第 6章 矩阵位移法
§ 6- 1 概述
§ 6- 2 单元刚度方程
§ 6- 3 坐标转换问题
§ 6- 4 整体分析
§ 6- 5 元素的速算方法
§ 6- 6 主程序框图及算例
§ 6- 7 结论与讨论
1,概 述结点,杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。图中 1,2,3,4点均为 结点 。
单元,两结点间的等直杆段。图中 1-3,2-4,3-4为单元 。
编码,黑的结点编号称 整体码 。
红的 1,2局限于单元，称局部码 。
坐标,兰的坐标称整体坐标 。红的 x,y局限于单元，称 局部坐标
1
3 4
2
x
y
1
2
1
1
2
2
y
x右手系
①
②
③
将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为 离散化 的工作对于如下所示的结构,离散化 时需先做以下的工作
2.单元刚度方程基本原理,在弹性小变形条件下，叠加原理成立。
已有知识,转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。
目的,像位移法一样，通过“一拆、
一合”来解决结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。
1
1
1N ul
EAF?
2
2
1N ul
EAF
1
1
2N ul
EAF
2
2
2N ul
EAF?
利用叠加原理
)( 121N uulEAF )( 122N uulEAF
2
1
N2
N1
11
11
u
u
l
EA
F
F
单元刚度方程平面拉压 -(桁架 )单元
eee kF
EE
连续梁单元利用叠加原理
1
1
1
4?
l
EIF?
1
1
2
2?
l
EIF?
2
2
1
2?
l
EIF?
2
2
2
4?
l
EIF?
F
2
E
2
F
1
E
1
MF
MF
2
1
E2
1
2
1
21
122
l
EI
F
F
F
F
单元刚度方程
eeee kFF
E
刚度矩阵等效结点荷载矩阵不考虑轴向变形的平面梁柱单元
q(x)
根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱单元的单元刚度方程为
eeee kFF
E
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
k
e单元刚度矩阵 (应熟记 )
是转角位移方程的矩阵表示单元杆端位移矩阵
T4321 ee
单元等效结点荷载矩阵向上满跨均布荷载 q 作用
T
E
22
E
122122
e
e qlqlqlql
F
逆时针满跨均布力偶 m 作用
TEE 00 ee mmF?
根据单跨梁的载常数，可得
11
11
l
EAk u
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
k
v
000000
000000
000000
000000
000000
000000
vvvv
vvvv
uu
vvvv
vvvv
uu
e
kkkk
kkkk
kk
kkkk
kkkk
kk
k
44434241
34333231
2221
24232221
14131211
1211
00
00
0000
00
00
0000
计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁柱这一结果对应的杆端位移矩阵如何？
单元等效结点荷载可同理叠加得到补充单元刚度矩阵的性质根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。
除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。
解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。
解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。
刚度矩阵元素 kij的物理意义为：单元仅发生第个 j杆端单位位移时，在第个 i杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力 。
3,坐标转换问题在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方程，这是下一节将讨论的内容。
除连续梁外，一般结构单元不全同方位，
为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的转换问题。
力的转换位移的转换
2
1
2
1
c o ssin
sinc o s
F
F
F
F
将局部量向整体量方向投影，可得
2
1
2
1
c o ss i n-
s i nc o s
将整体量向局部量方向投影，可得第三、六两个量不存在转换问题。
100
0co ssin
0sinco s
如果记结点位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为
0
0
T
因此
ee T
位移
ee FTF T?
力刚度方程的转换
e
E
e FFTFF )()( T
E 力转换刚度方程位移转换
eekT?T?
ee TkT?T?
如果记整体坐标单元刚度矩阵为
TkTk ee T?
则整体坐标单元刚度方程为
eee kFF )(
E
eeee kFF
E
局部坐标连续梁单元需要进行坐标转换吗？
连续梁的局部坐标与整体坐标一致，所以不需要转换。
桁架单元如何进行坐标转换？
2
1
T
T
4321 s i nc o s00
00s i nc o s
F
FFFFF
力的转换
T4321
2
1
s i nc o s00
00s i nc o s
位移的转换
T?
