第四章 正弦交流电路的稳态分析第一节 正弦交流电的基本概念第二节 正弦交流电的相量表示法第三节 单一理想元件的交流电路第四节 RLC串联交流电路第五节 阻抗的串联与并联第六节 正弦交流电路的分 析方法第七节 功率因数的提高第八节 正弦交流 电路的谐振作业第一节 正弦交流电的基本概念一 正弦量二 正弦量的三要素一、正弦量,
大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流和电动势统称为正弦量。
正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是 同频率 的正弦信号。
当正弦信号作为电路的信号源时，
电路中产生的响应仍是 同频率 的正弦信号。
i=Iｍ sin(ωt+?)Ａ
其波形 如图
t
i
mI
T
从表达式可以看出,当
Im,T,?确定后,正弦量就被唯一的确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素 。
正弦电流 i 用三角函数表示为二 正弦量的三要素
1.周期 T、频率 f 和角频率 ω
2.最大值和有效值
3,相位、初相、相位差周期 T,正弦量变化一次所需要的时间称为周期。单位是秒 (s）。
频率 f,1秒钟正弦量变化的次数称为频率。单位是赫兹（ HZ )。
显然 f =1/T 或 T =1/f
1.周期Ｔ、频率 f 和角频率 ω
角频率 ω:
单位时间里正弦量变化的角度称为角频率 。 单位是弧度 /秒 （ rad/s）,
ω=2π/T=2πf
周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。
２,最大值和有效值正弦量某一 瞬间的值 称为瞬时值,瞬时值中 最大的 称为最大值 。 Im,Um、
Em分别表示电流,电压和电动势的最大值 。
表示 交流电 的大小常用 有效值 的概念。
把两个等值电阻分别通一交流电流 i
和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所产生的热量相等，那么我们把这个 直流电流Ｉ 定义为交流电流的有效值。
所以交流电的有效值是瞬时值的方均根 。
T
RTIRd ti
0
22
即
T
dti
T
I
0
21
将电流的三角式带入上式中有,
2mII?
同理,
2mUU? 2mEE?
3.相位、初相、相位差
AtIi m )s i n (
相位,我们把 ωt+? 称为相位 。
初相,t=0时的相位称为初相?。
相位差,任意两个 同频率 的正弦量的相位之差 。 用 φ 表示 。
例,VtUu
um )s i n (
AtIi im )s i n (
两者的相位差为,
iu
>0 电压超前电流 φ角
(或电流滞后电压 φ角 )
=0 电压与电流同相位
<0 电流超前电压 φ角
= ± π 电流与电压反相若,φ
i
u.i
ωt
φ >0
φ
u
φ
u
φ <0
u
φ =0
u
φ = ± π
解,ω=314(rad/s),ω=2πf
f = ω/2π=50(Hz）,T=1/f = 0.02(s)
i= 30°,?u= － 45°
φ =?U－?i=－ 75°
Im = 10A,Um = 220 √2 V
I=Im／ √2 = 5√2 A,U=Um／ √2 =220V
例,已知,i =10sin(314t+30° ) A,
u =220√2 sin(314t－ 45° )V,试指出它们的角频率,周期,幅值,有效值和初相,相位差,并画出波形图 。
ωt
30°
U,i
10
如图所示：
45°
u 滞后 i 75°,i 超前 u 75° 。
220√2
第二节 正弦交流电的相量表示一,相量图二,相量表示（复数表示）
一、相量图正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令 矢量长度＝ Im
矢量初始角＝ Ψ
矢量旋转速度＝ ω
如图：
ω
ωt
iy
x
该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值一般我们研究的是同频率的正弦量，
用相量表示时，它们同以 ω速度旋转相对位置保持不变。因此,在同一相量图中，以 t＝ 0时刻的 相量表示正弦量。
相量的写法为大写字母的上方加一个,.”
例,用相量图来表示下列正弦量解：
120
°?
1U
3U
2U
VtUu om )120sin(3 ω
VtUu om )120sin(2 ω
VUu m ωsin1?
120°
t
注 意
只有正弦量才能用相量表示；
几个同频率正弦量可以画在同一相量图上；
任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求 。
二、相量表示（复数表示）
我们知道一个相量可以用复数表示，
而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量可以用复数表示。
１、复数表示法：
a
j
b r
A
+1
A=a+jb 代数式
A=r(cosφ+jsinφ)三角式
A=r e jφ 指数式
A=r∠ φ 极坐标式其中
φ =arctan(b/a)
22 bar
a=r cosφ
b=r sinφ
2,有关复数的计算加减运算用代数式,实部与实部,
虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，
模相乘或相除，幅角相加或减 。
3,正弦量的相量表示一个复数的幅角等于正弦量的初相角,复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量,
R = a+j b 是 t = 0 固定相量的复数形式
∴ u≠Um ·
例,写出下列正弦量的相量,并求出,i = i1+i2,画出相量图 。
解：
Ati o )60s i n (2201
Ati o )30s i n (2102
1= 20∠ 60° A?2=10∠ -30° A
=?1+?2 = 20∠ 60° +10 ∠ － 30°
=20(cos60 ° +jsin60 ° )+
10[cos(－ 30° )+jsin (－ 30° )
=22.36∠ 33.4o(A)
A)4.33tωs i n (236.22 oi
=18.66+j12.39
=10+j17.39+8.66－ j5
相量图为,
1I
2I
I
三,基尔霍夫定律的相量形式
KCL ∑i = 0
KVL ∑u = 0
∑?= 0
∑U= 0
i
i1 i2
○
○
i=i1+i2
21 III
21 UUU
U=U1+U2
u ＝ u1＋ u2
陷阱挖好了，跳吧
)s i n( c o sIi m
来了？
来了？
哈哈，没掉下去！！
第三节 单一理想元件的交流电路一、电阻电路二、电感电路三、电容电路设一、电阻电路
u
1、电压与电流关系
i
ts i nU m ω?u
ts i nIts i n
R
U
R
u
m
m ωωi
为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。
u,i 满足欧姆定律
R0
I
U
I
U
o0UU
R
U
I?
