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第六章 概率论与数理统计
重要公式与结论
（1）
( ) ()APAP?=1
（ 2） ( ) () () ( )ABPBPAPBAP?+=∪
()()()()()( ) ( ) ( )ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP +++=∪∪
（ 3） （ 4）()()(ABPAPBAP?=? )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAPABPAPABPAPBAP
+=?=,
)（ 5）条件概率 满足概率的所有性质 (BP |?
例如：
( ) ()BAPBAP
|1|?=
()()
11
( )( )BAAPBAPBAPBAAP ||||
212121
+=∪
()()()BAAPBAPBAAP
12121
||| =
（ 6）若 相互独立，则
n
AAA,,,
21
L
()
∏
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP
11
I
()()
∏
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP
11
11
U
（ 7）互斥、互逆与独立性之间的关系,
A与 B 互逆? A与 B 互斥，但反之不成立,
A与 B 互斥（或互逆）且均非零事件? A与 B 不独立。
（ 8）若 相互独立，则
nm
BBBAAA,,,,,,,
2121
LL ( )
m
AAAf,,,
21
L
与 ( )
n
BBBg,,,
21
L 也相互独立，其中 )分别表示对相应事件作任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立。
() ( gf,
二、一维随机变量及其概率分布
重要公式与结论,
（ 1）
() () (),
2
1
0,
2
1
01,0~ =Φ=?
π
NX
（ 2）
( ) ()1,0~,~
2
N
X
NX
σ
μ
σμ
且
() ( ) (aaXPa Φ?=?≤=?Φ 1 )
()
Φ=≤
σ
μa
aXP（ 3） () ( ) ( )tXPsXtsXPEX >=>+>? |~ λ （ 4）
() ( ) ( )kXPmXkmXPpGX ==>+=? |~
（ 5）离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。
（ 6）存在既非离散也非连续型随机变量。
三、二维随机变量及其概率分布
重要公式与结论,
（ 1）边缘密度公式,（ 2）
() ( ) () ( ),,,,
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
== dxyxfxfdyyxfxf
YX
( )[ ] ()dxdyyxfDYXP
D
∫∫
=∈,,
（ 3）若 服从二维正态分布(YX,) ( )ρσσμμ,,,,
2
2
2
121
N 则有
1．
( ) ( )
22
,~,,~ σμσμ NYNX
2211
2.X 与 相互独立Y 0=? ρ,即 X 与 Y 不相关
3,( )ρσσσσμμ
2121
2
2
2
2
2
1
2
1221121
2,~ CCCCCCNYCXC ++++
4,X 关于 Y 的条件分布为：y=
()()
+
22
12
2
1
1
1,ρσμ
σ
σ
ρμ yN
Y 关于 的条件分布为,xX =
()()
+
22
21
1
2
2
1,ρσμ
σ
σ
ρμ yN
（ 4）若 X 与 Y 独立，且分别服从 ( ) ( )
2
22
2
11
,,,σμσμ NN 则
()( ) ( )
2
2
2
2
2
1
2
1221121
2
2
2
121
,~,0,,,,~,σσμμσσμμ CCCCNYCXCNYX +++
35
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（ 5）若 X 与 Y 相互独立,与 为连续函数，则 ()xf ()xg ( )Xf 与 ( )Yg 也相互独立。
四、随机变量的数字特征
重要公式与结论,
（ 1） () ( ) ()XEXEXD
22
= （ 2） ( ) ( ) ( )()YEXEXYEYX?=,cov
（ 3）
()1,≤YXρ
，且 1,( )( )11,=+=?= baXYPYXρ,其中 。 0>a
2．
() ( )11,=+== baXYPYXρ
，其中 。
0<a
（ 4）下面 5 个条件互为充要条件,
() ()0,cov0,=?= YXYXρ
()()()
()()(
()()(YDXDYXD
YDXDYXD
YEXEXYE
+=
+=+?
=?
