第二章 晶格热振动
Thermal Vibration of Lattice
2.0 引言
null 一维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件
null 三维晶格热振动的特点和一般规律
null 晶格热振动的量子化，声子
null 声子统计分布函数，晶格热振动能
null 晶格比热的 Einstein模型
null 晶格比热的 Debye模型
null 晶格热传导一、基本内容二、学习要点
null 掌握格波的概念和色散关系
null 正确理解声子的概念及其统计分布
null 掌握态密度的求法
null 熟练掌握固体比热的计算方法
null 掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
u
n
u
n+1u
n-1
一、一维简单晶格的热振动一维简单晶格位移示意图
u
n
,--第 n个原子 偏离平衡位置的位移
m,--原子质量
a
m
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
2
2
2
0
0
() 1 ()
() (0)
2
()
0
x
x
dV x d V x
Vx V x x
dx dx
dV x
dx
=
=
= ++ +
=
L
2
2
1()
2
dVx
dx
β＝
一、一维简单晶格的热振动
1,简谐近似简谐近似
V(r)
r
抛物线近似选择合适的势能零点，有
2
1
()
2
()
()
Vx x
dV x
f xx
dx
β
β
=
=? =?
令：
简谐近似一、一维简单晶格的热振动第个n原子受力:
)2()()(
1111 nnnnnnnn
uuuuuuuF +?==
+?+
βββ
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
2,振动方程振动方程
)2(
11
2
2
+
+=
nnn
n
uuu
dt
ud
m β
)( nqati
n
Aeu
=
ω
牛顿方程：
试探解：
n
u
将特解代入牛顿方程得：
)cos1(
2
2
qa
m
=
β
ω
2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动
3,格波及色散关系格波及色散关系
（ 1） q的物理意义,λ＝ 2π/q
讨论格波的概念色散关系：
22
(1 cos ) sin
sin
2
qa
qa
mm
qa
m
β β
ω
β
ω
=? =
=
ω
q
-π/a π/a
q 的取值限定在第一布里渊区内
2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动
4,长格波极限长格波极限
p
pq
q
v
q
v
q
vv
ω
ω
ω
=
=
null
g
相速度：
d
群速度,=
d
当：
,0qλ →∞ →
类似于连续介质中的弹性波称之为：
声学声学 振动
2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动
4.周期性边界条件与周期性边界条件与 q的取值的取值
Nnn
uu
+
=
周期性边界条件
)( nqati
n
eu
=
ω
1=
iqNa
e
2qNa lπ=
±±=,2,1,0l
l
NaNa
l
q
ππ 22
==
q
aa
π π
≤≤
:
22
NN
l?→
N个q,独立振动的模式数与自由度相等
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
1.位移分析位移分析
u
n
v
nv
n-1
a
m
u
n+1
u
n-1
M
u
n
--第 n个 m原子 偏离平衡位置的位移
v
n
--第 n个 M原子 偏离平衡位置的位移
m,--原子质量
M:--原子质量
a:--晶胞常数
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
2.振动方程振动方程
2
1
2
(2)
n
nnn
du
M uuv
dt
β
+
=+?
)2(
1
2
2
nnn
n
uvv
dt
ud
m?+=
β
)( nqati
n
Aeu
=
ω
)( nqati
n
Bev
=
ω
牛顿方程试探解
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
3.色散关系色散关系
0)1()2(
2
=++?
BeAm
iqa
ββω
0)2()1(
2
=?++
BmAe
iqa
βωβ
将试探解代入牛顿方程可以得到：
关于 A,B齐次方程组无穷多解,有非零 A,B解条件是方程组系数行列式为零，可以得到一个关于 ω
2
的一元二次方程，解得：
1
2
1
2
22
2
[( 2cos)]
[( cos)]
mM m M mM qa
mM
mM m M mM qa
mM
β
ω
β
ω
+
=++++
=+?++
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
3.色散关系色散关系
-π/a
π/a
ω
+
ω
-
光学支声学支
ω
q
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
4.周期性边界条件及周期性边界条件及 q的取值的取值
Nnn
uu
+
=
11 +
=
N
uu
Nnn
vv
+
=
11 +
=
N
vv
周期边界条件
1=
iqNa
e
2qNa lπ=
±±=,2,1,0l
l
NaNa
l
q
ππ 22
==
q
aa
π π
≤≤
:
22
NN
l?→
N个q,2N个独立振动的模式数与自由度相等
ω
＋
光学支 N个振动模式
ω
－
光学支 N个振动模式
2.2 三维晶格的热振动二、一维复式晶格的热振动
5.长波极限长波极限 0→q
A m
BM
+
→?
