1.1.写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和.
A =,点数之和大于 10,，B =,点数之和小于15,.
（2）一盒中由5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5.
从中任取3只，C =”最小号码为 1”.
解：
1.2,下列各式在什么条件 成立？
解：
A BA,ABA= =∪
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ ( )
()()()()}
()()()()()(){}
123 124 125 134 135 145
234 235 245 345
A= 123 124 125 134 135 145
,,,,,,
,,,
,,,,,.
Ω=,，,，,，,，,，,，
，，,，,，,,；
，，,，,，,，,，,，
ABABA ABAB=A,;,?=?∪若若
( ){ } { } { }
()
13,45,,18A1218B34514
2
,,,,,,,,;Ω= = =nullnullnull
1.3,设A,B,C表示三个事件，试将下列事件用A,B,C表示出来：
（1）仅A发生；
（2）A,B,C都发生；
（3）A,B,C都不发生；
（4）A,B,C不都发生；
（5）A不发生，且B,C中至少有一事件发生；
（6）A,B,C中至少有一事件发生；
（7）A,B,C中恰有一事件发生；
（8）A,B,C中至少有二事件发生；
（9）A,B,C中最多有一事件发生.
解：
( ) ( ) ( ) ( )
() ()() ()
() ()
1234
567
89;
ABC ; ABC ; ABC ; ABC ;
A BC; ABC; ABCABCABC
AB BC AC ; AB BC AC,
∪∪∪ ∪∪
∪∪ ∪∪
1.4,设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问：
（1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？
解:
..)B(P)A(P)AB(P
,)(P)BA(P,BA;.)A(P)AB(P
),B(P)BA(PBA
),BA(P)B(P)A(P)AB(P
),AB(P)B(P)A(P)BA(P
101
1
50
==
===
==
=?
+=
+=
则时当则时，当有
ΩΩ ∪∪
∪
∪
∪
1.5,设 P(A)>0，P(B)>0，将下列四个数：
P(A)，P(AB)，P(A) + P(B)，P(A∪B)按由小到大的顺序排列，用符号
,” 联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立.
解：
).B(P)A(P)BA(P,B,A
),A(P)BA(PBA
);A(P)AB(PAB
),B(P)A(P)BA(P)A(P)AB(P
+=
=?
=?
+≤≤≤
∪
∪
∪
互不相容时当时，当时，有当
≤
1.7,设 P(A) = P(B) = P(C) = 1/3，P(A B) = P(A C)=0，P(B C) = 1/4,
求 A、B、C 至少有一事件发生的概率.
解,P (A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC)- P(BC)
+ P(ABC)
（由于A C 与 A B互不相容 ）
==================== 1-,
1.6,设A,B,C为三个事件，证明：
P (A∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
证明,P (A∪ B∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) – P[(A∪ B)C]
= P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
13
44
=
1.8,一批产品只有200件，其中6件废品，求：
（1）任取3件产品中恰有一件是废品的概率；
（2）任取3件产品中没有废品的概率；
(3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.
解：
（1）设事件A =,任取3个产品中恰有一件是废品”,事件A中的基本事件数：
P(A)
（2）设事件B =,任取3件产品中没有废品”,事件B中的基本事件数：
P(B)
（3）设事件C=“任取3件产品中废品不少于 2 件”
P(C) =
21 3
6194 6
3
200
cc c
c
+
3
200
3
1942
C
C
N
M
==
3
1942
CM
=
3
200
1
6
2
1941
C
CC
N
M
==
1
6
2
1941
CCM
=
,CN:
3
200
=
基本事件总数
1.9,在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数字全部相同的概率（设后面四个数字中的每一个数字都等可能地取自 0,1,2 …,9 ).
