第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
1
由于微观粒子具有波粒二象性,其位置与动量不能同时确定,所以已无法用经典物理方法去描述其运动状态,
用波函数来描述微观粒子的运动,
一 波函数及其统计解释
1 波函数第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
2
(1) 经典的波与波函数
)(π2c o s)( 0 xtEtxE,
)(π2c o s)( 0 xtHtxH,
电磁波
)(π2c o s)( xtAtxy,
机械波
]eR e [)( )(π2i
xt
Atxy,
经典波为 实 函数第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
3
(2)量子力学波函数 (复函数 )
)( tzyxΨ,,,描述 微观 粒子运动的 波 函数
h
E
p
h微观粒子的 波粒二象性自由 粒子的能量和动量是 确定 的，其德布罗意频率和波长不变,可认为是一 平面 单色波,波列 无限长,根据不确定原理,
粒子在 x方向上的位置 完全不 确定,
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
4
自由 粒子平面波函数
2 波函数的统计意义
*2Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率正实数
)(π2i
0)(
pxEth etxΨ?,
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
5
某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2?Ψ
可见，德布罗意波 (或物质波 )与机械波、
电磁波不同，是一种概率波,
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
6
标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函数,
1d2 VΨ归一化条件 (束缚态 )
某一时刻整个空间内发现粒子的 概率为第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
7
薛定谔 （ Erwin Schrodinger，
1887— 1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
1933年与狄拉克获诺贝尔物理学奖,
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
8
二 薛定谔方程
1 自由粒子 薛定谔方程的建立自由 粒子平面波函数取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
)(π2i
0)(
pxEth etxΨ?,
第十五章 量子物理
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9
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ
h
p
x
Ψ
2
22
2
2 π4
E ΨhtΨ π2i
自由粒子 )c(v
kEE? k2 2 mEp?
t
Ψh
x
Ψ
m
h
π2iπ8 2
2
2
2
一维运动 自由粒子 的 含时薛定谔方程第十五章 量子物理
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t
ΨhΨtxE
x
Ψ
m
h
π2i)(π8 p2
2
2
2
,
一维 运动粒子 的含时 薛定谔方程
pk EEE
2 粒子在势能为 的势场中运动
pE
3 粒子在 恒定势场 中的运动
p
2
2
E
m
pE 与时间无关)(
p xE
第十五章 量子物理
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hpxEtetxΨ /)(π2i
0)(
,
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0
)()( tx
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0)(
0)()(π8
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d
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2
2
2
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h
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x
在 势场 中 一维 运动粒子的 定态 薛定谔方程第十五章 量子物理
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0)(π8 p2
2
2
2
2
2
2
2
EEh mzyx
三维 势场中运动粒子的 定态 薛定谔方程拉普拉斯算子 2222222 zyx
定态 波函数 )( zyx,,?
0)(π8 p2
2
2 EE
h
m
第十五章 量子物理
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13
例如，氢原子的定态薛定谔方程
2
0
2
p π4 rε
eE
(1) 能量 E 不随时间变化,
(2) 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质
0)
π4
(π8 2
0
2
2
2
2
rε
eE
h
m
第十五章 量子物理
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zyx?
,,(2) 和 连续
),,( zyx?(3) 为有限的、单值函数波函数的 标准条件,单值、有限和连续
1ddd,,2 zyx zyx?(1) 可归一化第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
15
三 一维势阱问题粒子 势能 满足 边界 条件pE
pE
axxE
ax
,,
,
0
00
p
(1)是固体物理金属中自由电子的简化模型；
(2)数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来,
pE
a xo
第十五章 量子物理
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)0(0 axx,,?
axxE,,0p?
2
2π8
h
mEk?
axE 00p,
0π8dd 2
2
2
2
h mEx
0dd 22
2
kx
pE
a xo
第十五章 量子物理
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kxBkxAx c o ssi n)(
0dd 22
2
kx
波函数的 标准条件,单值、有限和连续,
000 Bx,,
kxAx s i n)(
pE
a xo
第十五章 量子物理
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π0s i n nkaka,?
2
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h
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2
2
2
8 ma
hnE?
,,,,321π n
a
nk 量子数
0s i n ka
pE
a xo
0s i n kaAax?,?
第十五章 量子物理
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19
kxAx si n)(
xanAx πs i n)(
,,,,321π n
a
nk
归一化 条件 1dd
0
*2
xx
a
1dπs i n0 22 xxanA a aA 2?
pE
a xo
第十五章 量子物理
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20
)0(πs i n2)( axx
a
n
a
x,?
kxAx s i n)(
a
nk π?
a
A 2?
