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微分法在几何上的应用,
空间曲线 在点 处的切线方程：
=
=
=
)(
)(
)(
tz
ty
tx
ω
ψ
),,(
000
zyxM
)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
ωψ? ′
=
′
=
′
在点 M 处的法平面方程,0))(())(())((
000000
=?′+?′+?′ zztyytxxt ωψ?
若空间曲线方程为,则切向量
=
=
,
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
},,{
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T =
v
若空间曲线方程为：曲面 上一点，则 0),,( =zyxF,),,(
000
zyxM
1.过此点的法向量,)},,('),,,('),,,('{
000000000
zyxFzyxFzyxFn
zyx
=
v
2.过此点的切平面方程,0))(,,('))(,,('))(,,('
000000000000
=?+?+? zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyx
3.过此点的切法线方程,
),,('),,('),,('
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
=
=
方向导数与梯度,
函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为：),( yxfz = ),( yxp l sincos
y
f
x
f
l
f
+
=
其中? 为为 x轴到方向 l的转角。
函数 在一点 的梯度：),( yxfz = ),( yxp j
y
f
i
x
f
yxf
vv
+
=),(grad
它与方向导数的关系是,eyxf
l
f v
=
),(grad 其中 jie
vv
v
+?= sincos 为 方向上的单位向量。 l
l
f
∴
是 在 l上的投影。 ),(grad yxf
多元函数的局部极值及其求法,
设 CyxfByxfAyxfyxfyxf
yyxyxxyx
===== ),(,),(,),(0),(),(
0000000000
,令,
则,
=?
<?
>
<
>?
不确定时值时,无极为极小值为极大值时，
,0
0
),(,0
),(,0
0
2
2
00
002
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
重积分及其应用,
∫∫∫∫
′
=
DD
rdrdrrfdxdyyxf θθθ )sin,cos(),(
24
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曲面 的面积),( yxfz =
∫∫?
+?
+=
D
dxdy
y
z
x
z
A
2
2
1
平面薄片的重心：
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
====
D
D
y
D
x
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
M
x
σρ
σρ
σρ
σρ
),(
),(
,
),(
),(
D
平面薄片的转动惯量：对于 x轴 对于,),(
2
∫∫
=
D
x
dyxyI σρ y 轴
∫∫
=
D
y
dyxxI σρ ),(
2
平面薄片（位于 xoy 平面）对于 轴上质点 的引力，z )0(),,0,0( >aaM },,{
zyx
FFFF =,其中,
∫∫∫∫∫∫
++
=
++
=
++
=
D
z
D
y
D
x
ayx
xdyx
faF
ayx
ydyx
fF
ayx
xdyx
fF
2
3
222
2
3
222
2
3
222
)(
),(
)(
),(
)(
),( σρσρσρ
，,
柱面坐标和球面坐标,
柱面坐标,
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩ
=
=
=
=
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
θθθ
θ
),,(),,(,sin
cos
其中,),sin,cos(),,( zrrfzrF θθθ =
球面坐标,
θθ
θ?
θ?
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
sinsin
cos
sinsin
cossin
2
==
=
=
=
,
∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫
==
ΩΩ
θ?ππ
θθθθ?
,(
0
2
0
2
0
2
sin),,(sin),,(),,(
r
drrrFdddddrrrFdxdydzzyxf
重心,
,
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ΩΩΩ
=== dvz
M
zdvy
M
ydvx
M
x ρρρ
1
,
1
,
1
其中：
∫∫∫
Ω
== dvxM ρ
转动惯量,
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ΩΩΩ
+=+=+= dvyxIdvzxIdvzyI
zyx
ρρρ )()()(
222222
，,
曲线积分,
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
设 在),( yxf L 上连续,L 的参数方程为,则：
)(,
)(
)(
βα
ψ
≤≤
=
=
t
ty
tx
)()()()](),([),(
22
βαψ?ψ?
