4.1,设随机变量,且,求 c 的值；
又若,求 a 的值.
解：
2
52X~N(,)
P( X c ) P( X c )>= ≤
09P( X a ),<=
() ( )
()()
()()
()
()
1
1
05
c5 c5
0 5,0
22
c5 09
a5 a5
0 9,1.28
a7.85
PX c PX c
PX c PX c
PX c PX c
PX c,
,PXc.
.
>=? ≤
>= ≤
∴?≤=≤
∴ ≤=
Φ=
∴ =<=
∴ =
∵
又且即（ ） =,查表知而
（ ）=,查表知
4.2,设机变量,借助标准正态分布表计算下列概率,
01X ~N(,)
1 222 1763 1794 15( ) P( X,); ( ) P( X,); ( ) P( X,); ( ) P(|X|,).<><? <
1 2 2 2 2 0 9861
2 1 76 1 1 76 1 1 76 0 0392
3 1 79 1 79 1 1 79 0 0367
4 1 55 1 55 1 55 1 55 1 55
2 1 55 1 0 8788
()P(X,) (.),
()P(X,) P(X,) (,),
()P(X,) (,) (,),
()P(| X |,)P(,X,) (.) (.)
(,),,
<=Φ=
>=?≤=?Φ=
<? =Φ? =?Φ =
<=?<<=Φ?Φ?
=Φ?=
解：
4.3,设随即变量,借助标准正态分布表计算下列概率,
116X~N(,)?
11 24 2 15 3 4
45 2
( )P( )P(X,);( )P(X,);( )P(|X| );
()P( X ).
< >? <
< <
()
()
116
14
244 1
1 2 44 0 86 0 8051
4
2151PX1505478
3 4 P 4<X<4 4 4 0 6678
4 5 2 2 5 0 6147
X~N(,)
,,
.
()P(X,) (,),
()P(X,),,
()P(|X| ) ( ) ( ),
()P( X ) )() ( ),
μσ
∴ =? =
+
<=Φ =Φ=
>? =? ≤? =
<=? =Φ?Φ?=
< < =Φ?Φ? =
∵
解：
4.4,测量某一目标的距离时，测量误差 （单位,m），
（ 2）求测量误差的绝对值不超过30m 的概率；
（ 3）若做三次独立测量，求至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率,
2
XN040~(,)
()
()
[]
[]()
3
111
3
123
3 3
30 0 30
130
40 40 40
0 75 0 75 2 0 75 1 0 5468
2
11
110
1 1 30 1 1 0 5468 0 9069
nn
iii
iii
.
X
P(| X | ) P
(,) (,) (,),
pP(A) P(A) P(A)
P( A )P( A )P( A ) P(| X | )
P(| X | ),,
===
≤=?≤ ≤
=Φ?Φ? = Φ? =
==?=?
=? =? >
= ≤ = =
∪∩∩
设 =,第 i 次测量误差绝对值不超过 30 cm”，则所求概率为
i
A
解：
4.5,设成年男子身高 （单位,cm）
(1) 求成年男子身高大于 160 cm 的概率；
(2) 公共汽车车么门应设计多高才能使男子碰头的机会小于 0.05,
2
X~N(170,10 )
.,.,.)(
.)(.)(
h cm,则
)(;.)()()(
cmh
h
hXP
hXPhXP
XPXP
186950
10
170
950
0501050
2
84130
10
170160
116011601
=>
÷
>≤
<≤<>
=
÷
=≤?=>
Φ
Φ
即设车门应设计的高度为解：
4.6,加工某种零件，若采用工艺 A,则完成时间 ；若采用工艺 B,则完成时间 （单位,min）,问：
(1) 若允许加工在 60 min 内完成，应选何种工艺？
(2) 若允许加工在 50 min 内完成，应选何种工艺？
2
XN504~(,)
2
X N 40 10~(,)
...)()(
,.)()()(
...).()(
,.)()()(
AXP
XP
BXP
XP
B
A
B
A
故采用工艺故采用工艺解：
500
4
5050
50
841301
10
4050
502
9938052
4
5060
60
977202
10
4060
601
==
÷
=<
==
÷
=<
==
÷
=<
==
÷
=<
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
.,~
),,(,...,,.
