2.1,一袋装有5只球，编号为1，2，3，4，5,在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的概率分布.
解：
X
3 4 5
0.1 0.3 0.6
)x(p
)x(p
1
1
3
5
C
C
21
31
3
5
CC
C
21
41
3
5
CC
C
2.2,已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式抽样：
（1）不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数X的概率分布；
（2）放回抽样抽取6个产品，求抽得的次品数Y的概率分布.
解：（1）不放回抽样 (服从超几何分布）H(n,m,N)),n=6,N=20,m=4.
X 0 1 2 3 4
0.20660.2066 0.45080.4508 0.28170.2817 0.05780.0578 0.00310.0031
其中，
（2）放回抽样（服从二项分布 B ( n,p )）,n = 6,p = M / N = 0.2,
Y 0 1 2 3 4 5 6
210.26210.26 0.39320.3932 0.24580.2458 0.08190.0819 0.01540.0154 0.00150.0015 0.00010.0001
)x(p
6
416
6
20
( ),1,2,3,4.
xx
CC
px x
C
==
()( )
.,,,,,,y,..C)y(p
yy
y
654321020120
6
6
=?=
)
y
(p
2.3,对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为 p，求射击次数的概率分布,
解,X 表示射击次数，显然，X 的可能的取值是 1,2,3 …
设
,...,,k}k{A
k
321
==
，发击中第
,...,,kp)p()AA...AA(P)kX(P
X;p)p()AAA(P)X(P;p)p()AA(P)X(P;p)A(P)X(P
k
kk
3211
13
12
1
1
121
2
321
21
1
=?===
===
===
===
，
的概率函数为：所以，
以此类推 …
2.4,某射手有 5 发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为止，每次射击击中率为
0.9,求耗用的子弹数X的概率分布,
解：
2.5,设随机变量X的概率函数为：
其中 为常数，试确定常数 a,
（这道题并没有说明是泊松分布，故不能用泊松分布去求解 ）
解：
k
P(X=k)=a,k 1,2,3,4,
k!
λ
=
0
> λ
k1
P(X k) (0.1) 0.9,k 1,2,3,4,
== =
4
P(X 5) (0.1),==
)
!k
e(,ae
!k
a)kX(P
k
k
k
k
k
∑∑∑
+∞
=
+∞
=
+∞
=
====
000
λλ
λλ
注：
.ea,)kX(P
k
λ?
+∞
=
===
∑
所以已知 1
0
(第5次射击有两种情况：子弹用完但未击中或击中,都是前4次未击中),因此
2.6,一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的,求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：
（1）恰有两个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率；
（3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率,
解：设X表示被使用的设备数，X～B(5,0.1)，则X的概率函数：
X 0 1 2 3 4 5
0.59050.5905 0.32810.3281 0.07290.0729 0.00810.0081 0.000450.00045 0.000010.00001
其中，
.,,,,,x,).().(C)xX(P)x(p
xxx
5432109010
5
5
====
.4095.05905.01)0(1)()4(;9954.00081.00729.03281.05905.0)()3(;0086.000001.000045.00081.0)()2(;0729.0)2()1(
5
1
3
0
5
3
=?=?=
=+++=
=++=
=
∑
∑
∑
=
=
=
x
x
x
pxp
xp
xp
p
)x(p
2.7,设随机变量X～P( )，当 m 为何值时，概率 P(X=m) 取得最大值？
解：
P(X=m)
m
01
2
m
P(X=m)
λ
,
m
m
)!m(
e
e
)!m(
e
!m
)mX(P)mX(P
mmm
÷
=
=?=?=
λλλλ
λ
λλ
11
1
11
时达到最大值。在。故时，当
0321
01101
===
<?=?=<<
m)mX(P,...,,m
,)mX(P)mX(P)(
λ
λ
达到最大值。时，如图，所以当数。的增大而减小的递减函是随时，当的递增函数；是即时，有为正整数，当当
)X(P)X(Pm
m)mX(Pm
m)mX(P
),mX(P)mX(Pm)(
1
12
====
=≥
=
=≥=≤
λλλ
λ
λλ
][ λ m
P(X=m)
取得最大值。时，如图，所以当的严格递减函数。是，即时，有当的严格递增函数；是即有时当不是正整数，）若（
)mX(P][m
m)mX(P)mX(P)mX(P][m
m)mX(P
),mX(P)mX(P),mm(][m
==
=?=<=≥
=
=>=+<<≤
λ
λ
λλ
λ
1
11
3
取得最大值。时，不是正整数时，当大；而当为最为正整数时，综上所述，当
)mX(P][m
)X(P)X(P
==
===
λλ
λλλ
1
2.8,在一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001，在某天的该段时间内有1000辆车通过，问出事故的次数不少于 2 的概率,可用二项分布计算，由于 n 很大 p 很小
( p <0,1)，二项分布 B( n,p )的概率函数近似等于泊松分布的概率函数P( )).