+
ω
ω
0
2
)1(
2
+
=
ωβ
β
m
e
B
A
iqa
1
A
B
→
单胞质心不动,异类原子相向运动，离子晶体可以同光波发生强烈相互作用，故称为光学振动,光学模频率高,用激光可激发该振动所代表的振动所代表的振动单胞内异类原子同向运动，频率与波矢成线性关系，与连续介质中的弹性波类似，故称为声学振动，声学波可以用声波激发其振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
1,周期性边界条件同样实用于三维晶体
2,可以找到一组坐标变换，可以将三维晶格振动处理成独立的简谐振动
3,所以可以得出,q的取值与一维情况是相近的，而且，波矢同样要限制在第一布里渊区以内。
1.q取值取值
2.2 三维晶格的热振动
11 2 2 33
1
11
1
2
22
2
3
33
3
2
0,1,2,3
2
0,1,2,3
2
0,1,2,3
qq q
l
ql
Na
l
ql
Na
l
ql
Na
π
π
π
= ++
==±±
==±±
==±±
qbb b
L
L
L
三、三维复式晶格的热振动的一般规律
1.q取值取值
123
N NNN=
2.2 三维晶格的热振动若三维晶体每个单胞中含有 n个原子，共有 N个单胞
1,总的的独立晶格振动模式数,3nN个
2,由于声学格波在长波极限下代表单胞的整体运动，所以声学振动的模式数为,3N个；
3,声学支的色散关系共有 3个；
4,光学振动的独立模式数为,3nN-3N = 3(n-1)N个三、三维复式晶格的热振动的一般规律
2.振动模式数振动模式数
2.2 三维晶格的热振动
),,,,,(
iiiiii
zyxzyxQQ &
&&
=
),,,,,(
iiiiii
zyxzyxQQ &
&&
&&
=
正则坐标：所有原子坐标的线性组合正则动量：所有动量的线性组合三、三维复式晶格的热振动的一般规律
2.量子化处理量子化处理引入：
11
33
11
33
..
..
..
..
nN nN
nN nN
Qx
Qx
Qx
=
M
&
&
&
&
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
2.量子化处理量子化处理在上述正则变换下：体系的总能量可以表达为：
22
11
()
22
ii
i
E QQ=+
∑
&
量子化以后，可以看成是 3nN个独立的线性谐振子，其哈密顿量没有势能的交叉项：
∑
=
=
nN
i
i
HH
3
1
总
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
3.声子的概念声子的概念
）（
2
1
+= nωε h
上述 3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解，
其能量本证值为：
晶格振动的能量量子－－声子声子是晶格集体振动的一种元激发类比：光波和光子声波和声子
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
3.声子的概念声子的概念
ωh
晶格振动的能量量子为声子,声子能量：
声子动量,qh
1
2
nεω=+h （）
一个格波能量激发n个声子，
能量减少，意味声子湮灭电子 —声子碰撞:能量,动量都守恒声子 —声子碰撞:能量,动量都守恒声子数不守恒,玻色子
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
4.声子统计分布及晶格振动的总能量声子统计分布及晶格振动的总能量
1
1
B
kT
n
e
ω
<>=
h
声子的统计分布晶格振动的总能量（ E
0
零点振动能）
0
1exp
E
Tk
E
B
+
=
∑
ω
ω
ω
h
h
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
4.声子统计分布及晶格振动的总能量声子统计分布及晶格振动的总能量
2.2 三维晶格的热振动
ωω
ω
ω
ω
dg
Tk
E
B
)(
1exp
max
0
=
∫
h
h
两个相邻的频率或波矢相差很小，晶格热振动总能量可以用积分表示
2.3晶格比热的实验研究结果
BV
NkC 3~
3
~ TC
V
当温度很高时，实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数离子固体：T～0，
null杜隆 -柏替（ Dulung-Petit）定律
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
3
exp 1
a
B
EN
kT
ω
ω
=
h
h
爱因斯坦温度
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型爱因斯坦模型实验结果
T
C
v
通过色散关系加以讨论
-π/a
π/a
ω
+
ω
-
光学支声学支
ω
q
温度较高－高频声子激发为主－
高频下，频率近似为常数爱因斯坦模型更适合较高温度的情形
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型
