2000.4 1
3-1) 材料力学内容回顾弹性分析法（容许应力法）
k
u
m a x
m a x?
—— 结构内实际最大应力
—— 材料容许应力
u?
k
b?
s?
—— 极限应力 （脆性）
（塑性）
—— 安全系数对塑性材料制成的结构不经济
3.基本假设与基本概念
2000.4 2
材料的本构关系（应力 — 应变关系）
o
o
o
o
o
塑性金属线性强化理想弹塑性 刚线性强化 刚塑性
2000.4 3
3-2) 基本假定假定材料具有相同的拉、压力学性能以及理想弹塑性的应力 -应变关系。
假定结构上所受荷载是按荷载参数 P以同一比例由小变大逐步加载的，同时荷载参数 P单调增加，不出现卸载情形，这种加载方式称为比例加载。
假定在弹塑性阶段横截面应变仍符合平截面假定。
3-3) 基本概念
2000.4 4
等面积轴形心轴
s?
s?
-
s
-
s?-
s
弹性 弹塑性屈服弯矩 Ms
塑性极限弯矩 Mu
纯弯梁由弹性到塑性的过程分析极限荷载 FPu
-
s?
s?
弹性
2000.4 5
塑性分析法（极限应力法）
极限荷载 —— 结构在极限状态时所能承受的荷载强度条件：
k
F
F Pu?
k
— 安全系数— 实际荷载
PuF
— 极限荷载F
问题：按塑性分析设计与按弹性分析设计相比，
在结构破坏时，何者的应力大？
将结构进入塑性阶段并丧失承载能力时的状态，作为结构破坏的标志，称为 极限状态 。
To
8
2000.4 6
AyhyAM
s
s d.d
2
1
屈服弯矩,按定义为
sM
WM ss
极限弯矩（整个截面都屈服）
uM
抗弯截面系数
（ 1）由
2
0 0
21
21
A
AA
AAF
ssx
得中性轴等分截面积
To 4
外边到形心轴
2000.4 7
（ 2）极限弯矩
uM
uu WM s 塑性截面系数（ ）
uW
（屈服弯矩 ）
WM ss
AyAyM ss ddu
截面形状系数：
W
W
M
M
s
uu
矩形1.5
圆形1.7
To 4
2000.4 8
非纯弯、双对称轴截面梁的情况实验和理论分析结果都表明，对于细长梁，切应力对极限承载力影响很小，可不予考虑。
例如简支梁截面出现塑性铰
2000.4 9
破坏机构 — 结构由于出现塑性铰而变成瞬变或可变时的体系。
静定梁，塑性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。
A B
FP
l
abFP
1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受
uM
塑性铰 —— 能承受弯矩并能单方向转动的铰。
塑性铰与普通铰的区别：
2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。
若梁的左半部分截面高度增加一倍（变截面梁），塑性铰出现在何处？
2000.4 10
4.极限平衡法及比例加载时的若干定理结构达极限状态时应该满足以下条件：
平衡条件 结构整体或任何部分均应是平衡的。
内力局限条件 极限状态时结构中任一截面弯矩绝对值不可能超过其极限弯矩 Mu，亦即
|M|≤ Mu 。
单向机构条件 结构达极限状态时，对梁和刚架必定有若干（取决于具体问题）截面出现塑性铰，使结构变成沿荷载方向能作单向运动的机构（也称破坏机构）。
2000.4 11
试求等截面单跨超静定梁的极限荷载
FP
l/2
A B
l/2
C16
3 P lF
32
5 P lF
4-1）极限平衡法 — 从极限状态由平衡求 FPu
A处出现塑性铰时：
uM
4
P1lF
弹性解得弯矩图
A B
uM C
P1F
能继续承荷
2000.4 12
A,C处都出现塑性铰：
u
uPu
24
MMlF
静力法
A B
C
uM uMuM
PuF
uM
4
Pu lF
uM列静力平衡方程，可得
l
MF u
Pu
6?
2000.4 13
02
2 uuPu
MMlF
虚功法或机动法
l/2
A B
l/2
C
uM
uM
uM
PuF
l/2
A B
l/2
uM
2
uM
uM
PuF
2
l C
极限状态 沿加载方向虚位移根据刚体虚位移原理，主动力虚功总和为零
l
MF u
Pu
6?
2000.4 14
试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载虚功法的虚功方程为
04
4
3
u
'
u
1
Pu
M
M
l
F
uu
'
u )2(3
1 MMMM
B
时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示
u'u 5 MM?
)4(
3
4
u
'
u
1
Pu MMlF
当 时，
u'u 5 MM?
l
MF u1
Pu
12?
uuu
'
u )( MMMMM B
2000.4 15
试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载虚功法的虚功方程为
02
4
u
u
2
Pu
M
M
l
F
l
MF u2
Pu
12?