)
)
注,X 与 Y 独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。
3．注意
本讲重点是随机变量函数的数学期望、方差，并掌握下列常见分布的期望与方差。
分布 数学期望 方差
（ 1） 0－ 1 分布 ()PB,1
（ 2）二项分布 ()PnB,
（ 3） Poisson 分布
()λP
P
( )
pP?1
( )
pnp?1
（ 4）正态分布 ( )
2
,σμN
（ 5）均匀分布 U ()ba
np
λ λ
,
（ 6）指数分布 ()λE
（ 7）几何分布 G ()p
（ 8 ）超几何分布
()nMNH,,
μ
2
ba+
λ
1
p
1
N
nM
2
σ
( )
12
2
ab?
2
1
λ
2
1
p
p?
1
1
N
nN
N
M
N
nM
二,大数定律和中心极限定理
重要定律
切比雪夫
不等式
(){}
()
2
ε
ε
XD
XEXP ≤≥?
或
(){}
( )
2
1
ε
ε
XD
XEXP?≥<?
切比雪夫
大数定律
设 相互独立，且
LL,,,,
21 n
XXX ( ) ( ) ( )E
L,2,1,
2
=== iXDX
i
σμ
i
对任意正数 ε,有
1
1
lim
1
=
<?
∑
=
∞→
εμ
n
i
i
n
X
n
P
伯努利大数定律
设 相互独立，同 0－ 1 分布LL,,,,
21 n
XXX ( )PB,1,则对任意正数 ε,
有
1
1
lim
1
=
<?
∑
=
∞→
εμ
n
i
i
n
X
n
P
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辛钦大数定律
设 相互独立同分布，
LL,,,,
21 n
XXX L,2,1,=iEX
i
μ＝
，则对任意正数 ε,有
1
1
lim
1
=
<?
∑
=
∞→
εμ
n
i
i
n
X
n
P
列维－林德伯格定理
设 相互独立同分布，LL,,,,
21 n
XXX ( ) ( ),0,
2
≠= σσμ
ii
XDEX ＝
L,2,1=i,则有
∫
∑
∞?
=
∞→
=
≤
x
t
n
i
i
n
dtex
n
nX
P
21
2
2
1
lim
πσ
μ
棣莫佛－拉普拉斯定理
设 ( )pnB
n
,~η,（即 相互独立且同服从 0－ 1 分布 ）则有
n
XXX,,,
21
L
∑
=
=
n
i
in
X
1
η
()
∫
∞?
∞→
=
≤
x
t
n
n
dtex
pnp
np
P
2
2
2
1
1
lim
π
η
六、数理统计的基本概率
重要公式与结论,
（ 1）对于,有()n
22
~ χχ ()( ) ()( ) nnDnnE 2,
22
== χχ
（ 2）对于
( )ntT ~
有 () () ()2
2
,0 >
== n
n
n
TDTE
（ 3）对于,有(nmFF,~ )
()()
()mnF
nmFmnF
F,
1
,,,~
1
2
1
2 α
α
=
（ 4）对于任意总体 X,有 ( ) ()( ) ()( )
( )
n
XD
XDXDSEXEXE ===,,
2
。
七、参数估计
重要公式与结论
（ 1） ( ) ()() ()XDSEXEXE ==
2
,，即
2
,SX 分别为总体 ( ) ( )XDXE,的无偏估计量。
（ 2）由大数定律易知
2
,SX 也分别是 ()( )XDXE,的一致估计量。
（ 3）若 ( ) ( ) (∞→→= nDE 0
,
θθθ )，则 为 θ
θ 的一致估计。
（ 4） 为θ
θ 的矩估计,为连续函数，则 ()xg ( )θ
g 为 ( )θg 的矩估计。
（ 5） 为θ
θ 的极大似然估计,为单调函数，则 ()xg ( )θ
g 为 ( )θg 的极大似然估计。
（ 6） ( )
21
,
θθ 为 θ 的置信度是 α?1 的置信区间,( )xg 为单调函数，则（ ( ) ( )
21
,
θθ gg 或 ( ) ( )
12
,
θθ gg ）为 ( )θg 的置信度是 α?1 的置信区间。
八、假设检验
原假设
0
H
0
H 下的统计量及分布
0
H 的拒绝域
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0
μμ = （ 未知）
2
σ
()1,0~
/
0
N
n
X
U
σ
μ?