β
α
<′+′=
∫∫
L
dtttttfdsyxf
,
特殊情况,
=
=
)(ty
tx
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
25
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L 的参数方程为,则
,
)(
)(
=
=
ty
tx
ψ
∫∫
′+′=+
L
dttttQtttPdyyxQdxyxP
β
α
ψψψ? )}()](),([)()](),([{),(),(
两类曲线积分之间的关系：其中 α 和 β 分别为 L 上积分起止点处切向量的方向角。
∫∫
+=+
LL
dsQPQdyPdx )coscos( βα
格林公式：
∫∫ ∫
+=
DL
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
)(
当,即：xQyP =?=,2=
y
P
x
Q
时，得到 的面积,D
∫∫ ∫
==
DL
ydxxdydxdyA
2
1
平面上曲线积分与路径无关的条件,
1,是一个单连通区域； G
2,在 内具有一阶偏导数，且),(),( yxQyxP,G
y
P
x
Q
＝ 。注意奇点，如 ( )00,应减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积,
在
y
P
x
Q
＝ 时,才是二元函数 的全微分，其中,QdyPdx+ ),( yxu
∫
+=
),(
),(
00
),(),(),(
yx
yx
dyyxQdxyxPyxu,通常设 0
00
== yx 。
曲面积分,
对面积的曲面积分：
∫∫ ∫∫
∑
++=
xy
D
yx
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf ),(),(1)],(,,[),,(
22
对坐标的曲面积分：,其中
∫∫
∑
++ dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(
，
∫∫ ∫∫
∑
±=
xy
D
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,( 取曲面的上侧时取正号；
∫∫ ∫∫
∑
±=
yz
D
dydzzyzyxPdydzzyxP ],),,([),,(,取曲面的前侧时取正号；
∫∫ ∫∫
∑
±=
zx
D
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ ]),,(,[),,(,取曲面的右侧时取正号；
两类曲面积分之间的关系,
∫∫ ∫∫
∑∑
++=++ dsRQPRdxdyQdzdxPdydz )coscoscos( γβα
高斯公式,
26
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∫∫∫∫∫ ∫∫
∑Ω∑
++=++=
+
+
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
)coscoscos()( γβα
高斯公式的物理意义——通量与散度,
散度：
z
R
y
Q
x
P
+
+
=ν
v
div 即：单位体积内所产生的流体质量，若 0div <ν
v
，则为消失的流体质量
通量,
dsRQPdsAdsnA
n
)coscoscos( γβα ++==?
∫∫ ∫∫∫∫
∑∑∑
v
v
因此，高斯公式又可写成：
∫∫∫ ∫∫
Ω∑
= dsAdvA
n
v
div
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系,
∫∫ ∫
∑ Γ
++=
+
+
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
上式左端又可写成：
∫∫∫∫
∑∑
=
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz γβα coscoscos
空间曲线积分与路径无关的条件：
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
=
=
=
， ，
旋度：
RQP
zyx
A
=
kji
rot
v
向量 沿有向闭曲线 A
v
Γ的环流量：
∫∫
ΓΓ
=++ dstARdzQdyPdx
v
v
常数项级数,
等比数列：
q
q
qqq
n
n
=++++
1
1
1
12
L 等差数列：
2
)1(
321
nn
n
+
=++++ L
调和级数：
n
1
3
1
2
1
1 ++++ L 是发散的
级数审敛法,
1.正向级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）,2.比值审敛法,
设
n
n
n
U
U
1
lim
+
∞→
=ρ
，则 设：
=
>
<
时，不确定时，级数发散时，级数收敛
1
1
1
ρ
ρ
ρ
n
n
n
u
∞→
= limρ,则
=
>
<
时，不确定时，级数发散时，级数收敛
1
1
1
ρ
ρ
ρ
3.定义法,
n
n
nn
suuus
∞→
+++= lim;
21
L 存在，则收敛，否则发散。
交错级数 )0,(
3214321
>+?+?+?+?
n
uuuuuuuu LL 或 的审敛法——莱布尼兹定理；
如果交错级数满足,那么级数收敛且其和
=
≥
∞→
+
0lim
1
n
n
nn
u
uu
1
us≤,其余项 的绝对值
n
r
1+
≤
nn
ur 。
绝对收敛与条件收敛,
27
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（1）,其中 为任意实数； （2）LL ++++
n
uuu
21 n
u LL +++++
n
uuuu
321
如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。
调和级数
∑
n
1
发散，而
∑
n
n
)1(
收敛，级数：
∑
2
1
n
收敛； 级数：p
∑
>
≤
时收敛
１时发散ｐ
1
1
pn
p
幂级数,
≥
<
++++++
时，发散时，收敛于
1
1
1
1
1
32
x
x
x
xxxx
n
LL
对于级数（3 ）,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在
LL +++++
n
n
xaxaxaa
2
210
R,使
=
>
<
时不定时发散时收敛
Rx
Rx
Rx
，其中 R 称为收敛半径。
求收敛半径的方法：设 ρ=
+
∞→
n
n
n
a
a
1
lim,其中 是（3）的系数，则
1+nn
aa,
=+∞=
+∞==
=≠
0
0
1
0
R
R
R
时，
时，
时，
ρ
ρ
ρ
ρ
函数展开成幂级数,
函数展开成泰勒级数,
LL +?++?