-π/a
π/a
ω
+
ω
-
光学支声学支
ω
q
ω～ q的线性区域一、模型
null 考虑到爱因斯坦模型在低温下与实验不符，德拜主要考虑低温下的情况 ;
null 通过分析色散关系中低频声学支特点可以发现，当频率较低时，频率同波矢近于线性关系；
null 在温度较低时，激发的声子主要是低频声子，所以可以假定频率与波矢成正比；
null 在物理上，实质上是将晶格振动看成是连续介质中的弹性波，因为低频下，波长远大于晶格常数，所以晶体可以看成是连续介质。
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型一、模型核心问题核心问题
－态密度
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度在倒空间中 q的取值是均匀分布的
l
1
,l
2
,l
3
,整数
b
2
b
1
b
3
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度倒空间每个 q所代表的点形成的,点阵,
在倒空间，每个 q所占的体积为：
3
312312
123
3
()(2 )
()
(2 )
q
c
bbbbbb
V
NNN N NV
V
π
π
×
=? × = =
=
rrrr r
v
V=NV
c
是晶体的体积
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度
b
1
b
2
b
3
q
倒易空间 q的密度为：
22
3
2
2
4d 4d
()d
(2 ) /
d
2
q
qq qq
qq
VV
Vq
q
ππ
ρ
π
π
==
=
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度
() ()g dqdqω ωρ=
() ()
dq
gq
d
ωρ
ω
∴ =
由于 ω和 q是一一对应的,所以有
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型三、晶格比热
2.6 晶体的热膨胀
V(r)
r
抛物线近似
()/
()/
B
B
Vx kT
Vx kT
xe dx
x
edx
=
∫
∫
温度为 T时，一维晶体中原子的平均距离为：
若势函数时是对称的，上式为零，晶体表现为零膨胀特性晶体的热膨胀是非简谐效应晶体的热膨胀是非简谐效应
2.6 晶体的热膨胀
r
V(r)
由晶体势函数的形状分析晶体热膨胀行为讨论：
正膨胀？
负膨胀？
分析距离负膨胀材料的意义分析距离负膨胀材料的意义
2.7 晶格导热一、声子膨胀的正常过程（ N过程）
第一布里渊区
q
1
q
2
q
3
三声子过程：
满足动量守恒定律
12 3
+=qqq
N过程对热阻没有贡献，过程对热阻没有贡献，
对温度均匀化有重要作用对温度均匀化有重要作用一、声子膨胀的倒逆过程（ U过程）
第一布里渊区
q
1
q
2
q
3
三声子过程：
满足动量守恒定律
12 3
+=+qqqG
U过程对热阻有贡献过程对热阻有贡献
2.7 晶格导热
2.7 晶格导热对于晶格热导率而言，可将晶体简化成由声子组成的理想气体
1
3
x x
UV
dT dT
Tl v
dx dx
dT
JCvl
dx
τΔ= =
=
1
3
V
K Cvl=
热导率为：
其中,Cv是晶体的热容，
v是声子的平均速度，
l是声子的平均自由程
2.7 晶格导热
null 杂质
null 晶体缺陷
null 晶界
null 复合材料影响实际材料热导率的因素及材料设计思想
Thermal Vibration of Lattice
2.0 引言
null 一维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件
null 三维晶格热振动的特点和一般规律
null 晶格热振动的量子化，声子
null 声子统计分布函数，晶格热振动能
null 晶格比热的 Einstein模型
null 晶格比热的 Debye模型
null 晶格热传导一、基本内容二、学习要点
null 掌握格波的概念和色散关系
null 正确理解声子的概念及其统计分布
null 掌握态密度的求法
null 熟练掌握固体比热的计算方法
null 掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
u
n
u
n+1u
n-1
一、一维简单晶格的热振动一维简单晶格位移示意图
u
n
,--第 n个原子 偏离平衡位置的位移
m,--原子质量
a
m
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
2
2
2
0
0
() 1 ()
() (0)
2
()
0
x
x
dV x d V x
Vx V x x
dx dx
dV x
dx
=
=
= ++ +
=
L
2
2
1()
2
dVx
dx
β＝
一、一维简单晶格的热振动
1,简谐近似简谐近似
V(r)
r
抛物线近似选择合适的势能零点，有
2
1
()
2
()
()
Vx x
dV x
f xx
dx
β
β
=
=? =?