λ
解,设X为出事故的次数，由题意，由于n很大p很小( p < 0.1 ),故
X～P( ),因为 n = 1000,p = 0.0001，则 = n p = 0.1.λ
λ
..e
!
.
e
!
.
)X(P)X(P
)kX(P)X(P)X(P
..
k
00470
1
10
0
10
1
101
1212
10
1
10
0
1
0
==
=?=?=
=?=<?=≥
=
∑
2.9,电话站为300个电话用户服务,在1小时内每一电话用户使用电话的概率等于
0.01，求在1小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算.并求相对误差,
解：
2.10.函数 可否是连续随机变量X的概率密度函数.
解：因为故 f(x) 不是连续随机变量X的概率密度函数,
3 ‰5
16800
4
3
4
168909900104
2
21
4
4
2
29644
3001
.
P
|PP|
e
..e
!
)X(P;.).().(C)X(P
≈
=
≈==
≈==
相对误差：
用泊松分布计算：
用二项分布计算：
,x,
x
)x(f
∞<<?∞
+
=
2
1
1
,xarctan
x
dx
dx)x(f 1
1
2
≠==
+
=
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
∫∫
π
2.11,设随机变量 X的概率密度为 求：
（1 ）系数 A ；
（2 ）随机变量X 落在区间（ -1/2，1/2 ）内的概率；（3 ）随机变量 X的分布函数.
解：
.
|x|,
|x|,
x
A
)x(f
≥
<
=
10
1
1
2
.
1
,1)(
,
cos
sin
1
)(1
2
2
1
2
π
π
π
==
==
=
∫
∫∫∫
∞+
∞?
∞?
Adxxf
Adt
t
Atx
x
Adxxf
所以且
）由于（
cos
1
π
∞+
tdx
.
tcos
tdtcos
tsinx
x
dx
xP
3
1
1
2
1
2
1
2
6
6
2
1
2
1
2
==
=
÷
<<?
∫∫
π
π
π
π
）（
∫∫∫∫
∫∫∫
∫
∞∞?
∞?
∞?
=++==≥
+=
===<≤?
==?<
11
11
112
11
2
11
1
1
11
013
.dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(Fx
,xarcsindt
t
dt)t(fdt)t(f)x(Fx
,dt)t(f)x(Fx)(
xx
xxx
x
时，当时，当时，当
π
π
≥
<≤?+
<
=
.x
x,xarcsin
x,
)x(F
11
11
2
11
10
π
所以分布函数
2.12,设随机变量X的概率密度为：,求 X 的分布函数.
解：
≥
<<
≤
=
20
2041
021
x,
x,/
x,e)/(
)x(f
x
∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∞?∞?
∞?∞?∞?
∞?∞?
=++==≥
+=+=+==
<<
===≤
02
02
0
00
0
12
4
1
2
1
4
1
2
1
20
2
1
2
1
0
.dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F,x
,xdtdtedt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F
x
,edtedt)t(f)x(Fx
xx
x
t
xx
x
x
x
t
时当时，当时，当
≥
<<+
≤
=
.x
x,x
,x,e)/(
)x(F
x
21
20
4
1
2
1
021
所以，
2.13,设连续随机变量X的分布函数为，,求：
（1）系数 A ;（2）X 的概率密度 ；3）X 落在区间（ 0.1,0.7 ）内的概率.
解,（1）由随机变量X的分布函数 F( x ) 可知其概率密度为：
.A,dx)x(f
,AAxdxdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
,
,x,Ax
)x(F)x(f
'
11
2
0
102
1
01
1
0
0
==
==++=
<≤
==
∫
∫∫∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
所以且其它由于
≥
<≤
<
=
11
10
00
2
x,
x,Ax
x,
)x(F
（2）X 的概率密度为：
或
<≤
=
其它.,
,x,x
)x(f
0
102
()
..).().().(F).(F.x.P)( 4801070107070103
22
=?=?=<<
..|xxdx).X.(P
.
.
.
.
48027010
70
10
2
70
10
===<<
∫
2.14,公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的,求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率,
解：设上一辆公共汽车于 0 时刻开出,而下一辆公共车在 5 时刻到达,t 是
[ 0,5 ] 上一点，显然乘客只有在时刻 t 以后到达，乘客候车时间不会超过
3 分钟，设随机变量 X 表示乘客到汽车站的时间，由题意知，X～
则 X 的概率密度为：
)5,0(U
≤≤
=
其它
,0
,50,5/1
)(
x
xf
∫∫
=
===≤<
5
2
5
2
.6.0
5
25
5
1
)()52( dxdxxfXP
所以，
2.15,盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从其中任取 4 个球，
设 X 表示取得黑球的个数，Y 表示取得红球的个数，求( X,Y )的联合概率分布.
