,0.09 + 0.08 = 0.17 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,0,9
0,8
0,9
0,1
0,2
0,8
第一周 第二周去 M
去 A
第 0 周第二周之概率
( 0,9 ) ( 0,9 ) = 0,8 1
( 0,9 ) ( 0,1 ) = 0,0 9
( 0,1 ) ( 0,2 ) = 0,0 2
( 0,1 ) ( 0,8 ) = 0,0 8
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三,利用树形图研究系统的演变－－直观方法
2,方法评价
1) 直观,启发了计算公式 (以下 (☆ )式即由此推导获得 )
2) 周期越往后计算越繁难,不现实,故需要建立新的数学方法－－矩阵方法 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法
1,状态概率
1) 定义
πi (n) = 系统在第 n 周期时处于状态 i 概率,称为 状态概率
2) 定义形如 [ π1 (0) π 2 (0) ] 的向量称为 状态概率向量如,[ π1(0) π2(0) ] = [ 1 0 ]－－ 表示顾客上周 （ 或 0周期 ）
(或：当前周之前一周 )是在 M 店购物的
[ π1(n) π2(n) ] 则表示系统在 n 周期之状态概率向量
3) 符号定义
[ π1(n) π2(n) ] 又记为 π(n)
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法
2,系统状态演变的递推公式 ( 从树形图可推得 )
π (n+1) = π(n) P (☆ )
即,π(下一个周期 ) = π(当前周期 ) P
3,系统的实际计算
1) 设 π(0) = [ π1(0) π2 (0) ] = [1 0]－－即第 0 周去 M 店则第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
1.09.08.02.0 1.09.001)0()1(
P
............................
71.083.08.02.0 1.09.01.09.0)1()2(
P
Ling Xueling
四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法反复利用公式 (☆ ),即可得如下 表 (一 )
2) 若令 π(0) = [ π1 (0) π2 (0) ] = [0 1]－－即第 0 周去 A 店则 得下表 (二 )
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
表一状态 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π1(n) 1 0.9 0.83 0.781 0.747 0.723 0.706 0.694 0.686 0 680 0.676
π2(n) 0 0.1 0.17 0.219 0.253 0.277 0.294 0.306 0.314 0.320 0.324
8.02.08.02.0 1.09.010)0()1( P
表二状态 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π1(n) 0 0.2 0.34 0.438 0.507 0.555 0.589 0.612 0.628 0.640 0.648
π2(n) 1 0.8 0.66 0.562 0.493 0.445 0.411 0.388 0.372 0.360 0.352
Ling Xueling
四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法
4,M 和 A 店的市场份额从表一可见：
π1 (n) － → 2/3 = π1
π2 (n) － → 1/3 = π2
注意：从表二可以得到同样的结论 ！ 故,2/3 和 1/3
称为 稳定状态概率结论：如若系统中有 6000 潜在位顾客,且系统长期运转不发生大变化,则大约有 2/3 = 4000 光顾 M
店,1/3 光顾 A 店,这就是二店的市场份额,而不管系统的初始市场份额如何 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
五,促销策略的评价－－以市场份额为基础
1,假设
1) A 店试图发起一轮广告攻势,以吸引更多的来客；
2) 新促销策略有望使得转移概率 （ 估计 ） 值变成
M A
M 0.85 0.15
A 0.2 0.8 －－－ A 之忠实度不变
3) 周平均人利润为 10 元,即：利润＝ 10 元 / 人 / 周
4) 以 6000 人次为总顾客数 （ 销售范围 ） 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
五,促销策略的评价－－以市场份额为基础
2,问题：
如何决定促销 (广告 ) 费用？
3,求新的稳定状态概率 ( 或：市场份额 )
仍由递推公式,π (n+1) = π(n) P
（ 但 P 是新的 ！ ）
得稳定概率,π1 = 0.57
