5.1,设抽样得到样本观测值为
38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.4
计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩,
..)(
,..,.)(;.
1944
1
15872664664
1
1
540
1
2
1
2
2
1
22
1
=?=
===?
=
==
∑
∑
∑
=
=
=
xx
n
U
Sxnx
n
S
x
n
x
n
i
i
n
i
n
i
i
i
解：
5.2,设抽样得到100个样本观测值如下：
观测值观测值 1 2 3 4 5 6
频数频数 15 21 25 20 12 7
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩,
..)(
~
,.)(
,.
)(
)(
)(
10042
1
1212
1
1
143
1
2
6
1
2
2
6
1
2
6
1
=?=
=?
=
==
∑
∑
∑
=
=
=
xxn
n
xxn
n
S
xn
n
x
i
ii
i
ii
i
ii
σ
解：
5.3,从某工厂生产的铆钉中抽取200个，测量铆钉头的直径，得到频率分布表如下,(略)
(1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩(计算时把各个子区间的中点值取作观测值),(2)作直方图.（略）
解：
()
()
null
()
12
1
12
2
2
1
12
2
2
1
1
13 42
200
1
0 01221
199
1
0 01215
200
i
i
i
i
i
i
i
i
i
xnx.;
snxx.;
nx x,,σ
=
=
=
==
=?=
∑
∑
∑
5.4,从总体中抽取容量为 n 的样本,设 c 为任意常数,k 为任意正整数，作变换证明,( 1 ) ( 2 ) 其中及 分别是 的样本均值及样本方差；
及 分别是 的样本均值及样本方差,
证明：
12 n
X,X,,X…
( )
12
ii
YkXc,i,,,n.=?=…
2
2
2
y
x
S
Y
Xc;S ;
kk
=+ =
2
2
x
y
X S
YS
12 n
X,X,,X…
12 n
Y,Y,,Y…
() ()
()
()
()
()
()
()
2
11 1
2
2
2
11
2
2
22 2
2
1
1
2
1
1
ii i
ii i
nn
i
yi
ii
n
y
ixx
i
YY kXc Xkc
nn n
Y
kX kc k X c X c,
k
kX c kX kc
SYY
S
kX k X k S S,
nk
== =
==
=
==?=

=?==?
11
nn n
k



=?=

=?=?=
∑∑ ∑
∑∑
∑
5.5,从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及,设两组的样本均值分别为 及,样本方差分别为 及,把这两组样本合并为一组容量为 的联合样本，证明：
(1) 联合样本的样本均值
(2) 联合样本的样本方差
12
nn
12
XX
22
12
SS
12
12
12
nX nX
X
nn
+
=
+
()()
( )
()( )
2
22
12
12
11222
12 1212
11
nn X X
nSnS
S
nn nnnn
+?
=+
+?++?
12
nn+
12
11 12 1 21 22 2nn
X,X,,X,X,X,X……
证明：设联合样本为 则
()
()
()
()
22
12
12
2
2
11 1
11
2
2
2 2
22 2
12
11
12
112 2
11
12 1 2
12
12
12
12
12 12
1
1
1
1
11 1
1
nn
ii
ii
nn
ij
ij
nn
ij
ij
XX,S XX,
XX,S XX.
nn
XXX
nn
nXn X
nn n n
nX nX
nX nX,
nn nn
==
==
==

=+

+

+
+
=+=
++
∑∑
∑∑
∑∑
ii
()
() ()()
()
()
12 1 2
11
222
12
111
12 12
22
12 12
12 12
12 12 12
2
12
2
2
1
1
12 12
2
1
1
1
2
1
nn n n
kij
ij
nn
i
ii
XX XX X X
nn nn
nX nX nX nX
nn nn nn
nX X
XX
nn nn
+
===
==

=?+?

+? +?



++

=?+?