解：
X
Y
0 1 2
0 0 0 1/35
1 0 6/35 6/35
2 3/35 12/35 3/35
3 2/35 2/35 0
,.../
C
CC
),(p
,/
C
CC
),(p;),(p),(p),(p),(p
35611
35120
023011000
4
7
1
2
1
3
4
7
2
2
2
2
==
==
====
2.16,把一颗均匀的骰子随机地抛两次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量( X,Y ) 的联合概率分布及Y的边缘分布.
解：
X Y 1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36
4 0 0 0 4/36 1/36 1/36
5 0 0 0 0 5/36 1/36
6 0 0 0 0 0 6/36
Y 的边缘分布如表所示,Y 1 2 3 4 5 6
1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
...;/),(p
~
),(p
~
),(p
~
),(p;/),(p
~
),(p
~
),(p
...;/),(p
~
),(p;/),(p
~
),(p
.x,),x(p;,x,),x(p;,,x,),x(p;,,,x,),x(p;,,,,x,),x(p
36333231333
362221222
3612121
3611111
605
6504
65403
654302
6543201
=++=
=+=
==
==
==
==
==
==
==
.ji)j,i(p
~
，第二次出现的点数为表示第一次出现的点数为其中
2.17,设随机变量 ( X,Y ) 的联合概率密度为：
求：（1）常数 k ；（2）P(X<1,Y<3)；（3）P(X<1.5)；（4）
解：
).YX(P 4≤+
4+?= xy
4
4
2
2
o
y
x
<<<<
=
.,
,yx),yx(k
)x(f
其它0
42206
./k,dxdy)y,x(f
kdydx)yx(kdxdy)y,x(f)(
611
861
2
0
4
2
==
==
∫∫
∫∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
所以且因为
∫∫
∫∫
∫∫
==?≤=≤+
==+∞<<?∞<=<
==<<
4
2
4
0
51
0
4
2
1
0
3
2
3
2
6
8
1
444
32
27
6
8
1
51513
8
3
6
8
1
312
y
.
.dxdy)yx()YX(P)YX(P)(
.dydx)yx()Y,.X(P).X(P)(
.dydx)yx()Y,X(P)(
2.18,某种晶体管的使用寿命 X（单位：h ）的概率密度为：
求在 150 h 内
（1）3 只晶体管中没有1只损坏的概率 ；
（2）3 只晶体管中只有1只损坏的概率 ； （3）3 只晶体管全坏的概率,
<
≥
=
.x,
,x,x/
)x(f
1000
100100
2
解,设晶体管在 150 h 内损坏的概率为 p,随机变量 Y 表示晶体管损坏的个数，由于晶体管之间损坏与否是相互独立的，对 3 只晶体管的观察就是 3
次独立试验，因此 Y～B ( 3,p ),
.dx
x
)X(Pp
3
1100
150100
150
100
2
==≤≤=
∫
./)/()/(C)Y(P;/)/)(/(C)Y(P;/)/()/(C)Y(P
271311313
94311311
278311310
033
3
21
3
300
3
=?==
=?==
=?==
2.19,设二维随机变量 ( X,Y ) 在矩形区域,上服从均匀分布，求 ( X,Y ) 的联合概率密度及边缘概率密度,随机变量 X 与 Y 是否相互独立？
解：
是相互独立的。与，所以由于其它，
的边缘概率函数：
其它，
的边缘概率函数为：
其它的联合概率函数：
YX
0
1
0
1
0
1
)y(f)x(f)y,x(f
dxc),cd/(
dx)y,x(f)y(f
Y
,
bxa),ab/(
dy)y,x(f)x(f
X
,
,dyc,bxa,
)dc)(ab()y,x(f)Y,X(
YX
Y
X
=
≤≤?
==
≤≤?
==
≤≤≤≤
=
∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
dyc,bxa
≤≤≤≤
2.20,设随机变量 X 与 Y 独立，X ～ U ( 0，2 )，Y ～ e ( 2 )，求：
（1）二维随机变量 ( X,Y ) 的联合概率密度；（2）概率解：由于 X ～ U ( 0，2 )，Y ～ e( 2 )，所以它们的概率密度分别为
xy=
2
x
y
o
).YX(P
≤
.
.y,
y,e
)y(f,
,
x,/
)x(f
/y
YX
≤
>
=
≤≤
=
00
0
2
1
0
2021
2
其它
.
,
y,x,e
)y(f)x(f)y,x(f
YX)(
/y
YX
>≤≤
==
0
020
4
1
1
2
相互独立，故与由于
..edydxe)XY(P)YX(P)(
/y
x
632101
4
1
112
12
2
00
≈?=?=<?=≤
∫∫
2.21,在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的，若收到两个独立的时间间隔小于 0.5 S,则信号将产生互相干扰，求两个信号互相干扰的率.
解：设两个信号进入收音机的时间分别为 X、Y，由题意知
12 12 2 1
~ (,),~ (,),60sXUtt YUtt tt?=且
.
