.x;X
.XX
n
)X(vX
n
V
,)X(E)X(v)(
.....,,x,e
!x
);x(P
.n,...,,i),(P~X
n
i
i
n
i
i
x
i
=
=
==
=
==
==
=
∑
∑
=
=
λλ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
的矩估计值：
的矩估计量：由此得到即
，估计总体一阶原点矩用样本一阶原点矩总体一阶原点矩其概率函数为解：由题意，
1
1
1
1
1
1
1
1
210
21
6.1.设总体 x ～ P(λ),若样本观测值,求参数 的矩估计值与最大似然估计值.
12 n
x,x,,x,λ…
λ
λ
Πλ
=
= e
!x
)(L)(
i
x
n
i 1
2似然函数：
!x
e
i
x
n
i
λ
Π
λ
1=
=
∑∑
==
+?=
n
i
i
n
i
i
)!xln(lnxn)(Lln
11
λλλ
0
1
1
=?+?=
∑
=
n
i
i
xn
d
)(Llnd
λλ
λ
∑
=
=
n
i
i
nx
1
λ
.xx
n
n
i
i∑
=
==
1
1
λ
.
X
X
X
,XX
n
V
.dxx)X(E)X(v)(
n
i
i
11
1
1
1
1
1
1
0
1
1
=?=
==
===
∑
∫
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
则样本一阶原点矩总体均值解：
,xx)(L)(
i
n
i
n
i
n
i
1
1
1
1
2
=
=
==
θθ
ΠθθΠθ似然函数
.
xln
n
xln
n
d
)(Llnd
,xln)(lnn)(Lln
n
i
i
n
i
i
n
i
i
∑
∑
∑
=
=
=
=?=+=
+=
1
1
1
0
1
θ
θθ
θ
θθθ
最大似然估计值。
的矩估计值与求参数。若样本观测值其中
，
其它的概率密度为设总体
θθ
θ
θ
θ
,,...,,
,
,
);(
.
n
xxx
xx
xf
X
21
1
0
0
10
6.2.
>
<<
=
.
)(
)(
dtet
)(
dte
t
)(
dxex
)(
dxex
)(
)X(E)X(v
t
t
tx
x
x
β
α
αΓβ
αΓ
αΓβ
ββαΓ
β
αΓ
β
αΓ
β
α
α
α
β
βα
α
βα
α
=
+
==
==
==
∫
∫∫
∫
∞+
∞+
=
∞+
∞+
11
1
0
00
0
1
令解：
的最大似然估计值。，求参数已知的矩估计值；及求参数若样本观测值其中参数其概率密度为分布服从设总体
βαα
βα
βα
α
β
βα
βα
α
0
21
1
2
1
00
00
0
6.3
=
>>
≤
>
=
)(
)(
,,...,,.,
,,;,
)(),;(
,.
n
x
xxx
x
xex
xf
X
Γ
Γ
.
)(
)(
)()(
dtet
)(
dte
t
)(
dxex
)(
dxex
)(
)X(E)X(v
t
t
tx
x
x
22
0
1
2
0
1
0
1
0
12
2
121
1
β
αα
αΓβ
αΓαΓ
αΓβ
ββαΓ
β
αΓ
β
αΓ
β
α
α
α
β
βα
α
βα
α
+
=
+
==
==
==
∫
∫∫
∫
∞+
+
∞+
+
=
∞+
+
∞+
+
令得方程组如下：
=
=
=
=
=
+
=
∑
∑
∑
=
=
=
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
11
σ
β
σ
α
β
αα
β
α
~
x
)xx(
xn
~
x
)xx(
xn
x
n
)(
x
n
i
i
n
i
i
n
i
i
.
x
x
n
d
)(Llnd
xxln)()(lnnlnn)(Lln
ex
)]([
ex
)(
)(L
)(
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x
i
n
i
n
n
x
i
n
i
i
i
0
1
0
11
00
1
1
1
1
0
0
1
2
0
0
0
0
α
β
β
α
β
β
βααΓβαβ
Π
αΓ
β
αΓ
β
Πβ
βαα
βα
α
βα
α
=?=?=
+?=
=
=
=
∑
∑∑
=
==
=
=
的最大似然估计值。，求参数已知的无偏估计量。是故统计量的无偏估计量。不是的无偏估计量，但是因此样本均值证明
22
222
222
1
22
1
1
11
2
11
1
1
λ
λ
λλλ
λ
λ
X
n
n
.)X(E
n
n
X
n
n
E)(
n
n
X
n
D
)]X(E[)X(D)X(E
X
,)X(E
n
)X(E)(:
n
i
i
n
i
i
+
=
+
=
+
+
=+
=
+=
==
∑
∑
=
=
的无偏估计量。是统计量估计量；
的无偏却不是的无偏估计量，但是虽然样本均值证明：抽取样本其中设总体
22
22
21
1
2
1
0
6.4
λ
λλ
λλ
X
n
n
XX
XXXeX
n
+
>
)(
)(
,,...,,,),(~.