′′
+?=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))((')(
0
0
)(
2
0
0
00
余项,)(,)(
)!1(
)(
1
0
)1(
xfxx
n
f
R
n
n
n
+
+
+
=
ξ
可以展开成泰勒级数的充要条件是,0lim =
∞→
n
n
R
0
0
=x 时，即为麦克劳林公式：
LL +++
′′
+′+=
n
n
x
n
f
x
f
xffxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
一些函数展开成幂级数,
∑
∞
=
=
0
!
1
n
nx
x
n
e
,),( +∞?∞∈x,
∑
∞
=
=
0
2
)!2(
)1(
cos
n
n
n
x
n
x
,),( +∞?∞∈x,
∑
∞
=
+
+
=
0
12
)!12(
)1(
sin
n
n
n
x
n
x
，
,),( +∞?∞∈x
]1,1(
)1(
)1ln(
1
1
∈∑
=+
∞
=
xx
n
x
n
n
n
，
,
∑
∞
=
+
=+
0
!
)1()1(
)1(
n
n
x
n
n
x
ααα
α
L
,
其中，当 1?≤α 时,；当)1,1(?∈x 01 <<? α 时,]1,1(?∈x ；当 0>α 时,。 ]1,1[?∈x
特别，当 1?=α 时，有
∑
∞
=
=
+
0
)1(
1
1
n
nn
x
x
,)1,1(?∈x 。
欧拉公式,
28
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=
+
=
+=
2
sin
2
cos
sincos
ixix
ixix
ix
ee
x
ee
x
xixe 或
三角级数,
∑∑
∞
=
∞
=
++=++=
1
0
1
0
)sincos(
2
)sin()(
n
nn
n
nn
nxbnxa
a
tnAAtf?ω
其中,xtAbAaAa
nnnnnn
==== ω,，,cossin2
00
正交性,任意两个不同项的乘积在LL nxnxxxxx cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 ],[ ππ? 上的积分=0 。
傅立叶级数,
∑
∞
=
++=
1
0
)sincos(
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
，周期 π2=
其中
==
==
∫
∫
π
π
π
π
π
π
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
L
L
nnxdxxfb
nnxdxxfa
n
n
正弦级数：
∑
∫
==== nxbxfnxdxxfba
nnn
sin)(3,2,1nsin)(
2
0
0
,L
π
π
是奇函数。
余弦级数：
∑
∫
+==== nxa
a
xfnnxdxxfab
nnn
cos
2
)(2,1,0cos)(
2
0
0
0
,L
π
π
是偶函数。
周期为 的周期函数的傅立叶级数,l2
l
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
n
nn
2)sincos(
2
)(
1
0
=++=
∑
∞
=
，周期
ππ
,
其中，
==
==
∫
∫
l
l
n
l
l
n
ndx
l
xn
xf
l
b
ndx
l
xn
xf
l
a
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
L
L
π
π
可引用的结果有,
246
1
4
1
2
1
85
1
3
1
1
2
222
2
22
π
π
=+++
=+++
L
L
，
（相减）
（相加）
124
1
3
1
2
1
1
64
1
3
1
2
1
1
2
222
2
222
π
π
=+?+?