.,
tyt,/
)y(f,
,
txt,/
)x(f
YX
≤≤
=
≤≤
=
其它其它所以，
0
601
0
601
2121
≤≤≤≤
=
.,
,tyt,txt,/
)y,x(f
其它由于X与Y相互独立，因此它们的联合概率密度为：
0
36001
2121
.dxdy).YX.Y(P
).YX.(P).|YX(|P
t
t
.y
.y
∫∫
+
==+≤≤?=
≤?≤?=≤?
2
1
50
50
60
1
3600
1
5050
505050则
2.22,设 X ～ B( 3,0.4 )，求下列随机变量函数的概率分布.
（1） （2）
解,因为随机变量X的概率函数如下表：
X 0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
0 1 4 9
0.216 0.432 0.288 0.064
)(
i
xp
)(
i
yp
0 1
0.28 0.72
2
Y
)(
i
yp
1
Y;XY
2
1
=,
)X(X
Y
2
3
2
=
的概率分布为：
随机变量
1
1
Y
)(
的概率分布为：随机变量
2
2
Y
)(
2.23,设随机变量 X 的概率密度为求随机变量 Y = ln X 的概率密度.
解：
.
x,
x,
)x()x(f
≤
>
+=
00
0
1
2
2
π
+∞<<∞?
+
==
+
=≤=≤=≤=
∫
y,
)e(
e
)y(F)y(f
dx
)x(
)eX(P)yX(lnP)yY(P)y(F
Y
y
y
'
Y
e
y
Y
y
2
0
2
1
2
1
2
π
π
得，
的分布函数：先求
2.24,设随机变量X的概率密度为,求下列随机变量函数的概率密度:
解：
<<
=
其它,
x,x
)x(f
0
102
.XY)(;XY)(;XY)(
2
321
31221
=+==
.y,
y
y)y(F)x(f
,xdx)yX(P)yX(P)yY(P)y(F)(;y),y()y(F)x(f
,xdx)yX(P
)yX(P)yX(P)yY(P)y(F)(;y,/y)/)(/y()y(F)x(f
,xdx)/yX(P)yX(P)yY(P)y(F)(
'
Y
y
Y
'
Y
y
Y
'
Y
/y
Y
101
2
1
2
203
1012
2111
112
2022122
2221
3
3
2
2
1
1
3
0
2
3
2
1
0
2
1
2
0
1
<<=×==
=≤≤=≤=≤=
<<?==
=?<?=
≥=≤+?=≤=
<<===
=≤=≤=≤=
∫
∫
∫
2.25,设X与 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
求随机变量Z=X+Y的概率密度.
解：
y
xo
1
zyx =+
zx
.
y,
y,e
)y(f,
,
x,
)x(f
y_
YX
≤
>
=
≤≤
=
00
0
0
101
其它
.
,
y,x,e
)y,x(f
)Y,X(Y,X
y_
>≤≤
=
0
010
的联合概率密度为：是相互独立的，则由于;)zZ(P)z(Fz)(
Z
001
=≤=<
时，当
zyx =+
zyx
y
xo
1
zyx =+
zyx
y
xo
1;ezdydxe)zYX(P)zZ(P)z(F
z)(
z
z
xz
y
Z ∫∫
+==≤+=≤=
<≤
00
1
102 时，当
.eedydxe)zYX(P)zZ(P)z(F
z)(
zz
xz
y
Z
∫∫
+?==≤+=≤=
≥
1
0
1
0
1
13 时，当
.
.z,e)e(
,z,e
z,
)z(F)z(f
z
z
'
ZZ
>?
≤≤?
<
==
11
101
00
所以，
2.26,设随机变量 ( X,Y ) 的联合概率分布为：
求:（1）U = max ( X,Y ) 的概率分布；
（2）V = min ( X,Y ) 的概率分布；
（3）W = X + Y 的概率分布.
X Y 0 1 2 3 4 5
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
解：
U 0 1 2 3 4 5
0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
..),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p)U(P;),(p)U(P
)Y,Xmax(U)(
280535251505
240434241404
2802313333231303
16012022221202
0401101101
0000
5432101
=+++==
=+++==
=+++++==
=++++==
=++==
===
=
。它的分布如下：，，，，，的可能的值为
)u(p
i
V 0 1 2 3
0.28 0.30 0.25 0.17
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
..),(p),(p),(p)V(P;.),(p),(p),(p),(p),(p)V(P;.),(p),(p),(p),(p),(p),(p),(p)V(P;.),(p),(p),(p),(p),(p),(p).(p),(p),(p)V(P
.,,,:)Y,Xmin(V)(
1705343333
25023524232222
300131251413121111
2800302015040302010000
32102
=++==
=++++==
=++++++==
=++++++++==
=
它的概率函数如下：可能取值为;.......),(p),(p),(p),(p)W(p;.),(p),(p),(p),(p)W(p;.),(p),(p),(p)W(p;.),(p),(p)W(p;),(p)W(P
:YXW)(
190221331404
130300312213
0600220112
02001101
0000
8765432103
=+++==
=+++==
=++==
=+==
===
+=
。，，，，，，，,的可能取值为
)v(p
i
)w(p
i
解：
X
3 4 5
0.1 0.3 0.6
)x(p
)x(p
1
1
3
5
C
C
21
31
3
5
CC
C
21
41
3
5
CC
C
2.2,已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式抽样：
（1）不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数X的概率分布；
（2）放回抽样抽取6个产品，求抽得的次品数Y的概率分布.
