第一章 晶体结构与晶体结合
Crystal Structure and bonding
2.0 引言
null 晶体结构
null 晶体衍射
null 倒易点阵一、基本内容二、学习要点
null 布拉菲格子及布拉菲单胞
null 布拉格方程
null 倒易点阵及布里渊区
2.1 点阵与元胞
null 基元：组成晶体的最小单元。
null 布拉非格子（点阵），晶体一定具有平移周期性在每个基元里找一个点，使他们具备完全相同的物理、化学和几何环境，即等同点。
null 晶体＝基元＋布拉菲点阵。
基元的规则排列基元的规则排列布拉非格子布拉非格子一、布拉菲点阵
1.1 点阵与元胞
null 基矢 a
1
,a
2
,a
3
：
（ 1） 起点，终点必须落在阵点上。
（ 2） a
1
,a
2
,a
3
不共面。
（ 3）基矢上不能有阵点 。
任何一个阵点的位置矢量都可以写为：
R
m
=m
1
a
1
+m
2
a
2
+m
3
a
3
(m
1
,m
2
,m
3
为整数 )
二、基矢和元胞
null 元胞：由 a
1
,a
2
,a
3
组成的平行六面体原胞的体积,V
c
=a
1
(a
2
× a
3
)
null 元胞不是唯一的元胞选取的不唯一性
1.1 点阵与元胞元胞选取的不唯一性
1.2 晶体的宏观对称性
null 对晶体施加某种几何操作后，晶体可以完全复原的性质，称为晶体的对称性，这种几何操作为对称操作。
null 在晶体对称操作过程中，若至少有一点保持不变，这种对称操作称为点对称操作，
晶体的这种对称性称为点对称性或宏观对称性对称图形举例
1.2 晶体的宏观对称性与布拉菲单胞一、旋转对称性若晶体经过 2 π／ n旋转后复原，称晶体有 n次旋转对称性。该转轴称为 n次旋转对称轴,n=1,2,3,4,6
n= 1,平庸对称性，单位对称操作，所有晶体均具有的对称性
n= 2:
n= 3:
n= 4:
n= 6:
1.2 晶体的宏观对称性与布拉菲单胞一、旋转对称性
1.2 晶体的宏观对称性二、反演对称性如果以某点为原点，令 r→- r 的操作为反演操作，晶体复原。
三、镜面对称四、旋转反演对称先作旋转，再作反演，晶体重合。
对某个平面对晶体进行镜面反映，晶体复原
1.2 晶体的宏观对称性
1.3 布拉菲单胞二、布拉菲晶胞
1,晶胞的对称性和晶体的对称性一样。
2,晶胞（六面体）的棱要尽可能的垂直。
晶胞常数,a,b,c 的长度 a,b,c
α ＝（ b,c） β =(c,a) γ =(a,b)
3,晶胞体积要尽可能的小。（在1，2基础上）
a
b
c
αβ
γ
1.3 布拉菲单胞上述原则加对称性决定所有晶体有七个晶系14种布拉非晶胞：
① a=b=c,α =β =γ =90°：立方晶系三种点阵：
P－初级点阵,I－体心点阵 BCC,F－面心点阵 FCC
② a＝ b≠ c,α =β =γ =90°,四方晶系（正方晶系）：
P－初级点阵,I－体心点阵 BCC
③ a≠ b≠ c，α =β =γ =90°：正交晶系，
有 P,I,F及 C点阵。
④ a≠ b≠ c，α =β = 90°，γ =120°：六方晶系：
只有初级点阵 P，无含心点阵。
⑤ a=b=c,α =β =γ≠ 90°,三方晶系（或菱方）：
只有 P点阵。
⑥ a＝ b≠ c，α≠β≠γ：单斜晶系
P和 C心点阵
⑦ a≠ b≠ c，α≠β≠γ：三斜晶系二、布拉菲晶胞
1.3 布拉菲单胞二、布拉菲晶胞体心立方晶体的原胞
)(
2
1
kji
a
a
v
v
r
v
++?=
)(
2
2
kji
a
a
v
vv
v
+?=
)(
2
3
kji
a
a
v
vv
v
+=
体积
3
2
1
aV =
结点数
1
1.4 元胞与单胞的关系基矢面心立方晶体的原胞
1.4 元胞与单胞的关系基矢体积结点数
1
)(
2
1
kj
a
a
v
v
v
+=
)(
2
2
ki
a
a
v
v
v
+=
)(
2
3
ji
a
a
vv
v
+=