Im,Um（Ｕ、Ｉ）同样满足欧姆定律复数形式复数形式欧姆定律
R
U
I mm?
o0II
可见：电压与电流同相位
RIU
I?U
i
uui
φ＝０
相量图可见,P≥0 电阻是一个耗能元件。
2,功率关系 ⑴ 瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
(2)平均功率
= UI = I2R = U2/R
T
pdt
T
P
0
1
i
u
ωt
ui
ωt
p
UI
二,电感电路
u
i
1.电压与电流关系设 i =Imsinωt
u = L di/dt
= ωLImcosωt
=Umsin(ωt+90° )
Um= ωLIm
感抗 U=XLIXL= ωL
因此,
相量表达式为,
Lj XI
UU o90
I
.
.
IjXU L?
.,
90° UU.
0° II
.
U.
I
.
电感中的电流滞后电压 90°
（电压超前电流 90° ） 。
相量图
2．功率关系
(1) 瞬时功率在正弦交流电路中，电感功率以
２ ω按正弦规律变化。
tU I ω2sin?
波形如图所示
P＝ u i =Im ·Umsinωt ·cosωt
显然,第一个
1/4 周期 P>0,电感吸收能量,
第二个 1/4 周期
P<0,放出能量,
它与电源间进行能量的互相交换,
ωt
u i
ωt
p
iu
⑵ 平均功率 (有功功率 )
电感是储能元件,不消耗电能。
0
1
0
T
p d t
T
P
⑶ 无功功率无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。
QL= U I = I 2 XL = U 2／ XL
单位,乏尔（ Var）
解,XL= ωL=520Ω
IL=UL/ XL=0.336A
电感中电流落后电压 90o
QL=ULIL=69.54(var)
iL=0.336 √2 sin(314t+20o－ 90o)
= 0.336 √2 sin(314t-70o)
例,设电感Ｌ＝ 1.65H,ω= 314 rad/s
uＬ =190√2sin(ωt+20o)Ｖ
求 XL,i L,Q L 。
三、电容电路
u
i
C
1、电压与电流关系
tωs i nU m?u
tc o sCU
dt
du
C
m
ωω?
i
设：
)90ts i n (I m ω
C
1X
C ω?
容抗
mCm IXU? IXU C?
电容中的电流超前电压?90
0UU 90II
I
U
相量图
mm ICU?ω mm I
C
1
U
ω
∴ 相量表达式为,
IjXU c
2,功率关系
（ 1）瞬时功率
tωs i ntωc o sIU mm uip
tUI?2s i n?
CjX90
I
U
I
U
ωt
u i
ωt
p
显然,第一个 1/4周期 p>0,电容储存能量,
第二个 1/4
周期 p<0,放出能量。
u i
（ 2）平均功率（有功功率）
T
0
0p d t
T
1
P
电容是储能元件，不消耗电能。
（ 3）无功功率无功功率反映的是电容与电源间能量互相交换的规模。
c
cc X
U
XIUIQ
2
2
单位是乏尔（ Var）
例：设电容 C＝ 0.1μF,ω= 6280 rad/s
uC=10sin(ωt+300)Ｖ,求 XC,?C,Q C。
解：
XC= 1／ ωC=1.59KΩ
IC =UC/XC= 10 ／ √2 1.59
电容中电流超前电压 90o
C =4.45∠ 30o+90o = 4.45∠ 120omA
QC=UCIC=31.6× 10－ 3 (var)
=4.45mA
例,已知 XL=10Ω,R= 2Ω,A2表读数 2A,设个表均为理想电表,求其余各表读数,
A
A1 A2
V
R L
解：
U=I2·X L=2× 10=20V
I1=U/R=20/2=10A
=? 1+? 2
=10－ j2
=10.2 ∠ － 11.3°A
设?1= 10∠ 0 °A
=10A
2= 2∠ － 90 °A
=－ j2 A
∴ A1,10A,A,10.2A,U:20V
例,已知各电流表读数为 A1=5A,A2=20A，
A3=25A，求 (1)A表读数,(2)若维持 A1读数不变,而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。
A1 A2
R L C
A3
A
○
○
解,设?1=5∠ 0° = 5
∴?2= 20∠ － 90° =－ 20j
3= 25∠ 90° =25j
=? 1+? 2+? 3
=5－ j20+j25=5+5j
·
· =5√2 ∠ 45° AA:7.07A
(2)若维持Ａ 1读数不变,Ｒ两端电压不变，
U = RI1 = XLI2 = XCI3
XL = ωL,XC = 1/ωC
f 提高一倍,ω'=2ω
U =ω′L I2' = 2 ωL I2' = 2ωL I2'
I2' = 0.5I2 =10A
XCI3 =0.5XCI3 '
I3 ' = 2I3=50A
=?1+?2+?3 =40.31∠ 82.9°
A2,10A,A3:50A,A:40.31A
第四节 RLC串联交流电路一、电压与电流关系二、功率关系一,电压与电流关系
i
R
L
C
Ru
Lu
Cu
u
CLR UUUU
以电流为参考正弦量，
i = Im sinωt 即? =I∠ 0°
1、相量图法相量图为：
CL UU
RU?
CU
LU
I
U
φ
22 )(
CLR UUUU
R
XXarctan
U
UUarctan CL
R
CLφ
可见：
φ
UR
UL-UC
U
电压三角形总电压有效值
U=UR+UL+UC
U 2= UR2+（ UL— UC） 2
2
CL
2
R )UU(UU
电抗与阻抗
zI
XRI
)XX(RI
)IXIX()IR(
22
2
CL
2
2
CL
2
U 2 U 2+UL2 +UC2
式中 X=XL－ XC 称为电抗
22 XRz
称为阻抗
∴ U=Iz
相位关系
UR
UUarctan
R
XXarctan CLCLφ
R
c
1L
ana r c t?