解,
设电话号码是 7 位数，事件 B =,后面四个数字全不相等,，则基本事件总数：
事件 A中的基本事件数：
16
9
10NC=
124
910
10M CA=
( ) 0.504
M
PB
N
∴ ==
1.10,从 1-2000 的整数中随机地取出一个数，求：
（1）这个数能被5整除的概 率；（2）这个数能被4和6整除的概率.
解,基本事件总数：
（ 1）设事件A=,这个数能被 5整除,,事件A 中的基本事件数：
（ 2）设 B=“这个数能被 4和 6整除,,事件B 中的基本事件数：
..
C
C
N
M
)B(P 830
1
2000
1
1662
===
1
1662
CM
=
1
4001
CM
=
20
1
2000
1
4001
.
C
C
N
M
)A(P
===
1
2000
CN
=
解,基本事件总数：
事件A 的基本事件数：
3
8
CM
A
=
P ( B ) = 1 – P ( A ) = 8 / 15
事件 C的基本事件数：
1.11,从0,1,2,…,9这10个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：
A =,这三个数字中不含 0 和 5,，
B =,这三个数字中包含0或 5”，
C =,这三个数字中含0但不含5”.
.
C
CC
N
M
)C(P
C
30
7
3
10
2
8
1
1
===
.
C
C
N
M
)A(P
A
15
7
3
10
3
8
===
2
8
1
1
CCM
C
=
3
10
CN
=
1.12,将一枚均匀的骰子掷两次，已知出现的点数之和能被3整除，求恰好是两次都出现3点的概率.
解：试验的基本事件 =,出现点数对”，其中 是第一次出现的点数,是第二次出现的点数,
设事件 A =,出现的点数之和能被 3 整除,，即 A = { | 能被
3 整 除},事件 B =,恰好是两次都出现 3 点,，其中 B A,则
).,...,,j( 621
=
ij
ω
ji
+
),...,,i( 621
=
i
j
ij
ω
{ }
{}
()
()
()
()
()
12 21 15 24 33 42 51 36 45 54 63 66
33
BA
1
12
A,,,,,,,,,,,,
B,
PAB PB
PB|A
PA PA
ωωωωωωωωωωωω
ω
=
=
∴ ===
∵
又
1.13,某种集成电路使用到2000h还能正常工作的概率是0.94，用 3000h 还能正常工作的概率是0.87，求已经工作了 2000h 的集成电路能继续工作到
3000h的概率.
解,设 事件 A =“使用到2000h还能正常工作”，
B =“使用到3000h还能正常工作”,则
1.14,某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码，
求他拨号不超过两次而接通的概率,
解：设 A=,他拨号不超过两次而接通”.
..
.
.
)A(P
)B(P
)A(P
)AB(P
)A|B(P 9250
940
870
====
..
CC
CC
)A(P 20
10
1
1
9
1
10
1
1
1
9
=+=
1.15,设,
求 P( AB ) 及解：
1.16,一盒里有10个电子元件，其中7个正品，3个次品，从中每次抽取一个，不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率.
解：设 A =,第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品,,
).BA|A(P
∪
604050,)B|A(P,.)B(P,.)A(P
===
..
.
.
)BA(P
)A(P
)BA(P
)]BA(A[P
)BA|A(P
,....)BA(P)B(P)A(P)BA(P
,.)BA(P)A(P)AB(P)BA(P)AB(P)A(P
,...)B|A(P)B(P)BA(P
)B(P
)BA(P
)B|A(P
67570
740
50
7403606050
140
3606060
≈=
∪
=
∪
∪
=∪
=?+=?+=∪
=?=?+=
=
′
==?=
3276
() 0.05.
4987
PA=×××=
1.17,猎人在距离100cm处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150 cm ；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这是距离变为 200 cm,假定击中的概率与距离成反比，求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率,
解,设A=“猎人最多涉及三次的情况下击中动物”，由题意猎人击中动物的概率与距离成反比，不妨设概率为 P,距离为 S.
则 P = k / S （ k 为常数 ）.