T
第一种做法第二种做法
T4321e位移扩展为
0000
0101
0000
0101
l
EA
k
e
刚度矩阵改为
co ss i n00
s i nco s00
00co ss i n
00s i nco s
T
转换矩阵局部坐标与整体坐标成 900时，局部单刚和整体单刚间有何关系？
66
5655
44
363533
26252322
1411
00
0
0
0000
k
kk
k
kkk
kkkk
kk
k
e
对称局部坐标单元刚度矩阵
66
44
5655
363533
1411
26252322
0
0
00
k
k
kk
kkk
kk
kkkk
k
e
对称整体坐标单元刚度矩阵
To
47
4,整体分析以图示简例来说明图中有两套编号,红 的是单元杆端编号,黑 的是结构整体编号。
4-1) 结点示意
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③
图中蓝色的表示结点荷载（已知）,红 色的表示杆端力（未知的）,,分别①、
②单元杆端力子矩阵。对 1,4结点“荷载”含有未知反力。
2F1F
2
2dP
12F21F
4-2) 结点平衡由示意图可见，
结构结点的平衡方程为
2or 1 d jFP
i ji 各杆交
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③ 2
2dP
12F21F1
1dP
11F
3
3dP
32F
22F
4
1dP
11F
若记 TT
4d
T
3d
T
2d
T
1dd PPPPP?
TT32T31T22T21T12T11 FFFFFFF?
2
2dP
12F21F1
1dP
11F
3
3dP
32F
22F
4
1dP
11F
F
I
II
II
I
P
00000
0000
0000
00000
d
则平衡方程为式中 (I),0 分别为单位和零矩阵。
FAP?d
若引入矩阵记号则结点平衡方程可改写作这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然对一切结构都是成立的。问题在于不同结构,(A) 矩阵是不同的。
①
②
③
00000
0000
0000
00000
I
II
II
I
A
4-3) 杆端位移用结点位移来表示
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③
仍以上述简单例子来说明若记
TT4T1
TT32T31T22T21T12T11
由结点、杆端位移的协调条件，可得 (? )、
(? ) 的对应关系为
TA?
式中 (A)T是前面力关系 (A)的转置，因此
(A)T称为 位移转换矩阵 。
4-4) 整体刚度方程 ——结点平衡
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③若记
31 kkd i a gK
Ed ; PKFFAP而?
TT3ET2ET1EE FFFP?
引入位移转换关系，则
)( Ed PKAP
EE PAP?记
TEd AKAPP
这就是整体刚度方程，它的物理实质是结点平衡。 (K) 称作结构刚度矩阵（或整体刚度矩阵）,(P) 称作综合等效结点荷载矩阵，它由两部分组成,
Pd 直接结点荷载矩阵 由结点荷载组成
PE 等效结点荷载矩阵 由单元荷载组成
KAKA
PPP
T
Ed记 综合等效结点荷载矩阵整体 (总体 )刚度矩阵
KP?则 整体 (总体 )刚度方程单元个数
3
1
TT
i
iii AkAAKA
③②①
4-5) 整体刚度矩阵的建立
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③若将 (A)按单元分成图示三个子矩阵则
00000
0000
0000
00000
I
II
II
I
A
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③
由此可见，整体刚度矩阵可由各单元整体刚度矩阵 装配累加 得到。为说明如何装配，先将单元刚度矩阵进行分割
i
i kk
kk
k
2221
1211
r
s
sr
整体结点码则由矩阵乘法可证明,(A)I(k)I(A)iT的结果是，
将刚度矩阵子矩阵按整体结点码 r,s 送整体刚度矩阵相应位置。这一装配规则称为“对号入座”。
i
i kk
kk
k
2221
1211
r
s
sr
整体结点码
nsr21
n
s
r
2
1
刚度矩阵对号入座集装规则
K
ii
ii
kk
kk
2221
1211
4-6) 任意结构情况上面结论是通过具体例子（全刚结点平面刚架）得到的，由理论分析可证明，任意结构其 结论同此例 。
1) 结点位移编号如果按结点顺序，对结点非零位移进行依次编号，
这一序号称作 结点位移码 。
为便于计算机处理并减少结构刚度矩阵的阶次，将零位移的号码变为零 。
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
( 10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
对图示三铰刚架，当仅用一种单元（梁柱自由是单元）时结点位移编号如图所示。
2) 单元定位向量按单元局部结点码顺序，将结点位移码排成的向量，称作单元的 定位向量 。
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
( 10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④对图示刚架各单元的定位向量为
① (0,0,1,3,4,5)
② (0,0,2,10,11,12)
③ (3,4,5,6,7,8)
④ (6,7,9,10,11,12)
如果如图所示采用各种不同的单元 （一端有铰）,则定位向量为
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
( 10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
(0,0) (0,0)
(1,2,3) (4,5) (6,7,8)
1 2
3 4 5
① ②
③ ④
① (0,0,1,2,3)
② (0,0,,6,7,8)
③ (1,2,3,4,5) ④ (4,5,6,7,8)
如何获得带铰的单元刚度矩阵和等效荷载矩阵一端带铰的单元如下图所示其单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可有两种方法获得：