可见 φ是由 R,L,C及 ω决定的。
90° >φ > 0 电压超前电流电路呈感性。
－ 90° <φ < 0 电流超前电压电路呈容性。 φ
= 0 电压与电流同相,电路呈纯阻性。
2、复数形式分析法
CLR UUUU
IjXIjXRI CL
)]XX(jR[I CL
)jXR(I
Z为复阻抗Z=R+j(XL－ XC) = z∠ φ
φ = arctan(XL-XC)/R
ZIU
2
CL
2 )XX(Rz
复数形式欧姆定律阻抗三角形
φ 角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角,
R
XL-XC
z
φR= z cosφX= z sinφ
在 RLC串联交流电路中,R=15Ω，
L=12mH,C=5μF,电源电压求,⑴ 电路中的电流 i 和各部分电 uR,uL,uC ;
(2)画相量图,
V)t5 0 0 0s i n (21 0 0?u
例 1、
解：
=60Ω
=5000× 12× 10－ 3
XL=ωL
=40Ω
=1／ 5000× 5× 10－ 6
XC=1/ωC
2015)( jXXjRZ CL
15
202015 22 arctan o1353.25
o
O
o
Z
UI 13.534
13.5325
0100
o
R RIU 13.5360
oo
LL IXjU 13.534×60×90
o8.36240
oo
CC IXjU 13.534×40×90
o13.143160
A)13.53t5000s i n (24 o i
V)13.53t5000s i n (260u oR
V)8.36t5000s i n (2240u oL
V)13.1 4 3t5 0 0 0s i n (21 6 0u oC
（ 2）相量图如图：
CU
LU
RU
I
o13.53
o13.143
o8.36
U
例 2,已知 R1=1KΩ,R2=300Ω,L=0.4H,
ω=103rad/s,电压表 V1的读数为 2V,试求其余电压表的读数。
R2
L
u
V i
R1
V2
V1
解,设 u
1为参考正弦量
V20UU 11
则 I=U1/R1=2mA
=2∠ 0° mA
=(300+j400) × 2× 10－ 3
=500∠ 53.2°× 2× 10－ 3 =1∠ 53.2° V
I)LjR(IZU
222
相量图：
UUU 21
I
1U
2U
U
=2+1∠ 53.2 °
= 2.72∠ 17.1°
∴ V2表读数 1V,V表读数 2.72V。
例 3,RC串联电路中,总阻抗 z = 2000Ω,
f =1000HZ,u与 uC夹角为 30°,
试求 R,C。
解,设 i 为参考正弦量?=I∠ 0°
作相量图：
I
RU?
CU
U
o60IU
可得
φ z,R,XC满足阻抗三角形有 R= z cos φ =1000Ω
XC= z sinφ=1732Ω
C = 1/ωXC=0.1μF
1、平均功率 (有功功率）
在 RLC电路中，只有电阻消耗功率所以电路的有功功率为：
P = ∑URIR
P =U I cos φ 式中 cosφ为功率因数。
在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和。
Z = R + jX
二、功率关系
2、无功功率电路中无功功率包括电感和电容两个元件的无功功率。
QL=ULI QC=UCI
Q = QL－ QC
Z = R + j(XL-XC)
Q=UIsinφ
φ ＞ 0,Q＞ 0 电路呈感性
φ ＜ 0,Q＜ 0 电路呈容性
P = UI cosφ = S cos φ
Q = UI sinφ = S sin φ
3、视在功率
S=UI
单位是 伏安（ VA）
一般它表示发电设备的容量。
22 QPUIS
得出功率三角形：
P
Q
S
φ
阻抗三角形,电压三角形和功率三角形 是三个相似的三角形。
φ
U
UR
UL
－
UCS
P
Q
φ
R
X L
-X
Cz
φ
总结：
例,某感性负载端电压
P=7.5KW,Q=5.5KVar,试求 感性负载的功率因数及其串联参数,
t3 1 4s i n22 2 0u?
解：
2222 5.55.7
5.7
QP
PC o s
= 0.81 ∴ φ =35.9°
电路为串联
c osU
PI
= 42.1A
R = P／ I 2 = 4.2Ω
XL=R·tan φ =3.04Ω
L=XL／ ω = 9.7mH
第五节 阻抗的串联与并联一、阻抗串联的交流电路二,阻抗并联的交流电路一、阻抗串联的交流电路
i
1U
2U
1Z
2Z
U
21 UUU
)( 2121 ZZIZIZI
ZI?
21 ZZZ
串联等效复阻抗为,ZZZ 21
分压公式为：
Z
UZZZIU )( 21
1
11 ZZ )(
21
U
ZZIU 2
22
二,阻抗并联的交流电路
21
111
ZZZ1I
2I
1Z 2Z
U
I
分流公式：
IZZ
ZI
Z
Z
Z
UI
21
2
11
1
IZZ
ZI
Z
Z
Z
UI
21
1
22
2
21
21
ZZ
ZZZ
当电路由几个阻抗并联时，
等效复阻抗为,
nZZZZ
1111
21
第六节 正弦交流电路的分析方法
X2u
R1
X3
X1
1I
2I? 3I?
解：
01 0 0U ab设
a
b
Z1=jX1+R1=j10+2
Z2=jX2=j10
Z3=－ jX3=－ j5
Zab=Z2∥ Z3=－ 10j
=10∠ － 90°
Uab=I1 ·zab=10× 10=100V
例,已知 R1=2Ω,X1=X2=10Ω,X3=5Ω
I1=10A,求?2,?3,U,cosφ,P,Q,S 。·
9010
10j
01 0 0
Z
U
I
2
ab
2
9020
5j
01 0 0
Z
U
I
3
ab
3
ab132ab11 UZIIUZIU
=(－ j10+j20)(2+j10)+100
=－ 100+j20+100=j20=20∠ 90°
1 = j10 =10 ∠ 90°
∴ φ = 0,cosφ =1
P=UIcosφ =10× 20× 1=200W
Q= UIsinφ =10× 20× 0=0Var
S=UI=200VA
例,已知 U=100V,ω=314rad/s,I=IC=IL,电路消耗功率 P=866W,试求 iL,iC,i,
R
L
u
i
C
iCiL 解,设 u为参考正弦量∵ i
L+iC = i 且 I= IC=IL
所以?C,?L和? 组成等边三角形
30c o s10
8 6 6
c o sU
PI?I
U
CI
LI
30°
= 10A
A)90t3 1 4s i n (210Ci
A)30t3 1 4s i n (210Li
A)30t3 1 4s i n (210i
作相量图：
有些情况借助于相量图求解方便,画相量图时,参考相量的选择很关键,一般,
串联电路选 电流 为参考相量,并联电路选 两端电压 为参考相量,在串、并混联电路选最基本的 并联电路的端电压 为参考相量 。
例,图示 正弦交流电路中,P = 200 W,U=40V，
R=XC=8Ω,求?,?1,?2,XL UL 。
R
XL
XC
1?2
U
CU
LU
45°
作相量图：
1I
2I
I
U
LU
为参考正弦量设 abU?
