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第四章 高等代数
1．两个重要极限,
..590457182818284.2)
1
1(lim
1
sin
lim
0
==+
=
∞→
→
e
x
x
x
x
x
x
2．基本导数公式,
ax
x
aaa
xxx
xxx
xx
xx
a
xx
ln
1
)(log
ln)(
cotcsc)(csc
tansec)(sec
csc)(cot
sec)(tan
2
2
=′
=′
=′
=′
=′
=′
2
2
2
2
1
1
)tan(
1
1
)(arctan
1
1
)(arccos
1
1
)(arcsin
x
xarcc
x
x
x
x
x
x
+
=′
+
=′
=′
=′
3．一些初等函数,
双曲正弦：
,
2
x x
ee
shx
=
双曲余弦：
2
x x
ee
chx
+
=
双曲正切：
2
,ln(
xx
xx
shx e e
1arshx x x
chx e e
== =++
+
）thx
2
11
ln( 1),ln
21
x
archx x x arthx
x
+
=± +? =
4．三角函数公式,
·诱导公式,
函数
角 A
sin cos tan cot
-α -sinα cosα -tanα -cotα
90°-α cosα sinα cotα tanα
90°+α cosα -sinα -cotα -tanα
180°-α sinα -cosα -tanα -cotα
180°+α -sinα -cosα tanα cotα
270°-α -cosα -sinα cotα tanα
270°+α -cosα sinα -cotα -tanα
360°-α -sinα cosα -tanα -cotα
360°+α sinα cosα tanα cotα
14
·和差角公式,·和差化积公式,
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
βαβα
βα
βαβα
βα
α βαβ
βα
+
=?
+
=+
+
=?
+
α β α β α =+
αβ
βα
βα
βα
βα
βα
βαβαβα
tantan
1tantan
)cot(
tantan1
tantan
)tan(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
±
=±
±
=±
=±
±=±
m
m
m
β
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15
·倍 角公式,
ααααα
ααα
2222
sincossin211cos22cos
cossin2
=?=?=
2sin =
α
α
α
α
α
α
2
2
tan1
tan2
2tan,
tan2
1tan
2cot
=
=
·半角公式,
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
α
α
αα
αααα
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
cot,
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
tan
2
cos1
2
cos,
2
cos1
2
sin
=
+
=
+
±=
+
=
=
+
±=
+
±=
±=
　
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
·正弦定理,·余弦定理,
·反三角函数性质：
Cabbac cos2
222
+=
xarcxxx cot
2
arctanarccos
2
arcsin?=?=
ππ
　
5．高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式,
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvu
vuCuv
++
+
++′′
+′+=
=

=
∑
L
L
L
．中值定理与导数应用,6
拉格朗日中值定理,()f b () ()( )faf baξ′=
柯西中值定理：
()fb () ()
() () ()
fa f
Fb Fa F
′? ξ
ξ
=
′?
当 F( )x x= 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
7．曲率,
弧微分公式：
2
1,ds y dx y tgα′′=+ =其中
.K
s
αΔ
=
Δ
:αΔ 点，切线斜率的倾角变化量； s MM′Δ,从 点到M M′平均曲率,弧长。
点的曲率：M
230
lim,
(1 )
s
yd
K
sds
y
αα
Δ→
′′
Δ
===
Δ
′+
直线,半径为 的圆：0;K = a
1
.K
a
=
8．泰勒公式
设函数 在区间 内具有)(xf ),( ba 1+n 阶导数,),(
0
bax ∈,则在区间 内,可表为 ),( ba )(xf
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
+?++?
′′
+?′+= L 。
其中
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)(
+
+
+
=
n
n
n
xx
n
f
xR
ξ
,ξ 是介于 和
0
x x之间的某个数。
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称为 阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。
时的泰勒公式叫做麦克劳林公式，即
n)(xR
n
0
0
=x
1
)1()(
2
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
+
+
+
+++
′′
+′+=
n
n
n
n
x
n
f
x
n
f
x
f
xffxf
ξ
L
其中 ξ 在 与0 x之间。
具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时,只要求函数 在区间 内具有 阶导数)为,)(xf ),( ba n
))(()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf?+?++?
′′
+?′+= L
其中 为 的高阶无穷小量，要求 具有 阶导数。这是不同于拉格朗日余项形的 阶泰勒公式之处。
)(
n
xo
n
x )(xf n n
读者应该熟悉五类基本初等函数在 0=x 处的 阶泰勒公式( n ξ 在 0 与 x之间)
(1)
),(,
)!1(
1
)(
1
+∞?∞∈
+
=
+
xxe
n
xR
n
n
ξ
)(
!
1
!2
1
1
2
xRx
n
xxe
n
nx
= +++++ L
，其中 。
(2)
)(
)!12(
1
)1(
!5
1
!3
1
sin
12
12153
xRx
n
xxxx
n
nn