直接用形、载常数叠加来的到；
由自由式单元刚度方程，以铰结端弯矩为零为约束条件，从这个方程解出铰结端的转角位移（用其它位移表示），代回其它刚度方程，
整理后即可得到。
这类单元的单元刚度矩阵可在
(Ⅱ ) P,40找到定位向量
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
(10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
(0,0) (0,0)
(1,2,3) (4,5) (6,7,8)
1 2
3 4 5
① ②
③ ④
1) 刚度集装 (以 ④ 单元为例 )
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
4
k
87654
定位向量单元局部位移码
54321
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
4-7) 按单元定位向量集装刚度矩阵和综合荷载前面说明的是分块子矩阵集装,下面说明如何按定位向量来集装,
根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素。
K
8 7 6 5 4321
8
7
6
5
4
3
2
1
位移码位移码总荷
11 12 13 14 15
22 23 24 25
33 34
44
35
45
55
对称
5
4
3
F
F
F
P
“总荷”第④单元集装后的“总刚”
小结
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
(10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
(0,0) (0,0)
(1,2,3) (4,5) (6,7,8)
1 2
3 4 5
① ②
③ ④2) 荷载集装以 ② 单元为例来说明定位向量
8
7
6
0
0
25
4
3
2
1
2
F
F
F
F
F
F
5
4
3
2
1
局部位移码 此结论同样适用于刚度集装根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。
整体分析小结
1) 对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚度、荷载进行坐标转换。
2) 需对“结构”进行结点、位移的局部和整体编号。
4) 整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。
3) 根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。
5) 综合荷载由两部分组成，因此首先要将直接作用结点的荷载按结点位移码送入，如果还有单元等效荷载，再按定位向量集装、累加。
★ 8) 如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。
★ 9) 如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将
“边界条件处理”。具体做法以后介绍。
7) 整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。
6) 刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移编码。
最大半带宽 =定位向量中最大元素差 +1。
整体分析小结
4-8） 边界条件的处理
1) 乘大数法
2) 置换法 (划零置 1)
设第 i 个位移为已知值 a 。
设第 i 个位移为已知值 a,N =108 或更大的数。乘大数法是 将刚度矩阵 Kii改为 N?Kii，
将 Pi改为 N?a。
当按子矩阵 (后处理法 )集装形成整体刚度方程时，整体刚度矩阵是奇异的。此外，
当需分析的结构有已知支座位移时，上述两情况均需进行边界条件处理。
请考虑为什麽这样做能使边界条件得到满足？
n
i
n
i
nnnjninn
inijiiii
nji
nji
P
P
P
P
KKKKK
KKKKK
KKKKK
KKKKK
2
1
2
1
21
21
2222221
1111211
刚度方程为：
aKR
a
aKR
aKR
KK
KK
KKKK
nin
i
i
n
i
nnnjnn
nj
nj
22
11
2
1
21
222221
111211
0
00100
0
0
上述置换工作量大一些，显然可看出边界条件得到精确满足。
★ 3) 关于斜边界的处理如图示意的斜支座情况，有多种处理方案。
3-1) 通过单元的坐标转换来处理
x
y
xy
r
3-2) 通过增加一个单元来处理
3-3) 对整体刚度矩阵进行处理 (参见有关教材 )
图示有斜支座单元,r 结点处以倾角?-? 来进行坐标转换，
也即在 r 结点处整体坐标为图示
xy 。
图示有斜支座单元,r 结点处沿 y 方向增加一个刚结的单元，此单元有“无穷大”的抗拉刚度、但没有抗弯刚度。单元长度可任意。
5,刚度与荷载元素的速算方法目的,为调试程序准备测试数据。
元素 Kij的物理意义,仅 j
位移码处单位位移,i位移码处所需施加的力 。
举例 试求图示结构的整体刚度矩阵元素 K11。
根据元素物理意义，求 K11的计算简图如有所示。 因为仅 j位移码处单位位移,故可改为
5-1）“总刚”元素根据形常数，取隔离体如图，由此可得
K11
3
1
11 m 9
2
m 4
EIEAK
根据元素物理意义，由图示计算简图还可求得
K41K
31231 m 3
2 EIK?
m4
1
41
EAK
结论,根据整体刚度矩阵元素的物理意义，
在熟记形常数的前提下，取相关部分为对象，
即可方便地求得刚度元素。
求 K22,K23,K25、
K26应取什么样的隔离体做计算简图？
求 K33,K35、
K36应取什么样的隔离体做计算简图？
5-2）“总荷”元素综合结点荷载包含两部分：直接结点荷载和单元荷载等效的结点荷载。
因为在固端力正向和杆端力正向规定相同时，有 ee FF F
E
所以如图所示，将实际的固端力反向等效作用于结点，由集装规则可得
T
mkN
3
38
kN 4-0
mkN
3
8
-kN 4-kN 20
P
试求图示结构在所示编码下的综合结点荷载矩阵
T2222
632484?