V240UUU 22abL
8I /U X LL
5A P / R I I 12
1=5∠ 0°?2=5∠ 90°
=7.07∠ 45°
Uab=I1× R＝ 40V
abU
135240U L
a
b
第七节 功率因数的提高一、负载的功率因数 cosφ低带来的问题二、提高功率因数的方法一,负载的功率因数 cosφ低带来的问题
1.电源设备的容量不能充分利用交流电源的额定容量为 SN=UNIN，
因为 P=SNcosφ,发电机能够输出的有功功率和负载的功率因数 cosφ成正比 。
2222 QP
P
XR
R
c o s
所以，负载的功率因数低，电源发出的有功功率就小，电源的容量得不到充分利用。
例：一个 SN=50KVA的电源，向功率因数
cosφ1=0.5的日光灯供电，它能供应 40W的日光灯 _____只,如果用来供应 cosφ2=1的
40W日光灯，则可供应 _______只？
P=n× 40=SNcosφ
n1=50× 103× 0.5/40=625
n2=50× 103× 1/40=1250
625
1250
2,供电效率低（输电耗能大）
P=UIcosφ
I=P/Ucosφ
当输电线路的电压和负载的功率一定时，输电线上的电流与 cosφ成反比。
cosφ越小,I越大。设输电线的电阻为 r,
则它引起的功率耗损为：
Δ P = I2r =(P/Ucosφ)2r
cosφ低，功率损耗大。降低了供电效率。
二,提高功率因数的方法工业负载多数是感性负载，因此提高负载功率因数可在其两端并联电容。
22 QP
Pc o s
提高功率因数的基本思想是减少无功功率。
R
L
u
i
C
2
L
2 QP
P
c o s
I?U
CI
I
φ
作相量图：
φ′
显然：
cosφ ＜ cosφ′
I′＜ I
电容的选择：
U I sinφ－ U I′sinφ ′= QC
=U2／ XC=U 2ωc
I=P／ Ucosφ I′=P／ Ucosφ′
∴ C=（ P／ ωU2） (tgφ－ tg φ′ )
例,某发电厂以 22万伏的高压向某地输送 24
万千瓦电力,若输电线路的总电阻 r =10Ω，
试计算当电路的功率因数由 0.6提高到 0.9
时,输电线上一年少损耗多少电能?
解,当 cosφ1=0.6时,线路中的电流
I1=P/Ucosφ1=1818.2A
当 cosφ=0.9时,线路中的电流
I=P/Ucosφ =1212A
一年输电线上少损耗的电能为,
W = (I12-I2) r t =1.609× 1011w·h
=1.609× 108kw·h
例,感性负载功率 P=100KW,cosφ =0.2
接于 U=750V,f =1000HZ的电源上,
求 （ 1） 电源输出电流及无功功率 ；
（ 2） 若使功率因数提高到 cosφ′ =1
C=？并计算此时 电源输出电流及无功功率。
解,(1) I=P/Ucosφ =667A
Q=U I sinφ=490.2KVar
(2) φ = 78.5° φ ′ = 0°
C=（ P／ ωU2） (tgφ－ tgφ′ )
= 138.7μF
cosφ′ =1,I=P/U =133.3A
Q＝ 0
第八节 电路的谐振一,串联谐振二、并联谐振在含有电感和电容元件的电路中,若出现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯电阻性,此时电路的状态称为 谐振 。
一,串联谐振谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振。
Z=R+j(XL-XC)i
u
ZIU
1.谐振条件,谐振时,φ =0
则有 XL=XC
2.谐振频率,
根据谐振条件有 ωL=1／ ωC
谐振角频率
LC
1
谐振频率
LC2
1
0f
f0仅与 L,C有关，改变 ω,L、
C可使电路发生或消除谐振
3.谐振特征,
z0=R －－最小,
Io=U／ z0=U／ R －－最大。
谐振时 XL=XC,UL=UC
U=UR cosφ=1
UL=IoXL=（ U/R） XL
=（ XL/R） U
UC=I0XC=（ U/R） XC
=（ XC/R） U
一般 XL=XC>>R,UL=UC>>U
品质因数 Q
C
L
R
1
R
LC
L
CRω
1
R
Lω
U
U
U
U
Q
0
0CL
Q是一个无量纲的参数
UL=QU=QUR
UC=QU=QUR
功率 P0=UI0=I02R
Q0=0
电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电路之间无能量交换，电源供给的能量被电阻消耗。
QL0=I02XL=P0Q
QC0=－ I02XC=－ P0Q
I
.相量图为,UL
.
.
UR
U
.
UC
.