+? + +




=?+ +
+? +

∑∑∑
∑∑
()
()
()
()()
()
()
()
()
()()
()
1
22
12
2
1
1
1
12
2
12 12
2
11
2 2
2 2
11 1
12 12
2
2
12 12
12 12
2
1
1
2
12 12 12 12
12
2
2
12
12
2
2
2
12 12
1
2
1 1
2
11 1
1 1
11
j
n
i
i
n
nn
j j
jj
nX X
XX
nn
nX X nX X
XX XX
nn nn
nn X X nn X X
n
S
nn nn nn nn
nn
nn X X
n
S
nn nn
n
=
== =
+



+?+
++


=+ +
+? +? +? +
+
++
+? +?
∑
∑∑ ∑
i
i
()
()
()()
()()
()
()( )
12
12
2
12 12
2
2
22
12
12
1122
12 1212
2
1
nn X X
nn nn
n
nn X X
nSnS
nn nnnn
+? +
+
+?
=+
+? + +?
5.6,设随机变量 X,Y,Z 相互独立，都服从标准正态分布 N（ 0,1），求随机变量函数 的分布函数与概率密度；并验证定理 1 当 k=3 是成立，
即,
解,且相互独立，
222
UX Y Z=++
()
2
3U~χ
() ( )
()
() ( )
()
()
()
()
222
2
3
1
01
xyz
X,Y,Z~N,,f x,y,z e,
2
222
2
222
2
2
2
3
000
2
2
2
0
1
222
2
1
2
2
0
2
00
211
0
222
000
U
r
u
xyzu
r
u
uu
U
Fu PUu PX Y Z u
f x,y,z dxdydz d d e r sin dr
erdr,u ;
,u,
eu ue,u ;
fu
u
,.
ππ
π
θ
π
π
ππ
++≤

++
∴=
∴ =≤= ++≤
=
=
=>
≤
=>
=
≤
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫
∵
5.7,设随机变量 X 服从自由度为 k 的 t 分布，证明：随机变量 服从自由度为 （1,k ）的 F 分布.
证明：
2
YX=
( )
() ()
()
()
2
22
2
2
U
X=
Vk
UN01 V k
U1
U
YX F1k
Vk
X~tk
/
~,,~,
~
~,.
/
χ
χ
∴
∴
∴==
∵
不妨设其中
5.8,设随机变量 X 服从自由度为 的 F 分布，证明：随机变量服从自由度为 的 F 分布; 从而证明：
证明：
()
21
k,k
( )
12
k,k
()
()
112
21
1
Fk,k
Fk,k
α
α
=
()
() ()
()
()() ()
() ()
()
()()
22
1
12
2
2
21
1
12 1 21
12 12
121
12
1
1
11 11
1
1
1
U/k
X,U~k,V~k,
V/k
V/k
Y~Fk,
XU/k
PX F k,k,PY F k,k,
PP
XFk,k XFk,k
PY PY F k,k
Fk,k
αα
α
α
χχ
αα
12
X~F k,k
α α
α
∴ =
∴ ==
≥=≥ =?

∴ ≤=?≥=?



≥=?=≥


∴
∵
()
()
112
21
1
Fk,k
F k,k
α
α
=
5.9,设随机变量 X 服从正态分布
( 1 ) 从总体中抽取容量为 64 的样本，求样本均值 与总体均值 之差的绝对值小于 1 的概率
( 2 ) 抽取样本容量 n 多大时，才能使概率 达到 0.95？
( )
2
5N,μ
X μ
( )
1P|X | ;μ?<
( )
1P | X |μ? <
.,.,.)/(,.)/(
,)/()
///
()|(|
)./,(~)(
..)/
/
/()|(|
.
)()()(.,)()(
,)(
96961
5
97505950152
152
5
1
55
1
1
52
8904058
85
581
64
25
64
11
64
1
64
11
1
222
2
64
1
2
1
64
1
64
11
====?
=<
<?=<?
=<
<?=<?
=====
==
∑∑∑
∑∑
===
==
n
n
nn
n
nn
X
n
PXP
nNXn
X
PXP
XDX
n
DXDXEXE
XX
n
X
i
i
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
ΦΦ
Φ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
，已知设抽取样本容量为则解：
5.10,从总体 中抽取容量为 10 的样本,
( 1 ) 已知 求 的概率；
( 2 ) 未知 求 的概率,
()
2
05N,.μ
12 10
X,X,,X…
10
2
1
04
i
i
,Xμ
=
=≥
∑
()
10
2
1
28
i
i
,XX.μ
=
<
∑
...).(
).().(].)[)(
..))
.
(()./)
.
(()(
),,(~
.
)(
7502501411361
8529185298522
1016
50
504
50
4
10
50
0
01
2
22
10
1
2
10
1
22
10
1
2
10
1
2
=?=≥?=
≥?=<=<?
=≥=≥=≥
=
∑
∑∑∑
=
===
SP
SPSPXXP
X
P
X
PXP
N
X
i
i
i
i
i
i
i
i
i
（
则，已知解：
μ
5.11,设总体 从总体 X 中抽取容量为 10 的样本，从总体 Y 中抽取容量为 8 的样本，求下列概率：
()
()
()
2
2
10 82 828
x
y
S
P|XY|; P,.
S