qlqlqlqlql
P
5-3）任一截面的内力计算在求解整体刚度方程，获得结构位移矩阵后，根据定位向量，可得到各单元的杆端位移矩阵，由单元刚度方程可得到单元杆端力。
需注意：如图所示，单元杆端力和前几章单元杆端内力的正向规定是不同的。
求得单元杆端力后，如图取隔离体，由平衡条件可得
k
k
k
x
kk
x
x
xxxxqxFFM
xxqFF
xxpFF
023
02Q
01N
d))((
d)(
)d)((
0
0
0
0
2221
1211
T
T
kk
kk
TkTk ee
2221
1211
T
0
0
kk
kk
22
T
21
T
12
T
11
T
kk
kk
o90
100
001
010
100
001
010
0
0
00
100
001
010
3332
2322
11
T
T
ij
e
ij
kk
kk
k
k
ij
kk
kk
k
3332
2322
11
T
0
0
00
100
001
010
ij
kk
k
kk
3332
11
2322
0
00
0
程序编制题试参考随书光盘所给的平面与空间桁架计算程序（ F90）
自行编制平面刚架静力计算程序返首看课程教材
1?
2?
4?
3?
5?
6?
单元杆端位移示意图示量均是正的单元杆端力示意
1F
2F
3F
4F
5F
6F
图示量均是正的单一位移时的单元杆端力
11F
41F
1? 111?
l
EAF?
114?l
EAF
22F
32F
52F
62F
2?
522322
12 F
l
EIF
622232
6 F
l
EIF
333
4?
l
EIF?
363
2?
l
EIF?
3?
23F
33F
53F
63F
533223
6 F
l
EIF
单一位移时的单元杆端力
14F 44F
4?
414?l
EAF
444?l
EAF?
25F
35F 55
F
65F
5?
255355
12 F
l
EIF
655235
6 F
l
EIF
单一位移时的单元杆端力
666
4?
l
EIF?
636
2?
l
EIF?
566226
6 F
l
EIF
6?
26F
36F
56F
66F
单一位移时的单元杆端力有单元荷载时的固端力图示量均是正的
)(xq
)(xp
)(xm
F1F
F2F
F3F
F5F
F4F
F6F
当单元既有杆端位移，又有单元荷载时，根据叠加原理可得
Feeee FkF
称为 局部坐标单元杆端力矩阵 。
T
ee FFFFFFF 654321?
式中
F
eeee FkF
称为 局部坐标单元固端力矩阵 。
TFFFFFFF ee FFFFFFF 654321? 但必须注意,这里固端力正方向规定和前面所定义的固端内力正向规定不全相同。
6
1j
iji FF
F
N
F
11 FF FQF 12 FF? FF 23 MF
F
N
F
24 FF? FQF 25 FF FF 26 MF
式中将杆端位移和杆端力联系起来的矩阵，称为 局部坐标单元刚度矩阵,记为
(k)e。该方程称为 局部坐标单元刚度方程,
他是单元分析的结果。
Feeee FkF
局部坐标 单元杆端位移矩阵。
T654321 ee
局部坐标单元刚度方程 也可如下改写
eeeeee FFkFF EF
FE ee FF 称 单元等效结点荷载矩阵单元刚度矩阵 具体形式和元素为
e
e
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
4
612
00
26
0
4
612
0
612
0000
23
2
2323
对称当为桁架单元时单元刚度方程改为
eee kF
eee
l
EA
F
F
2
1
2
1
11
11
当单元有零位移约束时单元刚度方程仍为但是单元刚度据阵中应该划去零位移约束所对应的行和列。
eeee kFF E
位移和力的矩阵中只包含未知位移及对应的项。
如不考虑轴向变形的单元
e
e
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
4
612
264
612612
23
2
2323
对称由 6× 6刚度矩阵划去 1,4行和列后可得
§ 6- 1 概述
§ 6- 2 单元刚度方程
§ 6- 3 坐标转换问题
§ 6- 4 整体分析
§ 6- 5 元素的速算方法
§ 6- 6 主程序框图及算例
§ 6- 7 结论与讨论
1,概 述结点,杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。图中 1,2,3,4点均为 结点 。
单元,两结点间的等直杆段。图中 1-3,2-4,3-4为单元 。
编码,黑的结点编号称 整体码 。
红的 1,2局限于单元，称局部码 。
坐标,兰的坐标称整体坐标 。红的 x,y局限于单元，称 局部坐标
1
3 4
2
x
y
1
2
1
1
2
2
y
x右手系
①
②
③
将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为 离散化 的工作对于如下所示的结构,离散化 时需先做以下的工作
2.单元刚度方程基本原理,在弹性小变形条件下，叠加原理成立。
已有知识,转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。
目的,像位移法一样，通过“一拆、
一合”来解决结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。
1
1
1N ul
EAF?
