第四章 能带理论
Energy Bond Theory
4.0 引言
null 单电子近似的基本思想
null 布洛赫定理
null 金属自由电子的空晶格模型
null 能带的一般性
null 电子在外场中的运动
null 金属、半导体、绝缘体能带的差别一、基本内容二、学习要点熟练掌握以下内容
null 布洛赫定理及能带的一般性
null 能带的起因的物理解释，能带的一般特点
null 固体导电性与能带结构的关系
4.1 单电子近似一、复杂性的起源－多体问题问题：这个方程如何求解问题：这个方程如何求解?
即便这个方程解存在，有意义吗？即便这个方程解存在，有意义吗？
晶体的总哈密顿量薛定谔方程
12 12 12 12
(,,,) (,,,)
aa
NNe NNe
HE=RR R rr r RR R rr rLL LL
4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似问题：绝热近似后，电子体系的哈密顿中含有电子坐标的交叉项，薛定谔方程依然不能求解困难依旧在困难依旧在
4.1 单电子近似三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似电子在周期势场中运动若可以找到近似的势函数，使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为：
2
2
[()]
2
jj
j
e
HV
m
=+
∑
r
h
2
2
12 12
[()](,)(,)
2
jj NN
j
e
VE
m
+ =
∑
rrrr rrr
h
分离变量求解，获得 N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程，多电子问题化简为单电子问题
4.1 单电子近似三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似单电子周期势场示意图
4.2 布洛赫（ Bloch）定理一,Bloch定理内容
rk
rr
=
i
kk
eu )()(?
u
k
(r),与晶格平移周期一致的周期函数
11 2 2 33 1 2 3
() ( )
(,,)
kkl
l
uu
ll l lll
=+
=++
rrR
Raaa
为整数价电子的基本特征：
1,价电子的局域性
2,价电子的非局域性
null 晶体中价电子可用被周期调制的自由电子波函数描述
null 周期函数反映了电子的局域特性
null 自由电子波函数反映了电子的非局域特性二,Bloch定理的物理理解
4.2 布洛赫（ Bloch）定理晶体具有平移周期性
|?|
2
必然具有同晶体一致的周期性
u
k
(r)必然具有 同晶体一致的 周期性波函数可以有任意常复数因子二,Bloch定理的物理理解
4.2 布洛赫（ Bloch）定理布洛赫波示意图三,Bloch定理的严格证明
4.2 布洛赫（ Bloch）定理
()() ( )Tf f= +R rrR
[,]0HT=
平移算子和哈密顿可以有相同的本证函数，设平移算子的本证函数为,C(R)
引进平移算符
()
() ()
()
()
i
i
ue
e
u
+
+= +
=
=
krR
kr
rR rR
r
r
四、波矢 k的物理意义
4.2 布洛赫（ Bloch）定理
null单电子波函数和本征值与 k有关
nullhk不是电子动量的本征值
null但波矢的变化表征了电子同其它准粒子相互作用或外场作用的动量变化五、波矢 k的取值
()()1,23
ii
Nri+= =
kk
ra
周期性边界条件：
312
123
3
lll
NN N
=++kb b b
4.3 中心方程与能带利用 Bloch定理，可以将 Bloch电子的薛定谔方程写为如下形式一、中心方程
2
2
( ) () () ()
2
iVu Eu
m
+ + =
kkk
krr r
h
将周期势函数和布洛赫函数的周期函数部分作傅立叶展开
() ()
ii
VVeu ue
==
∑ ∑
Gr Gr
Gk G
GG
rr
结合上述结果并令傅立叶系数相等，可以得到
2
'
'
( ) () ()
2
G
uVuEu
m
++ =
∑GGG-'kG
Gk k k
h
－中心方程这是一组关于 uG的线性齐次方程组，其非零解的条件是系数行列式为零
4.3 中心方程与能带一、能带中心方程系数行列式（这个行列式只能中中间写起）为零，可以得到以下结论：
每给定一个 k值，便可以得到一组 E
k
,
k
1
E
1
(k
1
),E
n
(k
1
),… E
n
(k
1
),…
k
2
E
1
(k
2
),E
2
(k
2
),… E
n
(k
2
),…
能带是周期势函数中运动的 Bloch电子的必然属性,
n是能带编号是能带编号
4.4 能带的基本性质一、
二、
4.4 能带的基本性质
4.4 能带的基本性质能带的表示方法周期区图示简约区图示
E
g
E
g
4.4 能带的基本性质能带的表示方法周期区图示每个能带的状态总数由周期性边界条件可以得出每个能带所能填充的能带总数为单胞数目的 2倍
4.5 能带的空晶格模型物理上理解能带的一种方法金属中的准自由电子（价电子）模型金属中的自由电子除去与离子实相互碰撞的瞬间外，无相互作用。
电子所受到的势能函数为常数。
电子波函数仍然为自由电子波函数
电子受到晶格的散射，当电子的波矢落到布里渊区
边界时，发生Bragg衍射
φ = Ae
ikx
ρ (x) = |φ |
2
E
m
k)(
E
2
2
h
=
k
4.5 能带的空晶格模型
φ = Ae
ikx
φ = Ae
-ikx
φ
+
= Ae
ikx
+ Ae
-ikx
ρ
+
= 4A
2
cos
2
(kx)
φ
－
= Ae
ikx
- Ae
-ikx
ρ
－
= 4A
2
sin
2
(kx)
E
m
k)(
E
2
2
h
=
k
E
g
Resulted from ρ
+
Resulted from ρ
-
π/a
2π/a
π/a
2π/a
0
k?(G/2) = (G/2)
2
时：
自由电子波满足Bragg
方程，行波不存在，代之于驻波解，形成能带能带结构是晶体的普遍属性价电子的基本特征：
1,价电子的局域性
2,价电子的非局域性
Bloch定理：
rk
rr
=
i
kk
eu )()(?