当 S = 100 时，P = 0.6,得 k = 60,故 P = 60 / S,
60 60 60
( ) 0.6 (1 )(1 0.6)
150 150 200
0.832
PA=× + ×
=
1.18,某射击小组共20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，
四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔而进入比赛的概率分别为 0.9，0.7，0.5，0.2,求任取一位射手能通过选拔进入比赛的概率,
解：设 A =,任取一位射手能通过选拔进入比赛,,
=,这位射手是 级射手,,则
∑
=
==
====
======
4
1
4321
4321
6450
20507090
20
1
20
7
5
2
20
8
5
1
20
4
i
ii
..)B|A(P)B(P)A(P
..)B|A(P,.)B|A(P,.)B|A(P,.)B|A(P
.)B(P,)B(P,)B(P,)B(P
i
B
( 1,2,3,4)ii=
1.19,某种新产品投放市场出现下列三种情况：A =”无销路”，B =”销路一般”，
C =”畅销”，由以往的经验得知，同类产品投放市场后，而面临各种情况的概率为 P( A ) = 0.2,P( B ) = 0.3,P( C ) = 0.5 ; 而在这种情况工厂能得到别人大量投资（设为事件 D）的概率为 P( D | A ) = 0.05,
P( D | B ) = 0.3,P ( D | C ) = 0.98,得到别人投资以使进行新产品试制，求该厂能获大量投资的概率.
解：P( D ) = P( A ) P( D | A ) + P( B )P( D | B ) + P( C )P( D | C )
代入数据，得 P ( D ) = 0.59,
1.20,袋中有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，
求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率.
解：设A=“第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同”.
()
( ) ( )
()( )
11
11
PA
1
aa bb
aa bb
.
abab abab abab
+?
=× +× =
++?++? ++?
1.21,证明：如果,则两事件A与B相互独立.
证明：
)B|A(P)B|A(P
=
.
)B(P
)BA(P
)B(P
)BA(P
)B|A(P,
)B(P
)AB(P
)B|A(P
===
1
).A(P)B(P))BA(P)AB(P)(B(P)AB(P
)BA(P)B(P))B(P)(AB(P
)B(P
)BA(P
)B(P
)AB(P
=+=
=
=
1
1
1.22,对同一靶子进行三次独立射击，第一、二、三次击中的概率分别为求：
（1）这三次射击中恰有一次击中的概率；
（2）这三次射击中至少有一次击中的概率,
解：（1）设 A =,这三次射击中恰有一次击中,,
=,第 次击中,
,.p,.p,.p 705040
321
===
i
B i).,,i( 321
=
..p)B(P,.p)B(P,.p)B(P 705040
332211
======
（2）设 B =“这三次中至少有一次击中”.
.....)BBB(P)B(P 91030506011
321
=
′′
=?=
1.23,甲、乙两个实验员各自独立地做同一个实验，且知甲、乙实验成功的概率分别为0.6,0.8。求实验取得成功的概率.
解,设 A =“实验取得成功”,
=,甲取得成功,,
=,乙取得成功,,则2
B
1
B
()
( ) ( )
()
()
()()
()()()
12 12 12
121212
06 02 04 08 06 08 092
PA PBB PBB PBB
P BPBPBPBPBPB
......,.
=++
=
=×+×+×=
1.24,设一系统由三个元件联结而成（如图），各个元件独立地工作，且每个元件能正常工作的概率均为 p（0<p<1）,求系统能正常工作的概率.