2
2
1N ul
EAF
1
1
2N ul
EAF
2
2
2N ul
EAF?
利用叠加原理
)( 121N uulEAF )( 122N uulEAF
2
1
N2
N1
11
11
u
u
l
EA
F
F
单元刚度方程平面拉压 -(桁架 )单元
eee kF
EE
连续梁单元利用叠加原理
1
1
1
4?
l
EIF?
1
1
2
2?
l
EIF?
2
2
1
2?
l
EIF?
2
2
2
4?
l
EIF?
F
2
E
2
F
1
E
1
MF
MF
2
1
E2
1
2
1
21
122
l
EI
F
F
F
F
单元刚度方程
eeee kFF
E
刚度矩阵等效结点荷载矩阵不考虑轴向变形的平面梁柱单元
q(x)
根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱单元的单元刚度方程为
eeee kFF
E
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
k
e单元刚度矩阵 (应熟记 )
是转角位移方程的矩阵表示单元杆端位移矩阵
T4321 ee
单元等效结点荷载矩阵向上满跨均布荷载 q 作用
T
E
22
E
122122
e
e qlqlqlql
F
逆时针满跨均布力偶 m 作用
TEE 00 ee mmF?
根据单跨梁的载常数，可得
11
11
l
EAk u
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
k
v
000000
000000
000000
000000
000000
000000
vvvv
vvvv
uu
vvvv
vvvv
uu
e
kkkk
kkkk
kk
kkkk
kkkk
kk
k
44434241
34333231
2221
24232221
14131211
1211
00
00
0000
00
00
0000
计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁柱这一结果对应的杆端位移矩阵如何？
单元等效结点荷载可同理叠加得到补充单元刚度矩阵的性质根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。
除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。
解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。
解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。
刚度矩阵元素 kij的物理意义为：单元仅发生第个 j杆端单位位移时，在第个 i杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力 。
3,坐标转换问题在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方程，这是下一节将讨论的内容。
除连续梁外，一般结构单元不全同方位，
为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的转换问题。
力的转换位移的转换
2
1
2
1
c o ssin
sinc o s
F
F
F
F
将局部量向整体量方向投影，可得
2
1
2
1
c o ss i n-
s i nc o s
将整体量向局部量方向投影，可得第三、六两个量不存在转换问题。
100
0co ssin
0sinco s
如果记结点位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为
0
0
T
因此
ee T
位移
ee FTF T?
力刚度方程的转换
e
E
e FFTFF )()( T
E 力转换刚度方程位移转换
eekT?T?
ee TkT?T?
如果记整体坐标单元刚度矩阵为
TkTk ee T?
则整体坐标单元刚度方程为
eee kFF )(
E
eeee kFF
E
局部坐标连续梁单元需要进行坐标转换吗？
连续梁的局部坐标与整体坐标一致，所以不需要转换。
桁架单元如何进行坐标转换？
2
1
T
T
4321 s i nc o s00
00s i nc o s
F
FFFFF
力的转换
T4321
2
1
s i nc o s00
00s i nc o s
位移的转换
T?
