3.1,甲、乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为：
0.10.20.30.4
3210X
00.20.50.3
3210Y
若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？
)(
jY
yp)(
iX
xp
解,E( X ) = 0×0.4 + 1×0.3 + 2×0.2 + 3×0.1 = 1;
E( Y ) = 0×0.3 + 1×0.5 + 2×0.2 + 3×0 = 0.9
从上式可知甲机器较好.
3.2,某种电子元件的寿命 X ( 单位：h )的概率密度为：
其中 为常数.求这种电子元件的平均寿命.
解：
.
x,
x,xe
)x(f
x
≤
>
=
00
0
2 α
α
./2
1
)(
0
2
0
2
0
22
α
α
αα
α
∫∫∫
+∞
+∞
+∞
=?===
ttx
detdtetxtdxexXE
0
>α
解：由题意
3.3,设随机变量X的概率密度为：
已知 E ( X ) = 0.75,求 k 及 α 的值.
01
0
kx,x
f(x),
,
α
< <
=
其他
1
0
1
2
0
1
2
1
3
075 2
075
f ( x)dx k x dx
k
k
k.( )
E( X ) x k x dx,
α
α
α
α
+∞
∞
==
=

=+


=
=+
==
∫∫
∫
i
i
3.4,设随机变量X的概率分布如右：
求
1/21/61/61/6
210-1X
解：
).();12();(
2
XEXEXE
+?
)(
iX
xp
.
3
1
2
2
1
4
6
1
1
6
1
0
6
1
1)(;1
2
1
)3(
6
1
)1(
6
1
1
6
1
3)12(;1
2
1
2
6
1
1
6
1
0
6
1
)1()(
2
=
′
+
′
+
′
+
′
=
=
′
+
′
+
′
+
′
=+?
=
′
+
′
+
′
+
′
=
XE
XE
XE
3.5,一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取个.如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期方差与标准差.
解：设 X 是在取得合格品以前已取出的废品数,X 的可能的取值为 0,1,2,3.
则X的概率函数为：
1/2209/2209/449/12
3210X
)x(p
iX
)x(p
iX
12
9
11
9
12
3
×
10
9
11
2
12
3
××
9
9
10
1
11
2
12
3
×××
.31.0)]([)()(;4.0
220
1
9
220
9
4
44
9
1
4
3
0)(;3.0
220
1
3
220
9
2
44
9
1
4
3
0)(
22
2
=?=
=
′
+
′
+
′
+
′
=
=
′
+
′
+
′
+
′
=
XEXEXD
XE
XE
3.6,设随机变量X的分布函数为：
试确定常数 a,b,并求 E( X )、D( X ).
解：由已知随机变量 X 的分布函数的其概率密度
.
1,1
11,arcsin
1,0
)(
>
≤≤?+
<
=
x
xxba
x
xF
./)]X(E[)X(E)X(D;/dx
x
x
)X(E;dx
x
x
)X(E
.
a
b
)(,aaarcsina)(F
b|xarcsinbdx
x
b
dx)x(f
21
21
1
0
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
22
1
1 2
2
2
1
1 2
1
1
1
1
2
=?=
=
==
=
=
=
=+=×+=+=
===
=
∫∫
∫∫

∞+
∞
ππ
π
π
ππ
π
连续性解：
3.7,设随机变量X服从自由度为 k 的 分布，其概率密度为：
其中k为正整数，求X的数学期望和方差。
≤
>
=

.x,;x,ex
)/k()x(f
/x/k
/k
00
0
22
1
212
2
Γ
2
λ
dx
dx
.kkkk)]X(E[)X(E)X(D;kk)/k()/k()/k(
)/k(
dte)t(
)/k(
/xt
ex
)/k(
ex
)/k(
)X(E;k)/k(
)/k(
dtet
)/k(
/xt
ex
)/k(
ex
)/k(
)X(E
t/k
/k
/x/k
/k
/x/k
/k
t)/k()/k(
/k
/x/k
/k
/x/k
/k
22
22212
2
4
2
22
2
2
22
1
22
1
12
2
2
2
22
1
2
22
1
22
1
2222
2
0
12
2
00
212
2
212
2
2
0
11212
2
00
22
2
22
2
=?+=+=
+=××+×==
==
=+==
==
∫
∫∫
∫
∫∫
∞+
+
∞+∞+
+?+
∞+
++
∞+∞+