=
∑
=
NX
n
Y
NXXX
n
i
i
n
1
2
21
1
4.7
μ
σμ
证明：
分布相互独立，都服从正态设
2
n
σ
).,(~,
.)()()(
,)()()(
.)(,)(),(~
n
NX
n
Y
n
XD
n
X
n
DYD
XE
n
X
n
EYE
XDXEX
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
iii
2
1
2
1
2
1
11
22
1
11
11
σ
μ
σ
μ
σμσμ
∑
∑∑
∑∑
=
==
==
=
===
===
==
所以则，证明：由题意
4.8,设 X～N(1,2),Y～N(10,1)且X与Y独立,令 Z=2X-Y+3，求 E(Z),D(Z),
并写出 Z 的概率密度.
X~N(1,2) Y~N(10,1)
EX 1 DX 2 EY 10 DY 1
EZ 2EX EY 3 5 DZ 4DX DY 9
ZN59
,
(),(),(),()
() () (),() () ()
~(,).
解：
∴ === =
∴ =?+=? =+=
∴?
∵
又 X 与 Y 相互独立
4.9,设随机变量,求 X 与 Y 的协方差.
( )
01
n
X ~N,,Y X=
( ) ( ) ( ) ( )
()
1
0n
n!! n
n
cov X,Y E XY E X E Y
,
EX
,
+
=?
==
为奇数，
为偶数,
解：
对分布函数求导得概率密度：
()
()
2
2
2
1
0
2
00
ln y
Y
e,y
f y.
y
,y
μ
σ
πσ
>
=
≤
() ( )
()
()( )
X
Y
PX lny Flny y 0
Fy PYy=Pe y
0,
,≤ =≥?
=≤ ≤=
≤
4.10,设,求 的概率密度（称为对数正态分布）.
解：
( )
2 X
X ~N,Y eμσ =
()
()
()
2
2
2
2
1
x
X
X~N,,f x e,
μ
σ
μσ
∴=∵
2πσ
所以 Y 的分布函数为：
4.11,设求.
解：
()
()
2
2
2X
22
XN Ye EY~,,,
μμ
σ
μσ
=
()
()
2
2
2
2 2
2
2
2
2
x-
2X
2X
22
2
x
2
t
2
1
EY Ee e e
2
1x
et=
2
1
et1
2
dx
dx
d.
μ
μμ
μμ
σσ
σ
σ
πσ
σ
πσ
πσ
+∞
∞
+∞
∞
+∞?
∞
==
=
==
∫
∫
∫
i
令有实根的概率。求的二次方程为设关于的联合概率密度。求的概率密度为匀分布，
上服从均，在变量，是两个相互独立的随机与设
tYX tt
t
YX
yfY
XYX
Y
,
)(
),()(
)(
.
02
2
1
1][0
4.12
2
=++
..)..(
)()(
.,)()(
,
.,
,
)()(),(
),()(
14450508413021
1
2
1
0422
0
010
2
1
1
1
0
2
1
00
2
2
22
2
2
2
==
==≥
≥≥?=
>≤≤
==
∫∫∫
π
dxedy dxeYXP
YXYX
yxe
yfxfyxf
YXYX
x
x
y
y
YX
则即方程有实根的条件其它
，
的联合概率密度为相互独立，则与因为解：
Δ
2
1
0
2
00
y
e,y
,
,y
>
=
≤
( ) ( )
22
X~N,,Y~N,
XY XY
μ σμσ
ξα β ηα β=+与
4.13,设且X 与 Y 相互独立，试求 的相关系数（α，β为常数 ）,
解：
()
( )
() ()
( ) ( ) ()()
()()()()
()
() ( ) () ()
()
() ( ) () ()
()
()
222
22 222
22 222
22
22
R
DD
EEE
E X+ Y X- Y E X+ Y E X- Y
DDX+Y DX DY
DDX-Y DX DY
R
cov
cov
.
ξη
ξη
ξη
ξη ξη ξ η
α βαβ αβ αβ
αβσ
ξαβα β αβσ
ηαβα β αβσ
αβ
ξη
αβ
=
=?
=?
==+=+
==+=+
∴=
+
∵
，
，
，
，
4.14,计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(即取最接近于它的整数).