=
2
1
0
/
α
σ
μ
≥
= u
n
x
u
一个正态总体
0
μμ = （ 已知）
2
σ ()1~
/
0
= nt
nS
X
T
μ
()1
/
2
1
0
≥
=
nt
nS
x
t
α
μ
2
0
2
σσ = （ μ 已知）
()n
X
W
n
i
i
2
1
2
0
~ χ
σ
μ
∑
=
= ()n
x
w
n
i
i 2
)
2
1(
1
2
0
α
χ
σ
μ
=
≥
=
∑
或 ( )nw
2
2
α
χ≤
一个正态总体
2
0
2
σσ = （ μ 未知）
()
()1~
1
2
2
0
2
= n
Sn
W χ
σ
( )
()1
1
2
1
2
0
2
≥
=
n
Sn
w
α
χ
σ
2
或 ( )1
2
2
1
≤
nw
α
χ
δμμ =?
21
（ 已知）
2
2
2
1
,σσ
()1,0~
2
2
2
1
2
1
2
1
N
nn
XX
U
σσ
δ
+
=
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
α
σσ
δ
≥
+
= u
nn
xx
u
δμμ =?
21
（ 已知但
2
2
2
1
,σσ
2
2
2
1
σσ =
）
()2~
11
21
21
2
1
+
+
= nnt
nn
S
XX
T
w
δ
()( )
2
11
21
2
22
2
112
+
+?
=
nn
SnSn
S
w
21
2
1
11
nn
S
xx
t
w
+
=
δ
( )2
21
2
1
+≥
nnt
α
两个正态总体
2
2
2
1
σσ =
（
21
,μμ 未知）
()1,1~
212
2
2
1
= nnF
S
S
F
()1,1
21
2
1
2
2
2
1
≥=
nnF
S
S
f
α
或
( )1,1
21
2
≤ nnFf
α
38
第六章 概率论与数理统计
重要公式与结论
（1）
( ) ()APAP?=1
（ 2） ( ) () () ( )ABPBPAPBAP?+=∪
()()()()()( ) ( ) ( )ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP +++=∪∪
（ 3） （ 4）()()(ABPAPBAP?=? )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAPABPAPABPAPBAP
+=?=,
)（ 5）条件概率 满足概率的所有性质 (BP |?
例如：
( ) ()BAPBAP
|1|?=
()()
11
( )( )BAAPBAPBAPBAAP ||||
212121
+=∪
()()()BAAPBAPBAAP
12121
||| =
（ 6）若 相互独立，则
n
AAA,,,
21
L
()
∏
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP
11
I
()()
∏
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP
11
11
U
（ 7）互斥、互逆与独立性之间的关系,
A与 B 互逆? A与 B 互斥，但反之不成立,
A与 B 互斥（或互逆）且均非零事件? A与 B 不独立。
（ 8）若 相互独立，则
nm
BBBAAA,,,,,,,
2121
LL ( )
m
AAAf,,,
21
L
与 ( )
n
BBBg,,,
21
L 也相互独立，其中 )分别表示对相应事件作任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立。
() ( gf,
二、一维随机变量及其概率分布
重要公式与结论,
（ 1）
() () (),
2
1
0,
2
1
01,0~ =Φ=?