π2 = 0.43
即,A 店的市场份额大约增加 10％ 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
五,促销策略的评价－－以市场份额为基础
4,评价原市场份额下,6000 人大约有 2000 人在 A 店购物新市场份额下,6000 人大约有 2580 人在 A 店购物故：可预期增加利润,5800 元－－也就是促销活动的开支上限。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
零,概念对应收帐款作出 备抵 估计,是财会工作中常遇到的事情,特别是在财会年度结束之际 ---- 因为良性资产与不良资产其实是完全不同的概念 ！
计算机财务软件在我国已得到了极大普及,但其中的绝大多数软件并没有开发支持企业领导决策的功能,
若能对应收帐款利用计算机作出数量方面的分析,作出适当的备抵资金准备及信用策略决策,应是有益的工作 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,应收帐的分类－－总平衡法 ( total balance method )
1,帐龄在各种财务记录中,通常按帐龄对所有应收帐款进行分类,通常作法是：
第一类：已欠 0 － 90 天的应收帐,以下简称 B 类帐第二类：已欠 91－ 360 天的应收帐,以下简称 C 类帐第三类：已欠 361－ 1080 天的应收帐,以下简称 D 类帐呆帐,已欠 1080 天以上
2,约定 ( 帐龄之划分 )
任一客户之欠款可能是多笔,是不同时间分别欠下的,但我们将其 总 欠款归入 最早 所欠款发生的时日之帐龄 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
一,应收帐的分类－总平衡法 (total balance method )
3,帐龄的意义－－为 Markov 介入铺路随着时间推移,每一客户的总欠款量每天都会发生变化－－
类别 变化,还款时也有数量变化－－动态变化 。 即：对欠款而言,
每一个客户－－有一个状态每一元欠款－－都有一个状态二,问题
A 百货店 12.31,时发现共有 500,000 元应收帐款,年度报告中要估计：有？ 最终可以收回,又有？ 最终会成为呆帐？ 以便在年度财务报告中为呆帐作出一个备抵 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,建立数学模型
1,状态追踪应收帐中的一元钱之变化 。
因为公司是连续运作的,所以可将每一天时间作为 Markov 过程的一个试验,则 （ 每 ） 一元钱欠款将动态地存在于下列五种状态之一中：
状态一：已付款 －－ 吸收 状态状态二：呆帐 －－ 吸收 状态状态三,B 类帐状态四,C 类帐状态五,D 类帐说明：每一元钱只要转移到状态一或二时,就不可能再转移到其它状态,且：所有应收款最终都将转移到此二状态之一种－
－吸收状态 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
三,建立数学模型
2,转移概率矩阵设 p i j = 一元钱某一天处于 i 状态随后一天转移到 j 状态的概率则,A 公司根据以往对应收帐款的历史 经验 不难得出如下形式 转移概率矩阵,
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
1.03.03.01.02.0
2.04.01.003.0
02.03.005.0
00010
00001
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
P
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三,建立数学模型
3,数学意义上的问题由 P,要求：每一元钱应收帐款若开始时分别处于状态三,
四或五时,最终将分别吸收于状态 一或二 的概率 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,计算
1,分块令此处,
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
QR
OI
P
QROI,,
000
000
,
10
01
Ling Xueling
四,计算
2,基本矩阵 N
定义,基本矩阵 N = ( I － Q ) － 1
此处可得：
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
31.188.069.0
46.006.249.0
13.059.057.1
N
Ling Xueling
四,计算
3,吸收矩阵
1) 定义,NR 称为 吸收矩阵
2) 此处可得：
3) 意义－－ B,C,D 三类帐可以收回的可能性分别是 0.99 /
0.95 / 0.87,而变成呆帐的可能性 (概率 ) 分别是
0.01 0.05 0.13
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
)(
)(
)(
13.087.0
05.095.0
01.099.0
类两种吸收之可能类两种吸收之可能类两种吸收之可能
D
C
B
NR