设所有的取整误差都是相互独立的，且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布.
试求将 1500 个数相加时,取整误差总和的绝对值超过 15 的概率.
解：
[ ]
() ()
()()( )
i
2
ii
1500
1
1500
1
1500
1
XU55i=12150
1
EX 0 DX
12
X
PX 15 1PX 151P-15 X 15
-n
-15-n 15-n
1P
nn
-1500 0
-15-0 15-1500 0
1P
111
1500 1500 1500
12 12 12
i
i
i
i
i
i
~
,
X,
|| ||
X
X
μσ
μ
μμ
σσσ
=
=
=
∴ == =
=
>=? ≤? ≤≤
=? ≤ ≤
×
×
=? ≤ ≤
××
∑
∑
∑
∵null，，,，
()( ) ()
1 1 34 1 34 2 2 1 34 0 1802..,..
=?Φ?Φ? =?Φ =
4.15,设一大批产品的次品率为 0.05，今从这批产品中随机抽取 100 件，求抽得次品的频率 X/100 与 0.05 之差的绝对值小于 0.01 的概率(其中 X 为取得的次品数)。
..).(
.)(.
)().|.(|
..)()(
,.)(),.,(~
3544014602
754
56
1754
54
64010050
100
7541
3050100050100
=?=
÷
÷
≤
≤
=
<<=<?
=?=
=
′
==
Φ
pn p
n pX
P
XP
X
P
pn pXD
n pXEBX
解：因为
4.16,某各单位设置一台电话总机，共有200个电话分机,每个电话分机有 5% 的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要多少条外线才能以 90% 的概率保证每个分机要使用外线可供使用.
解：设需要 m 条外线,,200 个电话在同于是可使用情爱县的数量,
由题意知
n
Y =
( )
()
()
()
()
n
Y B 200,0 05~.
n
n
np 200 0 05 10 np 1-p 3 08
Ynpm10
PY m P 09
308
np 1-p
m10
1.28 0 9 1 28 m 14
308
.,.,
.
.
.,.,
.
=× = =
≤= ≤ =
Φ= =∴=查表知 即,
又若,求 a 的值.
解：
2
52X~N(,)
P( X c ) P( X c )>= ≤
09P( X a ),<=
() ( )
()()
()()
()
()
1
1
05
c5 c5
0 5,0
22
c5 09
a5 a5
0 9,1.28
a7.85
PX c PX c
PX c PX c
PX c PX c
PX c,
,PXc.
.
>=? ≤
>= ≤
∴?≤=≤
∴ ≤=
Φ=
∴ =<=
∴ =
∵
又且即（ ） =,查表知而
（ ）=,查表知
4.2,设机变量,借助标准正态分布表计算下列概率,
01X ~N(,)
1 222 1763 1794 15( ) P( X,); ( ) P( X,); ( ) P( X,); ( ) P(|X|,).<><? <
1 2 2 2 2 0 9861
2 1 76 1 1 76 1 1 76 0 0392
3 1 79 1 79 1 1 79 0 0367
4 1 55 1 55 1 55 1 55 1 55
2 1 55 1 0 8788
()P(X,) (.),
()P(X,) P(X,) (,),
()P(X,) (,) (,),
()P(| X |,)P(,X,) (.) (.)
(,),,
<=Φ=
>=?≤=?Φ=
<? =Φ? =?Φ =
<=?<<=Φ?Φ?
=Φ?=
解：
4.3,设随即变量,借助标准正态分布表计算下列概率,
116X~N(,)?
11 24 2 15 3 4
45 2
( )P( )P(X,);( )P(X,);( )P(|X| );
()P( X ).
< >? <
< <
()
()
116
14
244 1
1 2 44 0 86 0 8051
4
2151PX1505478
3 4 P 4<X<4 4 4 0 6678
4 5 2 2 5 0 6147
X~N(,)
,,
.