T
第一种做法第二种做法
T4321e位移扩展为
0000
0101
0000
0101
l
EA
k
e
刚度矩阵改为
co ss i n00
s i nco s00
00co ss i n
00s i nco s
T
转换矩阵局部坐标与整体坐标成 900时，局部单刚和整体单刚间有何关系？
66
5655
44
363533
26252322
1411
00
0
0
0000
k
kk
k
kkk
kkkk
kk
k
e
对称局部坐标单元刚度矩阵
66
44
5655
363533
1411
26252322
0
0
00
k
k
kk
kkk
kk
kkkk
k
e
对称整体坐标单元刚度矩阵
To
47
4,整体分析以图示简例来说明图中有两套编号,红 的是单元杆端编号,黑 的是结构整体编号。
4-1) 结点示意
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③
图中蓝色的表示结点荷载（已知）,红 色的表示杆端力（未知的）,,分别①、
②单元杆端力子矩阵。对 1,4结点“荷载”含有未知反力。
2F1F
2
2dP
12F21F
4-2) 结点平衡由示意图可见，
结构结点的平衡方程为
2or 1 d jFP
i ji 各杆交
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③ 2
2dP
12F21F1
1dP
11F
3
3dP
32F
22F
4
1dP
11F
若记 TT
4d
T
3d
T
2d
T
1dd PPPPP?
TT32T31T22T21T12T11 FFFFFFF?
2
2dP
12F21F1
1dP
11F
3
3dP
32F
22F
4
1dP
11F
F
I
II
II
I
P
00000
0000
0000
00000
d
则平衡方程为式中 (I),0 分别为单位和零矩阵。
FAP?d
若引入矩阵记号则结点平衡方程可改写作这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然对一切结构都是成立的。问题在于不同结构,(A) 矩阵是不同的。
①
②
③
00000
0000
0000
00000
I
II
II
I
A
4-3) 杆端位移用结点位移来表示
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③
仍以上述简单例子来说明若记
TT4T1
TT32T31T22T21T12T11
由结点、杆端位移的协调条件，可得 (? )、
(? ) 的对应关系为
TA?
式中 (A)T是前面力关系 (A)的转置，因此
(A)T称为 位移转换矩阵 。
4-4) 整体刚度方程 ——结点平衡
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③若记
31 kkd i a gK
Ed ; PKFFAP而?
TT3ET2ET1EE FFFP?
引入位移转换关系，则
)( Ed PKAP
EE PAP?记
TEd AKAPP
这就是整体刚度方程，它的物理实质是结点平衡。 (K) 称作结构刚度矩阵（或整体刚度矩阵）,(P) 称作综合等效结点荷载矩阵，它由两部分组成,
Pd 直接结点荷载矩阵 由结点荷载组成
PE 等效结点荷载矩阵 由单元荷载组成
KAKA
PPP
T
Ed记 综合等效结点荷载矩阵整体 (总体 )刚度矩阵
KP?则 整体 (总体 )刚度方程单元个数
3
1
TT
i
iii AkAAKA
③②①
4-5) 整体刚度矩阵的建立
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③若将 (A)按单元分成图示三个子矩阵则
00000
0000
0000
00000
I
II
II
I
A
1
2 3
41
2
1 2 2
1
①
②
③
由此可见，整体刚度矩阵可由各单元整体刚度矩阵 装配累加 得到。为说明如何装配，先将单元刚度矩阵进行分割
i
i kk
kk
k
2221
1211
r
s
sr
整体结点码则由矩阵乘法可证明,(A)I(k)I(A)iT的结果是，
将刚度矩阵子矩阵按整体结点码 r,s 送整体刚度矩阵相应位置。这一装配规则称为“对号入座”。
i
i kk
kk
k
2221
1211
r
s
sr
整体结点码
nsr21
n
s
r
2
1
刚度矩阵对号入座集装规则
K
ii
ii
kk
kk
2221
1211
4-6) 任意结构情况上面结论是通过具体例子（全刚结点平面刚架）得到的，由理论分析可证明，任意结构其 结论同此例 。
1) 结点位移编号如果按结点顺序，对结点非零位移进行依次编号，
这一序号称作 结点位移码 。
为便于计算机处理并减少结构刚度矩阵的阶次，将零位移的号码变为零 。
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
( 10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
对图示三铰刚架，当仅用一种单元（梁柱自由是单元）时结点位移编号如图所示。
2) 单元定位向量按单元局部结点码顺序，将结点位移码排成的向量，称作单元的 定位向量 。
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
( 10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④对图示刚架各单元的定位向量为
① (0,0,1,3,4,5)
② (0,0,2,10,11,12)