解：（1）不放回抽样 (服从超几何分布）H(n,m,N)),n=6,N=20,m=4.
X 0 1 2 3 4
0.20660.2066 0.45080.4508 0.28170.2817 0.05780.0578 0.00310.0031
其中，
（2）放回抽样（服从二项分布 B ( n,p )）,n = 6,p = M / N = 0.2,
Y 0 1 2 3 4 5 6
210.26210.26 0.39320.3932 0.24580.2458 0.08190.0819 0.01540.0154 0.00150.0015 0.00010.0001
)x(p
6
416
6
20
( ),1,2,3,4.
xx
CC
px x
C
==
()( )
.,,,,,,y,..C)y(p
yy
y
654321020120
6
6
=?=
)
y
(p
2.3,对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为 p，求射击次数的概率分布,
解,X 表示射击次数，显然，X 的可能的取值是 1,2,3 …
设
,...,,k}k{A
k
321
==
，发击中第
,...,,kp)p()AA...AA(P)kX(P
X;p)p()AAA(P)X(P;p)p()AA(P)X(P;p)A(P)X(P
k
kk
3211
13
12
1
1
121
2
321
21
1
=?===
===
===
===
，
的概率函数为：所以，
以此类推 …
2.4,某射手有 5 发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为止，每次射击击中率为
0.9,求耗用的子弹数X的概率分布,
解：
2.5,设随机变量X的概率函数为：
其中 为常数，试确定常数 a,
（这道题并没有说明是泊松分布，故不能用泊松分布去求解 ）
解：
k
P(X=k)=a,k 1,2,3,4,
k!
λ
=
0
> λ
k1
P(X k) (0.1) 0.9,k 1,2,3,4,
== =
4
P(X 5) (0.1),==
)
!k
e(,ae
!k
a)kX(P
k
k
k
k
k
∑∑∑
+∞
=
+∞
=
+∞
=
====
000
λλ
λλ
注：
.ea,)kX(P
k
λ?
+∞
=
===
∑
所以已知 1
0
(第5次射击有两种情况：子弹用完但未击中或击中,都是前4次未击中),因此
2.6,一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的,求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：
（1）恰有两个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率；
（3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率,
解：设X表示被使用的设备数，X～B(5,0.1)，则X的概率函数：
X 0 1 2 3 4 5
0.59050.5905 0.32810.3281 0.07290.0729 0.00810.0081 0.000450.00045 0.000010.00001
其中，
.,,,,,x,).().(C)xX(P)x(p
xxx
5432109010
5
5
====
.4095.05905.01)0(1)()4(;9954.00081.00729.03281.05905.0)()3(;0086.000001.000045.00081.0)()2(;0729.0)2()1(
5
1
3
0
5
3
=?=?=
=+++=
=++=
=
∑
∑
∑
=
=
=
x
x
x
pxp
xp
xp
p
)x(p
2.7,设随机变量X～P( )，当 m 为何值时，概率 P(X=m) 取得最大值？
解：
P(X=m)
m
01
2
m
P(X=m)
λ
,
m
m
)!m(
e
e
)!m(
e
!m
)mX(P)mX(P
mmm
÷
=
=?=?=
λλλλ
λ
λλ
11
1
11
时达到最大值。在。故时，当
0321
01101
===
<?=?=<<
m)mX(P,...,,m
,)mX(P)mX(P)(
λ
λ
达到最大值。时，如图，所以当数。的增大而减小的递减函是随时，当的递增函数；是即时，有为正整数，当当
)X(P)X(Pm
m)mX(Pm
m)mX(P
),mX(P)mX(Pm)(
1
12
====
=≥
=
=≥=≤
λλλ
λ
λλ
][ λ m
P(X=m)
取得最大值。时，如图，所以当的严格递减函数。是，即时，有当的严格递增函数；是即有时当不是正整数，）若（
)mX(P][m
m)mX(P)mX(P)mX(P][m
m)mX(P
),mX(P)mX(P),mm(][m
==
=?=<=≥
=
=>=+<<≤
λ
λ
λλ
λ
1
11
3
取得最大值。时，不是正整数时，当大；而当为最为正整数时，综上所述，当
)mX(P][m
)X(P)X(P
==
===
λλ
λλλ
1
2.8,在一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001，在某天的该段时间内有1000辆车通过，问出事故的次数不少于 2 的概率,可用二项分布计算，由于 n 很大 p 很小
( p <0,1)，二项分布 B( n,p )的概率函数近似等于泊松分布的概率函数P( )).