3
4
1
aV =
1.5 实际晶体举例
1.5 实际晶体举例一、金属密堆积结构
Mg,Co等
Al,Ag,Cu,Au等
Fe,Mo等不同颜色代表堆垛次序
1.5 实际晶体举例二,CsCl结构
1.5 实际晶体举例三,NaCl结构
1.5 实际晶体举例四、金钢石
A类碳原子的共价键方向 B类碳原子的共价键方向
1.5 实际晶体举例四、金钢石
1.5 实际晶体举例五、闪锌矿结构
1.6 晶体的结合一、晶体结合的一般性质
（一）斥力的来源核排斥力泡利斥力：满壳层中负电荷间的排斥
（二）引力库仑吸引，
但不同晶体引力（键）的形式差别很大斥力高度短程，引力是长程的。
Type of bonding Binding energy
Ionic 4-14 eV
Covalent 1-10 eV
Metallic 0.7-6 eV
Hydrogen bond 0.1-0.5 eV
van der Waals 0.02-0.3 eV
1.6 晶体的结合 -化学键的分类
1.6 晶体的结合晶体组成结合力结合力特性晶体特性离子晶体正、负离子库仑吸引力
（离子键）
无方向性无饱和性硬度高、熔点高、
性脆、电子导电性弱共价晶体原子共价键有方向性有饱和性硬度高、熔点高、沸点高、
不溶于所有寻常液体
1.6 晶体的结合晶体组成结合力结合力特性晶体特性金属晶体原子实、价电子金属键有明显方向性有饱和性具有导电性、导热性、
金属光泽分子晶体电中性的无极分子范德瓦耳斯力
（范德瓦耳斯键）
无方向性无饱和性熔点低、硬度低、
导电性差
1.6 晶体的结合
γ is called Madelung constant,It depends upon the structure.
离子晶体
1.6 晶体的结合氢键晶体
1.6 晶体的结合共价晶体
1.6 晶体的结合金属晶体
1.7 倒格子与晶体衍射
123
HKL= ++Gbbb
Vc
aa
b
32
1
2
rr
r
×
= π
Vc
aa
b
13
2
2
rr
r
×
= π
Vc
aa
b
21
3
2
rr
r
×
= π
基矢倒易空间基本矢量,b
1
,b
2
,b
3
,用 b
1
,b
2
,b
3
构造一个倒易单胞 单胞空间重复即为倒易点阵－倒格子。
一、倒易空间定义倒格子倒易矢量容易证明：
2
ij ij
πδ? =ab
1.7 倒格子与晶体衍射二、定理一
123
HKL=++Gbbb
满足以下性质
G⊥（ HKL）,G＝ 2π/d
HKL
证明
OA=a
1
/H,OB=a
2
/K,OC=a
3
/L,
AB=OB-OA=a
2
/K-a
1
/H
BC=OC-OB=a
3
/L-a
2
/L,
G ·AB=(Hb
1
+Kb
2
+Lb
3
)·(a
2
/K-a
1
/H)=0
即 G⊥ AB
同理 G⊥ BC
因此,G⊥ (HKL)
1231
2
hkl
HKL
dOA
GH G G
π+ +
=?=? =
bbbaG
O
a
1
a
2
a
3
A
B
C
(HKL)面
1.7 倒格子与晶体衍射二维倒易点阵举例第一布氏区：
最短倒格矢垂直平分线构成的区域第二布氏区：
最短和次短倒格矢垂直平分线共同围成的区域三、布里渊区由倒格矢垂直平分面相互围成的区域－布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.8 晶体衍射一,Bragg方程
2sin (1,2,3)
2sin
2sin (,,)
hkl
hkl
HKL
dnn
d
n
d H nh K nk L nl
θ λ
θλ
θλ
= =
=
====
L
θ
θ
d
（ hkl）
1.8 晶体衍射
（ hkl）
k
0
k
G
G
k
0
布里渊区边界
( )
0
22
0
22 2
2
0
2
2
kk
kG k
G
=
=
= +?+
=
kk G
kG
kG
当 波矢 落在布氏区边界上时，满足Bragg方程。
二,Bragg方程的几何解释
