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第三章 矢量代数
一、定义
设矢量 {}zyxzkxjxia,,=++=
（1）矢量的模a
222
zyxa ++=
（2）单位矢量
++++++
==
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
a
a
a
o
（3）矢量的方向余弦a
222222222
cos,sin,cos
zyx
z
zyx
y
zyx
x
++
=
++
=
++
= γβα
（4）设( ) (),,,,,,
2222111
zyxMzyxM，则{ }
12121221
,,zzyyxxMM=
二、矢量的运算
1．加减运算
设a {}{ } { }
212121
,,zzyyxxba
222111
,,,,,zyxbzyx ==则= ± ± ±±
2．数乘矢量
设{}λ,,,zyxa =为数量，则，{ }zyxa λλλλ,,=
>
>
=
反向与则－
为零矢量，则＝，
同向与则
aaaa
a
aaaa
a
λλλ
λλ
λλλ
λ
,0,
0 0
,0,
0
0
3．矢量的数积（点积，内积）
设{}{,,,,,,
222111
zyxbzyxa }==则矢量a与的数量积b
()
21
z
2121
,cos zyyxxbababa ++==?
4．矢量的矢积（叉积，外积）
设两矢量a与，若一个矢量c，满足条件,b?
①(babac,sin= )； ②,,bcac ⊥⊥即c垂直于所确定的平面； ③成右手系 ba,cba,,
k
yx
yx
j
zx
zx
i
zy
zy
zyx
zyx
kji
ba
bac
22
11
22
11
22
11
222
111
+?==×
×=
则矢量c称为矢量于a的矢量乘积，记为 b,
5．混合积
设有三个矢量
{ }{ }{ }
333222111
,,,,,,,,zyxczyxbzyxa ===
,先作a的矢积b ba×再与c作数乘积()，
则称其为a的混合积，记做[]
cba×
cb,,cba,,
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[]()
333
222
111
,,
zyx
zyx
zyx
cbacba =?×=
[ ],,cba表示以为棱的平行六面体积。 cba,,
13