<?< <


( ) ( )
22
50 6 46 4X ~N,,Y~N,,
....
/
/
.
/
/
.
/
/
.)(
..).(
.
//
)(
.
)()(
9500501683
4
6
1683
4
6
6
4
288
4
6
2882
909016912
65
4
84106
4650
65
4
801
22
22
22
22
2
2
22
22
2
2
22
=?=
÷
÷
≥?=
÷
÷
<=
÷
÷
′
<=
÷
÷
<
=?=
÷
÷
<
+

<
=
<?<
y
x
y
x
y
x
y
x
S
S
P
S
S
P
S
S
P
S
S
P
YX
P
YXP
Φ
解：
).(~
,.
,,,...,,),,(~.
1
1
5.12
1
1
2
21
2
+
+
+
nt
S
XX
n
n
XS
XXXXNX
n
n
n
证明：统计量若再抽取一个样本样本方差为样本均值为抽取样本设总体
σμ
).(~
/
),(~
)(
),,(~),,(~
),/,(~),,(~),,(~
1
1
1
1
1
10
1
1
0
1
2
2
2
2
2
1
2
1
22
1
2
+
=
=
=
+
=
+
+
+
+
+
nt
S
XX
n
n
nV
U
T
SX
n
Sn
V
N
n
n
XX
U
n
n
NXX
nNXNXNX
n
n
n
n
相互独立，则统计量与又因为而统计量有统计量则证明：
χ
σ
σ
σ
σμσμσμ
].),...,,[min()(
];),...,,[max()(
,,...,,),,(~.
52
101
28
5.13
1021
1021
1021
2
<
>
XXXP
XXXP
XXXNX
求下列概率：抽取样本设总体
..)]([)()(
..)]([)()(
)]([)()()(
).,...,,min(),,...,,max(
)(
)()(
)()(
49910
2
85
1152
8224011
2
810
2
8
1101
101101101
10
1
10
10
1
10
1
10
1
102111021
=
=<
=?=
≤
=≤?=
≤?=≤?=>
==
==
=
Φ
ΦΠΠ
XP
X
PXP
XPXPXP
XXXXXXXX
i
i
i
i
i
i
nn
n
∩
解：令的概率分布。样本均值与方差；的数学期望样本均值求抽取样本设总体
X
XX
XXXPX
n
)(
)(
:,,...,,),(~.
2
1
5.14
21
λ
...,,,
!
)(
)/(
...,,,
!
)(
)(
),(~)(
./,)()(,)()()(
.)(,)(,,...,,),(~
210
210
2
11
1
21
1
1
2
1
===
===
=
====
===
=
==
∑
∑∑
ye
y
n
nyXP
X
ye
y
n
yYP
nPXY
nXD
n
XDXE
n
XE
XDXEniPX
n
y
n
y
n
n
i
in
n
i
i
n
i
i
iii
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λλλ
的概率函数为所以，样本均值概率函数为：
解：已知的数学期望。样本方差的数学期望与方差；样本均值求抽取样本设总体
2
21
2
1
5.15
S
X
XXXeX
n
)(
)(
:,,...,,),(~.
λ
.)/()(
))(()([])()([
)()()(,)(
./)()(,)()()(
.)(,)(,,...,,),(~
222
1
22
2
1
2
2
1
222
1
22
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
11
1
21
λλλλλ
λλ
λλλ
=
÷
÷

=
÷
÷

=
÷
÷
=
÷
÷
=
====
===
∑
∑
∑∑
∑∑
=
=
==
==
nn
n
XEXDnXEXD
n
XnEXE
n
SEXnX
n
S
nXD
n
XDXE
n
XE
XDXEnieX
n
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
iii
解：已知