=++++
L
L
微分方程的相关概念,
一阶微分方程,或 ),( yxfy =′ 0),(),( =+ dyyxQdxyxP
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 dxxfdyyg )()( = 的形式，解法,
∫∫
= 得：dxxfdyyg )()( CxFyG += )()( 称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方程可以写成 ),(),( yxyxf
dx
dy
==,即写成
x
y
的函数，解法,
设
uu
du
x
dx
u
dx
du
u
dx
du
xu
dx
dy
x
y
u
=∴=++==
)(
)(
,，，则 分离变量，积分后将
x
y
代替 u,即得
29
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齐次方程的通解。
一阶线性微分方程,
1。,一阶线性微分方程：
)()( xQyxP
dx
dy
=+
∫
+
∫
=≠
∫
==
∫
dxxPdxxP
dxxP
eCdxexQyxQ
CeyxQ
)()(
)(
))((0)(
,0)(
时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当
2.贝努里方程：
)1,0()()( ≠=+ nyxQyxP
dx
dy
n
，
全微分方程,
如果 中左端式某函数的全微分方程，即0),(),( =+ dyyxQdxyxP
0),(),(),( =+= dyyxQdxyxPyxdu,其中
),(),( yxQ
y
u
yxP
x
u
=
=
，
,Cyxu =∴ ),( 应该式该全微分方程的通解。
二阶微分方程,
时为非齐次时为齐次
，
0)(
0)(
)()()(
2
2
≠
=
=++
xf
xf
xfyxQ
dx
dy
xP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法,
0(*) =+′+′′ qyypy,其中 qp,为常数；
求解步骤,
1.写出特征方程：,其中 的系数及常数项恰好式 (*) 中 系数。 0)(
2
=++Δ qprr rr,
2
yyy,,′′′
2.求出 式的两个根 )(Δ
21
,rr
3.根据 的不同情况，按下表写出 (*) 式的通解,
21
,rr
的形式，
21
rr
(*)式的通解
两个不相等实根 )04(
2
>? qp
xrxr
ececy
21
21
+=
两个相等实根 )04(
2
=? qp
xr
exccy
1
)( +=
21
一对共轭复根 )04(
2
<? qp
2
4
2
2
21
pqp
irir
=?=
=+=
βα
βαβα
，
，
)sincos(
21
xcxcey
x
ββ
α
+=
二阶常系数非齐次线性微分方程
qpxfqyypy,)(,=+′+′′ 为常数 型，)()( xPexf
m
xλ
= λ 为常数,
型 ]sin)(cos)([)( xxPxxPexf
nl
x
ωω
λ
+=
30
微分法在几何上的应用,
空间曲线 在点 处的切线方程：
=
=
=
)(
)(
)(
tz
ty
tx
ω
ψ
),,(
000
zyxM
)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
ωψ? ′
=
′
=
′
在点 M 处的法平面方程,0))(())(())((
000000
=?′+?′+?′ zztyytxxt ωψ?
若空间曲线方程为,则切向量
=
=
,
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
},,{
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T =
v
若空间曲线方程为：曲面 上一点，则 0),,( =zyxF,),,(
000
zyxM
1.过此点的法向量,)},,('),,,('),,,('{
000000000
zyxFzyxFzyxFn
zyx
=
v
2.过此点的切平面方程,0))(,,('))(,,('))(,,('
000000000000
=?+?+? zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyx
3.过此点的切法线方程,
),,('),,('),,('
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
=
=
方向导数与梯度,
函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为：),( yxfz = ),( yxp l sincos
y
f
x
f
l
f
+
=
其中? 为为 x轴到方向 l的转角。
函数 在一点 的梯度：),( yxfz = ),( yxp j
y
f
i
x
f
yxf
vv
+
=),(grad
它与方向导数的关系是,eyxf
l
f v
=
),(grad 其中 jie
vv
v
+?= sincos 为 方向上的单位向量。 l
l
f
∴
是 在 l上的投影。 ),(grad yxf
多元函数的局部极值及其求法,
设 CyxfByxfAyxfyxfyxf
yyxyxxyx
===== ),(,),(,),(0),(),(
0000000000
,令,
则,
=?
<?
>
<
>?
不确定时值时,无极为极小值为极大值时，
,0
0
),(,0
),(,0
0
2
2
00
002
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
重积分及其应用,
∫∫∫∫
′
=
DD
rdrdrrfdxdyyxf θθθ )sin,cos(),(
24
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曲面 的面积),( yxfz =
∫∫?
+?