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五,建立可疑帐的备抵
1,假设在当前试验周,总应收帐款 500,000 中
100,000 －－ B 类－－状态三
200,000 －－ C 类－－状态四
200,000－－ D 类－－状态五
2,计算因为,(100,000 200,000 200,000) NR = ( 463,000 37,000)
所以：可以预期总应收帐款中大约有 463,000 元可以收回,
而大约有 37,000 元将变为呆帐－－这需要为 37,000 元可疑帐建立备抵 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
六,新信用策略的建立及其评估
1,新信用策略－－为降低呆帐数量而设计已知,B,C,D 三类帐变成呆帐的可能性 (概率 ) 分别是
0.01 0.05 0.13
考虑：为降低呆帐数量,拟建立一套新信用制度－－对付款作出一定的 折扣问题：在采用新信用制度之前,当要先予以评估 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
六,新信用策略的建立及其评估
2,新转移概率阵对新信用制度进行仔细研究之后,假设有关部门得出下列 新的转移 概率阵：
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
11
1
1
1.02.04.01.02.0
2.03.01.004.0
01.02.007.0
00010
00001
QR
OI
P
Ling Xueling
六,新信用策略的建立及其评估
3,计算新基本阵是：
新吸收阵是：
新吸收数量是：
(100,000 200,000 200,000 ) R1 = ( 468,352 31,648 )
= (可收回 呆帐 )
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
1111
21.144.066.0
35.058.137.0
04.02.03.1
QIN
121.0879.0
035.0965.0
004.0996.0
11 RN
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六,新信用策略的建立及其评估
4,评估新信用制度可使呆帐大约减少 37,000－ 31,648 = 5,352
与总应收款 (500,000) 相比,可使 呆帐计提下降 1％ 多一些故,所有在新信用策略下发生的成本 (含新的折扣等等 )
不应超过总应收款的 1％,方可使 A 公司之利润有所增加 。 即,新成本 ≤0.01(总欠帐 )
5,说明只要能仔细研究历史数据 /转移概率阵,以上方法不难在计算机上实现,可以帮助我们在对付应收帐款时多一种定量化决策方法 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
The End of Chapter 16
Markov 过程是随机过程研究的对象之一运动是世界存在的本质,我们所关注的事物,
对象,目标等等,无不在变化中,其中大多数还处在 随机变化 中探讨随机 运动的趋势,可能的结果,就是
Markov 过程的关注所在重点：掌握 Markov 过程研究问题的思路和方法 。
第十六章 Markov 过程凌晨,凌晨,
Ling Xueling
1,Markov 过程干什么？
虽然,在其任意一个时间周期时运动系统的状态可能都无法完全地 确定,如,17:00 时是否有剩余报纸？
还要研究：在连续的时间周期下,有重复试验的系统之演变 (趋势 ) 之可能结果,如：进 100份报纸,当天能卖完？ 可能性？
与概率论相比,两者都研究无法确定的事物,但概率论研究重点在 特定时间 下系统的 状态本身,而 Markov
过程侧重于 连续时间 周期变化下系统 状态的进化 。
基本概念凌晨,凌晨,
Ling Xueling
2,用处 ( 仅举 4 个方面,后面例子只举 2 个 )
1) 机器在某个周期时处于正常运转状态,则在下一个周期是 正常或不正常 状态之概率是？
2) 顾客在某个周期购买 A 品牌则在下一周期是 买 A
还是 买 B 之概率？
3) 顾客在某个周期进入 A 超市购物则在下一周期进入 A 还是进入 B 之概率？
4) 若将应收帐款按照帐龄分为若干类,则在某一周期属于 可收回 帐目类,在下一周期归于 呆帐 类的概率是？
基本概念凌晨,凌晨,
Ling Xueling
3,约定 （ 因为本章只作介绍,需要有太多的预备知识,所以只好事先约定 ）
1) 不详细讨论 Markov 过程本身,只从简单例子说明
2) 讨论将限制于－－有 静态 转移概率的 Markov 链,
即：
(1) 系统仅有 有限 个状态；
(2) 转移概率是 常 数；
(3) 某周期的状态概率 仅 决定于紧前周期的状态 。
基本概念凌晨,凌晨,
Ling Xueling
虽然市场份额是由许多顾客之购买行为所决定的,但我们将采用：追踪一个顾客的连续购买行为,以达到研究整个系统之目的 。 所以,以下,系统,常常指,一个顾客,－－因为任意一个,又因为是大量试验,所以被认为可代表 总体一,例子及术语介绍
1,例子假定 1：在一个小镇上仅有两家杂货店 M 和 A； （ 两种 状态 ）