[]
.
)n(
c
.)n(c)X(E)X(Ec
)X(E)X(E)X(E)X(Ec
)XX(Ec)
(E:
n
i
ii
n
i
iiii
n
i
ii
12
1
122
2
2
1
22
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
=
=?=
+?=
=
∑
∑
∑
=
+
=
++
=
+
故证明
σ
σ
的无偏估计量。是总体方差的值，使得确定常数中抽取样本从总体
2
1
1
2
1
2
21
6.5
σ
σ
∑
=
+
=
n
i
ii
n
XXc
cXXXX
)(
,,...,,.
有效。所以故而证明
3321
321
3
321
2
321
1
321
3
321
2
321
1
30
333
370
442
390
632
333442
632
μμμμ
μ
μ
μ
μμμμ
μμ
),
(D)
(D)
(D
),X(D.
XXX
D)
(D
);X(D.
XXX
D)
(D
);X(D.
XXX
D)
(D
.
XXX
E)
(E;
XXX
E)
(E;
XXX
E)
(E:
>>
=
++=
=
++=
=
++=
=
++==
++=
=
++=
更有效。
哪个估计量的无偏估计量；并确定都是总体均值证明下列三个统计量中抽取样本从总体
μ
μμμ
=
++=++=++=
)(
,
,
,,...,,.
XE
XXXXXXXXX
XXXX
n
333442632
6.6
321
3
321
2
321
1
21
.
)X(D
n
)X(D
n
)X(D
.n/c
ct.s
cmax
)X(Dc)Xc(D)
(D)(
)Xc(E)
(E)(
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
的方差最小；
证明：
∑
∑
∑
∑∑
∑
=
=
=
==
=
==
=?
=
==
==
1
2
1
1
2
1
2
1
1
11
1
1
2
1
μ
μμ
.
)(
)(
,
,...,,,,...,,.
的方差最小中，样本均值在所有这些无偏估计量的无偏估计量；是总体均值证明：且为常数，设中抽取样本从总体
∑∑
∑
∑
==
=
=
==
=
=
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
nn
X
n
XXc
Xc
c
cccXXXX
11
1
1
2121
1
2
1
1
6.7
μ
μμ
=
=
+
+
==
+
+
==
∫
∫
1
1
1
1
1
1
1
n
XnX
b
n
XnX
a
n
bna
dx)x(xf)X(E
n
anb
dx)x(xf)X(E
)()n(
)n()(
b
a
max)n(
b
a
min)(
解：
的无偏估计量。及则应怎样修正才能得到偏估计量？若不是，的估计量，问是否是无及分别作为参数
，用抽取样本都是未知参数。及上服从均匀分布，其中在区间设总体
ba
ba
XXXXXXXX
XXX
babaX
nnn
n
).,...,,max(),,...,,min(
,...,,
],[.
)()( 21211
21
6.8
==
)..,.()..,..(
..
.
n
St
,.)(t)n(t
,)xx(
n
S,.,)(
)..,.()..,..(
,.
..
n
u
.x
.)(tuu
.,.,.)(
/
./
n
i
i
/
../.
88583966241647241647
241
5
782
78241
1
1
1
0502
6928588605216470521647
0521
5
96121
647
961
0509501211
2
02502
1
2
20
025002502050
=+?
====?
=?
==
=+?
=
×
==
=∞==
==?=
∑
=
所求置信区间为所以，
未知所以，置信区间为
，由而置信水平已知解：
α
α
α
ασ
σ
αασ
。未知已知的置信区间，假定的置信水平为求总体均值若样本观测值为设总体
σσ
μ
σμ
)(;.)(
%
,.....
),,(~.
2211
95
567029886208546
6.9
2
=
NX
..)
n
St
|X(|P
..,.)(t)n(t
n
St
)|X(|P)(
)..,.().,.(
..