令：
简谐近似一、一维简单晶格的热振动第个n原子受力:
)2()()(
1111 nnnnnnnn
uuuuuuuF +?==
+?+
βββ
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
2,振动方程振动方程
)2(
11
2
2
+
+=
nnn
n
uuu
dt
ud
m β
)( nqati
n
Aeu
=
ω
牛顿方程：
试探解：
n
u
将特解代入牛顿方程得：
)cos1(
2
2
qa
m
=
β
ω
2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动
3,格波及色散关系格波及色散关系
（ 1） q的物理意义,λ＝ 2π/q
讨论格波的概念色散关系：
22
(1 cos ) sin
sin
2
qa
qa
mm
qa
m
β β
ω
β
ω
=? =
=
ω
q
-π/a π/a
q 的取值限定在第一布里渊区内
2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动
4,长格波极限长格波极限
p
pq
q
v
q
v
q
vv
ω
ω
ω
=
=
null
g
相速度：
d
群速度,=
d
当：
,0qλ →∞ →
类似于连续介质中的弹性波称之为：
声学声学 振动
2.1 一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动
4.周期性边界条件与周期性边界条件与 q的取值的取值
Nnn
uu
+
=
周期性边界条件
)( nqati
n
eu
=
ω
1=
iqNa
e
2qNa lπ=
±±=,2,1,0l
l
NaNa
l
q
ππ 22
==
q
aa
π π
≤≤
:
22
NN
l?→
N个q,独立振动的模式数与自由度相等
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
1.位移分析位移分析
u
n
v
nv
n-1
a
m
u
n+1
u
n-1
M
u
n
--第 n个 m原子 偏离平衡位置的位移
v
n
--第 n个 M原子 偏离平衡位置的位移
m,--原子质量
M:--原子质量
a:--晶胞常数
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
2.振动方程振动方程
2
1
2
(2)
n
nnn
du
M uuv
dt
β
+
=+?
)2(
1
2
2
nnn
n
uvv
dt
ud
m?+=
β
)( nqati
n
Aeu
=
ω
)( nqati
n
Bev
=
ω
牛顿方程试探解
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
3.色散关系色散关系
0)1()2(
2
=++?
BeAm
iqa
ββω
0)2()1(
2
=?++
BmAe
iqa
βωβ
将试探解代入牛顿方程可以得到：
关于 A,B齐次方程组无穷多解,有非零 A,B解条件是方程组系数行列式为零，可以得到一个关于 ω
2
的一元二次方程，解得：
1
2
1
2
22
2
[( 2cos)]
[( cos)]
mM m M mM qa
mM
mM m M mM qa
mM
β
ω
β
ω
+
=++++
=+?++
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
3.色散关系色散关系
-π/a
π/a
ω
+
ω
-
光学支声学支
ω
q
2.1 一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动
4.周期性边界条件及周期性边界条件及 q的取值的取值
Nnn
uu
+
=
11 +
=
N
uu
Nnn
vv
+
=
11 +
=
N
vv
周期边界条件
1=
iqNa
e
2qNa lπ=
±±=,2,1,0l
l
NaNa
l
q
ππ 22
==
q
aa
π π
≤≤
:
22
NN
l?→
N个q,2N个独立振动的模式数与自由度相等
ω
＋
光学支 N个振动模式
ω
－
光学支 N个振动模式
2.2 三维晶格的热振动二、一维复式晶格的热振动
5.长波极限长波极限 0→q
A m
BM
+
→?