时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示
'uu5 MMM A
当 时，
A,B,D都为塑性铰 u
'u 5 MM?
l
MF u
Pu
12?
2000.4 16
小 结任何结构（静定、超静定）的极限荷载只需分析破坏机构 (collapse mechanism)，由平衡条件（静力平衡方程或虚功方程）即可求出。
超静定结构的温度改变、支座移动等外因只影响结构弹塑性变形的过程（或称历程）
，并不影响极限荷载值。亦即仅计算极限荷载时，可不考虑温度改变、支座移动等外因的作用。
2000.4 17
4-2) 比例加载时有关极限荷载的若干定理
4-2-1）两个定义：
4-2-2）几个定理：
满足单向破坏机构和平衡条件的荷载称为可破坏荷载,记作 。
PF
满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载,记作 。
PF
1 基本定理 可破坏荷载 恒不小于可接受荷载,亦即 。
PF
PF PP FF
1 唯一性定理 结构的极限荷载是唯一的。
教材上有证明请大家自学！
2000.4 18
1 极小定理 可破坏荷载是极限荷载的上限，
亦即 。?
PPu m i n FF
1 极大定理 可接受荷载是极限荷载的下限，
亦即 。?
PPu m a x FF
证明 极限荷载也是可接受荷载，而可破坏荷载恒不小于可接受荷载，所以极限荷载的上限是可破坏荷载。 亦即 。?
PPu m i n FF
证明 极限荷载也是可破坏荷载，而可接受荷载恒小于可破坏荷载，所以极限荷载的下限是可接受荷载。 亦即 。
PPu m a x FF
2000.4 19
试求图示结构的极限荷载 。
uq
A B
q
l
lx )12(
0)( uQ BRxqxF
lq
Ml
q
Rx B
u
u
u 2
u
2
um ax 2
1 MxqxRM
B
u2u
6 5 7.11 M
l
q?
xuM
uM
解：由
l
MlqR
B
uu
2
0AM
可得设另一塑性铰距 B 为 x，
则根据微分关系再由可得
2000.4 20
解法之二：
结束
lx )12(
xuM
uM
02 uu
MMlq
列虚功方程可得由此可得由极小定理，因此必须
Δ?q
A B
l
α βC
由几何关系可得
)(x xlx
l
l
M
xlx
lxq u2
)(?
设图示可破坏荷载 下塑性铰与虚位移如图。
q
xl
0
d
d
x
q
由此可得
u2u
6 5 7.11 M
l
q?
2000.4 21
参看课程教材结束
3-1) 材料力学内容回顾弹性分析法（容许应力法）
k
u
m a x
m a x?
—— 结构内实际最大应力
—— 材料容许应力
u?
k
b?
s?
—— 极限应力 （脆性）
（塑性）
—— 安全系数对塑性材料制成的结构不经济
3.基本假设与基本概念
2000.4 2
材料的本构关系（应力 — 应变关系）
o
o
o
o
o
塑性金属线性强化理想弹塑性 刚线性强化 刚塑性
2000.4 3
3-2) 基本假定假定材料具有相同的拉、压力学性能以及理想弹塑性的应力 -应变关系。
假定结构上所受荷载是按荷载参数 P以同一比例由小变大逐步加载的，同时荷载参数 P单调增加，不出现卸载情形，这种加载方式称为比例加载。
假定在弹塑性阶段横截面应变仍符合平截面假定。
3-3) 基本概念
2000.4 4
等面积轴形心轴
s?
s?
-
s
-
s?-
s
弹性 弹塑性屈服弯矩 Ms
塑性极限弯矩 Mu
纯弯梁由弹性到塑性的过程分析极限荷载 FPu
-
s?
s?
弹性
2000.4 5
塑性分析法（极限应力法）
极限荷载 —— 结构在极限状态时所能承受的荷载强度条件：
k
F
F Pu?