λ
解,设X为出事故的次数，由题意，由于n很大p很小( p < 0.1 ),故
X～P( ),因为 n = 1000,p = 0.0001，则 = n p = 0.1.λ
λ
..e
!
.
e
!
.
)X(P)X(P
)kX(P)X(P)X(P
..
k
00470
1
10
0
10
1
101
1212
10
1
10
0
1
0
==
=?=?=
=?=<?=≥
=
∑
2.9,电话站为300个电话用户服务,在1小时内每一电话用户使用电话的概率等于
0.01，求在1小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算.并求相对误差,
解：
2.10.函数 可否是连续随机变量X的概率密度函数.
解：因为故 f(x) 不是连续随机变量X的概率密度函数,
3 ‰5
16800
4
3
4
168909900104
2
21
4
4
2
29644
3001
.
P
|PP|
e
..e
!
)X(P;.).().(C)X(P
≈
=
≈==
≈==
相对误差：
用泊松分布计算：
用二项分布计算：
,x,
x
)x(f
∞<<?∞
+
=
2
1
1
,xarctan
x
dx
dx)x(f 1
1
2
≠==
+
=
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
∫∫
π
2.11,设随机变量 X的概率密度为 求：
（1 ）系数 A ；
（2 ）随机变量X 落在区间（ -1/2，1/2 ）内的概率；（3 ）随机变量 X的分布函数.
解：
.
|x|,
|x|,
x
A
)x(f
≥
<
=
10
1
1
2
.
1
,1)(
,
cos
sin
1
)(1
2
2
1
2
π
π
π
==
==
=
∫
∫∫∫
∞+
∞?
∞?
Adxxf
Adt
t
Atx
x
Adxxf
所以且
）由于（
cos
1
π
∞+
tdx
.
tcos
tdtcos
tsinx
x
dx
xP
3
1
1
2
1
2
1
2
6
6
2
1
2
1
2
==
=
÷
<<?
∫∫
π
π
π
π
）（
∫∫∫∫
∫∫∫
∫
∞∞?
∞?
∞?
=++==≥
+=
===<≤?
==?<
11
11
112
11
2
11
1
1
11
013
.dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(Fx
,xarcsindt
t
dt)t(fdt)t(f)x(Fx
,dt)t(f)x(Fx)(
xx
xxx
x
时，当时，当时，当
π
π
≥
<≤?+
<
=
.x
x,xarcsin
x,
)x(F
11
11
2
11
10
π
所以分布函数
2.12,设随机变量X的概率密度为：,求 X 的分布函数.
解：
≥
<<
≤
=
20
2041
021
x,
x,/
x,e)/(
)x(f
x
∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∞?∞?
∞?∞?∞?
∞?∞?
=++==≥
+=+=+==
<<
===≤
02
02
0
00
0
12
4
1
2
1
4
1
2
1
20
2
1
2
1
0
.dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F,x
,xdtdtedt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F
x
,edtedt)t(f)x(Fx
xx
x
t
xx
x
x
x
t
时当时，当时，当
≥
<<+
≤
=
.x
x,x
,x,e)/(
)x(F
x
21
20
4
1
2
1
021
所以，
2.13,设连续随机变量X的分布函数为，,求：
（1）系数 A ;（2）X 的概率密度 ；3）X 落在区间（ 0.1,0.7 ）内的概率.
解,（1）由随机变量X的分布函数 F( x ) 可知其概率密度为：
.A,dx)x(f
,AAxdxdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
,
,x,Ax
)x(F)x(f
'
11
2
0
102
1
01
1
0
0
==
==++=
<≤
==
∫
∫∫∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
所以且其它由于
≥
<≤
<
=
11
10
00
2
x,
x,Ax
x,
)x(F
（2）X 的概率密度为：
或
<≤
=
其它.,
,x,x
)x(f
0
102
()
..).().().(F).(F.x.P)( 4801070107070103
22
=?=?=<<
..|xxdx).X.(P
.
.
.
.
48027010
70
10
2
70
10
===<<
∫
2.14,公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的,求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率,
解：设上一辆公共汽车于 0 时刻开出,而下一辆公共车在 5 时刻到达,t 是
[ 0,5 ] 上一点，显然乘客只有在时刻 t 以后到达，乘客候车时间不会超过
3 分钟，设随机变量 X 表示乘客到汽车站的时间，由题意知，X～
则 X 的概率密度为：
)5,0(U
≤≤
=
其它
,0
,50,5/1
)(
x
xf
∫∫
=
===≤<
5
2
5
2
.6.0
5
25
5
1
)()52( dxdxxfXP
所以，
2.15,盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从其中任取 4 个球，
设 X 表示取得黑球的个数，Y 表示取得红球的个数，求( X,Y )的联合概率分布.
解：
X
Y
0 1 2
0 0 0 1/35
1 0 6/35 6/35
2 3/35 12/35 3/35
3 2/35 2/35 0
,.../
C
CC
),(p
,/
C
CC
),(p;),(p),(p),(p),(p
35611
35120
023011000
4
7
1
2
1
3
4
7
2
2
2
2
==
==
====
2.16,把一颗均匀的骰子随机地抛两次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量( X,Y ) 的联合概率分布及Y的边缘分布.