.
n
St
x
..)(t)n(t
.,.),h(S)(
/
//
/
/
./
9501
050258291
10102
381514611485389141500389141500
38914
10
25314
1500
25391
0109901141
2
22
2
2
00502
=?=≤?
===?
=≤?
=+?
=
×
==
==?
==?=
αμ
α
μ
αα
α
αα
α
α
α
，，因为求所以，置信区间为
，由而置信水平已知解：
的概率。不大于的估计值，误差绝对值作为用的置信区间；的置信水平为总体均值求：样本标准差得到样本均值个元件，抽样检查正态分布设电子元件的寿命服从
)()(
%)(
),(),(
),,(.
hx
hshx
N
102
991
141500
10
6.10
2
μ
μ
σμ
==
.
l
u
n,l
n
u
,
n
u
X,
n
u
X
,u
n/
|X|
P
,)(
//
//
/
2
2
2
2
020
2020
2
0
0
42
1
1
αα
αα
α
σσ
σσ
α
σ
μ
σσ
≥≤
+?
=
<
=
故则置信区间为由已知解：
容量的样本？
问需要抽取多大于的置信区间的长度不大）（平为的置信水要使总体均值已知设总体
,%
,),,(~.
l
NX
α
μσσσμ
=
1100
6.11 0
2
50.7 54.9 54.3 44.8 42.2
69.8 53.4 66.1 48.1 34.5,
)...(),.,.(
,.
)(
S)n(
,.
)(
S)n(
.S,.x
,.)(,.)()n(
.,.
..
../
34177796300359
96300
9
1
359
9
1
3551118851
333991691
10901
2
2
950
2
2
050
2
2
2
0501
2
050
2
2
，的置信区间为的置信区间为所以，
，由而解：置信水平
σσ
χχ
χχχ
αα
α
=
=
==
===?
==?
如下：间时个进行试验，测得燃烧抽取从一批火箭推力装置中
,10
6.12
)(s
的置信区间.
的置信水平为求燃烧时间标准差布设燃烧时间服从正态分
%
),,(
90
2
σσμN
6.13,从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样本，测得蓄电池的电容量(A.h)如下：
甲厂：144 141 138 142 141 143 138 137；
乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.
).(
%)(
%)(
),(
),,(
22
2
2
2
2
952
951
yx
yx
y
x
yy
xx
N
N
σσ
μμ
σ
σ
σμ
σμ
=
假定的置信区间的置信水平为电容量的均值差的置信区间；的置信水平为电容量的方差比
，求及态分布池的电容量分别服从正设两个工厂生产的蓄电
。
的置信区间为故电容量的均值差
。
的置信区间为：故电容量的方差比由题意，解：
).,.(
nn
StYX,
nn
StYX
..S,.S..S,.y,.x
,.)(t,.,n,n)(
).,.(
SF
S
,
SF
S
,.S..S,.y,.x
,.
),(F
),(F,.),(F
,.,n,n)(
yx
/
yx
/
yx
yx
.yx
y/
x
y/
x
yx
yx
.
..
yx
972771
1111
357277475691395140
122160501082
6563280
77475691395140
2070
97
1
972497
0501081
22
22
0250
2
21
2
2
2
2
22
22
0250
97500250
=
++?+
=====
====
=
====
===
===
ωαωα
ω
αα
μμ
α
σσ
α
..p
,.p
,.p.p
u
np/)p(
|p/X|
,.u,n,x
u
np/)p(
|p/X|
P
.
p/)p()X(D,p/)X(E
,...,,x,)p(p)p;x(p
/.
/
x
15024009360936925
1
1
961605
1
1
1
9501
11
3211
21
2
2
2
0250
2
2
2
1
==<+?
<
===
=
<
=?
==
=?=
得
，求不等式当
，在给定置信水平有解：概率函数为
α
α
α
α
的置信区间。
水平为的置信，求参数的样本，已知样本均值抽取容量数为服从几何分布，概率函设总体
%
,...,,,)();(
.
95
5
60
3211
6.14
1
p
x
n
xpppxp
X
x
=
=
=?=
置信区间。
的的置信水平为，求总体均值已知样本均值的样本，，抽取容量服从泊松分布设总体
%
)(.
984
10015
λ
λ
=
=
x
nPX
..
,.
,.
u
n/
|X|
,.u,n,x
u
n/
|X|
P
.