解,设 A =,系统能正常工作,,
=,第 个元件能正常工作,
2
1
3
i
A
i
).,,i( 321
=
.pp
)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P
)AAA(P)AA(P)AA(P
)AAAA(P]A)AA[(P)A(P
32
3213231
3213231
3231321
2
=
+=
+=
∪=∪=
1.25,甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7,如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2 ；如果有二人击中,则飞机被击中的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落,求飞机被击落的概率,
解：设 A =,飞机被击落,,=,第 人击中飞机,
=,人击落飞机,则
j
D
j
i
B
i
),,,i( 321
=
).,,j( 321
=
() ( )
( ) ()( )
()
()()()
()( )
1123 123 123
2123 123 123
3123
0458
PA PD PBBB PBBB PBBB
P D P BB B P BBB P BBB
PD PBBB,
=++
++
+=
1.26,一批产品中由20%的次品，进行放回抽样检查，共取5件样品，计算：
（1）这5件样品中恰有2件次品的概率；
（2）这5件样品中最多有2件次品的概率。
解,（1）n = 5,k = 2,p = 0.2,
（2）n = 5,k = 0、1、2，p = 0.2,
..).().(C)(p 2048080202
322
55
==
..).().(C)k(p
k
kkk
k
942108020
2
0
5
5
2
0
5
==
∑∑
=
=
1.27,设有四门高射炮同时独立地向一架 敌机各射一发炮弹，每门高射炮击中敌机的概率为 0.6,若敌机不少于两 发炮弹击中时，求敌机被击落的概率.
解：设 A =,敌机被击落”，由题意知这是 Bernolli 概型，因此
1
4
4
0
004113
44
() 1 ()
1 (0.6) (0.4)
1 (0.6) (0.4) (0.6) (0.4)
0.8208
kk k
k
PA PA
C
CC
=
=?
=?
=
=
∑
1.28,设每次射击时命中率为0.2，问必须进行多少次独立射击才能使至击中一次的概率不小于0.9?
解：设必须进行n次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9,并且在
n 次独立射击中最多击中 n 次，则两边取对数10801080
802001010
90
00
1
1
,解锝 n≥ 10.325.ln.lnn,..
,).().(C)(P,.)k(P)(P
.)k(P
n
n
nn
n
k
nn
n
k
n
≤≤
=≤?=
≥
∑
∑
=
=
因此，至少进行 11 次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9,
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和.
A =,点数之和大于 10,，B =,点数之和小于15,.
（2）一盒中由5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5.
从中任取3只，C =”最小号码为 1”.
解：
1.2,下列各式在什么条件 成立？
解：
A BA,ABA= =∪
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ ( )
()()()()}
()()()()()(){}
123 124 125 134 135 145
234 235 245 345
A= 123 124 125 134 135 145
,,,,,,
,,,
,,,,,.
Ω=,，,，,，,，,，,，
，，,，,，,,；
，，,，,，,，,，,，
ABABA ABAB=A,;,?=?∪若若
( ){ } { } { }
()
13,45,,18A1218B34514
2
,,,,,,,,;Ω= = =nullnullnull
1.3,设A,B,C表示三个事件，试将下列事件用A,B,C表示出来：
（1）仅A发生；
（2）A,B,C都发生；
（3）A,B,C都不发生；
（4）A,B,C不都发生；
（5）A不发生，且B,C中至少有一事件发生；
（6）A,B,C中至少有一事件发生；
（7）A,B,C中恰有一事件发生；
（8）A,B,C中至少有二事件发生；
（9）A,B,C中最多有一事件发生.
解：
( ) ( ) ( ) ( )
() ()() ()
() ()
1234
567
89;
ABC ; ABC ; ABC ; ABC ;
A BC; ABC; ABCABCABC
AB BC AC ; AB BC AC,
∪∪∪ ∪∪
∪∪ ∪∪
1.4,设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问：
（1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？
解:
..)B(P)A(P)AB(P
,)(P)BA(P,BA;.)A(P)AB(P
),B(P)BA(PBA
),BA(P)B(P)A(P)AB(P
),AB(P)B(P)A(P)BA(P
101
1
50
==
===
==
=?
+=
+=
则时当则时，当有
ΩΩ ∪∪
∪
∪
∪
1.5,设 P(A)>0，P(B)>0，将下列四个数：
P(A)，P(AB)，P(A) + P(B)，P(A∪B)按由小到大的顺序排列，用符号
,” 联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立.