+=
D
dxdy
y
z
x
z
A
2
2
1
平面薄片的重心：
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
====
D
D
y
D
x
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
M
x
σρ
σρ
σρ
σρ
),(
),(
,
),(
),(
D
平面薄片的转动惯量：对于 x轴 对于,),(
2
∫∫
=
D
x
dyxyI σρ y 轴
∫∫
=
D
y
dyxxI σρ ),(
2
平面薄片（位于 xoy 平面）对于 轴上质点 的引力，z )0(),,0,0( >aaM },,{
zyx
FFFF =,其中,
∫∫∫∫∫∫
++
=
++
=
++
=
D
z
D
y
D
x
ayx
xdyx
faF
ayx
ydyx
fF
ayx
xdyx
fF
2
3
222
2
3
222
2
3
222
)(
),(
)(
),(
)(
),( σρσρσρ
，,
柱面坐标和球面坐标,
柱面坐标,
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩ
=
=
=
=
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
θθθ
θ
),,(),,(,sin
cos
其中,),sin,cos(),,( zrrfzrF θθθ =
球面坐标,
θθ
θ?
θ?
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
sinsin
cos
sinsin
cossin
2
==
=
=
=
,
∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫
==
ΩΩ
θ?ππ
θθθθ?
,(
0
2
0
2
0
2
sin),,(sin),,(),,(
r
drrrFdddddrrrFdxdydzzyxf
重心,
,
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ΩΩΩ
=== dvz
M
zdvy
M
ydvx
M
x ρρρ
1
,
1
,
1
其中：
∫∫∫
Ω
== dvxM ρ
转动惯量,
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ΩΩΩ
+=+=+= dvyxIdvzxIdvzyI
zyx
ρρρ )()()(
222222
，,
曲线积分,
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
设 在),( yxf L 上连续,L 的参数方程为,则：
)(,
)(
)(
βα
ψ
≤≤
=
=
t
ty
tx
)()()()](),([),(
22
βαψ?ψ?
β
α
<′+′=
∫∫
L
dtttttfdsyxf
,
特殊情况,
=
=
)(ty
tx
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
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L 的参数方程为,则
,
)(
)(
=
=
ty
tx
ψ
∫∫
′+′=+
L
dttttQtttPdyyxQdxyxP
β
α
ψψψ? )}()](),([)()](),([{),(),(
两类曲线积分之间的关系：其中 α 和 β 分别为 L 上积分起止点处切向量的方向角。
∫∫
+=+
LL
dsQPQdyPdx )coscos( βα
格林公式：
∫∫ ∫
+=
DL
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
)(
当,即：xQyP =?=,2=
y
P
x
Q
时，得到 的面积,D
∫∫ ∫
==
DL
ydxxdydxdyA
2
1
平面上曲线积分与路径无关的条件,
1,是一个单连通区域； G
2,在 内具有一阶偏导数，且),(),( yxQyxP,G
y
P
x
Q
＝ 。注意奇点，如 ( )00,应减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积,
在
y
P
x
Q
＝ 时,才是二元函数 的全微分，其中,QdyPdx+ ),( yxu
∫
+=
),(
),(
00
),(),(),(
yx
yx
dyyxQdxyxPyxu,通常设 0
00
== yx 。
曲面积分,
对面积的曲面积分：
∫∫ ∫∫
∑
++=
xy
D
yx
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf ),(),(1)],(,,[),,(
22
对坐标的曲面积分：,其中
∫∫
∑
++ dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(
，
∫∫ ∫∫
∑
±=
xy
D
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,( 取曲面的上侧时取正号；
∫∫ ∫∫
∑
±=
yz
D
dydzzyzyxPdydzzyxP ],),,([),,(,取曲面的前侧时取正号；
∫∫ ∫∫
∑
±=
zx
D
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ ]),,(,[),,(,取曲面的右侧时取正号；
两类曲面积分之间的关系,
∫∫ ∫∫
∑∑
++=++ dsRQPRdxdyQdzdxPdydz )coscoscos( γβα
高斯公式,
26
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∫∫∫∫∫ ∫∫
∑Ω∑
++=++=
+
+
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
)coscoscos()( γβα
高斯公式的物理意义——通量与散度,
散度：
z
R
y
Q
x
P
+
+
=ν
v
div 即：单位体积内所产生的流体质量，若 0div <ν
v
，则为消失的流体质量
通量,
dsRQPdsAdsnA
n
)coscoscos( γβα ++==?