+
ω
ω
0
2
)1(
2
+
=
ωβ
β
m
e
B
A
iqa
1
A
B
→
单胞质心不动,异类原子相向运动，离子晶体可以同光波发生强烈相互作用，故称为光学振动,光学模频率高,用激光可激发该振动所代表的振动所代表的振动单胞内异类原子同向运动，频率与波矢成线性关系，与连续介质中的弹性波类似，故称为声学振动，声学波可以用声波激发其振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
1,周期性边界条件同样实用于三维晶体
2,可以找到一组坐标变换，可以将三维晶格振动处理成独立的简谐振动
3,所以可以得出,q的取值与一维情况是相近的，而且，波矢同样要限制在第一布里渊区以内。
1.q取值取值
2.2 三维晶格的热振动
11 2 2 33
1
11
1
2
22
2
3
33
3
2
0,1,2,3
2
0,1,2,3
2
0,1,2,3
qq q
l
ql
Na
l
ql
Na
l
ql
Na
π
π
π
= ++
==±±
==±±
==±±
qbb b
L
L
L
三、三维复式晶格的热振动的一般规律
1.q取值取值
123
N NNN=
2.2 三维晶格的热振动若三维晶体每个单胞中含有 n个原子，共有 N个单胞
1,总的的独立晶格振动模式数,3nN个
2,由于声学格波在长波极限下代表单胞的整体运动，所以声学振动的模式数为,3N个；
3,声学支的色散关系共有 3个；
4,光学振动的独立模式数为,3nN-3N = 3(n-1)N个三、三维复式晶格的热振动的一般规律
2.振动模式数振动模式数
2.2 三维晶格的热振动
),,,,,(
iiiiii
zyxzyxQQ &
&&
=
),,,,,(
iiiiii
zyxzyxQQ &
&&
&&
=
正则坐标：所有原子坐标的线性组合正则动量：所有动量的线性组合三、三维复式晶格的热振动的一般规律
2.量子化处理量子化处理引入：
11
33
11
33
..
..
..
..
nN nN
nN nN
Qx
Qx
Qx
=
M
&
&
&
&
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
2.量子化处理量子化处理在上述正则变换下：体系的总能量可以表达为：
22
11
()
22
ii
i
E QQ=+
∑
&
量子化以后，可以看成是 3nN个独立的线性谐振子，其哈密顿量没有势能的交叉项：
∑
=
=
nN
i
i
HH
3
1
总
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
3.声子的概念声子的概念
）（
2
1
+= nωε h
上述 3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解，
其能量本证值为：
晶格振动的能量量子－－声子声子是晶格集体振动的一种元激发类比：光波和光子声波和声子
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
3.声子的概念声子的概念
ωh
晶格振动的能量量子为声子,声子能量：
声子动量,qh
1
2
nεω=+h （）
一个格波能量激发n个声子，
能量减少，意味声子湮灭电子 —声子碰撞:能量,动量都守恒声子 —声子碰撞:能量,动量都守恒声子数不守恒,玻色子
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
4.声子统计分布及晶格振动的总能量声子统计分布及晶格振动的总能量
1
1
B
kT
n
e
ω
<>=
h
声子的统计分布晶格振动的总能量（ E
0
零点振动能）
0
1exp
E
Tk
E
B
+
=
∑
ω
ω
ω
h
h
2.2 三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律
4.声子统计分布及晶格振动的总能量声子统计分布及晶格振动的总能量
2.2 三维晶格的热振动
ωω
ω
ω
ω
dg
Tk
E
B
)(
1exp
max
0
=
∫
h
h
两个相邻的频率或波矢相差很小，晶格热振动总能量可以用积分表示
2.3晶格比热的实验研究结果
BV
NkC 3~
3
~ TC
V
当温度很高时，实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数离子固体：T～0，