假定 2：每位顾客每周只进行一次采购,要么 M 要么 A,每周不会同时去两家－－从实际出发,此假定是合理的说明,1) 多几家店－－无非多几种状态,此处只为简单方便
2) 以周为周期是个习惯,其实可取平均估计值为周期要研究的 问题,
1) M 和 A 的市场 份额 各为多少？
2) 顾客对 M 和 A 的 忠实度 各为多少？
3) 如果市场份额低的店要搞促销活动，如何定 预算？
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
２,术语将采用跟踪某一位顾客采购行为的方法进行研究
1) 试验－－了解顾客的采购店,一个周期会有一个试验,也就有一个结果
2) 状态－－某周期顾客选定不同店,称为系统的不同状态,此例中,约定：
状态 1,顾客在 M 店购物状态 2,顾客在 A 店购物
3) 状态概率的意义－－购物过程会延续下去,不管能得出什么结论,都不可能事先确定试验结果,
但若能求出某周期两个状态的概率足矣,因为市场份额已可估计得到 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,状态转移概率利用 Markov 过程研究连续试验中不同 状态 的概率,最基本的是先要求得,转移概率
1,调研与转移概率值
1) 市场调研,10 个星期内跟踪任意选定的 100 个人,采集购物数据
2) 数据处理：概率统计方法,注意力集中在顾客对 M 和 A 的转移购物上
3) 假设得出以下的：－－从统计数据可得出 ！！
下一个周期去
M 店 A 店当前周期去 M 店 0.9 0.1
A 店 0.2 0.8
称为 转移概率值 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,状态转移概率
2,关于转移概率的说明
1） 行数据之和＝ 1说明：每行实际给出一个 概率分布
2) 0.9/0.8－－分别是对 M / A 的 忠实度
0.1/0.2－－对 M / A 的 转移特征
3) 在研究的时间段内,假定转移概率不会变,
即：系统无大变化 （ 商业环境相差不大 ）
4) 转移概率值是统计数据得来的 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
二,状态转移概率
3,转移概率矩阵令,p i j = 某周期 i 状态,下一个周期转移到 j 状态的概率则称为 转移概率矩阵意义：由转移概率矩阵,即可求出系统从某状态向下一个状态转移的概率 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
8.02.0
1.09.0
2221
1211
pp
pp
P
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三,树形图 研究系统的演变－－ 直观 方法
1,方法系统在第二周去 M (状态 1)的概率,0.81 + 0.02 = 0.83
系统在第二周去 A (状态 2) 的概率,0.09 + 0.08 = 0.17 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,0,9
0,8
0,9
0,1
0,2
0,8
第一周 第二周去 M
去 A
第 0 周第二周之概率
( 0,9 ) ( 0,9 ) = 0,8 1
( 0,9 ) ( 0,1 ) = 0,0 9
( 0,1 ) ( 0,2 ) = 0,0 2
( 0,1 ) ( 0,8 ) = 0,0 8
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三,利用树形图研究系统的演变－－直观方法
2,方法评价
1) 直观,启发了计算公式 (以下 (☆ )式即由此推导获得 )
2) 周期越往后计算越繁难,不现实,故需要建立新的数学方法－－矩阵方法 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法
1,状态概率
1) 定义
πi (n) = 系统在第 n 周期时处于状态 i 概率,称为 状态概率
2) 定义形如 [ π1 (0) π 2 (0) ] 的向量称为 状态概率向量如,[ π1(0) π2(0) ] = [ 1 0 ]－－ 表示顾客上周 （ 或 0周期 ）
(或：当前周之前一周 )是在 M 店购物的
[ π1(n) π2(n) ] 则表示系统在 n 周期之状态概率向量
3) 符号定义
[ π1(n) π2(n) ] 又记为 π(n)
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法
2,系统状态演变的递推公式 ( 从树形图可推得 )
π (n+1) = π(n) P (☆ )
即,π(下一个周期 ) = π(当前周期 ) P
3,系统的实际计算
1) 设 π(0) = [ π1(0) π2 (0) ] = [1 0]－－即第 0 周去 M 店则第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
1.09.08.02.0 1.09.001)0()1(
P
............................
