水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室
第五章 线性代数
一、行列式
重要公式与结论
（1）行列式按行（列）展开定理
设
()
≠
=
=+++==
×
ji
jiA
AaAaAaaA
jninjiji
nn
ij
,0
,
2211
L
或
≠
=
=+++
ji
jiA
AaAaAa
njnijiji
,0
,
2211
L
即 EAAAAA ==

其中
()()
T
ijji
nnnn
n
n
AA
AAA
AAA
AAA
A ==
=
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
（ 2）设 为 阶方阵，则BA,n BAABBAAB ===,但
BABA ±=±
不一定成立
（3） AAkkA
n
,= 为 阶方阵,n
（4）设 A为 阶方阵，则n
1
1;
== AAAA
T
（若 A可逆） ( )2
1
≥=
nAA
n
（5）
BA
BC
OA
BO
CA
BO
OA
===
,为方阵,但BA、
(),1 BA
OB
AO
mn
nn
mm
=
×
×
（6）范德蒙行列式
()
∏
≤<≤

==
nij
ji
n
n
nn
n
n
xx
xxx
xxx
D
1
11
2
1
1
21
111
L
LLLL
L
L
（7）设 A为 阶方阵，n (ni
i
,,2,1L= )λ 是 A的 个特征值，则n
∏
=
=
n
i
i
A
1
λ
二、矩阵
重要公式与结论
（ 1） 三者之间的关系

AAA
T
,,
1
1）
()
2）
() () ( )
TTTTTTTT
T
T
BABAkAkAABABA ±=±==,,,
( ) () ()
11111
1
1
1
,,

=== A
k
kAABABAA
但 () 不一定成立。
111
±=± BABA
3）
() ()() () (2,,3
1
2
≥==≥=


nAkkAABABnAAA
n
n
)
但 () 不一定成立

±=± BABA
4） ()()()()()( )
===
T
T
T
T
AAAAAA,,
1
1
1
1
31
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话,010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室
（ 2）有关 的结论
A
1）
EAAAAA ==

2）
( )( ) ( ) ( )3,2
2
1
1
≥==≥=


nAAAAkkAnAA
n
n
n
，
3）若 A可逆，则
() A
A
AAAA
1
,
1
1
==

4）若 A为 阶方阵，则 n
()
()
()
()
<
=
=
=
1,0;1,1;,
nAr
nAr
nArn
Ar
（ 3）有关 的结论 （ 4）分块求逆公式
1?
A
A可逆? EAA =
1；
=
1
1
1
BO
OA
BO
OA
0≠A ；