∫∫ ∫∫∫∫
∑∑∑
v
v
因此，高斯公式又可写成：
∫∫∫ ∫∫
Ω∑
= dsAdvA
n
v
div
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系,
∫∫ ∫
∑ Γ
++=
+
+
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
上式左端又可写成：
∫∫∫∫
∑∑
=
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz γβα coscoscos
空间曲线积分与路径无关的条件：
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
=
=
=
， ，
旋度：
RQP
zyx
A
=
kji
rot
v
向量 沿有向闭曲线 A
v
Γ的环流量：
∫∫
ΓΓ
=++ dstARdzQdyPdx
v
v
常数项级数,
等比数列：
q
q
qqq
n
n
=++++
1
1
1
12
L 等差数列：
2
)1(
321
nn
n
+
=++++ L
调和级数：
n
1
3
1
2
1
1 ++++ L 是发散的
级数审敛法,
1.正向级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）,2.比值审敛法,
设
n
n
n
U
U
1
lim
+
∞→
=ρ
，则 设：
=
>
<
时，不确定时，级数发散时，级数收敛
1
1
1
ρ
ρ
ρ
n
n
n
u
∞→
= limρ,则
=
>
<
时，不确定时，级数发散时，级数收敛
1
1
1
ρ
ρ
ρ
3.定义法,
n
n
nn
suuus
∞→
+++= lim;
21
L 存在，则收敛，否则发散。
交错级数 )0,(
3214321
>+?+?+?+?
n
uuuuuuuu LL 或 的审敛法——莱布尼兹定理；
如果交错级数满足,那么级数收敛且其和
=
≥
∞→
+
0lim
1
n
n
nn
u
uu
1
us≤,其余项 的绝对值
n
r
1+
≤
nn
ur 。
绝对收敛与条件收敛,
27
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（1）,其中 为任意实数； （2）LL ++++
n
uuu
21 n
u LL +++++
n
uuuu
321
如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。
调和级数
∑
n
1
发散，而
∑
n
n
)1(
收敛，级数：
∑
2
1
n
收敛； 级数：p
∑
>
≤
时收敛
１时发散ｐ
1
1
pn
p
幂级数,
≥
<
++++++
时，发散时，收敛于
1
1
1
1
1
32
x
x
x
xxxx
n
LL
对于级数（3 ）,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在
LL +++++
n
n
xaxaxaa
2
210
R,使
=
>
<
时不定时发散时收敛
Rx
Rx
Rx
，其中 R 称为收敛半径。
求收敛半径的方法：设 ρ=
+
∞→
n
n
n
a
a
1
lim,其中 是（3）的系数，则
1+nn
aa,
=+∞=
+∞==
=≠
0
0
1
0
R
R
R
时，
时，
时，
ρ
ρ
ρ
ρ
函数展开成幂级数,
函数展开成泰勒级数,
LL +?++?
′′
+?=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf )(
!
)(
)(
!2
)(
))((')(
0
0
)(
2
0
0
00
余项,)(,)(
)!1(
)(
1
0
)1(
xfxx
n
f
R
n
n
n
+
+
+
=
ξ
可以展开成泰勒级数的充要条件是,0lim =
∞→
n
n
R
0
0
=x 时，即为麦克劳林公式：
LL +++
′′
+′+=
n
n
x
n
f
x
f
xffxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
一些函数展开成幂级数,
∑
∞
=
=
0
!
1
n
nx
x
n
e
,),( +∞?∞∈x,
∑
∞
=
=
0
2
)!2(
)1(
cos
n
n
n
x
n
x
,),( +∞?∞∈x,
∑
∞
=
+
+
=
0
12
)!12(
)1(
sin
n
n
n
x
n
x
，
,),( +∞?∞∈x
]1,1(
)1(
)1ln(
1
1
∈∑
=+
∞
=
xx
n
x
n
n
n
，
,
∑
∞
=
+
=+
0
!