+
+?+?= L
,
其中 ),(,)sin(
)!2(
1
)(
2
12
+∞?∞∈+=
xxn
n
xR
n
n
πξ 。
(3)
)(
)!2(
1
)1(
!4
1
!2
1
1cos
2
242
xRx
n
xxx
n
nn
+?+?+?= L
,
其中
),(,)
2
12
cos(
)!12(
1
)(
12
2
+∞?∞∈
+
+
+
=
+
xx
n
n
xR
n
n
πξ
。
(4)
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
xRx
n
n
xxx
n
n
+
+
++
++=+
ααααα
α
α
L
L
,
其中
),(),,1(,)1(
)!1(
)()1(
)(
11
+∞?∞∈+∞?∈+
+

=
+
αξ
ααα
α
xx
n
n
xR
nn
n
L
。
(5)
)(
1
)1(
3
1
2
1
)1ln(
132
xRx
n
xxxx
n
nn
++?+?=+
L
,
其中
),1(,
)1)(1(
1
)1()(
1
+∞?∈
++
=
+
x
n
xR
n
n
n
ξ
9．无穷小量比阶
设 为某种趋向 时的无穷小量，若满足 )(?→x μ
β
α
=
→
)(
)(
lim
)(
x
x
x
)(xα 与 )(xβ
则 (1) 当 与 )(xβ )(?→x ），特别 1=μ0≠μ 时，称 )(xα 为同阶无穷小量（ 时，称 )(xα )(xβ与为
量（等价无穷小 ( )?→ )xx ），可记为 )(~ xβ 。 (α
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（2）当 0=μ 时，称 )(xα 是比 )(xβ 高阶的无穷小量（ )(?→x ）。
（3）当 时，称 )(xα 是比 )(xβ 低阶的无穷小量（ )(?→x∞=μ ）。
常用等价无穷小量（ ）
广义下应用，即等价关系中的
0→x
)1ln(~tanx~sinx~ xx +
2
1
~cos1 xx?
ax
x
ln 0>a
xe
x
~1? xx λ
λ
~1)1(?+
R
2
a ~1?
注,（1）以上 等价关系可在
x在应用中常换为满足
(lim
)(
=
→x
0)xα 的某个 )(xα 。
（2） 价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位置上进行，因在极限运算中，可以用等等价无穷小量是用因子乘积
)(xβ
1
)(xα? 定义的。
10．基本积分表：
不定积分,； ；
Cdx =
∫
0 Cxdx +=
∫
1 C
a
x
a
a
+1
dxx +
+
=
∫
1；
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
Cedxe
xx
+=
∫ ∫
+?= Cxxdx coslntan
∫
+= Cxdxcot xsinln
∫
++ xx tanc= Cxdx selnsec
∫
+?= Cxxxdx cotcsclncsc
∫
∫
+
+
=
+=
+
C
ax
ax
aax
dx
C
a
x
axa
dx
ln
2
1
arctan
1
22
22
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
+=
+
+
=
∫
∫
arcsin
ln
2
1
22
22
∫∫
∫∫
+Cx?==
+==
xdx
x
dx
Cxxdx
x
dx
cotcsc
sin
tansec
cos
2
2
2
2
∫
∫
+?=?
+=?
Cxxdxx
Cxdxxx
csccotcsc
sectansec
∫
∫
+=
+=
Cchxshxdx
C
a
a
dxa
x
x
ln
∫
∫
+±+=
±
+=
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
)ln(
22
22
∈λ
3
6
1
~sin xxx
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18
2
0
2
0
1
cossin
==
∫∫
nn
n
n
n
xdxxdxI
ππ
＝
2?n
I
∫
+++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax )ln(
22
22
2
2222
Caxx
a
ax
x
dxax +?+=?
∫
22
2
2222
ln
22
∫
++?=? C
a
xa
xa
x
dxxa arcsin
22
2
2222
∫

++++++ y 4)L+++
≈
b
a
nnn
yyyyyyy
n
ab
dxxf )]((2)[(
3
)(
1312420
L