)X(D,)X(E),(P~X
/.
/
4745783016058
3321004
1
9801
21
2
2010
2
==<+?
<
===
=
<
=?
==
λλλλ
λ
λ
α
λ
λ
α
λλλ
α
α
得
，求不等式当
，在给定置信水平有解：
.
,.
,.
u
n/
|X|
,.u,n,x
u
n/
|X|
P
.
.)X(D,)X(E),(e~X
/.
/
29926214602500500097290
64511002500
1
901
21
22
2050
2
2
==<+?
<
===
=
<
=?
==
λλλλ
λ
λ
α
λ
λ
α
λλλ
α
α
得
，求不等式当
，在给定置信水平有解：
的置信区间.的置信水平为求参数寿命服从指数分布
），设电子元件的使用（
的均值用寿命个样品，测得它们的使取从一批电子元件中，抽
%
),(
.
90
2500
100
6.16
λ
λe
hx
=
6.17,从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验，直至轮胎行驶到磨坏为止，测得它们的行使路程(km)如下:
41 250 41 010 42 650 38 970 40 200
42 550 43 500 40 400 41 870 39 800
的单侧置信上限。的置信水平为的单侧置信下限；的置信水平为求从正态分布设汽车轮胎行使路程服
%)(
%)(
),,(
952
951
2
σ
μ
σμN
..
,.
)(
S)n(
)(
.
St
x
,.)xx(
n
S,x,n)(
u
.
u
.
l
n
i
i
388234265486781
9
1
2
1140394
10
8191424
1
1
41220101
2
950
2
2
050
1
2
==
=
=?=
=?
===
∑
=
σ
χ
σ
μ
则解：
..
St
x
,.)xx(
n
S,.x,n)(
.
u
n
i
i
039
12
2387
1
1
2535121
0250
1
2
=+=
=?
===
∑
=
μ
解：
6.18,科学上的重大发现往往是由于年轻人作出的，下面列出了自16世纪初期到
20世纪早期的十二项重大发现机器发现者、发现年龄和发现者当时的年龄
（略），这样本来自正态总体，求发现者当时的平均年龄μ 的置信水平为
95﹪得单侧置信上限.
.XX
n
)X(vX
n
V
,)X(E)X(v)(
.....,,x,e
!x
);x(P
.n,...,,i),(P~X
n
i
i
n
i
i
x
i
=
=
==
=
==
==
=
∑
∑
=
=
λλ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
的矩估计值：
的矩估计量：由此得到即
，估计总体一阶原点矩用样本一阶原点矩总体一阶原点矩其概率函数为解：由题意，
1
1
1
1
1
1
1
1
210
21
6.1.设总体 x ～ P(λ),若样本观测值,求参数 的矩估计值与最大似然估计值.
12 n
x,x,,x,λ…
λ
λ
Πλ
=
= e
!x
)(L)(
i
x
n
i 1
2似然函数：
!x
e
i
x
n
i
λ
Π
λ
1=
=
∑∑
==
+?=
n
i
i
n
i
i
)!xln(lnxn)(Lln
11
λλλ
0
1
1
=?+?=
∑
=
n
i
i
xn
d
)(Llnd
λλ
λ
∑
=
=
n
i
i
nx
1
λ
.xx
n
n
i
i∑
=
==
1
1
λ
.
X
X
X
,XX
n
V
.dxx)X(E)X(v)(
n
i
i
11
1
1
1
1
1
1
0
1
1
=?=
==
===
∑
∫
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
则样本一阶原点矩总体均值解：
,xx)(L)(
i
n
i
n
i
n
i
1
1
1
1
2
=
=
==
θθ
ΠθθΠθ似然函数
.
xln
n
xln
n
d
)(Llnd
,xln)(lnn)(Lln
n
i
i
n
i
i
n
i
i
∑
∑
∑
=
=
=
=?=+=
+=
1
1
1
0
1
θ
θθ
θ
θθθ
最大似然估计值。
的矩估计值与求参数。若样本观测值其中
，
其它的概率密度为设总体
θθ
θ
θ
θ
,,...,,
,
,
);(
.
n
xxx
xx
xf
X
21
1
0
0
10
6.2.
>
<<
=
.