)1()1(
)1(
n
n
x
n
n
x
ααα
α
L
,
其中，当 1?≤α 时,；当)1,1(?∈x 01 <<? α 时,]1,1(?∈x ；当 0>α 时,。 ]1,1[?∈x
特别，当 1?=α 时，有
∑
∞
=
=
+
0
)1(
1
1
n
nn
x
x
,)1,1(?∈x 。
欧拉公式,
28
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=
+
=
+=
2
sin
2
cos
sincos
ixix
ixix
ix
ee
x
ee
x
xixe 或
三角级数,
∑∑
∞
=
∞
=
++=++=
1
0
1
0
)sincos(
2
)sin()(
n
nn
n
nn
nxbnxa
a
tnAAtf?ω
其中,xtAbAaAa
nnnnnn
==== ω,，,cossin2
00
正交性,任意两个不同项的乘积在LL nxnxxxxx cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 ],[ ππ? 上的积分=0 。
傅立叶级数,
∑
∞
=
++=
1
0
)sincos(
2
)(
n
nn
nxbnxa
a
xf
，周期 π2=
其中
==
==
∫
∫
π
π
π
π
π
π
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
L
L
nnxdxxfb
nnxdxxfa
n
n
正弦级数：
∑
∫
==== nxbxfnxdxxfba
nnn
sin)(3,2,1nsin)(
2
0
0
,L
π
π
是奇函数。
余弦级数：
∑
∫
+==== nxa
a
xfnnxdxxfab
nnn
cos
2
)(2,1,0cos)(
2
0
0
0
,L
π
π
是偶函数。
周期为 的周期函数的傅立叶级数,l2
l
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
n
nn
2)sincos(
2
)(
1
0
=++=
∑
∞
=
，周期
ππ
,
其中，
==
==
∫
∫
l
l
n
l
l
n
ndx
l
xn
xf
l
b
ndx
l
xn
xf
l
a
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
L
L
π
π
可引用的结果有,
246
1
4
1
2
1
85
1
3
1
1
2
222
2
22
π
π
=+++
=+++
L
L
，
（相减）
（相加）
124
1
3
1
2
1
1
64
1
3
1
2
1
1
2
222
2
222
π
π
=+?+?
=++++
L
L
微分方程的相关概念,
一阶微分方程,或 ),( yxfy =′ 0),(),( =+ dyyxQdxyxP
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 dxxfdyyg )()( = 的形式，解法,
∫∫
= 得：dxxfdyyg )()( CxFyG += )()( 称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方程可以写成 ),(),( yxyxf
dx
dy
==,即写成
x
y
的函数，解法,
设
uu
du
x
dx
u
dx
du
u
dx
du
xu
dx
dy
x
y
u
=∴=++==
)(
)(
,，，则 分离变量，积分后将
x
y
代替 u,即得
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齐次方程的通解。
一阶线性微分方程,
1。,一阶线性微分方程：
)()( xQyxP
dx
dy
=+
∫
+
∫
=≠
∫
==
∫
dxxPdxxP
dxxP
eCdxexQyxQ
CeyxQ
)()(
)(
))((0)(
,0)(
时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当
2.贝努里方程：
)1,0()()( ≠=+ nyxQyxP
dx
dy
n
，
全微分方程,
如果 中左端式某函数的全微分方程，即0),(),( =+ dyyxQdxyxP
0),(),(),( =+= dyyxQdxyxPyxdu,其中
),(),( yxQ
y
u
yxP
x
u
=
=
，
,Cyxu =∴ ),( 应该式该全微分方程的通解。
二阶微分方程,
时为非齐次时为齐次
，
0)(
0)(
)()()(
2
2
≠
=
=++
xf
xf
xfyxQ
dx
dy
xP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法,
0(*) =+′+′′ qyypy,其中 qp,为常数；
求解步骤,
1.写出特征方程：,其中 的系数及常数项恰好式 (*) 中 系数。 0)(
2
=++Δ qprr rr,
2
yyy,,′′′
2.求出 式的两个根 )(Δ
21
,rr
3.根据 的不同情况，按下表写出 (*) 式的通解,
21
,rr
的形式，
21
rr
(*)式的通解
两个不相等实根 )04(
2
>? qp
xrxr
ececy
21
21
+=
两个相等实根 )04(
2
=? qp
xr
exccy
1
)( +=
21
一对共轭复根 )04(
2
<? qp
2
4
2
2
21
pqp
irir
=?=
=+=
βα
βαβα
，
，
)sincos(
21
xcxcey
x
ββ
α
+=
二阶常系数非齐次线性微分方程
qpxfqyypy,)(,=+′+′′ 为常数 型，)()( xPexf
m
xλ
= λ 为常数,
型 ]sin)(cos)([)( xxPxxPexf
nl
x
ωω
λ
+=
30