解：
).B(P)A(P)BA(P,B,A
),A(P)BA(PBA
);A(P)AB(PAB
),B(P)A(P)BA(P)A(P)AB(P
+=
=?
=?
+≤≤≤
∪
∪
∪
互不相容时当时，当时，有当
≤
1.7,设 P(A) = P(B) = P(C) = 1/3，P(A B) = P(A C)=0，P(B C) = 1/4,
求 A、B、C 至少有一事件发生的概率.
解,P (A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC)- P(BC)
+ P(ABC)
（由于A C 与 A B互不相容 ）
==================== 1-,
1.6,设A,B,C为三个事件，证明：
P (A∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
证明,P (A∪ B∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) – P[(A∪ B)C]
= P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
13
44
=
1.8,一批产品只有200件，其中6件废品，求：
（1）任取3件产品中恰有一件是废品的概率；
（2）任取3件产品中没有废品的概率；
(3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.
解：
（1）设事件A =,任取3个产品中恰有一件是废品”,事件A中的基本事件数：
P(A)
（2）设事件B =,任取3件产品中没有废品”,事件B中的基本事件数：
P(B)
（3）设事件C=“任取3件产品中废品不少于 2 件”
P(C) =
21 3
6194 6
3
200
cc c
c
+
3
200
3
1942
C
C
N
M
==
3
1942
CM
=
3
200
1
6
2
1941
C
CC
N
M
==
1
6
2
1941
CCM
=
,CN:
3
200
=
基本事件总数
1.9,在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数字全部相同的概率（设后面四个数字中的每一个数字都等可能地取自 0,1,2 …,9 ).
解,
设电话号码是 7 位数，事件 B =,后面四个数字全不相等,，则基本事件总数：
事件 A中的基本事件数：
16
9
10NC=
124
910
10M CA=
( ) 0.504
M
PB
N
∴ ==
1.10,从 1-2000 的整数中随机地取出一个数，求：
（1）这个数能被5整除的概 率；（2）这个数能被4和6整除的概率.
解,基本事件总数：
（ 1）设事件A=,这个数能被 5整除,,事件A 中的基本事件数：
（ 2）设 B=“这个数能被 4和 6整除,,事件B 中的基本事件数：
..
C
C
N
M
)B(P 830
1
2000
1
1662
===
1
1662
CM
=
1
4001
CM
=
20
1
2000
1
4001
.
C
C
N
M
)A(P
===
1
2000
CN
=
解,基本事件总数：
事件A 的基本事件数：
3
8
CM
A
=
P ( B ) = 1 – P ( A ) = 8 / 15
事件 C的基本事件数：
1.11,从0,1,2,…,9这10个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：
A =,这三个数字中不含 0 和 5,，
B =,这三个数字中包含0或 5”，
C =,这三个数字中含0但不含5”.
.
C
CC
N
M
)C(P
C
30
7
3
10
2
8
1
1
===
.
C
C
N
M
)A(P
A
15
7
3
10
3
8
===
2
8
1
1
CCM
C
=
3
10
CN
=
1.12,将一枚均匀的骰子掷两次，已知出现的点数之和能被3整除，求恰好是两次都出现3点的概率.
解：试验的基本事件 =,出现点数对”，其中 是第一次出现的点数,是第二次出现的点数,
设事件 A =,出现的点数之和能被 3 整除,，即 A = { | 能被
3 整 除},事件 B =,恰好是两次都出现 3 点,，其中 B A,则
).,...,,j( 621
=
ij
ω
ji
+
),...,,i( 621
=
i
j
ij
ω
{ }
{}
()
()
()
()
()
12 21 15 24 33 42 51 36 45 54 63 66
33
BA
1
12
A,,,,,,,,,,,,
B,
PAB PB
PB|A
PA PA
ωωωωωωωωωωωω
ω
=
=
∴ ===
∵
又
1.13,某种集成电路使用到2000h还能正常工作的概率是0.94，用 3000h 还能正常工作的概率是0.87，求已经工作了 2000h 的集成电路能继续工作到
3000h的概率.