)(
)(
dtet
)(
dte
t
)(
dxex
)(
dxex
)(
)X(E)X(v
t
t
tx
x
x
β
α
αΓβ
αΓ
αΓβ
ββαΓ
β
αΓ
β
αΓ
β
α
α
α
β
βα
α
βα
α
=
+
==
==
==
∫
∫∫
∫
∞+
∞+
=
∞+
∞+
11
1
0
00
0
1
令解：
的最大似然估计值。，求参数已知的矩估计值；及求参数若样本观测值其中参数其概率密度为分布服从设总体
βαα
βα
βα
α
β
βα
βα
α
0
21
1
2
1
00
00
0
6.3
=
>>
≤
>
=
)(
)(
,,...,,.,
,,;,
)(),;(
,.
n
x
xxx
x
xex
xf
X
Γ
Γ
.
)(
)(
)()(
dtet
)(
dte
t
)(
dxex
)(
dxex
)(
)X(E)X(v
t
t
tx
x
x
22
0
1
2
0
1
0
1
0
12
2
121
1
β
αα
αΓβ
αΓαΓ
αΓβ
ββαΓ
β
αΓ
β
αΓ
β
α
α
α
β
βα
α
βα
α
+
=
+
==
==
==
∫
∫∫
∫
∞+
+
∞+
+
=
∞+
+
∞+
+
令得方程组如下：
=
=
=
=
=
+
=
∑
∑
∑
=
=
=
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
11
σ
β
σ
α
β
αα
β
α
~
x
)xx(
xn
~
x
)xx(
xn
x
n
)(
x
n
i
i
n
i
i
n
i
i
.
x
x
n
d
)(Llnd
xxln)()(lnnlnn)(Lln
ex
)]([
ex
)(
)(L
)(
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x
i
n
i
n
n
x
i
n
i
i
i
0
1
0
11
00
1
1
1
1
0
0
1
2
0
0
0
0
α
β
β
α
β
β
βααΓβαβ
Π
αΓ
β
αΓ
β
Πβ
βαα
βα
α
βα
α
=?=?=
+?=
=
=
=
∑
∑∑
=
==
=
=
的最大似然估计值。，求参数已知的无偏估计量。是故统计量的无偏估计量。不是的无偏估计量，但是因此样本均值证明
22
222
222
1
22
1
1
11
2
11
1
1
λ
λ
λλλ
λ
λ
X
n
n
.)X(E
n
n
X
n
n
E)(
n
n
X
n
D
)]X(E[)X(D)X(E
X
,)X(E
n
)X(E)(:
n
i
i
n
i
i
+
=
+
=
+
+
=+
=
+=
==
∑
∑
=
=
的无偏估计量。是统计量估计量；
的无偏却不是的无偏估计量，但是虽然样本均值证明：抽取样本其中设总体
22
22
21
1
2
1
0
6.4
λ
λλ
λλ
X
n
n
XX
XXXeX
n
+
>
)(
)(
,,...,,,),(~.
[]
.
)n(
c
.)n(c)X(E)X(Ec
)X(E)X(E)X(E)X(Ec
)XX(Ec)
(E:
n
i
ii
n
i
iiii
n
i
ii
12
1
122
2
2
1
22
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
=
=?=
+?=
=
∑
∑
∑
=
+
=
++
=
+
故证明
σ
σ
的无偏估计量。是总体方差的值，使得确定常数中抽取样本从总体
2
1
1
2
1
2
21
6.5
σ
σ
∑
=
+
=
n
i
ii
n
XXc
cXXXX
)(
,,...,,.
有效。所以故而证明
3321
321
3
321
2
321
1
321
3
321
2
321
1
30
333
370
442
390
632
333442
632
μμμμ
μ
μ
μ
μμμμ
μμ
),
(D)
(D)
(D
),X(D.
XXX
D)
(D
);X(D.
XXX
D)
(D
);X(D.
XXX
D)
(D
.
XXX
E)
(E;
XXX
E)
(E;
XXX
E)
(E:
>>
=
++=
=
++=
=
++=
=
++==
++=
=
++=
更有效。
哪个估计量的无偏估计量；并确定都是总体均值证明下列三个统计量中抽取样本从总体
μ
μμμ
=
++=++=++=
)(
,
,
,,...,,.
XE
XXXXXXXXX
XXXX
n
333442632
6.6
321
3
321
2
321
1
21
.
)X(D
n
)X(D
n
)X(D
.n/c
ct.s
cmax
)X(Dc)Xc(D)
(D)(
)Xc(E)
(E)(
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
的方差最小；
证明：
∑
∑
∑
∑∑
∑
=
=
=
==
=
==
=?