0.707I0
I0
f
f0f1 f2
电流谐振曲线
4.电流频率特性
2222 Cω1LωR
U
XR
UU
I
z
Δf = f2 － f1
可见,通频带 △ f 越小,表明谐振曲线越尖锐,选择性越好 。 一般 Q值越大曲线越尖 。
0.707I0
I0
f
f0f1 f2
Q1
Q2
Q2 > Q1
在 RLC串联交流电路中,C=8μF,
电压,要使电路吸收功率 P=Pmax=100W。求 L、
R及电路的 Q值。
V)15t2 5 0 0s i n (210u
例,
解,电路发生谐振时，电流 I最大，则
P=RI2=100W最大
ωo=2500 rad/S
L=1/ ωo2C=1/25002× 8× 10－ 6= 0.02H
R=U2/P=102/100=1Ω
Q= ωoL/R=2500× 0.02/1=50
大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流和电动势统称为正弦量。
正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是 同频率 的正弦信号。
当正弦信号作为电路的信号源时，
电路中产生的响应仍是 同频率 的正弦信号。
i=Iｍ sin(ωt+?)Ａ
其波形 如图
t
i
mI
T
从表达式可以看出,当
Im,T,?确定后,正弦量就被唯一的确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素 。
正弦电流 i 用三角函数表示为二 正弦量的三要素
1.周期 T、频率 f 和角频率 ω
2.最大值和有效值
3,相位、初相、相位差周期 T,正弦量变化一次所需要的时间称为周期。单位是秒 (s）。
频率 f,1秒钟正弦量变化的次数称为频率。单位是赫兹（ HZ )。
显然 f =1/T 或 T =1/f
1.周期Ｔ、频率 f 和角频率 ω
角频率 ω:
单位时间里正弦量变化的角度称为角频率 。 单位是弧度 /秒 （ rad/s）,
ω=2π/T=2πf
周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。
２,最大值和有效值正弦量某一 瞬间的值 称为瞬时值,瞬时值中 最大的 称为最大值 。 Im,Um、
Em分别表示电流,电压和电动势的最大值 。
表示 交流电 的大小常用 有效值 的概念。
把两个等值电阻分别通一交流电流 i
和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所产生的热量相等，那么我们把这个 直流电流Ｉ 定义为交流电流的有效值。
所以交流电的有效值是瞬时值的方均根 。
T
RTIRd ti
0
22
即
T
dti
T
I
0
21
将电流的三角式带入上式中有,
2mII?
同理,
2mUU? 2mEE?
3.相位、初相、相位差
AtIi m )s i n (
相位,我们把 ωt+? 称为相位 。
初相,t=0时的相位称为初相?。
相位差,任意两个 同频率 的正弦量的相位之差 。 用 φ 表示 。
例,VtUu
um )s i n (
AtIi im )s i n (
两者的相位差为,
iu
>0 电压超前电流 φ角
(或电流滞后电压 φ角 )
=0 电压与电流同相位
<0 电流超前电压 φ角
= ± π 电流与电压反相若,φ
i
u.i
ωt
φ >0
φ
u
φ
u
φ <0
u
φ =0
u
φ = ± π
解,ω=314(rad/s),ω=2πf
f = ω/2π=50(Hz）,T=1/f = 0.02(s)
i= 30°,?u= － 45°
φ =?U－?i=－ 75°
Im = 10A,Um = 220 √2 V
I=Im／ √2 = 5√2 A,U=Um／ √2 =220V
例,已知,i =10sin(314t+30° ) A,
u =220√2 sin(314t－ 45° )V,试指出它们的角频率,周期,幅值,有效值和初相,相位差,并画出波形图 。
ωt
30°
U,i
10
如图所示：
45°
u 滞后 i 75°,i 超前 u 75° 。
220√2
第二节 正弦交流电的相量表示一,相量图二,相量表示（复数表示）
一、相量图正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令 矢量长度＝ Im
矢量初始角＝ Ψ
矢量旋转速度＝ ω
如图：
ω
ωt
iy
x
该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值一般我们研究的是同频率的正弦量，
用相量表示时，它们同以 ω速度旋转相对位置保持不变。因此,在同一相量图中，以 t＝ 0时刻的 相量表示正弦量。
相量的写法为大写字母的上方加一个,.”
例,用相量图来表示下列正弦量解：
120
°?
1U
3U
2U
VtUu om )120sin(3 ω
VtUu om )120sin(2 ω
VUu m ωsin1?
120°
t
注 意
只有正弦量才能用相量表示；
几个同频率正弦量可以画在同一相量图上；
任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求 。
二、相量表示（复数表示）
我们知道一个相量可以用复数表示，
而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量可以用复数表示。
１、复数表示法：
a
j
b r
A
+1
A=a+jb 代数式
A=r(cosφ+jsinφ)三角式
A=r e jφ 指数式
A=r∠ φ 极坐标式其中
φ =arctan(b/a)
22 bar
a=r cosφ
b=r sinφ
2,有关复数的计算加减运算用代数式,实部与实部,
虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，
模相乘或相除，幅角相加或减 。
3,正弦量的相量表示一个复数的幅角等于正弦量的初相角,复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量,
R = a+j b 是 t = 0 固定相量的复数形式
∴ u≠Um ·
例,写出下列正弦量的相量,并求出,i = i1+i2,画出相量图 。
解：
Ati o )60s i n (2201
Ati o )30s i n (2102
1= 20∠ 60° A?2=10∠ -30° A
=?1+?2 = 20∠ 60° +10 ∠ － 30°
=20(cos60 ° +jsin60 ° )+
10[cos(－ 30° )+jsin (－ 30° )
=22.36∠ 33.4o(A)
A)4.33tωs i n (236.22 oi
=18.66+j12.39
=10+j17.39+8.66－ j5
相量图为,
1I
2I
I
三,基尔霍夫定律的相量形式
KCL ∑i = 0
KVL ∑u = 0
∑?= 0
∑U= 0
i
i1 i2
○
○
i=i1+i2
21 III
21 UUU
U=U1+U2
u ＝ u1＋ u2
陷阱挖好了，跳吧
)s i n( c o sIi m
来了？
来了？
哈哈，没掉下去！！
第三节 单一理想元件的交流电路一、电阻电路二、电感电路三、电容电路设一、电阻电路
u
1、电压与电流关系
i
ts i nU m ω?u
ts i nIts i n
R
U
R
u
m
m ωωi
为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。
u,i 满足欧姆定律
R0
I
U
I
U
o0UU
R
U
I?