u
k
(r),与晶格平移周期一致的周期函数
null晶体中价电子可用被周期调制的自由电子波函数描述
null周期函数反映了电子的局域特性
null自由电子波函数反映了电子的非局域特性
null由于电子波函数的空间位相有自由电子波函数一项决定，Bragg
衍射同样发生
null能带必然存在，能带结构是晶体的必然属性
4.5 能带的空晶格模型
4.6能带与原子能级劈裂
Solid of N atoms
Two atoms
Six atoms
null For the total number N of atoms in a solid (10
23
cm
–3
),N
energy levels split apart within a width ΔE.
Electrons must occupy
different energies due to
Pauli Exclusion principle.
S带,P带、杂化带等说法
4.7布洛赫电子在外场中的运动电子群速度与能带形状的关系
4.7布洛赫电子在外场中的运动满带不能导电
E
g
E
g
金属绝缘体半导体价带导带金属、绝缘体、半导体的能带特征
4.7布洛赫电子在外场中的运动
4.7布洛赫电子在外场中的运动金属、绝缘体、半导体的能带特征
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
Energy Bond Theory
4.0 引言
null 单电子近似的基本思想
null 布洛赫定理
null 金属自由电子的空晶格模型
null 能带的一般性
null 电子在外场中的运动
null 金属、半导体、绝缘体能带的差别一、基本内容二、学习要点熟练掌握以下内容
null 布洛赫定理及能带的一般性
null 能带的起因的物理解释，能带的一般特点
null 固体导电性与能带结构的关系
4.1 单电子近似一、复杂性的起源－多体问题问题：这个方程如何求解问题：这个方程如何求解?
即便这个方程解存在，有意义吗？即便这个方程解存在，有意义吗？
晶体的总哈密顿量薛定谔方程
12 12 12 12
(,,,) (,,,)
aa
NNe NNe
HE=RR R rr r RR R rr rLL LL
4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似问题：绝热近似后，电子体系的哈密顿中含有电子坐标的交叉项，薛定谔方程依然不能求解困难依旧在困难依旧在
4.1 单电子近似三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似电子在周期势场中运动若可以找到近似的势函数，使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为：
2
2
[()]
2
jj
j
e
HV
m
=+
∑
r
h
2
2
12 12
[()](,)(,)
2
jj NN
j
e
VE
m
+ =
∑
rrrr rrr
h
分离变量求解，获得 N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程，多电子问题化简为单电子问题
4.1 单电子近似三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似单电子周期势场示意图
4.2 布洛赫（ Bloch）定理一,Bloch定理内容
rk
rr
=
i
kk
eu )()(?