71.083.08.02.0 1.09.01.09.0)1()2(
P
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四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法反复利用公式 (☆ ),即可得如下 表 (一 )
2) 若令 π(0) = [ π1 (0) π2 (0) ] = [0 1]－－即第 0 周去 A 店则 得下表 (二 )
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
表一状态 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π1(n) 1 0.9 0.83 0.781 0.747 0.723 0.706 0.694 0.686 0 680 0.676
π2(n) 0 0.1 0.17 0.219 0.253 0.277 0.294 0.306 0.314 0.320 0.324
8.02.08.02.0 1.09.010)0()1( P
表二状态 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π1(n) 0 0.2 0.34 0.438 0.507 0.555 0.589 0.612 0.628 0.640 0.648
π2(n) 1 0.8 0.66 0.562 0.493 0.445 0.411 0.388 0.372 0.360 0.352
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四,矩阵运算研究系统的演变－－代数方法
4,M 和 A 店的市场份额从表一可见：
π1 (n) － → 2/3 = π1
π2 (n) － → 1/3 = π2
注意：从表二可以得到同样的结论 ！ 故,2/3 和 1/3
称为 稳定状态概率结论：如若系统中有 6000 潜在位顾客,且系统长期运转不发生大变化,则大约有 2/3 = 4000 光顾 M
店,1/3 光顾 A 店,这就是二店的市场份额,而不管系统的初始市场份额如何 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
五,促销策略的评价－－以市场份额为基础
1,假设
1) A 店试图发起一轮广告攻势,以吸引更多的来客；
2) 新促销策略有望使得转移概率 （ 估计 ） 值变成
M A
M 0.85 0.15
A 0.2 0.8 －－－ A 之忠实度不变
3) 周平均人利润为 10 元,即：利润＝ 10 元 / 人 / 周
4) 以 6000 人次为总顾客数 （ 销售范围 ） 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
五,促销策略的评价－－以市场份额为基础
2,问题：
如何决定促销 (广告 ) 费用？
3,求新的稳定状态概率 ( 或：市场份额 )
仍由递推公式,π (n+1) = π(n) P
（ 但 P 是新的 ！ ）
得稳定概率,π1 = 0.57
π2 = 0.43
即,A 店的市场份额大约增加 10％ 。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
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五,促销策略的评价－－以市场份额为基础
4,评价原市场份额下,6000 人大约有 2000 人在 A 店购物新市场份额下,6000 人大约有 2580 人在 A 店购物故：可预期增加利润,5800 元－－也就是促销活动的开支上限。
第一节 市场份额分析凌晨,凌晨,
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零,概念对应收帐款作出 备抵 估计,是财会工作中常遇到的事情,特别是在财会年度结束之际 ---- 因为良性资产与不良资产其实是完全不同的概念 ！
计算机财务软件在我国已得到了极大普及,但其中的绝大多数软件并没有开发支持企业领导决策的功能,
若能对应收帐款利用计算机作出数量方面的分析,作出适当的备抵资金准备及信用策略决策,应是有益的工作 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
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一,应收帐的分类－－总平衡法 ( total balance method )
1,帐龄在各种财务记录中,通常按帐龄对所有应收帐款进行分类,通常作法是：
第一类：已欠 0 － 90 天的应收帐,以下简称 B 类帐第二类：已欠 91－ 360 天的应收帐,以下简称 C 类帐第三类：已欠 361－ 1080 天的应收帐,以下简称 D 类帐呆帐,已欠 1080 天以上
2,约定 ( 帐龄之划分 )
任一客户之欠款可能是多笔,是不同时间分别欠下的,但我们将其 总 欠款归入 最早 所欠款发生的时日之帐龄 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
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一,应收帐的分类－总平衡法 (total balance method )
3,帐龄的意义－－为 Markov 介入铺路随着时间推移,每一客户的总欠款量每天都会发生变化－－
类别 变化,还款时也有数量变化－－动态变化 。 即：对欠款而言,
每一个客户－－有一个状态每一元欠款－－都有一个状态二,问题
A 百货店 12.31,时发现共有 500,000 元应收帐款,年度报告中要估计：有？ 最终可以收回,又有？ 最终会成为呆帐？ 以便在年度财务报告中为呆帐作出一个备抵 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
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三,建立数学模型
1,状态追踪应收帐中的一元钱之变化 。