解：
X Y 1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36
4 0 0 0 4/36 1/36 1/36
5 0 0 0 0 5/36 1/36
6 0 0 0 0 0 6/36
Y 的边缘分布如表所示,Y 1 2 3 4 5 6
1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
...;/),(p
~
),(p
~
),(p
~
),(p;/),(p
~
),(p
~
),(p
...;/),(p
~
),(p;/),(p
~
),(p
.x,),x(p;,x,),x(p;,,x,),x(p;,,,x,),x(p;,,,,x,),x(p
36333231333
362221222
3612121
3611111
605
6504
65403
654302
6543201
=++=
=+=
==
==
==
==
==
==
==
.ji)j,i(p
~
，第二次出现的点数为表示第一次出现的点数为其中
2.17,设随机变量 ( X,Y ) 的联合概率密度为：
求：（1）常数 k ；（2）P(X<1,Y<3)；（3）P(X<1.5)；（4）
解：
).YX(P 4≤+
4+?= xy
4
4
2
2
o
y
x
<<<<
=
.,
,yx),yx(k
)x(f
其它0
42206
./k,dxdy)y,x(f
kdydx)yx(kdxdy)y,x(f)(
611
861
2
0
4
2
==
==
∫∫
∫∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
所以且因为
∫∫
∫∫
∫∫
==?≤=≤+
==+∞<<?∞<=<
==<<
4
2
4
0
51
0
4
2
1
0
3
2
3
2
6
8
1
444
32
27
6
8
1
51513
8
3
6
8
1
312
y
.
.dxdy)yx()YX(P)YX(P)(
.dydx)yx()Y,.X(P).X(P)(
.dydx)yx()Y,X(P)(
2.18,某种晶体管的使用寿命 X（单位：h ）的概率密度为：
求在 150 h 内
（1）3 只晶体管中没有1只损坏的概率 ；
（2）3 只晶体管中只有1只损坏的概率 ； （3）3 只晶体管全坏的概率,
<
≥
=
.x,
,x,x/
)x(f
1000
100100
2
解,设晶体管在 150 h 内损坏的概率为 p,随机变量 Y 表示晶体管损坏的个数，由于晶体管之间损坏与否是相互独立的，对 3 只晶体管的观察就是 3
次独立试验，因此 Y～B ( 3,p ),
.dx
x
)X(Pp
3
1100
150100
150
100
2
==≤≤=
∫
./)/()/(C)Y(P;/)/)(/(C)Y(P;/)/()/(C)Y(P
271311313
94311311
278311310
033
3
21
3
300
3
=?==
=?==
=?==
2.19,设二维随机变量 ( X,Y ) 在矩形区域,上服从均匀分布，求 ( X,Y ) 的联合概率密度及边缘概率密度,随机变量 X 与 Y 是否相互独立？
解：
是相互独立的。与，所以由于其它，
的边缘概率函数：
其它，
的边缘概率函数为：
其它的联合概率函数：
YX
0
1
0
1
0
1
)y(f)x(f)y,x(f
dxc),cd/(
dx)y,x(f)y(f
Y
,
bxa),ab/(
dy)y,x(f)x(f
X
,
,dyc,bxa,
)dc)(ab()y,x(f)Y,X(
YX
Y
X
=
≤≤?
==
≤≤?
==
≤≤≤≤
=
∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
dyc,bxa
≤≤≤≤
2.20,设随机变量 X 与 Y 独立，X ～ U ( 0，2 )，Y ～ e ( 2 )，求：
（1）二维随机变量 ( X,Y ) 的联合概率密度；（2）概率解：由于 X ～ U ( 0，2 )，Y ～ e( 2 )，所以它们的概率密度分别为
xy=
2
x
y
o
).YX(P
≤
.
.y,
y,e
)y(f,
,
x,/
)x(f
/y
YX
≤
>
=
≤≤
=
00
0
2
1
0
2021
2
其它
.
,
y,x,e
)y(f)x(f)y,x(f
YX)(
/y
YX
>≤≤
==
0
020
4
1
1
2
相互独立，故与由于
..edydxe)XY(P)YX(P)(
/y
x
632101
4
1
112
12
2
00
≈?=?=<?=≤
∫∫
2.21,在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的，若收到两个独立的时间间隔小于 0.5 S,则信号将产生互相干扰，求两个信号互相干扰的率.
解：设两个信号进入收音机的时间分别为 X、Y，由题意知
12 12 2 1
~ (,),~ (,),60sXUtt YUtt tt?=且
.
.,
tyt,/
)y(f,
,
txt,/
)x(f
YX
≤≤
=
≤≤
=
其它其它所以，
0
601
0
601
2121
≤≤≤≤
=
.,
,tyt,txt,/
)y,x(f
其它由于X与Y相互独立，因此它们的联合概率密度为：
0
36001
2121
.dxdy).YX.Y(P
).YX.(P).|YX(|P
t
t
.y
.y
∫∫
+
==+≤≤?=
≤?≤?=≤?