π
NX
（ 2）
( ) ()1,0~,~
2
N
X
NX
σ
μ
σμ
且
() ( ) (aaXPa Φ?=?≤=?Φ 1 )
()
Φ=≤
σ
μa
aXP（ 3） () ( ) ( )tXPsXtsXPEX >=>+>? |~ λ （ 4）
() ( ) ( )kXPmXkmXPpGX ==>+=? |~
（ 5）离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。
（ 6）存在既非离散也非连续型随机变量。
三、二维随机变量及其概率分布
重要公式与结论,
（ 1）边缘密度公式,（ 2）
() ( ) () ( ),,,,
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
== dxyxfxfdyyxfxf
YX
( )[ ] ()dxdyyxfDYXP
D
∫∫
=∈,,
（ 3）若 服从二维正态分布(YX,) ( )ρσσμμ,,,,
2
2
2
121
N 则有
1．
( ) ( )
22
,~,,~ σμσμ NYNX
2211
2.X 与 相互独立Y 0=? ρ,即 X 与 Y 不相关
3,( )ρσσσσμμ
2121
2
2
2
2
2
1
2
1221121
2,~ CCCCCCNYCXC ++++
4,X 关于 Y 的条件分布为：y=
()()
+
22
12
2
1
1
1,ρσμ
σ
σ
ρμ yN
Y 关于 的条件分布为,xX =
()()
+
22
21
1
2
2
1,ρσμ
σ
σ
ρμ yN
（ 4）若 X 与 Y 独立，且分别服从 ( ) ( )
2
22
2
11
,,,σμσμ NN 则
()( ) ( )
2
2
2
2
2
1
2
1221121
2
2
2
121
,~,0,,,,~,σσμμσσμμ CCCCNYCXCNYX +++
35
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（ 5）若 X 与 Y 相互独立,与 为连续函数，则 ()xf ()xg ( )Xf 与 ( )Yg 也相互独立。
四、随机变量的数字特征
重要公式与结论,
（ 1） () ( ) ()XEXEXD
22
= （ 2） ( ) ( ) ( )()YEXEXYEYX?=,cov
（ 3）
()1,≤YXρ
，且 1,( )( )11,=+=?= baXYPYXρ,其中 。 0>a
2．
() ( )11,=+== baXYPYXρ
，其中 。
0<a
（ 4）下面 5 个条件互为充要条件,
() ()0,cov0,=?= YXYXρ
()()()
()()(
()()(YDXDYXD
YDXDYXD
YEXEXYE
+=
+=+?
=?
)
)
注,X 与 Y 独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。
3．注意
本讲重点是随机变量函数的数学期望、方差，并掌握下列常见分布的期望与方差。
分布 数学期望 方差
（ 1） 0－ 1 分布 ()PB,1
（ 2）二项分布 ()PnB,
（ 3） Poisson 分布
()λP
P
( )
pP?1
( )
pnp?1
（ 4）正态分布 ( )
2
,σμN
（ 5）均匀分布 U ()ba
np
λ λ
,
（ 6）指数分布 ()λE
（ 7）几何分布 G ()p
（ 8 ）超几何分布
()nMNH,,
μ
2
ba+
λ
1
p
1
N
nM
2
σ
( )
12
2
ab?
2
1
λ
2
1
p
p?
1
1
N
nN
N
M
N
nM
二,大数定律和中心极限定理
重要定律
切比雪夫
不等式
(){}
()
2
ε
ε
XD
XEXP ≤≥?
或
(){}
( )
2
1
ε
ε
XD
XEXP?≥<?
切比雪夫
大数定律
设 相互独立，且
LL,,,,
21 n
XXX ( ) ( ) ( )E
L,2,1,
2
=== iXDX
i
σμ
i
对任意正数 ε,有
1
1
lim
1
=
<?
∑
=
∞→
εμ
n
i
i
n
X
n
P
伯努利大数定律
设 相互独立，同 0－ 1 分布LL,,,,
21 n
XXX ( )PB,1,则对任意正数 ε,
有
1
1
lim
1
=
<?
∑
=
∞→
εμ
n
i
i
n
X
n
P
36
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辛钦大数定律
设 相互独立同分布，
LL,,,,
21 n
XXX L,2,1,=iEX
i
μ＝
，则对任意正数 ε,有
1
1
lim
1
=
<?
∑
=
∞→
εμ
n
i
i
n
X
n
P
列维－林德伯格定理
设 相互独立同分布，LL,,,,
21 n
XXX ( ) ( ),0,
2
≠= σσμ
ii
XDEX ＝
L,2,1=i,则有
∫
∑
∞?