Γ
ΓΓ
ΓΓ
Γ
ΓΓ
ΓΓ
dx
dx dx
3.8,证明：函数,当 t = E ( X ) 时取得最小值,且最小值为 D( X ).
])tX[(E)t(
2
=?
证明：
{}
).X(Dt)X(Et
]t)X(E[E)X(D
]t)X(E)][X(EX[E
]t)X(E[E)]X(EX[E
]t)X(E[)]X(EX[E])tX[(E)t(
）有最小值为（时，当
=
+=
+
+?=
+?=?=
2
22
2
2
2
3.9,某人的一串钥匙有 n 把，其中只有一把能开自己的门,他随意地试用这些钥匙，并且试用过的钥匙不再试用。求试用次数的数学期望与方差.
解：设随机变量X表示试用次数，X 的可能取值为1,2,3,…,n,则它的概率函数为
.
nn
n
n
n
)nX(P;...
nknkn
kn
n
n
n
n
)kX(P;
nnn
n
)X(P;
n
)X(P
1
1
2
1
1
21
1
1
1
2
1
1
21
1
1
11
2
1
1
=××××
×
==
=
+?
×
+?
+?
×××
×
==
=
×
==
==
.
n
)]X(E[)X(E)X(D;
)n)(n(
n
)n...()X(E;
n
n
)n...()X(E
12
1
6
1211
21
2
11
21
2
22
2222
=?=
++
=′+++=
+
=′+++=
3.10,设随机变量 X 在[ 0,1/2 ]上服从均匀分布，
求 E( Y ) 与 D( Y ),
解：X ～ U( 0,1/2 )，则 X 的概率密度为
,2
2
XY
=
≤≤
=
.,;/x,
)x(f
其它0
2102
.)]Y(E[)Y(E)Y(D;x)X(E)Y(E;x)X(E)Y(E
/
/
45
1
36
1
20
1
20
1
8
6
1
4
22
21
0
442
21
0
22
=?=?=
===
===
∫
∫
dx
dx
dx
3.11,在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量 X (单位：t ),
它在 [2000,4000] 上服从均匀分布,若每售出 1t，可得外汇 3 万元,如果销售不出而积压则需浪费保养费 1万元 / t,问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？
解：设收益为 T，货源为 n 吨,已知 X ～ U( 2000,4000 ),则 X 的概率密度为所以当货源 n = 3500 吨才能使平均收益最大.
8250
1000
3500
2000
4
2000
3
3
43
2
2000
4000
+
=
+=
=≤
==>
∫∫
)n(nxn
)T(E
.XTXn;nX)Xn(XTXn
n
n
时，收益当时，收益当
dx
dx
dx
.
,
x,/
)x(f
≤≤
=
其它0
4000200020001
3.12,已知随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E( X ) = 2,D( X )=1,E( Y ) = 1,
D( Y = 4 ),设 U = X – 2 Y,V= 2 X - Y
求 E( U ),D( U ),E( V ),D( V ).
解,E( U ) = E( X – 2 Y ) = E( X)-2 E( Y) = 2 - 2×1 = 0;
D( U ) = D( X – 2 Y ) = D( X ) + 4 D( Y ) = 1 + 4×4 = 17;
E( V ) = E( 2 X – Y ) = 2 E( X ) - E( Y ) = 2×2 – 1 = 3;
D( V ) = D( 2 X – Y ) = 4 D( X ) + D( Y ) = 4×1 + 4 = 8.
3.13,计算泊松分布 的三阶原点矩及三阶中心矩.
解：
.)X(v)X(v)X(v)X(v)X(;
)!x(
xe)x(Px)X(E)X(v
e
!x
)x(P
x
xx
x
λμ
λλλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=+?=
++=
×===
=
∞
=
∞
=
∑∑
3
11233
23
1
1
2
0
33
3
23
3
1
。：泊松分布的概率函数为
)(P
λ
3.14,设二维随机变量 ( X,Y ) 的概率密度为：
求,(1) 数学期望 E( X )及 E( Y ); (2) 方差 D( X )及 D( Y );
(3) 协方差 cov( X,Y )及相关系数 R( X,Y ).
解:
.)]X(E[)X(E)X(D;dxxdx)x(fx)X(E;dxxdx)x(xf)X(E;xxydydy)y,x(f)x(f
X
X
x
X
49
3
3
32
3
7
12
32
3
32
3
16
3
22
2
0
722
2
0
6
5
0
2
=?=
===
===
===
∫∫
∫∫
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
≤≤≤≤
=
其它,;xy,x,xy
)y,x(f
0
020
16
3
2;dyyyydy)y(fy)Y(E;dyyyydy)y(yf)Y(E;yyxydxdx)y,x(f)y(f
Y
Y
y
Y
5
24
32
3
8
3
2
32
3
8
3
32
3
8
3
16
3
4
0
2222
4
0
2
2
2
=
÷
==
=
÷
==
===
∫∫
∫∫
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
..
)Y(D)X(D
)Y,Xcov(
)Y,X(R;)Y(E)X(E)XY(E)Y,Xcov(;)]Y(E[)Y(E)Y(D
5740
63
8
5
4
22
≈=
=?=
=?=
3.15,设 X,Y 是随机变量，证明：
D ( X ) = D ( Y ) 的充要条件是 X + Y 与 X – Y 不相关.
证明：;)Y(D)X(D
)]Y(E[)]X(E[)YX(E
)YX(E)YX(E)]YX)(YX[(E)YX,YXcov(
""
0
2222
=?=
=
++=?+
).Y(D)X(D
)Y(D)X(D
)]Y(E[)]X(E[)YX(E
)YX(E)YX(E)]YX)(YX[(E)Y,Xcov(
,)YX,YXcov(YXYX""
=
=
=
++=
=?+?+?
所以，
不相关，即与
2222
0
3.16,设随机变量 (X,Y ) 的概率密度为：
求 c o v( X,Y )，并问 X 与 Y 是否独立，是否相关，为什么？
解：
不相关。与因此所以，
不独立。所以由于
YX,)Y(E)X(E)XY(E)Y,Xcov(;dx)y(ydx)y(ydx|)y|(y)Y(E;xdx)X(E;xydxdy)XY(E
Y,X),y(f)x(f)y,x(f;|y|dx)y(f,xdy)x(f
x
x
YX
|y|
Y
x
x
X
0
0111
3
2
2
0
1121
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
=?=
=?++=?=
==
==
≠
====
∫∫∫
∫
∫∫
∫∫