null杜隆 -柏替（ Dulung-Petit）定律
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
3
exp 1
a
B
EN
kT
ω
ω
=
h
h
爱因斯坦温度
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型爱因斯坦模型实验结果
T
C
v
通过色散关系加以讨论
-π/a
π/a
ω
+
ω
-
光学支声学支
ω
q
温度较高－高频声子激发为主－
高频下，频率近似为常数爱因斯坦模型更适合较高温度的情形
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型
-π/a
π/a
ω
+
ω
-
光学支声学支
ω
q
ω～ q的线性区域一、模型
null 考虑到爱因斯坦模型在低温下与实验不符，德拜主要考虑低温下的情况 ;
null 通过分析色散关系中低频声学支特点可以发现，当频率较低时，频率同波矢近于线性关系；
null 在温度较低时，激发的声子主要是低频声子，所以可以假定频率与波矢成正比；
null 在物理上，实质上是将晶格振动看成是连续介质中的弹性波，因为低频下，波长远大于晶格常数，所以晶体可以看成是连续介质。
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型一、模型核心问题核心问题
－态密度
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度在倒空间中 q的取值是均匀分布的
l
1
,l
2
,l
3
,整数
b
2
b
1
b
3
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度倒空间每个 q所代表的点形成的,点阵,
在倒空间，每个 q所占的体积为：
3
312312
123
3
()(2 )
()
(2 )
q
c
bbbbbb
V
NNN N NV
V
π
π
×
=? × = =
=
rrrr r
v
V=NV
c
是晶体的体积
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度
b
1
b
2
b
3
q
倒易空间 q的密度为：
22
3
2
2
4d 4d
()d
(2 ) /
d
2
q
qq qq
VV
Vq
q
ππ
ρ
π
π
==
=
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型二、态密度
() ()g dqdqω ωρ=
() ()
dq
gq
d
ωρ
ω
∴ =
由于 ω和 q是一一对应的,所以有
2.5 晶格比热的德拜（ Debye）模型三、晶格比热
2.6 晶体的热膨胀
V(r)
r
抛物线近似
()/
()/
B
B
Vx kT
Vx kT
xe dx
x
edx
=
∫
∫
温度为 T时，一维晶体中原子的平均距离为：
若势函数时是对称的，上式为零，晶体表现为零膨胀特性晶体的热膨胀是非简谐效应晶体的热膨胀是非简谐效应
2.6 晶体的热膨胀
r
V(r)
由晶体势函数的形状分析晶体热膨胀行为讨论：
正膨胀？
负膨胀？
分析距离负膨胀材料的意义分析距离负膨胀材料的意义
2.7 晶格导热一、声子膨胀的正常过程（ N过程）
第一布里渊区
q
1
q
2
q
3
三声子过程：
满足动量守恒定律
12 3
+=qqq
N过程对热阻没有贡献，过程对热阻没有贡献，
对温度均匀化有重要作用对温度均匀化有重要作用一、声子膨胀的倒逆过程（ U过程）
第一布里渊区
q
1
q
2
q
3
三声子过程：
满足动量守恒定律
12 3
+=+qqqG
U过程对热阻有贡献过程对热阻有贡献
2.7 晶格导热
2.7 晶格导热对于晶格热导率而言，可将晶体简化成由声子组成的理想气体
1
3
x x
UV
dT dT
Tl v
dx dx
dT
JCvl
dx
τΔ= =
=
1
3
V
K Cvl=
热导率为：
其中,Cv是晶体的热容，
v是声子的平均速度，
l是声子的平均自由程
2.7 晶格导热
null 杂质
null 晶体缺陷
null 晶界
null 复合材料影响实际材料热导率的因素及材料设计思想