u
k
(r),与晶格平移周期一致的周期函数
11 2 2 33 1 2 3
() ( )
(,,)
kkl
l
uu
ll l lll
=+
=++
rrR
Raaa
为整数价电子的基本特征：
1,价电子的局域性
2,价电子的非局域性
null 晶体中价电子可用被周期调制的自由电子波函数描述
null 周期函数反映了电子的局域特性
null 自由电子波函数反映了电子的非局域特性二,Bloch定理的物理理解
4.2 布洛赫（ Bloch）定理晶体具有平移周期性
|?|
2
必然具有同晶体一致的周期性
u
k
(r)必然具有 同晶体一致的 周期性波函数可以有任意常复数因子二,Bloch定理的物理理解
4.2 布洛赫（ Bloch）定理布洛赫波示意图三,Bloch定理的严格证明
4.2 布洛赫（ Bloch）定理
()() ( )Tf f= +R rrR
[,]0HT=
平移算子和哈密顿可以有相同的本证函数，设平移算子的本证函数为,C(R)
引进平移算符
()
() ()
()
()
i
i
ue
e
u
+
+= +
=
=
krR
kr
rR rR
r
r
四、波矢 k的物理意义
4.2 布洛赫（ Bloch）定理
null单电子波函数和本征值与 k有关
nullhk不是电子动量的本征值
null但波矢的变化表征了电子同其它准粒子相互作用或外场作用的动量变化五、波矢 k的取值
()()1,23
ii
Nri+= =
kk
ra
周期性边界条件：
312
123
3
lll
NN N
=++kb b b
4.3 中心方程与能带利用 Bloch定理，可以将 Bloch电子的薛定谔方程写为如下形式一、中心方程
2
2
( ) () () ()
2
iVu Eu
m
+ + =
kkk
krr r
h
将周期势函数和布洛赫函数的周期函数部分作傅立叶展开
() ()
ii
VVeu ue
==
∑ ∑
Gr Gr
Gk G
GG
rr
结合上述结果并令傅立叶系数相等，可以得到
2
'
'
( ) () ()
2
G
uVuEu
m
++ =
∑GGG-'kG
Gk k k
h
－中心方程这是一组关于 uG的线性齐次方程组，其非零解的条件是系数行列式为零
4.3 中心方程与能带一、能带中心方程系数行列式（这个行列式只能中中间写起）为零，可以得到以下结论：
每给定一个 k值，便可以得到一组 E
k
,
k
1
E
1
(k
1
),E
n
(k
1
),… E
n
(k
1
),…
k
2
E
1
(k
2
),E
2
(k
2
),… E
n
(k
2
),…
能带是周期势函数中运动的 Bloch电子的必然属性,
n是能带编号是能带编号
4.4 能带的基本性质一、
二、
4.4 能带的基本性质
4.4 能带的基本性质能带的表示方法周期区图示简约区图示
E
g
E
g
4.4 能带的基本性质能带的表示方法周期区图示每个能带的状态总数由周期性边界条件可以得出每个能带所能填充的能带总数为单胞数目的 2倍
4.5 能带的空晶格模型物理上理解能带的一种方法金属中的准自由电子（价电子）模型金属中的自由电子除去与离子实相互碰撞的瞬间外，无相互作用。
电子所受到的势能函数为常数。
电子波函数仍然为自由电子波函数
电子受到晶格的散射，当电子的波矢落到布里渊区
边界时，发生Bragg衍射
φ = Ae
ikx
ρ (x) = |φ |
2
E
m
k)(
E
2
2
h
=
k
4.5 能带的空晶格模型
φ = Ae
ikx
φ = Ae
-ikx
φ
+
= Ae
ikx
+ Ae
-ikx
ρ
+
= 4A
2
cos
2
(kx)
φ
－
= Ae
ikx
- Ae
-ikx
ρ
－
= 4A
2
sin
2
(kx)
E
m
k)(
E
2
2
h
=
k
E
g
Resulted from ρ
+
Resulted from ρ
-
π/a
2π/a
π/a
2π/a
0
k?(G/2) = (G/2)
2
时：
自由电子波满足Bragg
方程，行波不存在，代之于驻波解，形成能带能带结构是晶体的普遍属性价电子的基本特征：
1,价电子的局域性
2,价电子的非局域性
Bloch定理：
rk
rr
=
i
kk
eu )()(?
u
k
(r),与晶格平移周期一致的周期函数
null晶体中价电子可用被周期调制的自由电子波函数描述
null周期函数反映了电子的局域特性
null自由电子波函数反映了电子的非局域特性
null由于电子波函数的空间位相有自由电子波函数一项决定，Bragg
衍射同样发生
null能带必然存在，能带结构是晶体的必然属性
4.5 能带的空晶格模型
4.6能带与原子能级劈裂
Solid of N atoms
Two atoms
Six atoms
null For the total number N of atoms in a solid (10
23
cm
–3
),N
energy levels split apart within a width ΔE.
Electrons must occupy
different energies due to
Pauli Exclusion principle.
S带,P带、杂化带等说法
4.7布洛赫电子在外场中的运动电子群速度与能带形状的关系
4.7布洛赫电子在外场中的运动满带不能导电
E
g
E
g
金属绝缘体半导体价带导带金属、绝缘体、半导体的能带特征
4.7布洛赫电子在外场中的运动
4.7布洛赫电子在外场中的运动金属、绝缘体、半导体的能带特征
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
