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第二章 解析几何
一、基本问题
1．两点间距离公式
（1）设 ()( )
2211
,,,yxByxA 为平面上两点，则 A与 B 的距离 ()()
2
2
2
12
yyxxd?+?=
（2）设 则()( )A与 B 的距离 ()( ) ()
2
12
2
2
2
12
zzyyxxd?+?+?=
222111
,,,,,zyxBzyxA
2．定比分点公式
（1）设 式线段(yxM,) AB 的分点
1）
<
>
=
时，外分时，内分
0
0
,
λ
λ
λ
MB
AM
则
+
+
=
+
+
=
λ
λ
λ
λ
1
1
21
21
yy
y
xx
x
2）设 M 为 AB 中点时，
()
()
+=
+=
21
21
2
1
2
1
yyy
xxx
（2）设 是空间线段 的分点 (zyxM,,) AB
1）
<
>
=
时，外分时，内分
0
0
,
λ
λ
λ
MB
AM
则
+
+
=
+
+
=
+
+
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
1
21
21
21
zz
z
yy
y
xx
x
2）设 M 为 AB 中点时，
()
()
()
+=
+=
+=
21
21
21
2
1
2
1
2
1
zzz
yyy
xxx
3．平面上不在同一直线上的三点
()( ) ( )
332211
,,,,,yxCyxByxA
所围三角形面积
1
1
1
2
1
33
32
11
yx
yx
yx
S =
的绝对值。
二,直线与平面方程
1,平面直线方程,
（1）一般式：,斜率
0=++ CByAX
B
A
k?=
。 （ 2）斜截式,bkxy +=,其中 为斜率,b 为k y 轴截距
（3）点斜式,(
00
xxkyy? )=? 直线过点 ( )
00
,yx,斜率为 k 。
（4）截距式：
1=+
b
y
a
x
，其中
baba,,0,0 ≠≠
为 x轴,轴上截距。 y
（5）两点式：
12
1
2
1
xx
xx
yy
yy
=
或
0
1
1
1
22
11
=
yx
yx
yx
（6）参数式,斜率为
+=
+=
,
,
0
0
mtyy
ktxx
l
m
k =
，过点。 ()
00
,yx
2．空间直角坐标系中的平面方程
（1）一般式 0=+++ DCzByAx
6
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1）,通过原点 2 ）0=++ CzByAx 0=++ DByAx,与 轴平行 3 ）,
通过 轴
z 0=+ ByAx
z
（ 2）点法式：
()()()0
000
=?+?+? zzCyyBxxA
过 ( )
000
,,zyx 点，法矢量 CBAn,,= （ 3）截距式：
1=++
c
z
b
y
a
x
（4）三点式：
0
1
1
1
1
333
222
111
=
zyx
zyx
zyx
zyx
，这里 ( ) ( ) ( )
333222111
,,,,,,,,zyxzyxzyx 为平面所过的三点。
三、点线与点面距离
（1）点 到直线 的距离(
00
,yx ) 0=++ CByAX
22
00
BA
CByAx
d
+
++
=
（2）点 到平面()
000
,,zyx 0=+++ DCzByAx 的距离
222
000
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
注意：平面上的直线对应于空间上的平面。
四、空间直线方程
（1）一般式,其中
=+++
=+++;0;0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
为方向数。
（2）参数式,直线过 (,方向参数
+=
+=
+=;
0
0
0
ntzz
mtyy
ltxx
)
000
,,zyx nml,,
（3）标准式（对称式）：
n
zz
m
yy
l
xx
000
=
=
，直线过 ( )
000
,,zyx,方向数 nml,,
（4）两点式：
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
=
=
，直线过 ( ) ( )
222111
,,,,,zyxzyx 。
五、直线间、平面间、直线与平面间的关系
1．设直线,令0:
1111
=++ CyBxAL
1
1
1
B
A
k?=
,令0:
2222
=++ CyBxAL
2
2
2
B
A
k?=
（1） ∥
1
L
2
L
21
kk =? 或
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
≠=
（2） 1
2121
=⊥ kkLL 或者
0
2121
=+ BBAA
21
12
1
tan:
kk
kk
+
=θθ
（3）重合
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==?
（4）夹角
2．设平面 ;0:
11111
=+++ DzCyBxAπ 平面 ;0:
22222
=+++ DzCyBxAπ
直线
1
1
1
1
1
1
1
:
n
zz
m
yy
l
xx
L
=
=
直线
2
2
2
2
2
2
2
:
n
zz
m
yy
l
xx
L
=
=
7
（1）平面间夹角 θ,则
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA ++++
CCBBAA +
=θ
+
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平面
1
π ∥平面
2
π
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==?
平面
1
π ⊥平面
2
π? 0
212121
=++ CCBBAA
（ 2）直线间夹角 θ,则
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
nmlnml
nnmmll
++++
++
=θ
直线 ∥直线
1
L
2
L
2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l
==?