Crystal Structure and bonding
2.0 引言
null 晶体结构
null 晶体衍射
null 倒易点阵一、基本内容二、学习要点
null 布拉菲格子及布拉菲单胞
null 布拉格方程
null 倒易点阵及布里渊区
2.1 点阵与元胞
null 基元：组成晶体的最小单元。
null 布拉非格子（点阵），晶体一定具有平移周期性在每个基元里找一个点，使他们具备完全相同的物理、化学和几何环境，即等同点。
null 晶体＝基元＋布拉菲点阵。
基元的规则排列基元的规则排列布拉非格子布拉非格子一、布拉菲点阵
1.1 点阵与元胞
null 基矢 a
1
,a
2
,a
3
：
（ 1） 起点，终点必须落在阵点上。
（ 2） a
1
,a
2
,a
3
不共面。
（ 3）基矢上不能有阵点 。
任何一个阵点的位置矢量都可以写为：
R
m
=m
1
a
1
+m
2
a
2
+m
3
a
3
(m
1
,m
2
,m
3
为整数 )
二、基矢和元胞
null 元胞：由 a
1
,a
2
,a
3
组成的平行六面体原胞的体积,V
c
=a
1
(a
2
× a
3
)
null 元胞不是唯一的元胞选取的不唯一性
1.1 点阵与元胞元胞选取的不唯一性
1.2 晶体的宏观对称性
null 对晶体施加某种几何操作后，晶体可以完全复原的性质，称为晶体的对称性，这种几何操作为对称操作。
null 在晶体对称操作过程中，若至少有一点保持不变，这种对称操作称为点对称操作，
晶体的这种对称性称为点对称性或宏观对称性对称图形举例
1.2 晶体的宏观对称性与布拉菲单胞一、旋转对称性若晶体经过 2 π／ n旋转后复原，称晶体有 n次旋转对称性。该转轴称为 n次旋转对称轴,n=1,2,3,4,6
n= 1,平庸对称性，单位对称操作，所有晶体均具有的对称性
n= 2:
n= 3:
n= 4:
n= 6:
1.2 晶体的宏观对称性与布拉菲单胞一、旋转对称性
1.2 晶体的宏观对称性二、反演对称性如果以某点为原点，令 r→- r 的操作为反演操作，晶体复原。
三、镜面对称四、旋转反演对称先作旋转，再作反演，晶体重合。
对某个平面对晶体进行镜面反映，晶体复原
1.2 晶体的宏观对称性
1.3 布拉菲单胞二、布拉菲晶胞
1,晶胞的对称性和晶体的对称性一样。
2,晶胞（六面体）的棱要尽可能的垂直。
晶胞常数,a,b,c 的长度 a,b,c
α ＝（ b,c） β =(c,a) γ =(a,b)
3,晶胞体积要尽可能的小。（在1，2基础上）
a
b
c
αβ
γ
1.3 布拉菲单胞上述原则加对称性决定所有晶体有七个晶系14种布拉非晶胞：
① a=b=c,α =β =γ =90°：立方晶系三种点阵：
P－初级点阵,I－体心点阵 BCC,F－面心点阵 FCC
② a＝ b≠ c,α =β =γ =90°,四方晶系（正方晶系）：
P－初级点阵,I－体心点阵 BCC
③ a≠ b≠ c，α =β =γ =90°：正交晶系，
有 P,I,F及 C点阵。
④ a≠ b≠ c，α =β = 90°，γ =120°：六方晶系：
只有初级点阵 P，无含心点阵。
⑤ a=b=c,α =β =γ≠ 90°,三方晶系（或菱方）：
只有 P点阵。
⑥ a＝ b≠ c，α≠β≠γ：单斜晶系
P和 C心点阵
⑦ a≠ b≠ c，α≠β≠γ：三斜晶系二、布拉菲晶胞
1.3 布拉菲单胞二、布拉菲晶胞体心立方晶体的原胞
)(
2
1
kji
a
a
v
v
r
v
++?=
)(
2
2
kji
a
a
v
vv
v
+?=
)(
2
3
kji
a
a
v
vv
v
+=
体积
3
2
1
aV =
结点数
1
1.4 元胞与单胞的关系基矢面心立方晶体的原胞
1.4 元胞与单胞的关系基矢体积结点数
1
)(
2
1
kj
a
a
v
v
v
+=
)(
2
2
ki
a
a
v
v
v
+=
)(
2
3
ji
a
a
vv
v
+=
3
4
1
aV =