2
1
50
50
60
1
3600
1
5050
505050则
2.22,设 X ～ B( 3,0.4 )，求下列随机变量函数的概率分布.
（1） （2）
解,因为随机变量X的概率函数如下表：
X 0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
0 1 4 9
0.216 0.432 0.288 0.064
)(
i
xp
)(
i
yp
0 1
0.28 0.72
2
Y
)(
i
yp
1
Y;XY
2
1
=,
)X(X
Y
2
3
2
=
的概率分布为：
随机变量
1
1
Y
)(
的概率分布为：随机变量
2
2
Y
)(
2.23,设随机变量 X 的概率密度为求随机变量 Y = ln X 的概率密度.
解：
.
x,
x,
)x()x(f
≤
>
+=
00
0
1
2
2
π
+∞<<∞?
+
==
+
=≤=≤=≤=
∫
y,
)e(
e
)y(F)y(f
dx
)x(
)eX(P)yX(lnP)yY(P)y(F
Y
y
y
'
Y
e
y
Y
y
2
0
2
1
2
1
2
π
π
得，
的分布函数：先求
2.24,设随机变量X的概率密度为,求下列随机变量函数的概率密度:
解：
<<
=
其它,
x,x
)x(f
0
102
.XY)(;XY)(;XY)(
2
321
31221
=+==
.y,
y
y)y(F)x(f
,xdx)yX(P)yX(P)yY(P)y(F)(;y),y()y(F)x(f
,xdx)yX(P
)yX(P)yX(P)yY(P)y(F)(;y,/y)/)(/y()y(F)x(f
,xdx)/yX(P)yX(P)yY(P)y(F)(
'
Y
y
Y
'
Y
y
Y
'
Y
/y
Y
101
2
1
2
203
1012
2111
112
2022122
2221
3
3
2
2
1
1
3
0
2
3
2
1
0
2
1
2
0
1
<<=×==
=≤≤=≤=≤=
<<?==
=?<?=
≥=≤+?=≤=
<<===
=≤=≤=≤=
∫
∫
∫
2.25,设X与 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
求随机变量Z=X+Y的概率密度.
解：
y
xo
1
zyx =+
zx
.
y,
y,e
)y(f,
,
x,
)x(f
y_
YX
≤
>
=
≤≤
=
00
0
0
101
其它
.
,
y,x,e
)y,x(f
)Y,X(Y,X
y_
>≤≤
=
0
010
的联合概率密度为：是相互独立的，则由于;)zZ(P)z(Fz)(
Z
001
=≤=<
时，当
zyx =+
zyx
y
xo
1
zyx =+
zyx
y
xo
1;ezdydxe)zYX(P)zZ(P)z(F
z)(
z
z
xz
y
Z ∫∫
+==≤+=≤=
<≤
00
1
102 时，当
.eedydxe)zYX(P)zZ(P)z(F
z)(
zz
xz
y
Z
∫∫
+?==≤+=≤=
≥
1
0
1
0
1
13 时，当
.
.z,e)e(
,z,e
z,
)z(F)z(f
z
z
'
ZZ
>?
≤≤?
<
==
11
101
00
所以，
2.26,设随机变量 ( X,Y ) 的联合概率分布为：
求:（1）U = max ( X,Y ) 的概率分布；
（2）V = min ( X,Y ) 的概率分布；
（3）W = X + Y 的概率分布.
X Y 0 1 2 3 4 5
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
解：
U 0 1 2 3 4 5
0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
..),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p),(p),(p)U(P;.),(p),(p),(p)U(P;),(p)U(P
)Y,Xmax(U)(
280535251505
240434241404
2802313333231303
16012022221202
0401101101
0000
5432101
=+++==
=+++==
=+++++==
=++++==
=++==
===
=
。它的分布如下：，，，，，的可能的值为
)u(p
i
V 0 1 2 3
0.28 0.30 0.25 0.17
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
..),(p),(p),(p)V(P;.),(p),(p),(p),(p),(p)V(P;.),(p),(p),(p),(p),(p),(p),(p)V(P;.),(p),(p),(p),(p),(p),(p).(p),(p),(p)V(P
.,,,:)Y,Xmin(V)(
1705343333
25023524232222
300131251413121111
2800302015040302010000
32102
=++==
=++++==
=++++++==
=++++++++==
=
它的概率函数如下：可能取值为;.......),(p),(p),(p),(p)W(p;.),(p),(p),(p),(p)W(p;.),(p),(p),(p)W(p;.),(p),(p)W(p;),(p)W(P
:YXW)(
190221331404
130300312213
0600220112
02001101
0000
8765432103
=+++==
=+++==
=++==
=+==
===
+=
。，，，，，，，,的可能取值为
)v(p
i
)w(p
i