得
0π8
d
d
2
2
2
2
h
mE
x
波动方程
pE
a xo
第十五章 量子物理
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21
xanax πs i n2)( 22概率密度
2
2
2
8 ma
hnE
n?能量
)0(πs i n2 axx
a
n
a
,
)(x?
),0(0 axx,
波函数 pE
a xo
第十五章 量子物理
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22
1 粒子能量 量子化讨论：
基 态 能 量
)1(8 2
2
1 nma
hE,
2
2
2
8 ma
hnE
n?能 量激发态 能量
)32(
8 1
2
2
2
2?,,, nEn
ma
hnE
n
一维无限深方势阱中粒子的 能量 是 量子化 的,
pE
a xo
第十五章 量子物理
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23
2 粒子在势阱中各处出现的 概率密度 不同概率密度
)π(s i n2)( 22 xanax
x
a
n
a
x πs i n2)(
波 函 数例如，当 n =1时,粒子在 x = a /2处出现的概率最大第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
24
3 波函数为 驻波形式,阱壁处为波节，
波腹的个数与量子数 n 相等
0?x a
1?n
2?n
3?n
4?n
n? 2
n?
xanAx πs i n)( xanax πs i n2)( 22
0p?Ea
16E1
9E1
4E1
E1
0?x
第十五章 量子物理
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四 一维方势垒 隧道效应
)(p xE
axx,,00
axE0p0,
一维方势垒
0pEE?
粒子的能量
0pE
)(p xE
ao x
第十五章 量子物理
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26
ax?
当粒子能量 E < Ep0 时，从经典理论来看,粒子不可能穿过 进入 的区域,但用量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，
事实表明，量子力学是正确的,
隧道效应从左方射入的粒子，在各区域内的波函数
1? 2? 3?
)(x?
a xo
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
27
中似乎有一个隧道，
能使少量粒子穿过而进入 的区域，
此现象 人们形象地 称为隧道效应,
ax?
粒子的能量虽 不 足以超越势垒，但在势垒隧道效应的本质,来源于微观粒子的波粒二象性,
1? 2? 3?
)(x?
a xo
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
28
量子围栏照片
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成 了扫描遂穿 显 微 镜
( STM ),可观测固体表面原子排列的状况,
应用
1986年宾尼希又研制了原子力显微镜,
第十五章 量子物理物理学第五版
29
本章目录选择进入下一节：
15-4 氢原子的玻尔理论
*15-5 弗兰克 -赫兹实验
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
15-7 不确定关系
15-8 量子力学简介
15-9 氢原子的量子理论简介
15-8 量子力学简介物理学 第五版
1
由于微观粒子具有波粒二象性,其位置与动量不能同时确定,所以已无法用经典物理方法去描述其运动状态,
用波函数来描述微观粒子的运动,
一 波函数及其统计解释
1 波函数第十五章 量子物理
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2
(1) 经典的波与波函数
)(π2c o s)( 0 xtEtxE,
)(π2c o s)( 0 xtHtxH,
电磁波
)(π2c o s)( xtAtxy,
机械波
]eR e [)( )(π2i
xt
Atxy,
经典波为 实 函数第十五章 量子物理
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3
(2)量子力学波函数 (复函数 )
)( tzyxΨ,,,描述 微观 粒子运动的 波 函数
h
E
p
h微观粒子的 波粒二象性自由 粒子的能量和动量是 确定 的，其德布罗意频率和波长不变,可认为是一 平面 单色波,波列 无限长,根据不确定原理,
粒子在 x方向上的位置 完全不 确定,
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4
自由 粒子平面波函数
2 波函数的统计意义
*2Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率正实数
)(π2i
0)(
pxEth etxΨ?,
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5
某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2?Ψ
可见，德布罗意波 (或物质波 )与机械波、
电磁波不同，是一种概率波,
第十五章 量子物理
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6
标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函数,
1d2 VΨ归一化条件 (束缚态 )
某一时刻整个空间内发现粒子的 概率为第十五章 量子物理
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薛定谔 （ Erwin Schrodinger，
1887— 1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
1933年与狄拉克获诺贝尔物理学奖,
第十五章 量子物理
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二 薛定谔方程
1 自由粒子 薛定谔方程的建立自由 粒子平面波函数取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
)(π2i
0)(
pxEth etxΨ?,
第十五章 量子物理
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取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ
h
p
x
Ψ
2
22
2
2 π4
E ΨhtΨ π2i
自由粒子 )c(v
kEE? k2 2 mEp?
t
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m
h
π2iπ8 2
2
2
2
一维运动 自由粒子 的 含时薛定谔方程第十五章 量子物理
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t
ΨhΨtxE
x
Ψ
m
h
π2i)(π8 p2
2
2
2
,
一维 运动粒子 的含时 薛定谔方程
pk EEE
2 粒子在势能为 的势场中运动
pE
3 粒子在 恒定势场 中的运动
p
2
2
E
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pE 与时间无关)(
p xE
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hpxEtetxΨ /)(π2i
0)(
,
hEthpx ee /π2i/π2i
0
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0)(
0)()(π8
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2
2
2
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在 势场 中 一维 运动粒子的 定态 薛定谔方程第十五章 量子物理
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0)(π8 p2
2
2
2
2
2
2
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EEh mzyx
三维 势场中运动粒子的 定态 薛定谔方程拉普拉斯算子 2222222 zyx
定态 波函数 )( zyx,,?