Im,Um（Ｕ、Ｉ）同样满足欧姆定律复数形式复数形式欧姆定律
R
U
I mm?
o0II
可见：电压与电流同相位
RIU
I?U
i
uui
φ＝０
相量图可见,P≥0 电阻是一个耗能元件。
2,功率关系 ⑴ 瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
(2)平均功率
= UI = I2R = U2/R
T
pdt
T
P
0
1
i
u
ωt
ui
ωt
p
UI
二,电感电路
u
i
1.电压与电流关系设 i =Imsinωt
u = L di/dt
= ωLImcosωt
=Umsin(ωt+90° )
Um= ωLIm
感抗 U=XLIXL= ωL
因此,
相量表达式为,
Lj XI
UU o90
I
.
.
IjXU L?
.,
90° UU.
0° II
.
U.
I
.
电感中的电流滞后电压 90°
（电压超前电流 90° ） 。
相量图
2．功率关系
(1) 瞬时功率在正弦交流电路中，电感功率以
２ ω按正弦规律变化。
tU I ω2sin?
波形如图所示
P＝ u i =Im ·Umsinωt ·cosωt
显然,第一个
1/4 周期 P>0,电感吸收能量,
第二个 1/4 周期
P<0,放出能量,
它与电源间进行能量的互相交换,
ωt
u i
ωt
p
iu
⑵ 平均功率 (有功功率 )
电感是储能元件,不消耗电能。
0
1
0
T
p d t
T
P
⑶ 无功功率无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。
QL= U I = I 2 XL = U 2／ XL
单位,乏尔（ Var）
解,XL= ωL=520Ω
IL=UL/ XL=0.336A
电感中电流落后电压 90o
QL=ULIL=69.54(var)
iL=0.336 √2 sin(314t+20o－ 90o)
= 0.336 √2 sin(314t-70o)
例,设电感Ｌ＝ 1.65H,ω= 314 rad/s
uＬ =190√2sin(ωt+20o)Ｖ
求 XL,i L,Q L 。
三、电容电路
u
i
C
1、电压与电流关系
tωs i nU m?u
tc o sCU
dt
du
C
m
ωω?
i
设：
)90ts i n (I m ω
C
1X
C ω?
容抗
mCm IXU? IXU C?
电容中的电流超前电压?90
0UU 90II
I
U
相量图
mm ICU?ω mm I
C
1
U
ω
∴ 相量表达式为,
IjXU c
2,功率关系
（ 1）瞬时功率
tωs i ntωc o sIU mm uip
tUI?2s i n?
CjX90
I
U
I
U
ωt
u i
ωt
p
显然,第一个 1/4周期 p>0,电容储存能量,
第二个 1/4
周期 p<0,放出能量。
u i
（ 2）平均功率（有功功率）
T
0
0p d t
T
1
P
电容是储能元件，不消耗电能。
（ 3）无功功率无功功率反映的是电容与电源间能量互相交换的规模。
c
cc X
U
XIUIQ
2
2
单位是乏尔（ Var）
例：设电容 C＝ 0.1μF,ω= 6280 rad/s
uC=10sin(ωt+300)Ｖ,求 XC,?C,Q C。
解：
XC= 1／ ωC=1.59KΩ
IC =UC/XC= 10 ／ √2 1.59
电容中电流超前电压 90o
C =4.45∠ 30o+90o = 4.45∠ 120omA
QC=UCIC=31.6× 10－ 3 (var)
=4.45mA
例,已知 XL=10Ω,R= 2Ω,A2表读数 2A,设个表均为理想电表,求其余各表读数,
A
A1 A2
V
R L
解：
U=I2·X L=2× 10=20V
I1=U/R=20/2=10A
=? 1+? 2
=10－ j2
=10.2 ∠ － 11.3°A
设?1= 10∠ 0 °A
=10A
2= 2∠ － 90 °A
=－ j2 A
∴ A1,10A,A,10.2A,U:20V
例,已知各电流表读数为 A1=5A,A2=20A，
A3=25A，求 (1)A表读数,(2)若维持 A1读数不变,而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。
A1 A2
R L C
A3
A
○
○
解,设?1=5∠ 0° = 5
∴?2= 20∠ － 90° =－ 20j
3= 25∠ 90° =25j
=? 1+? 2+? 3
=5－ j20+j25=5+5j
·
· =5√2 ∠ 45° AA:7.07A
(2)若维持Ａ 1读数不变,Ｒ两端电压不变，
U = RI1 = XLI2 = XCI3
XL = ωL,XC = 1/ωC
f 提高一倍,ω'=2ω
U =ω′L I2' = 2 ωL I2' = 2ωL I2'
I2' = 0.5I2 =10A
XCI3 =0.5XCI3 '
I3 ' = 2I3=50A
=?1+?2+?3 =40.31∠ 82.9°
A2,10A,A3:50A,A:40.31A
第四节 RLC串联交流电路一、电压与电流关系二、功率关系一,电压与电流关系
i
R
L
C
Ru
Lu
Cu
u
CLR UUUU
以电流为参考正弦量，
i = Im sinωt 即? =I∠ 0°
1、相量图法相量图为：
CL UU
RU?
CU
LU
I
U
φ
22 )(
CLR UUUU
R
XXarctan
U
UUarctan CL
R
CLφ
可见：
φ
UR
UL-UC
U
电压三角形总电压有效值
U=UR+UL+UC
U 2= UR2+（ UL— UC） 2
2
CL
2
R )UU(UU
电抗与阻抗
zI
XRI
)XX(RI
)IXIX()IR(
22
2
CL
2
2
CL
2
U 2 U 2+UL2 +UC2
式中 X=XL－ XC 称为电抗
22 XRz
称为阻抗
∴ U=Iz
相位关系
UR
UUarctan
R
XXarctan CLCLφ
R
c
1L
ana r c t?