k
— 安全系数— 实际荷载
PuF
— 极限荷载F
问题：按塑性分析设计与按弹性分析设计相比，
在结构破坏时，何者的应力大？
将结构进入塑性阶段并丧失承载能力时的状态，作为结构破坏的标志，称为 极限状态 。
To
8
2000.4 6
AyhyAM
s
s d.d
2
1
屈服弯矩,按定义为
sM
WM ss
极限弯矩（整个截面都屈服）
uM
抗弯截面系数
（ 1）由
2
0 0
21
21
A
AA
AAF
ssx
得中性轴等分截面积
To 4
外边到形心轴
2000.4 7
（ 2）极限弯矩
uM
uu WM s 塑性截面系数（ ）
uW
（屈服弯矩 ）
WM ss
AyAyM ss ddu
截面形状系数：
W
W
M
M
s
uu
矩形1.5
圆形1.7
To 4
2000.4 8
非纯弯、双对称轴截面梁的情况实验和理论分析结果都表明，对于细长梁，切应力对极限承载力影响很小，可不予考虑。
例如简支梁截面出现塑性铰
2000.4 9
破坏机构 — 结构由于出现塑性铰而变成瞬变或可变时的体系。
静定梁，塑性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。
A B
FP
l
abFP
1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受
uM
塑性铰 —— 能承受弯矩并能单方向转动的铰。
塑性铰与普通铰的区别：
2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。
若梁的左半部分截面高度增加一倍（变截面梁），塑性铰出现在何处？
2000.4 10
4.极限平衡法及比例加载时的若干定理结构达极限状态时应该满足以下条件：
平衡条件 结构整体或任何部分均应是平衡的。
内力局限条件 极限状态时结构中任一截面弯矩绝对值不可能超过其极限弯矩 Mu，亦即
|M|≤ Mu 。
单向机构条件 结构达极限状态时，对梁和刚架必定有若干（取决于具体问题）截面出现塑性铰，使结构变成沿荷载方向能作单向运动的机构（也称破坏机构）。
2000.4 11
试求等截面单跨超静定梁的极限荷载
FP
l/2
A B
l/2
C16
3 P lF
32
5 P lF
4-1）极限平衡法 — 从极限状态由平衡求 FPu
A处出现塑性铰时：
uM
4
P1lF
弹性解得弯矩图
A B
uM C
P1F
能继续承荷
2000.4 12
A,C处都出现塑性铰：
u
uPu
24
MMlF
静力法
A B
C
uM uMuM
PuF
uM
4
Pu lF
uM列静力平衡方程，可得
l
MF u
Pu
6?
2000.4 13
02
2 uuPu
MMlF
虚功法或机动法
l/2
A B
l/2
C
uM
uM
uM
PuF
l/2
A B
l/2
uM
2
uM
uM
PuF
2
l C
极限状态 沿加载方向虚位移根据刚体虚位移原理，主动力虚功总和为零
l
MF u
Pu
6?
2000.4 14
试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载虚功法的虚功方程为
04
4
3
u
'
u
1
Pu
M
M
l
F
uu
'
u )2(3
1 MMMM
B
时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示
u'u 5 MM?
)4(
3
4
u
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u
1
Pu MMlF
当 时，
u'u 5 MM?
l
MF u1
Pu
12?
uuu
'
u )( MMMMM B
2000.4 15
试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载虚功法的虚功方程为
02
4
u
u
2
Pu
M
M
l
F
l
MF u2
Pu
12?
时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示
'uu5 MMM A
当 时，
A,B,D都为塑性铰 u
'u 5 MM?
l
MF u
Pu
12?
2000.4 16
小 结任何结构（静定、超静定）的极限荷载只需分析破坏机构 (collapse mechanism)，由平衡条件（静力平衡方程或虚功方程）即可求出。
超静定结构的温度改变、支座移动等外因只影响结构弹塑性变形的过程（或称历程）
，并不影响极限荷载值。亦即仅计算极限荷载时，可不考虑温度改变、支座移动等外因的作用。
2000.4 17
4-2) 比例加载时有关极限荷载的若干定理
4-2-1）两个定义：
4-2-2）几个定理：
满足单向破坏机构和平衡条件的荷载称为可破坏荷载,记作 。
PF
满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载,记作 。
PF
1 基本定理 可破坏荷载 恒不小于可接受荷载,亦即 。
PF
PF PP FF
1 唯一性定理 结构的极限荷载是唯一的。
教材上有证明请大家自学！
2000.4 18
1 极小定理 可破坏荷载是极限荷载的上限，
亦即 。?
PPu m i n FF
1 极大定理 可接受荷载是极限荷载的下限，
亦即 。?
PPu m a x FF
证明 极限荷载也是可接受荷载，而可破坏荷载恒不小于可接受荷载，所以极限荷载的上限是可破坏荷载。 亦即 。?
PPu m i n FF
证明 极限荷载也是可破坏荷载，而可接受荷载恒小于可破坏荷载，所以极限荷载的下限是可接受荷载。 亦即 。
PPu m a x FF
2000.4 19
试求图示结构的极限荷载 。
uq
A B
q
l
lx )12(
0)( uQ BRxqxF
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Ml
q
Rx B
u
u
u 2
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1 MxqxRM
B
u2u
6 5 7.11 M
l
q?
xuM
uM
解：由
l
MlqR
B
uu
2
0AM
可得设另一塑性铰距 B 为 x，
则根据微分关系再由可得
2000.4 20
解法之二：
结束
lx )12(
xuM
uM
02 uu
MMlq
列虚功方程可得由此可得由极小定理，因此必须
Δ?q
A B
l
α βC
由几何关系可得
)(x xlx
l
l
M
xlx
lxq u2
)(?
设图示可破坏荷载 下塑性铰与虚位移如图。
q
xl
0
d
d
x
q
由此可得
u2u
6 5 7.11 M
l
q?
2000.4 21
参看课程教材结束