0)(π8 p2
2
2 EE
h
m
第十五章 量子物理
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13
例如，氢原子的定态薛定谔方程
2
0
2
p π4 rε
eE
(1) 能量 E 不随时间变化,
(2) 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质
0)
π4
(π8 2
0
2
2
2
2
rε
eE
h
m
第十五章 量子物理
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14
zyx?
,,(2) 和 连续
),,( zyx?(3) 为有限的、单值函数波函数的 标准条件,单值、有限和连续
1ddd,,2 zyx zyx?(1) 可归一化第十五章 量子物理
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15
三 一维势阱问题粒子 势能 满足 边界 条件pE
pE
axxE
ax
,,
,
0
00
p
(1)是固体物理金属中自由电子的简化模型；
(2)数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来,
pE
a xo
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)0(0 axx,,?
axxE,,0p?
2
2π8
h
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axE 00p,
0π8dd 2
2
2
2
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2
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0dd 22
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波函数的 标准条件,单值、有限和连续,
000 Bx,,
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π0s i n nkaka,?
2
2π8
h
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2
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8 ma
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,,,,321π n
a
nk 量子数
0s i n ka
pE
a xo
0s i n kaAax?,?
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kxAx si n)(
xanAx πs i n)(
,,,,321π n
a
nk
归一化 条件 1dd
0
*2
xx
a
1dπs i n0 22 xxanA a aA 2?
pE
a xo
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)0(πs i n2)( axx
a
n
a
x,?
kxAx s i n)(
a
nk π?
a
A 2?
得
0π8
d
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2
2
2
2
h
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x
波动方程
pE
a xo
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21
xanax πs i n2)( 22概率密度
2
2
2
8 ma
hnE
n?能量
)0(πs i n2 axx
a
n
a
,
)(x?
),0(0 axx,
波函数 pE
a xo
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22
1 粒子能量 量子化讨论：
基 态 能 量
)1(8 2
2
1 nma
hE,
2
2
2
8 ma
hnE
n?能 量激发态 能量
)32(
8 1
2
2
2
2?,,, nEn
ma
hnE
n
一维无限深方势阱中粒子的 能量 是 量子化 的,
pE
a xo
第十五章 量子物理
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23
2 粒子在势阱中各处出现的 概率密度 不同概率密度
)π(s i n2)( 22 xanax
x
a
n
a
x πs i n2)(
波 函 数例如，当 n =1时,粒子在 x = a /2处出现的概率最大第十五章 量子物理
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24
3 波函数为 驻波形式,阱壁处为波节，
波腹的个数与量子数 n 相等
0?x a
1?n
2?n
3?n
4?n
n? 2
n?
xanAx πs i n)( xanax πs i n2)( 22
0p?Ea
16E1
9E1
4E1
E1
0?x
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25
四 一维方势垒 隧道效应
)(p xE
axx,,00
axE0p0,
一维方势垒
0pEE?
粒子的能量
0pE
)(p xE
ao x
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
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ax?
当粒子能量 E < Ep0 时，从经典理论来看,粒子不可能穿过 进入 的区域,但用量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，
事实表明，量子力学是正确的,
隧道效应从左方射入的粒子，在各区域内的波函数
1? 2? 3?
)(x?
a xo
第十五章 量子物理
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中似乎有一个隧道，
能使少量粒子穿过而进入 的区域，
此现象 人们形象地 称为隧道效应,
ax?
粒子的能量虽 不 足以超越势垒，但在势垒隧道效应的本质,来源于微观粒子的波粒二象性,
1? 2? 3?
)(x?
a xo
第十五章 量子物理
15-8 量子力学简介物理学 第五版
28
量子围栏照片
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成 了扫描遂穿 显 微 镜
( STM ),可观测固体表面原子排列的状况,
应用
1986年宾尼希又研制了原子力显微镜,
第十五章 量子物理物理学第五版
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15-4 氢原子的玻尔理论
*15-5 弗兰克 -赫兹实验
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
15-7 不确定关系
15-8 量子力学简介
15-9 氢原子的量子理论简介