=
==
==
1
2
1
1
2
1
2
1
1
11
1
1
2
1
μ
μμ
.
)(
)(
,
,...,,,,...,,.
的方差最小中，样本均值在所有这些无偏估计量的无偏估计量；是总体均值证明：且为常数，设中抽取样本从总体
∑∑
∑
∑
==
=
=
==
=
=
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
nn
X
n
XXc
Xc
c
cccXXXX
11
1
1
2121
1
2
1
1
6.7
μ
μμ
=
=
+
+
==
+
+
==
∫
∫
1
1
1
1
1
1
1
n
XnX
b
n
XnX
a
n
bna
dx)x(xf)X(E
n
anb
dx)x(xf)X(E
)()n(
)n()(
b
a
max)n(
b
a
min)(
解：
的无偏估计量。及则应怎样修正才能得到偏估计量？若不是，的估计量，问是否是无及分别作为参数
，用抽取样本都是未知参数。及上服从均匀分布，其中在区间设总体
ba
ba
XXXXXXXX
XXX
babaX
nnn
n
).,...,,max(),,...,,min(
,...,,
],[.
)()( 21211
21
6.8
==
)..,.()..,..(
..
.
n
St
,.)(t)n(t
,)xx(
n
S,.,)(
)..,.()..,..(
,.
..
n
u
.x
.)(tuu
.,.,.)(
/
./
n
i
i
/
../.
88583966241647241647
241
5
782
78241
1
1
1
0502
6928588605216470521647
0521
5
96121
647
961
0509501211
2
02502
1
2
20
025002502050
=+?
====?
=?
==
=+?
=
×
==
=∞==
==?=
∑
=
所求置信区间为所以，
未知所以，置信区间为
，由而置信水平已知解：
α
α
α
ασ
σ
αασ
。未知已知的置信区间，假定的置信水平为求总体均值若样本观测值为设总体
σσ
μ
σμ
)(;.)(
%
,.....
),,(~.
2211
95
567029886208546
6.9
2
=
NX
..)
n
St
|X(|P
..,.)(t)n(t
n
St
)|X(|P)(
)..,.().,.(
..
.
n
St
x
..)(t)n(t
.,.),h(S)(
/
//
/
/
./
9501
050258291
10102
381514611485389141500389141500
38914
10
25314
1500
25391
0109901141
2
22
2
2
00502
=?=≤?
===?
=≤?
=+?
=
×
==
==?
==?=
αμ
α
μ
αα
α
αα
α
α
α
，，因为求所以，置信区间为
，由而置信水平已知解：
的概率。不大于的估计值，误差绝对值作为用的置信区间；的置信水平为总体均值求：样本标准差得到样本均值个元件，抽样检查正态分布设电子元件的寿命服从
)()(
%)(
),(),(
),,(.
hx
hshx
N
102
991
141500
10
6.10
2
μ
μ
σμ
==
.
l
u
n,l
n
u
,
n
u
X,
n
u
X
,u
n/
|X|
P
,)(
//
//
/
2
2
2
2
020
2020
2
0
0
42
1
1
αα
αα
α
σσ
σσ
α
σ
μ
σσ
≥≤
+?
=
<
=
故则置信区间为由已知解：
容量的样本？
问需要抽取多大于的置信区间的长度不大）（平为的置信水要使总体均值已知设总体
,%
,),,(~.
l
NX
α
μσσσμ
=
1100
6.11 0
2
50.7 54.9 54.3 44.8 42.2
69.8 53.4 66.1 48.1 34.5,
)...(),.,.(
,.
)(
S)n(
,.
)(
S)n(
.S,.x
,.)(,.)()n(
.,.
..
../
34177796300359
96300
9
1
359
9
1
3551118851
333991691
10901
2
2
950
2
2
050
2
2
2
0501
2
050
2
2
，的置信区间为的置信区间为所以，
，由而解：置信水平
σσ
χχ
χχχ
αα
α
=
=
==
===?
==?
如下：间时个进行试验，测得燃烧抽取从一批火箭推力装置中
,10
6.12
)(s
的置信区间.
的置信水平为求燃烧时间标准差布设燃烧时间服从正态分
%
),,(
90
2
σσμN
6.13,从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样本，测得蓄电池的电容量(A.h)如下：
甲厂：144 141 138 142 141 143 138 137；
乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.