可见 φ是由 R,L,C及 ω决定的。
90° >φ > 0 电压超前电流电路呈感性。
－ 90° <φ < 0 电流超前电压电路呈容性。 φ
= 0 电压与电流同相,电路呈纯阻性。
2、复数形式分析法
CLR UUUU
IjXIjXRI CL
)]XX(jR[I CL
)jXR(I
Z为复阻抗Z=R+j(XL－ XC) = z∠ φ
φ = arctan(XL-XC)/R
ZIU
2
CL
2 )XX(Rz
复数形式欧姆定律阻抗三角形
φ 角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角,
R
XL-XC
z
φR= z cosφX= z sinφ
在 RLC串联交流电路中,R=15Ω，
L=12mH,C=5μF,电源电压求,⑴ 电路中的电流 i 和各部分电 uR,uL,uC ;
(2)画相量图,
V)t5 0 0 0s i n (21 0 0?u
例 1、
解：
=60Ω
=5000× 12× 10－ 3
XL=ωL
=40Ω
=1／ 5000× 5× 10－ 6
XC=1/ωC
2015)( jXXjRZ CL
15
202015 22 arctan o1353.25
o
O
o
Z
UI 13.534
13.5325
0100
o
R RIU 13.5360
oo
LL IXjU 13.534×60×90
o8.36240
oo
CC IXjU 13.534×40×90
o13.143160
A)13.53t5000s i n (24 o i
V)13.53t5000s i n (260u oR
V)8.36t5000s i n (2240u oL
V)13.1 4 3t5 0 0 0s i n (21 6 0u oC
（ 2）相量图如图：
CU
LU
RU
I
o13.53
o13.143
o8.36
U
例 2,已知 R1=1KΩ,R2=300Ω,L=0.4H,
ω=103rad/s,电压表 V1的读数为 2V,试求其余电压表的读数。
R2
L
u
V i
R1
V2
V1
解,设 u
1为参考正弦量
V20UU 11
则 I=U1/R1=2mA
=2∠ 0° mA
=(300+j400) × 2× 10－ 3
=500∠ 53.2°× 2× 10－ 3 =1∠ 53.2° V
I)LjR(IZU
222
相量图：
UUU 21
I
1U
2U
U
=2+1∠ 53.2 °
= 2.72∠ 17.1°
∴ V2表读数 1V,V表读数 2.72V。
例 3,RC串联电路中,总阻抗 z = 2000Ω,
f =1000HZ,u与 uC夹角为 30°,
试求 R,C。
解,设 i 为参考正弦量?=I∠ 0°
作相量图：
I
RU?
CU
U
o60IU
可得
φ z,R,XC满足阻抗三角形有 R= z cos φ =1000Ω
XC= z sinφ=1732Ω
C = 1/ωXC=0.1μF
1、平均功率 (有功功率）
在 RLC电路中，只有电阻消耗功率所以电路的有功功率为：
P = ∑URIR
P =U I cos φ 式中 cosφ为功率因数。
在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和。
Z = R + jX
二、功率关系
2、无功功率电路中无功功率包括电感和电容两个元件的无功功率。
QL=ULI QC=UCI
Q = QL－ QC
Z = R + j(XL-XC)
Q=UIsinφ
φ ＞ 0,Q＞ 0 电路呈感性
φ ＜ 0,Q＜ 0 电路呈容性
P = UI cosφ = S cos φ
Q = UI sinφ = S sin φ
3、视在功率
S=UI
单位是 伏安（ VA）
一般它表示发电设备的容量。
22 QPUIS
得出功率三角形：
P
Q
S
φ
阻抗三角形,电压三角形和功率三角形 是三个相似的三角形。
φ
U
UR
UL
－
UCS
P
Q
φ
R
X L
-X
Cz
φ
总结：
例,某感性负载端电压
P=7.5KW,Q=5.5KVar,试求 感性负载的功率因数及其串联参数,
t3 1 4s i n22 2 0u?
解：
2222 5.55.7
5.7
QP
PC o s
= 0.81 ∴ φ =35.9°
电路为串联
c osU
PI
= 42.1A
R = P／ I 2 = 4.2Ω
XL=R·tan φ =3.04Ω
L=XL／ ω = 9.7mH
第五节 阻抗的串联与并联一、阻抗串联的交流电路二,阻抗并联的交流电路一、阻抗串联的交流电路
i
1U
2U
1Z
2Z
U
21 UUU
)( 2121 ZZIZIZI
ZI?
21 ZZZ
串联等效复阻抗为,ZZZ 21
分压公式为：
Z
UZZZIU )( 21
1
11 ZZ )(
21
U
ZZIU 2
22
二,阻抗并联的交流电路
21
111
ZZZ1I
2I
1Z 2Z
U
I
分流公式：
IZZ
ZI
Z
Z
Z
UI
21
2
11
1
IZZ
ZI
Z
Z
Z
UI
21
1
22
2
21
21
ZZ
ZZZ
当电路由几个阻抗并联时，
等效复阻抗为,
nZZZZ
1111
21
第六节 正弦交流电路的分析方法
X2u
R1
X3
X1
1I
2I? 3I?
解：
01 0 0U ab设
a
b
Z1=jX1+R1=j10+2
Z2=jX2=j10
Z3=－ jX3=－ j5
Zab=Z2∥ Z3=－ 10j
=10∠ － 90°
Uab=I1 ·zab=10× 10=100V
例,已知 R1=2Ω,X1=X2=10Ω,X3=5Ω
I1=10A,求?2,?3,U,cosφ,P,Q,S 。·
9010
10j
01 0 0
Z
U
I
2
ab
2
9020
5j
01 0 0
Z
U
I
3
ab
3
ab132ab11 UZIIUZIU
=(－ j10+j20)(2+j10)+100
=－ 100+j20+100=j20=20∠ 90°
1 = j10 =10 ∠ 90°
∴ φ = 0,cosφ =1
P=UIcosφ =10× 20× 1=200W
Q= UIsinφ =10× 20× 0=0Var
S=UI=200VA
例,已知 U=100V,ω=314rad/s,I=IC=IL,电路消耗功率 P=866W,试求 iL,iC,i,
R
L
u
i
C
iCiL 解,设 u为参考正弦量∵ i
L+iC = i 且 I= IC=IL
所以?C,?L和? 组成等边三角形
30c o s10
8 6 6
c o sU
PI?I
U
CI
LI
30°
= 10A
A)90t3 1 4s i n (210Ci
A)30t3 1 4s i n (210Li
A)30t3 1 4s i n (210i
作相量图：
有些情况借助于相量图求解方便,画相量图时,参考相量的选择很关键,一般,
串联电路选 电流 为参考相量,并联电路选 两端电压 为参考相量,在串、并混联电路选最基本的 并联电路的端电压 为参考相量 。
例,图示 正弦交流电路中,P = 200 W,U=40V，
R=XC=8Ω,求?,?1,?2,XL UL 。
R
XL
XC
1?2
U
CU
LU
45°
作相量图：
1I
2I
I
U
LU
为参考正弦量设 abU?