=
∞→
=
≤
x
t
n
i
i
n
dtex
n
nX
P
21
2
2
1
lim
πσ
μ
棣莫佛－拉普拉斯定理
设 ( )pnB
n
,~η,（即 相互独立且同服从 0－ 1 分布 ）则有
n
XXX,,,
21
L
∑
=
=
n
i
in
X
1
η
()
∫
∞?
∞→
=
≤
x
t
n
n
dtex
pnp
np
P
2
2
2
1
1
lim
π
η
六、数理统计的基本概率
重要公式与结论,
（ 1）对于,有()n
22
~ χχ ()( ) ()( ) nnDnnE 2,
22
== χχ
（ 2）对于
( )ntT ~
有 () () ()2
2
,0 >
== n
n
n
TDTE
（ 3）对于,有(nmFF,~ )
()()
()mnF
nmFmnF
F,
1
,,,~
1
2
1
2 α
α
=
（ 4）对于任意总体 X,有 ( ) ()( ) ()( )
( )
n
XD
XDXDSEXEXE ===,,
2
。
七、参数估计
重要公式与结论
（ 1） ( ) ()() ()XDSEXEXE ==
2
,，即
2
,SX 分别为总体 ( ) ( )XDXE,的无偏估计量。
（ 2）由大数定律易知
2
,SX 也分别是 ()( )XDXE,的一致估计量。
（ 3）若 ( ) ( ) (∞→→= nDE 0
,
θθθ )，则 为 θ
θ 的一致估计。
（ 4） 为θ
θ 的矩估计,为连续函数，则 ()xg ( )θ
g 为 ( )θg 的矩估计。
（ 5） 为θ
θ 的极大似然估计,为单调函数，则 ()xg ( )θ
g 为 ( )θg 的极大似然估计。
（ 6） ( )
21
,
θθ 为 θ 的置信度是 α?1 的置信区间,( )xg 为单调函数，则（ ( ) ( )
21
,
θθ gg 或 ( ) ( )
12
,
θθ gg ）为 ( )θg 的置信度是 α?1 的置信区间。
八、假设检验
原假设
0
H
0
H 下的统计量及分布
0
H 的拒绝域
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0
μμ = （ 未知）
2
σ
()1,0~
/
0
N
n
X
U
σ
μ?
=
2
1
0
/
α
σ
μ
≥
= u
n
x
u
一个正态总体
0
μμ = （ 已知）
2
σ ()1~
/
0
= nt
nS
X
T
μ
()1
/
2
1
0
≥
=
nt
nS
x
t
α
μ
2
0
2
σσ = （ μ 已知）
()n
X
W
n
i
i
2
1
2
0
~ χ
σ
μ
∑
=
= ()n
x
w
n
i
i 2
)
2
1(
1
2
0
α
χ
σ
μ
=
≥
=
∑
或 ( )nw
2
2
α
χ≤
一个正态总体
2
0
2
σσ = （ μ 未知）
()
()1~
1
2
2
0
2
= n
Sn
W χ
σ
( )
()1
1
2
1
2
0
2
≥
=
n
Sn
w
α
χ
σ
2
或 ( )1
2
2
1
≤
nw
α
χ
δμμ =?
21
（ 已知）
2
2
2
1
,σσ
()1,0~
2
2
2
1
2
1
2
1
N
nn
XX
U
σσ
δ
+
=
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
α
σσ
δ
≥
+
= u
nn
xx
u
δμμ =?
21
（ 已知但
2
2
2
1
,σσ
2
2
2
1
σσ =
）
()2~
11
21
21
2
1
+
+
= nnt
nn
S
XX
T
w
δ
()( )
2
11
21
2
22
2
112
+
+?
=
nn
SnSn
S
w
21
2
1
11
nn
S
xx
t
w
+
=
δ
( )2
21
2
1
+≥
nnt
α
两个正态总体
2
2
2
1
σσ =
（
21
,μμ 未知）
()1,1~
212
2
2
1
= nnF
S
S
F
()1,1
21
2
1
2
2
2
1
≥=
nnF
S
S
f
α
或
( )1,1
21
2
≤ nnFf
α
38