<<<
=
其它,;x,x|y|,
)y,x(f
0
101
3.17,已知正常男性成人的每一毫升血液中白细胞平均数是 7300，标准差是 700，
利用切比雪夫不等式估计每一毫克血液中白细胞在 5200～9400 之间的概率.
解,由题意知随机变量 X 表示每毫克血液中白细胞数而 E（X）=7300,σ（X）=700
2
1
ε
ε
)X(D
)|)X(EX(|P
≥<?
由切比雪夫不等式知
.
)(
)|X(|P
9
8
2100
700
121007300
2100
2
2
=?≥<?
=
，有取
ε
3.18,设随机变量X服从幂—指分布，其概率密度为：
利用切比雪夫不等式证明：
证明：
≤
>
=
.x,;x,
!m
ex
)x(f
xm
00
0
.
m
m
)]m(X[P
1
120
+
≥+<<
,m)]X(E[)X(E)X(D
);m)(m(dx
!m
ex
x)X(E
.mdxex)m(
)e(d
!m
x
dx
!m
ex
xdx)x(xf)X(E
xm
xm
x
mxm
1
12
11
22
0
22
0
0
1
0
+=?=
++==
+=+=
=×==
∫
∫
∫∫∫
∞+
∞+
∞+
+
∞+
∞?
∞+
.
m
m)X(D
)|)X(EX(|P
)m|)m(X(|P)]m(X[P
,m
1
1
11120
1
2
+
=?≥<?=
+<+?=+<<
+=
ε
ε
ε
取