解,设 事件 A =“使用到2000h还能正常工作”，
B =“使用到3000h还能正常工作”,则
1.14,某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码，
求他拨号不超过两次而接通的概率,
解：设 A=,他拨号不超过两次而接通”.
..
.
.
)A(P
)B(P
)A(P
)AB(P
)A|B(P 9250
940
870
====
..
CC
CC
)A(P 20
10
1
1
9
1
10
1
1
1
9
=+=
1.15,设,
求 P( AB ) 及解：
1.16,一盒里有10个电子元件，其中7个正品，3个次品，从中每次抽取一个，不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率.
解：设 A =,第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品,,
).BA|A(P
∪
604050,)B|A(P,.)B(P,.)A(P
===
..
.
.
)BA(P
)A(P
)BA(P
)]BA(A[P
)BA|A(P
,....)BA(P)B(P)A(P)BA(P
,.)BA(P)A(P)AB(P)BA(P)AB(P)A(P
,...)B|A(P)B(P)BA(P
)B(P
)BA(P
)B|A(P
67570
740
50
7403606050
140
3606060
≈=
∪
=
∪
∪
=∪
=?+=?+=∪
=?=?+=
=
′
==?=
3276
() 0.05.
4987
PA=×××=
1.17,猎人在距离100cm处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150 cm ；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这是距离变为 200 cm,假定击中的概率与距离成反比，求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率,
解,设A=“猎人最多涉及三次的情况下击中动物”，由题意猎人击中动物的概率与距离成反比，不妨设概率为 P,距离为 S.
则 P = k / S （ k 为常数 ）.
当 S = 100 时，P = 0.6,得 k = 60,故 P = 60 / S,
60 60 60
( ) 0.6 (1 )(1 0.6)
150 150 200
0.832
PA=× + ×
=
1.18,某射击小组共20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，
四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔而进入比赛的概率分别为 0.9，0.7，0.5，0.2,求任取一位射手能通过选拔进入比赛的概率,
解：设 A =,任取一位射手能通过选拔进入比赛,,
=,这位射手是 级射手,,则
∑
=
==
====
======
4
1
4321
4321
6450
20507090
20
1
20
7
5
2
20
8
5
1
20
4
i
ii
..)B|A(P)B(P)A(P
..)B|A(P,.)B|A(P,.)B|A(P,.)B|A(P
.)B(P,)B(P,)B(P,)B(P
i
B
( 1,2,3,4)ii=
1.19,某种新产品投放市场出现下列三种情况：A =”无销路”，B =”销路一般”，
C =”畅销”，由以往的经验得知，同类产品投放市场后，而面临各种情况的概率为 P( A ) = 0.2,P( B ) = 0.3,P( C ) = 0.5 ; 而在这种情况工厂能得到别人大量投资（设为事件 D）的概率为 P( D | A ) = 0.05,
P( D | B ) = 0.3,P ( D | C ) = 0.98,得到别人投资以使进行新产品试制，求该厂能获大量投资的概率.
解：P( D ) = P( A ) P( D | A ) + P( B )P( D | B ) + P( C )P( D | C )
代入数据，得 P ( D ) = 0.59,
1.20,袋中有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，
求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率.
解：设A=“第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同”.
()
( ) ( )
()( )
11
11
PA
1
aa bb
aa bb
.
abab abab abab
+?
=× +× =
++?++? ++?
1.21,证明：如果,则两事件A与B相互独立.
证明：
)B|A(P)B|A(P
=
.