直线 ⊥直线
1
L
2
L? 0
212121
=++ nnmmll
（ 3）直线与面的夹角 θ,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
111111
sin
CBAnml
CnBmAl
++++
++
=θ
直线 ∥平面
1
L
1
π 0
111111
=++? nCmBlA 直线 ⊥平面
1
L
1
π
1
1
1
1
1
1
C
n
B
m
A
l
==?
六、重要曲线与重要曲面
1．平面曲线
x
y
o
( )al,
( )al,
（1）立方抛物线 ()0
3
>= aaxy
（ 2）半立方抛物线
)
（ 3）抛物线
(0
3
>= aaxy ()0
2
1
2
1
2
1
>=+ aayx
或
=
=
tay
tax
4
4
sin
cos
a
a
o
x
y
x
y
o
8
o
a
θ
a
x
y
x
0
y
=++ ayx
（ 4）箕舌线
22
3
4
8
ax
a
y
+
=
或 （ 5）叶形线,令,
则
=
=
θ
θ
2
cos2
tan2
ay
ax
03
33
=?+ axyyx
txy=
+
=
+
=
2
2
2
1
3
1
3
t
at
y
t
at
x
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（ 6）双纽线 () 或 （ 7）摆线
()
222
2
22
yxayx?=+ θρ 2cos
22
a=
=
=
tay
ttax
cos1
sin()
()
x
y
4545
a
x
y
t
a
0=t π2=t
o
（ 8）悬链线
+=
a
x
a
x
ee
a
y
2
或
a
x
achy = （ 9）心脏线 ()θρ cos1+= a
9
x
y
a
o
x
y
（ 10）概率曲线 （ 11）阿基米德螺线
2
x
ey
= θρ a=
o
x
o
x
y
1?
e
（ 12）等角螺线 （ 13）星形线
θ
ρ
a
e=
3
2
3
2
3
2
ayx =+ 或
=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
x
y
o
a ax
e
2
（ 14）三叶玫瑰线 θρ 3sina= （ 15）四叶玫瑰线 θρ 2sina= θρ 2cosa=
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a
a
a
a
x
y
x
y
a
a
a
x
y
a
a
a
a
2．空间曲 线
（ 1）一般方程 （ 2）参数方程
()
()
=
=
0,,
0,,
zyxg
zyxf
( )
()
()
=
=
=
tzz
tyy
txx
（ 3）圆柱螺线 （ 4）圆锥螺线
=
=
=
ktz
tay
tax
sin
cos
=
=
atz
tty sin
cos= ttx
3．空间曲面
（ 1）球面,球心在原点，半径为
2222
Rzyx =++ R,( ) ( ) ( )
2222
Rczbyax =?+?+? 球心在
，半径为(cba,,) R,
（ 2）椭球面
1
222
=++
c
z
b
y
a
x
222
,,其中 a 为三个半径，在cb ( )
000
,,zyxM 处的切平面方程为
1
2
0
2
0
2
0
=++
c
zz
b
yy
a
xx
（ 3）单叶双曲面
1
222
=?+
c
z
b
y
a
x
222
（ 4）双叶双曲面
1
222
=?+
c
z
b
y
a
x
222
（ 5）椭圆抛物线
cz
b
y
a
x
2
22
=+
22
（ 6）双曲抛物线
cz
b
y
a
x
2
22
=?
22
()? = 0,zxf
（ 7）旋转面曲线 绕
= 0y
x轴旋转 ( ) 0,
22
=+± zyxf 绕 轴旋转z
( ) 0,
22
=+± zyxf
( )
=
=
0
0,
y
zxf
，则一般方程
0,=?
z
n
m
Y
n
l
Xf
，则母线方向数 。 nml,,（ 8）柱面 设准线为特殊方程,
1） 母线∥ 轴，准线 2）()0,=YXf z
()
=
=
0
0,
z
yxf
( ) 0,=ZY? 母线∥ x轴，准线
()
=
=
0
0,
x
zy?
3） ()0,=XZ? 母线∥ 轴，准线
y
()
=
=
0
0,
y
zxψ
()
=
=
cz
yxf 0,
10
（ 9）锥面 准线,定点为原点，则一般方程：
0,=?
Z
cY
Z
cX
f
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特殊方程,
1）
0
2
2
2
2
2
2
=?+
c
Z
b
Y
a
X
，以 轴为对称轴，准线 z
=
=?+
cz
b
y
a
x
01
2
2
2
2
2）
0
2
2
2
2
2
2
=+?
c
Z
b
Y
a
X
，以 轴为对称轴，准线 y
=
=?+
by
c
y
a
x
01
2
2
2
2
3）
0
2
2
2
2
2
2
=++?
c
Z
b
Y
a
X
，以 x轴为对称轴，准线
=
=?+
ax
c
y
b
x
01
2
2
2
2
11