因为公司是连续运作的,所以可将每一天时间作为 Markov 过程的一个试验,则 （ 每 ） 一元钱欠款将动态地存在于下列五种状态之一中：
状态一：已付款 －－ 吸收 状态状态二：呆帐 －－ 吸收 状态状态三,B 类帐状态四,C 类帐状态五,D 类帐说明：每一元钱只要转移到状态一或二时,就不可能再转移到其它状态,且：所有应收款最终都将转移到此二状态之一种－
－吸收状态 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
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三,建立数学模型
2,转移概率矩阵设 p i j = 一元钱某一天处于 i 状态随后一天转移到 j 状态的概率则,A 公司根据以往对应收帐款的历史 经验 不难得出如下形式 转移概率矩阵,
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
1.03.03.01.02.0
2.04.01.003.0
02.03.005.0
00010
00001
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
P
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三,建立数学模型
3,数学意义上的问题由 P,要求：每一元钱应收帐款若开始时分别处于状态三,
四或五时,最终将分别吸收于状态 一或二 的概率 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
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四,计算
1,分块令此处,
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
QR
OI
P
QROI,,
000
000
,
10
01
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四,计算
2,基本矩阵 N
定义,基本矩阵 N = ( I － Q ) － 1
此处可得：
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
31.188.069.0
46.006.249.0
13.059.057.1
N
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四,计算
3,吸收矩阵
1) 定义,NR 称为 吸收矩阵
2) 此处可得：
3) 意义－－ B,C,D 三类帐可以收回的可能性分别是 0.99 /
0.95 / 0.87,而变成呆帐的可能性 (概率 ) 分别是
0.01 0.05 0.13
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
)(
)(
)(
13.087.0
05.095.0
01.099.0
类两种吸收之可能类两种吸收之可能类两种吸收之可能
D
C
B
NR
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五,建立可疑帐的备抵
1,假设在当前试验周,总应收帐款 500,000 中
100,000 －－ B 类－－状态三
200,000 －－ C 类－－状态四
200,000－－ D 类－－状态五
2,计算因为,(100,000 200,000 200,000) NR = ( 463,000 37,000)
所以：可以预期总应收帐款中大约有 463,000 元可以收回,
而大约有 37,000 元将变为呆帐－－这需要为 37,000 元可疑帐建立备抵 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
六,新信用策略的建立及其评估
1,新信用策略－－为降低呆帐数量而设计已知,B,C,D 三类帐变成呆帐的可能性 (概率 ) 分别是
0.01 0.05 0.13
考虑：为降低呆帐数量,拟建立一套新信用制度－－对付款作出一定的 折扣问题：在采用新信用制度之前,当要先予以评估 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
Ling Xueling
六,新信用策略的建立及其评估
2,新转移概率阵对新信用制度进行仔细研究之后,假设有关部门得出下列 新的转移 概率阵：
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
11
1
1
1.02.04.01.02.0
2.03.01.004.0
01.02.007.0
00010
00001
QR
OI
P
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六,新信用策略的建立及其评估
3,计算新基本阵是：
新吸收阵是：
新吸收数量是：
(100,000 200,000 200,000 ) R1 = ( 468,352 31,648 )
= (可收回 呆帐 )
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
1111
21.144.066.0
35.058.137.0
04.02.03.1
QIN
121.0879.0
035.0965.0
004.0996.0
11 RN
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六,新信用策略的建立及其评估
4,评估新信用制度可使呆帐大约减少 37,000－ 31,648 = 5,352
与总应收款 (500,000) 相比,可使 呆帐计提下降 1％ 多一些故,所有在新信用策略下发生的成本 (含新的折扣等等 )
不应超过总应收款的 1％,方可使 A 公司之利润有所增加 。 即,新成本 ≤0.01(总欠帐 )
5,说明只要能仔细研究历史数据 /转移概率阵,以上方法不难在计算机上实现,可以帮助我们在对付应收帐款时多一种定量化决策方法 。
第二节 应收账分析凌晨,凌晨,
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The End of Chapter 16