=

1
111
1
BO
CBAA
BO
CA
() nAr = ；
=

111
1
1
BCAB
OA
BC
OA
A可以表示为初等矩阵的乘积；
=
OA
BO
B
AO
1
1
1
0
A无零特征值； 这里 均为可逆方阵。 BA,
0=Ax 只有零解。
二,向量
重要公式与结论
（ 1）有关向量组的线性相关性
1）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关
2）① 个 维向量n n
n
ααα,,,
21
L线性无关? [ ] 0,,,
21
≠
n
αααL
n个 维向量n
n
ααα,,,
21
L线性相关? [ ] 0,,,
21
=
n
αααL
② 个 维向量线性相关。 1+n n
③若
s
ααα,,,
21
L线性无关，则添加分量后仍然线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关
3）设,则()rr =
×nm
A A的秩 与()Ar A的行列向量组的线性相关性关系为,
①若,则() mA
nm
==
×
rr A 的行向量组线性无关。 ②若 ( ) mA
nm
<=
×
rr,则 A 的行向量组线性相关。
③若,则() nA
nm
==
×
rr A 的列向量组线性无关。 ④若 ( ) nA
nm
<=
×
rr,则 A 的列向量组线性相关。
（ 2）有关向量组的线性表示
32
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话,010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室
1）
s
ααα,,,
21
L线性相关 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
2）若
s
ααα,,,
21
L线性无关，
s
ααα,,,
21
L,β 线性相关? β 可以由
s
ααα,,,
21
L唯一线性表示。
3） β 可以由
s
ααα,,,
21
L线性表示? ( ) ( )βαααααα,,,,r,,,r
2121 ss
LL=
（ 3）有关矩阵的秩的结论,
1）秩 ＝行秩＝列秩 2）()Ar ( ) ( )nmA
nm
,minr ≤
×；
3） ; 4）()10 ≥?≠ ArA ( ) ( ) ( )BABA rrr +≤± 5)初等变换不改变矩阵的秩
6） () () ( ) ( ) ( ){}BAABnBA r,rminrrr ≤≤?+,特别若 0=AB,则 ( )()nBA ≤+ rr
7）若 存在 若
1?
A ()(BAB rr =? )
1?
B 存在 ( ) ( )AAB rr =?
若 () ( )(BABnA
nm
rrr =?=
×
) 若 ( ) ( )(AABnB
sn
rrr )=?=
×
8） 只有零解 () 0r =?=
×
AxnA
nm
四、线性方程组
重要公式与结论
（ 1）设 A为 矩阵，,则对nm× ()mA
nm
=
×
r bAx= 而言必有 ( ) ( ) mbAA ==,rr,从而有解。
bAx=
（ 2）设 为 的解，则
n
xxx,,,
21
LbAx=
nn
xkxkxk +++L
2211
当 1
21
=+++
n
kkkL时仍为的解，但当时bAx= 0
21
=+++
n
kkkL，则为 0=Ax 的解。
特别：
2
21
xx +
为 bAx= 的解； ( )
213
2 xxx +? 为 0=Ax 的解。
（ 3）非其次线性方程组 无解 bAx= ( ) ( ) bAA?=+? r1r 不能由 A的列向量 线性表示。
n
xxx,,,
21
L
（ 4） 阶矩阵n A可逆? 0=Ax 只有零解。
bAxb =?,总有唯一解。
一般地,() 0r =?=
×
AxnA
nm
只有零解。
五、特征值、特征向量
重要公式与结论
（ 1）设 λ 是 A 的一个特征值，则 ( )

+ AAAAfAAbEaAkA
Tm
,,,,,,,
12
有一个特征值分别为
33
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话,010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室
()
λ
λλλλλλλ
A
fbak
m
,,,,,,,
12?
+,且对应特征向量相同（ 例外）
T
A
（ 2）若
n
λλλ,,,
21
L为 A 的 个特征值，则n Aa
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
==
∏∑∑
=== 111
,λλ,从而 AA?≠ 0 没有零特征值。
（ 3）若 BA ~,则
1） 2）

BABABA
TT
~,~,~
11
() ()BAbaBA
n
i
ii
n
i
ii
rr,,
11
===
∑∑
==
3） BEAE?=? λλ,
对 λ? 成立。
（ 4）设 A为 阶方阵，则n A可对角化? 对每个 重特征值
i
k
i
λ,有 ( )
ii
kAEn = λr 。
（ 5）设 A可对角化，则由 Λ=
APP
1
,从而
1?
Λ= PPA
n
。
（ 6 ）设
s
λλλ,,,
21
L为 A 的 个特征值，对应的特征向量为s
s
ααα,,,
21
L，若
ss
kkk αααα +++=L
2211
，则
s
n
ss
nn
s
n
s
nnn
kkkAkAkAkA αλαλαλαααα +++=+++=LL
2221112211
。
六、二次型
重要公式与结论
（ 1）设 A正定 ( )

>? AAAkkA
T
,,,0
1
正定； AA,0> 可逆；,且 0>
ii
a 0>
ii
A 。
（ 2） 正定BA,BA+? 正定，但 不一定正定。 BAAB,
（ 3） A正定 () 0,0 ≠?>=? xAxxxf
T
A的各阶顺序主子式全大于零
A的所有特征值都大于零
A的正惯性指数为 n
可逆阵 使 P PPA
T
=
存在正交阵 Q使得 其中
==
n
T
AQQAQQ
λ
λ
λ
O
2
1
1
ni
i
,,2,1,0L=>λ
34