)B(P
)BA(P
)B(P
)BA(P
)B|A(P,
)B(P
)AB(P
)B|A(P
===
1
).A(P)B(P))BA(P)AB(P)(B(P)AB(P
)BA(P)B(P))B(P)(AB(P
)B(P
)BA(P
)B(P
)AB(P
=+=
=
=
1
1
1.22,对同一靶子进行三次独立射击，第一、二、三次击中的概率分别为求：
（1）这三次射击中恰有一次击中的概率；
（2）这三次射击中至少有一次击中的概率,
解：（1）设 A =,这三次射击中恰有一次击中,,
=,第 次击中,
,.p,.p,.p 705040
321
===
i
B i).,,i( 321
=
..p)B(P,.p)B(P,.p)B(P 705040
332211
======
（2）设 B =“这三次中至少有一次击中”.
.....)BBB(P)B(P 91030506011
321
=
′′
=?=
1.23,甲、乙两个实验员各自独立地做同一个实验，且知甲、乙实验成功的概率分别为0.6,0.8。求实验取得成功的概率.
解,设 A =“实验取得成功”,
=,甲取得成功,,
=,乙取得成功,,则2
B
1
B
()
( ) ( )
()
()
()()
()()()
12 12 12
121212
06 02 04 08 06 08 092
PA PBB PBB PBB
P BPBPBPBPBPB
......,.
=++
=
=×+×+×=
1.24,设一系统由三个元件联结而成（如图），各个元件独立地工作，且每个元件能正常工作的概率均为 p（0<p<1）,求系统能正常工作的概率.
解,设 A =,系统能正常工作,,
=,第 个元件能正常工作,
2
1
3
i
A
i
).,,i( 321
=
.pp
)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P
)AAA(P)AA(P)AA(P
)AAAA(P]A)AA[(P)A(P
32
3213231
3213231
3231321
2
=
+=
+=
∪=∪=
1.25,甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7,如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2 ；如果有二人击中,则飞机被击中的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落,求飞机被击落的概率,
解：设 A =,飞机被击落,,=,第 人击中飞机,
=,人击落飞机,则
j
D
j
i
B
i
),,,i( 321
=
).,,j( 321
=
() ( )
( ) ()( )
()
()()()
()( )
1123 123 123
2123 123 123
3123
0458
PA PD PBBB PBBB PBBB
P D P BB B P BBB P BBB
PD PBBB,
=++
++
+=
1.26,一批产品中由20%的次品，进行放回抽样检查，共取5件样品，计算：
（1）这5件样品中恰有2件次品的概率；
（2）这5件样品中最多有2件次品的概率。
解,（1）n = 5,k = 2,p = 0.2,
（2）n = 5,k = 0、1、2，p = 0.2,
..).().(C)(p 2048080202
322
55
==
..).().(C)k(p
k
kkk
k
942108020
2
0
5
5
2
0
5
==
∑∑
=
=
1.27,设有四门高射炮同时独立地向一架 敌机各射一发炮弹，每门高射炮击中敌机的概率为 0.6,若敌机不少于两 发炮弹击中时，求敌机被击落的概率.
解：设 A =,敌机被击落”，由题意知这是 Bernolli 概型，因此
1
4
4
0
004113
44
() 1 ()
1 (0.6) (0.4)
1 (0.6) (0.4) (0.6) (0.4)
0.8208
kk k
k
PA PA
C
CC
=
=?
=?
=
=
∑
1.28,设每次射击时命中率为0.2，问必须进行多少次独立射击才能使至击中一次的概率不小于0.9?
解：设必须进行n次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9,并且在
n 次独立射击中最多击中 n 次，则两边取对数10801080
802001010
90
00
1
1
,解锝 n≥ 10.325.ln.lnn,..
,).().(C)(P,.)k(P)(P
.)k(P
n
n
nn
n
k
nn
n
k
n
≤≤
=≤?=
≥
∑
∑
=
=
因此，至少进行 11 次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9,