).(
%)(
%)(
),(
),,(
22
2
2
2
2
952
951
yx
yx
y
x
yy
xx
N
N
σσ
μμ
σ
σ
σμ
σμ
=
假定的置信区间的置信水平为电容量的均值差的置信区间；的置信水平为电容量的方差比
，求及态分布池的电容量分别服从正设两个工厂生产的蓄电
。
的置信区间为故电容量的均值差
。
的置信区间为：故电容量的方差比由题意，解：
).,.(
nn
StYX,
nn
StYX
..S,.S..S,.y,.x
,.)(t,.,n,n)(
).,.(
SF
S
,
SF
S
,.S..S,.y,.x
,.
),(F
),(F,.),(F
,.,n,n)(
yx
/
yx
/
yx
yx
.yx
y/
x
y/
x
yx
yx
.
..
yx
972771
1111
357277475691395140
122160501082
6563280
77475691395140
2070
97
1
972497
0501081
22
22
0250
2
21
2
2
2
2
22
22
0250
97500250
=
++?+
=====
====
=
====
===
===
ωαωα
ω
αα
μμ
α
σσ
α
..p
,.p
,.p.p
u
np/)p(
|p/X|
,.u,n,x
u
np/)p(
|p/X|
P
.
p/)p()X(D,p/)X(E
,...,,x,)p(p)p;x(p
/.
/
x
15024009360936925
1
1
961605
1
1
1
9501
11
3211
21
2
2
2
0250
2
2
2
1
==<+?
<
===
=
<
=?
==
=?=
得
，求不等式当
，在给定置信水平有解：概率函数为
α
α
α
α
的置信区间。
水平为的置信，求参数的样本，已知样本均值抽取容量数为服从几何分布，概率函设总体
%
,...,,,)();(
.
95
5
60
3211
6.14
1
p
x
n
xpppxp
X
x
=
=
=?=
置信区间。
的的置信水平为，求总体均值已知样本均值的样本，，抽取容量服从泊松分布设总体
%
)(.
984
10015
λ
λ
=
=
x
nPX
..
,.
,.
u
n/
|X|
,.u,n,x
u
n/
|X|
P
.
)X(D,)X(E),(P~X
/.
/
4745783016058
3321004
1
9801
21
2
2010
2
==<+?
<
===
=
<
=?
==
λλλλ
λ
λ
α
λ
λ
α
λλλ
α
α
得
，求不等式当
，在给定置信水平有解：
.
,.
,.
u
n/
|X|
,.u,n,x
u
n/
|X|
P
.
.)X(D,)X(E),(e~X
/.
/
29926214602500500097290
64511002500
1
901
21
22
2050
2
2
==<+?
<
===
=
<
=?
==
λλλλ
λ
λ
α
λ
λ
α
λλλ
α
α
得
，求不等式当
，在给定置信水平有解：
的置信区间.的置信水平为求参数寿命服从指数分布
），设电子元件的使用（
的均值用寿命个样品，测得它们的使取从一批电子元件中，抽
%
),(
.
90
2500
100
6.16
λ
λe
hx
=
6.17,从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验，直至轮胎行驶到磨坏为止，测得它们的行使路程(km)如下:
41 250 41 010 42 650 38 970 40 200
42 550 43 500 40 400 41 870 39 800
的单侧置信上限。的置信水平为的单侧置信下限；的置信水平为求从正态分布设汽车轮胎行使路程服
%)(
%)(
),,(
952
951
2
σ
μ
σμN
..
,.
)(
S)n(
)(
.
St
x
,.)xx(
n
S,x,n)(
u
.
u
.
l
n
i
i
388234265486781
9
1
2
1140394
10
8191424
1
1
41220101
2
950
2
2
050
1
2
==
=
=?=
=?
===
∑
=
σ
χ
σ
μ
则解：
..
St
x
,.)xx(
n
S,.x,n)(
.
u
n
i
i
039
12
2387
1
1
2535121
0250
1
2
=+=
=?
===
∑
=
μ
解：
6.18,科学上的重大发现往往是由于年轻人作出的，下面列出了自16世纪初期到
20世纪早期的十二项重大发现机器发现者、发现年龄和发现者当时的年龄
（略），这样本来自正态总体，求发现者当时的平均年龄μ 的置信水平为
95﹪得单侧置信上限.