1.5 实际晶体举例
1.5 实际晶体举例一、金属密堆积结构
Mg,Co等
Al,Ag,Cu,Au等
Fe,Mo等不同颜色代表堆垛次序
1.5 实际晶体举例二,CsCl结构
1.5 实际晶体举例三,NaCl结构
1.5 实际晶体举例四、金钢石
A类碳原子的共价键方向 B类碳原子的共价键方向
1.5 实际晶体举例四、金钢石
1.5 实际晶体举例五、闪锌矿结构
1.6 晶体的结合一、晶体结合的一般性质
（一）斥力的来源核排斥力泡利斥力：满壳层中负电荷间的排斥
（二）引力库仑吸引，
但不同晶体引力（键）的形式差别很大斥力高度短程，引力是长程的。
Type of bonding Binding energy
Ionic 4-14 eV
Covalent 1-10 eV
Metallic 0.7-6 eV
Hydrogen bond 0.1-0.5 eV
van der Waals 0.02-0.3 eV
1.6 晶体的结合 -化学键的分类
1.6 晶体的结合晶体组成结合力结合力特性晶体特性离子晶体正、负离子库仑吸引力
（离子键）
无方向性无饱和性硬度高、熔点高、
性脆、电子导电性弱共价晶体原子共价键有方向性有饱和性硬度高、熔点高、沸点高、
不溶于所有寻常液体
1.6 晶体的结合晶体组成结合力结合力特性晶体特性金属晶体原子实、价电子金属键有明显方向性有饱和性具有导电性、导热性、
金属光泽分子晶体电中性的无极分子范德瓦耳斯力
（范德瓦耳斯键）
无方向性无饱和性熔点低、硬度低、
导电性差
1.6 晶体的结合
γ is called Madelung constant,It depends upon the structure.
离子晶体
1.6 晶体的结合氢键晶体
1.6 晶体的结合共价晶体
1.6 晶体的结合金属晶体
1.7 倒格子与晶体衍射
123
HKL= ++Gbbb
Vc
aa
b
32
1
2
rr
r
×
= π
Vc
aa
b
13
2
2
rr
r
×
= π
Vc
aa
b
21
3
2
rr
r
×
= π
基矢倒易空间基本矢量,b
1
,b
2
,b
3
,用 b
1
,b
2
,b
3
构造一个倒易单胞 单胞空间重复即为倒易点阵－倒格子。
一、倒易空间定义倒格子倒易矢量容易证明：
2
ij ij
πδ? =ab
1.7 倒格子与晶体衍射二、定理一
123
HKL=++Gbbb
满足以下性质
G⊥（ HKL）,G＝ 2π/d
HKL
证明
OA=a
1
/H,OB=a
2
/K,OC=a
3
/L,
AB=OB-OA=a
2
/K-a
1
/H
BC=OC-OB=a
3
/L-a
2
/L,
G ·AB=(Hb
1
+Kb
2
+Lb
3
)·(a
2
/K-a
1
/H)=0
即 G⊥ AB
同理 G⊥ BC
因此,G⊥ (HKL)
1231
2
hkl
HKL
dOA
GH G G
π+ +
=?=? =
bbbaG
O
a
1
a
2
a
3
A
B
C
(HKL)面
1.7 倒格子与晶体衍射二维倒易点阵举例第一布氏区：
最短倒格矢垂直平分线构成的区域第二布氏区：
最短和次短倒格矢垂直平分线共同围成的区域三、布里渊区由倒格矢垂直平分面相互围成的区域－布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.7 倒格子与晶体衍射三、布里渊区
1.8 晶体衍射一,Bragg方程
2sin (1,2,3)
2sin
2sin (,,)
hkl
hkl
HKL
dnn
d
n
d H nh K nk L nl
θ λ
θλ
θλ
= =
=
====
L
θ
θ
d
（ hkl）
1.8 晶体衍射
（ hkl）
k
0
k
G
G
k
0
布里渊区边界
( )
0
22
0
22 2
2
0
2
2
kk
kG k
G
=
=
= +?+
=
kk G
kG
kG
当 波矢 落在布氏区边界上时，满足Bragg方程。
二,Bragg方程的几何解释