③ (3,4,5,6,7,8)
④ (6,7,9,10,11,12)
如果如图所示采用各种不同的单元 （一端有铰）,则定位向量为
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
( 10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
(0,0) (0,0)
(1,2,3) (4,5) (6,7,8)
1 2
3 4 5
① ②
③ ④
① (0,0,1,2,3)
② (0,0,,6,7,8)
③ (1,2,3,4,5) ④ (4,5,6,7,8)
如何获得带铰的单元刚度矩阵和等效荷载矩阵一端带铰的单元如下图所示其单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可有两种方法获得：
直接用形、载常数叠加来的到；
由自由式单元刚度方程，以铰结端弯矩为零为约束条件，从这个方程解出铰结端的转角位移（用其它位移表示），代回其它刚度方程，
整理后即可得到。
这类单元的单元刚度矩阵可在
(Ⅱ ) P,40找到定位向量
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
(10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
(0,0) (0,0)
(1,2,3) (4,5) (6,7,8)
1 2
3 4 5
① ②
③ ④
1) 刚度集装 (以 ④ 单元为例 )
5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
4
k
87654
定位向量单元局部位移码
54321
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
4-7) 按单元定位向量集装刚度矩阵和综合荷载前面说明的是分块子矩阵集装,下面说明如何按定位向量来集装,
根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素。
K
8 7 6 5 4321
8
7
6
5
4
3
2
1
位移码位移码总荷
11 12 13 14 15
22 23 24 25
33 34
44
35
45
55
对称
5
4
3
F
F
F
P
“总荷”第④单元集装后的“总刚”
小结
(0,0,1) (0,0,2)
(3,4,5) (6,7,8) (6,7,9)
(10,11,12 )
1 2
3 4 5
6
① ②
③ ④
(0,0) (0,0)
(1,2,3) (4,5) (6,7,8)
1 2
3 4 5
① ②
③ ④2) 荷载集装以 ② 单元为例来说明定位向量
8
7
6
0
0
25
4
3
2
1
2
F
F
F
F
F
F
5
4
3
2
1
局部位移码 此结论同样适用于刚度集装根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。
整体分析小结
1) 对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚度、荷载进行坐标转换。
2) 需对“结构”进行结点、位移的局部和整体编号。
4) 整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。
3) 根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。
5) 综合荷载由两部分组成，因此首先要将直接作用结点的荷载按结点位移码送入，如果还有单元等效荷载，再按定位向量集装、累加。
★ 8) 如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。
★ 9) 如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将
“边界条件处理”。具体做法以后介绍。
7) 整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。
6) 刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移编码。
最大半带宽 =定位向量中最大元素差 +1。
整体分析小结
4-8） 边界条件的处理
1) 乘大数法
2) 置换法 (划零置 1)
设第 i 个位移为已知值 a 。
设第 i 个位移为已知值 a,N =108 或更大的数。乘大数法是 将刚度矩阵 Kii改为 N?Kii，
将 Pi改为 N?a。
当按子矩阵 (后处理法 )集装形成整体刚度方程时，整体刚度矩阵是奇异的。此外，
当需分析的结构有已知支座位移时，上述两情况均需进行边界条件处理。
请考虑为什麽这样做能使边界条件得到满足？
n
i
n
i
nnnjninn
inijiiii
nji
nji
P
P
P
P
KKKKK
KKKKK
KKKKK
KKKKK
2
1
2
1
21
21
2222221
1111211
刚度方程为：
aKR
a
aKR
aKR
KK
KK
KKKK
nin
i
i
n
i
nnnjnn
nj
nj
22
11
2
1
21
222221
111211
0
00100
0
0
上述置换工作量大一些，显然可看出边界条件得到精确满足。
★ 3) 关于斜边界的处理如图示意的斜支座情况，有多种处理方案。
3-1) 通过单元的坐标转换来处理
x
y
xy
r
3-2) 通过增加一个单元来处理
3-3) 对整体刚度矩阵进行处理 (参见有关教材 )