V240UUU 22abL
8I /U X LL
5A P / R I I 12
1=5∠ 0°?2=5∠ 90°
=7.07∠ 45°
Uab=I1× R＝ 40V
abU
135240U L
a
b
第七节 功率因数的提高一、负载的功率因数 cosφ低带来的问题二、提高功率因数的方法一,负载的功率因数 cosφ低带来的问题
1.电源设备的容量不能充分利用交流电源的额定容量为 SN=UNIN，
因为 P=SNcosφ,发电机能够输出的有功功率和负载的功率因数 cosφ成正比 。
2222 QP
P
XR
R
c o s
所以，负载的功率因数低，电源发出的有功功率就小，电源的容量得不到充分利用。
例：一个 SN=50KVA的电源，向功率因数
cosφ1=0.5的日光灯供电，它能供应 40W的日光灯 _____只,如果用来供应 cosφ2=1的
40W日光灯，则可供应 _______只？
P=n× 40=SNcosφ
n1=50× 103× 0.5/40=625
n2=50× 103× 1/40=1250
625
1250
2,供电效率低（输电耗能大）
P=UIcosφ
I=P/Ucosφ
当输电线路的电压和负载的功率一定时，输电线上的电流与 cosφ成反比。
cosφ越小,I越大。设输电线的电阻为 r,
则它引起的功率耗损为：
Δ P = I2r =(P/Ucosφ)2r
cosφ低，功率损耗大。降低了供电效率。
二,提高功率因数的方法工业负载多数是感性负载，因此提高负载功率因数可在其两端并联电容。
22 QP
Pc o s
提高功率因数的基本思想是减少无功功率。
R
L
u
i
C
2
L
2 QP
P
c o s
I?U
CI
I
φ
作相量图：
φ′
显然：
cosφ ＜ cosφ′
I′＜ I
电容的选择：
U I sinφ－ U I′sinφ ′= QC
=U2／ XC=U 2ωc
I=P／ Ucosφ I′=P／ Ucosφ′
∴ C=（ P／ ωU2） (tgφ－ tg φ′ )
例,某发电厂以 22万伏的高压向某地输送 24
万千瓦电力,若输电线路的总电阻 r =10Ω，
试计算当电路的功率因数由 0.6提高到 0.9
时,输电线上一年少损耗多少电能?
解,当 cosφ1=0.6时,线路中的电流
I1=P/Ucosφ1=1818.2A
当 cosφ=0.9时,线路中的电流
I=P/Ucosφ =1212A
一年输电线上少损耗的电能为,
W = (I12-I2) r t =1.609× 1011w·h
=1.609× 108kw·h
例,感性负载功率 P=100KW,cosφ =0.2
接于 U=750V,f =1000HZ的电源上,
求 （ 1） 电源输出电流及无功功率 ；
（ 2） 若使功率因数提高到 cosφ′ =1
C=？并计算此时 电源输出电流及无功功率。
解,(1) I=P/Ucosφ =667A
Q=U I sinφ=490.2KVar
(2) φ = 78.5° φ ′ = 0°
C=（ P／ ωU2） (tgφ－ tgφ′ )
= 138.7μF
cosφ′ =1,I=P/U =133.3A
Q＝ 0
第八节 电路的谐振一,串联谐振二、并联谐振在含有电感和电容元件的电路中,若出现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯电阻性,此时电路的状态称为 谐振 。
一,串联谐振谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振。
Z=R+j(XL-XC)i
u
ZIU
1.谐振条件,谐振时,φ =0
则有 XL=XC
2.谐振频率,
根据谐振条件有 ωL=1／ ωC
谐振角频率
LC
1
谐振频率
LC2
1
0f
f0仅与 L,C有关，改变 ω,L、
C可使电路发生或消除谐振
3.谐振特征,
z0=R －－最小,
Io=U／ z0=U／ R －－最大。
谐振时 XL=XC,UL=UC
U=UR cosφ=1
UL=IoXL=（ U/R） XL
=（ XL/R） U
UC=I0XC=（ U/R） XC
=（ XC/R） U
一般 XL=XC>>R,UL=UC>>U
品质因数 Q
C
L
R
1
R
LC
L
CRω
1
R
Lω
U
U
U
U
Q
0
0CL
Q是一个无量纲的参数
UL=QU=QUR
UC=QU=QUR
功率 P0=UI0=I02R
Q0=0
电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电路之间无能量交换，电源供给的能量被电阻消耗。
QL0=I02XL=P0Q
QC0=－ I02XC=－ P0Q
I
.相量图为,UL
.
.
UR
U
.
UC
.
0.707I0
I0
f
f0f1 f2
电流谐振曲线
4.电流频率特性
2222 Cω1LωR
U
XR
UU
I
z
Δf = f2 － f1
可见,通频带 △ f 越小,表明谐振曲线越尖锐,选择性越好 。 一般 Q值越大曲线越尖 。
0.707I0
I0
f
f0f1 f2
Q1
Q2
Q2 > Q1
在 RLC串联交流电路中,C=8μF,
电压,要使电路吸收功率 P=Pmax=100W。求 L、
R及电路的 Q值。
V)15t2 5 0 0s i n (210u
例,
解,电路发生谐振时，电流 I最大，则
P=RI2=100W最大
ωo=2500 rad/S
L=1/ ωo2C=1/25002× 8× 10－ 6= 0.02H
R=U2/P=102/100=1Ω
Q= ωoL/R=2500× 0.02/1=50