()P(X,) (,),
()P(X,),,
()P(|X| ) ( ) ( ),
()P( X ) )() ( ),
μσ
∴ =? =
+
<=Φ =Φ=
>? =? ≤? =
<=? =Φ?Φ?=
< < =Φ?Φ? =
∵
解：
4.4,测量某一目标的距离时，测量误差 （单位,m），
（ 2）求测量误差的绝对值不超过30m 的概率；
（ 3）若做三次独立测量，求至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率,
2
XN040~(,)
()
()
[]
[]()
3
111
3
123
3 3
30 0 30
130
40 40 40
0 75 0 75 2 0 75 1 0 5468
2
11
110
1 1 30 1 1 0 5468 0 9069
nn
iii
iii
.
X
P(| X | ) P
(,) (,) (,),
pP(A) P(A) P(A)
P( A )P( A )P( A ) P(| X | )
P(| X | ),,
===
≤=?≤ ≤
=Φ?Φ? = Φ? =
==?=?
=? =? >
= ≤ = =
∪∩∩
设 =,第 i 次测量误差绝对值不超过 30 cm”，则所求概率为
i
A
解：
4.5,设成年男子身高 （单位,cm）
(1) 求成年男子身高大于 160 cm 的概率；
(2) 公共汽车车么门应设计多高才能使男子碰头的机会小于 0.05,
2
X~N(170,10 )
.,.,.)(
.)(.)(
h cm,则
)(;.)()()(
cmh
h
hXP
hXPhXP
XPXP
186950
10
170
950
0501050
2
84130
10
170160
116011601
=>
÷
>≤
<≤<>
=
÷
=≤?=>
Φ
Φ
即设车门应设计的高度为解：
4.6,加工某种零件，若采用工艺 A,则完成时间 ；若采用工艺 B,则完成时间 （单位,min）,问：
(1) 若允许加工在 60 min 内完成，应选何种工艺？
(2) 若允许加工在 50 min 内完成，应选何种工艺？
2
XN504~(,)
2
X N 40 10~(,)
...)()(
,.)()()(
...).()(
,.)()()(
AXP
XP
BXP
XP
B
A
B
A
故采用工艺故采用工艺解：
500
4
5050
50
841301
10
4050
502
9938052
4
5060
60
977202
10
4060
601
==
÷
=<
==
÷
=<
==
÷
=<
==
÷
=<
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
.,~
),,(,...,,.
=
∑
=
NX
n
Y
NXXX
n
i
i
n
1
2
21
1
4.7
μ
σμ
证明：
分布相互独立，都服从正态设
2
n
σ
).,(~,
.)()()(
,)()()(
.)(,)(),(~
n
NX
n
Y
n
XD
n
X
n
DYD
XE
n
X
n
EYE
XDXEX
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
iii
2
1
2
1
2
1
11
22
1
11
11
σ
μ
σ
μ
σμσμ
∑
∑∑
∑∑
=
==
==
=
===
===
==
所以则，证明：由题意
4.8,设 X～N(1,2),Y～N(10,1)且X与Y独立,令 Z=2X-Y+3，求 E(Z),D(Z),
并写出 Z 的概率密度.
X~N(1,2) Y~N(10,1)
EX 1 DX 2 EY 10 DY 1
EZ 2EX EY 3 5 DZ 4DX DY 9
ZN59
,
(),(),(),()
() () (),() () ()
~(,).
解：
∴ === =
∴ =?+=? =+=
∴?
∵
又 X 与 Y 相互独立
4.9,设随机变量,求 X 与 Y 的协方差.
( )
01
n
X ~N,,Y X=
( ) ( ) ( ) ( )
()
1
0n
n!! n
n
cov X,Y E XY E X E Y
,
EX
,
+
=?
==
为奇数，
为偶数,
解：
对分布函数求导得概率密度：
()
()
2
2
2
1
0
2
00
ln y
Y
e,y
f y.
y
,y
μ
σ
πσ
>
=
≤
() ( )
()
()( )
X
Y
PX lny Flny y 0
Fy PYy=Pe y
0,
,≤ =≥?
=≤ ≤=
≤
4.10,设,求 的概率密度（称为对数正态分布）.
解：
( )
2 X
X ~N,Y eμσ =
()
()
()
2
2
2
2
1
x
X
X~N,,f x e,
μ
σ
μσ
∴=∵
2πσ
所以 Y 的分布函数为：
4.11,设求.