图示有斜支座单元,r 结点处以倾角?-? 来进行坐标转换，
也即在 r 结点处整体坐标为图示
xy 。
图示有斜支座单元,r 结点处沿 y 方向增加一个刚结的单元，此单元有“无穷大”的抗拉刚度、但没有抗弯刚度。单元长度可任意。
5,刚度与荷载元素的速算方法目的,为调试程序准备测试数据。
元素 Kij的物理意义,仅 j
位移码处单位位移,i位移码处所需施加的力 。
举例 试求图示结构的整体刚度矩阵元素 K11。
根据元素物理意义，求 K11的计算简图如有所示。 因为仅 j位移码处单位位移,故可改为
5-1）“总刚”元素根据形常数，取隔离体如图，由此可得
K11
3
1
11 m 9
2
m 4
EIEAK
根据元素物理意义，由图示计算简图还可求得
K41K
31231 m 3
2 EIK?
m4
1
41
EAK
结论,根据整体刚度矩阵元素的物理意义，
在熟记形常数的前提下，取相关部分为对象，
即可方便地求得刚度元素。
求 K22,K23,K25、
K26应取什么样的隔离体做计算简图？
求 K33,K35、
K36应取什么样的隔离体做计算简图？
5-2）“总荷”元素综合结点荷载包含两部分：直接结点荷载和单元荷载等效的结点荷载。
因为在固端力正向和杆端力正向规定相同时，有 ee FF F
E
所以如图所示，将实际的固端力反向等效作用于结点，由集装规则可得
T
mkN
3
38
kN 4-0
mkN
3
8
-kN 4-kN 20
P
试求图示结构在所示编码下的综合结点荷载矩阵
T2222
632484?
qlqlqlqlql
P
5-3）任一截面的内力计算在求解整体刚度方程，获得结构位移矩阵后，根据定位向量，可得到各单元的杆端位移矩阵，由单元刚度方程可得到单元杆端力。
需注意：如图所示，单元杆端力和前几章单元杆端内力的正向规定是不同的。
求得单元杆端力后，如图取隔离体，由平衡条件可得
k
k
k
x
kk
x
x
xxxxqxFFM
xxqFF
xxpFF
023
02Q
01N
d))((
d)(
)d)((
0
0
0
0
2221
1211
T
T
kk
kk
TkTk ee
2221
1211
T
0
0
kk
kk
22
T
21
T
12
T
11
T
kk
kk
o90
100
001
010
100
001
010
0
0
00
100
001
010
3332
2322
11
T
T
ij
e
ij
kk
kk
k
k
ij
kk
kk
k
3332
2322
11
T
0
0
00
100
001
010
ij
kk
k
kk
3332
11
2322
0
00
0
程序编制题试参考随书光盘所给的平面与空间桁架计算程序（ F90）
自行编制平面刚架静力计算程序返首看课程教材
1?
2?
4?
3?
5?
6?
单元杆端位移示意图示量均是正的单元杆端力示意
1F
2F
3F
4F
5F
6F
图示量均是正的单一位移时的单元杆端力
11F
41F
1? 111?
l
EAF?
114?l
EAF
22F
32F
52F
62F
2?
522322
12 F
l
EIF
622232
6 F
l
EIF
333
4?
l
EIF?
363
2?
l
EIF?
3?
23F
33F
53F
63F
533223
6 F
l
EIF
单一位移时的单元杆端力
14F 44F
4?
414?l
EAF
444?l
EAF?
25F
35F 55
F
65F
5?
255355
12 F
l
EIF
655235
6 F
l
EIF
单一位移时的单元杆端力
666
4?
l
EIF?
636
2?
l
EIF?
566226
6 F
l
EIF
6?
26F
36F
56F
66F
单一位移时的单元杆端力有单元荷载时的固端力图示量均是正的
)(xq
)(xp
)(xm
F1F
F2F
F3F
F5F
F4F
F6F
当单元既有杆端位移，又有单元荷载时，根据叠加原理可得
Feeee FkF
称为 局部坐标单元杆端力矩阵 。
T
ee FFFFFFF 654321?
式中
F
eeee FkF
称为 局部坐标单元固端力矩阵 。
TFFFFFFF ee FFFFFFF 654321? 但必须注意,这里固端力正方向规定和前面所定义的固端内力正向规定不全相同。
6
1j
iji FF
F
N
F
11 FF FQF 12 FF? FF 23 MF
F
N
F
24 FF? FQF 25 FF FF 26 MF
式中将杆端位移和杆端力联系起来的矩阵，称为 局部坐标单元刚度矩阵,记为
(k)e。该方程称为 局部坐标单元刚度方程,
他是单元分析的结果。
Feeee FkF
局部坐标 单元杆端位移矩阵。
T654321 ee
局部坐标单元刚度方程 也可如下改写
eeeeee FFkFF EF
FE ee FF 称 单元等效结点荷载矩阵单元刚度矩阵 具体形式和元素为
e
e
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
4
612
00
26
0
4
612
0
612
0000
23
2
2323
对称当为桁架单元时单元刚度方程改为
eee kF
eee
l
EA
F
F
2
1
2
1
11
11
当单元有零位移约束时单元刚度方程仍为但是单元刚度据阵中应该划去零位移约束所对应的行和列。
eeee kFF E
位移和力的矩阵中只包含未知位移及对应的项。
如不考虑轴向变形的单元
e
e
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
4
612
264
612612
23
2
2323
对称由 6× 6刚度矩阵划去 1,4行和列后可得