解：
()
()
2
2
2X
22
XN Ye EY~,,,
μμ
σ
μσ
=
()
()
2
2
2
2 2
2
2
2
2
x-
2X
2X
22
2
x
2
t
2
1
EY Ee e e
2
1x
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2
1
et1
2
dx
dx
d.
μ
μμ
μμ
σσ
σ
σ
πσ
σ
πσ
πσ
+∞
∞
+∞
∞
+∞?
∞
==
=
==
∫
∫
∫
i
令有实根的概率。求的二次方程为设关于的联合概率密度。求的概率密度为匀分布，
上服从均，在变量，是两个相互独立的随机与设
tYX tt
t
YX
yfY
XYX
Y
,
)(
),()(
)(
.
02
2
1
1][0
4.12
2
=++
..)..(
)()(
.,)()(
,
.,
,
)()(),(
),()(
14450508413021
1
2
1
0422
0
010
2
1
1
1
0
2
1
00
2
2
22
2
2
2
==
==≥
≥≥?=
>≤≤
==
∫∫∫
π
dxedy dxeYXP
YXYX
yxe
yfxfyxf
YXYX
x
x
y
y
YX
则即方程有实根的条件其它
，
的联合概率密度为相互独立，则与因为解：
Δ
2
1
0
2
00
y
e,y
,
,y
>
=
≤
( ) ( )
22
X~N,,Y~N,
XY XY
μ σμσ
ξα β ηα β=+与
4.13,设且X 与 Y 相互独立，试求 的相关系数（α，β为常数 ）,
解：
()
( )
() ()
( ) ( ) ()()
()()()()
()
() ( ) () ()
()
() ( ) () ()
()
()
222
22 222
22 222
22
22
R
DD
EEE
E X+ Y X- Y E X+ Y E X- Y
DDX+Y DX DY
DDX-Y DX DY
R
cov
cov
.
ξη
ξη
ξη
ξη ξη ξ η
α βαβ αβ αβ
αβσ
ξαβα β αβσ
ηαβα β αβσ
αβ
ξη
αβ
=
=?
=?
==+=+
==+=+
∴=
+
∵
，
，
，
，
4.14,计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(即取最接近于它的整数).
设所有的取整误差都是相互独立的，且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布.
试求将 1500 个数相加时,取整误差总和的绝对值超过 15 的概率.
解：
[ ]
() ()
()()( )
i
2
ii
1500
1
1500
1
1500
1
XU55i=12150
1
EX 0 DX
12
X
PX 15 1PX 151P-15 X 15
-n
-15-n 15-n
1P
nn
-1500 0
-15-0 15-1500 0
1P
111
1500 1500 1500
12 12 12
i
i
i
i
i
i
~
,
X,
|| ||
X
X
μσ
μ
μμ
σσσ
=
=
=
∴ == =
=
>=? ≤? ≤≤
=? ≤ ≤
×
×
=? ≤ ≤
××
∑
∑
∑
∵null，，,，
()( ) ()
1 1 34 1 34 2 2 1 34 0 1802..,..
=?Φ?Φ? =?Φ =
4.15,设一大批产品的次品率为 0.05，今从这批产品中随机抽取 100 件，求抽得次品的频率 X/100 与 0.05 之差的绝对值小于 0.01 的概率(其中 X 为取得的次品数)。
..).(
.)(.
)().|.(|
..)()(
,.)(),.,(~
3544014602
754
56
1754
54
64010050
100
7541
3050100050100
=?=
÷
÷
≤
≤
=
<<=<?
=?=
=
′
==
Φ
pn p
n pX
P
XP
X
P
pn pXD
n pXEBX
解：因为
4.16,某各单位设置一台电话总机，共有200个电话分机,每个电话分机有 5% 的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要多少条外线才能以 90% 的概率保证每个分机要使用外线可供使用.
解：设需要 m 条外线,,200 个电话在同于是可使用情爱县的数量,
由题意知
n
Y =
( )
()
()
()
()
n
Y B 200,0 05~.
n
n
np 200 0 05 10 np 1-p 3 08
Ynpm10
PY m P 09
308
np 1-p
m10
1.28 0 9 1 28 m 14
308
.,.,
.
.
.,.,
.
=× = =
≤= ≤ =
Φ= =∴=查表知 即,
