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三角有理分式 的积分 )cos,(sin xxR
（1）半角替换,
记
2
tan
x
t =
,则
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
=
，
dt
t
dt
2
1
2
+
=
，于是可将三角有理分式的不定积分 化为关于 t的有理分式积分。 )cos,(sin xxR
∫
dxxxR )cos,(sin
（2）三角替换
若 =,则取变换)cos,sin( xxR? )cos,(sin xxR? xt cos=,xdxdt sin?=,
x
dt
dx
sin
= 。
若 =,则取变换)cos,(sin xxR? )cos,(sin xxR? xt sin=,
x
dt
dx
cos
= 。
若 =,则取变换)cos,sin( xxR )cos,(sin xxR xt tan=
，
。 xdtdx
2
cos=
定积分应用相关公式,
(1)
∫∫
=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
(2) 对积分区间的可加性,
∫∫∫
+=∈?
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxfRc )()()(,
(3) 对被积函数满足线性性,[]
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgBdxxfAdxxBgxAf )()()()(
(4) 保序性（保号性）,若可积函数 ],[,0)( baxxf ∈?≥,则 。 0)( ≥
∫
b
a
dxxf
若可积函数 满足,则 。 )(),( xgxf )()( xgxf ≥
∫∫
≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
特别，若非负连续函数 在 上不恒为零,则 。 )(xf ],[ ba 0)( >
∫
b
a
dxxf
(5) 若 在 上可积,则)(xf ],[ ba )(xf 在 上也可积,且],[ ba
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
(6) 估值定理,若可积函数 在 上满足)(xf ],[ ba Mxfm ≤≤ )(,则
)()()( abMdxxfabm
b
a
≤≤?
∫
进一步,若函数 在 上非负可积,则（称为比较性质）
)(xg ],[ ba
∫∫∫
≤≤
b
a
b
a
b
a
dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(
(7) 积分中值定理,若函数 在 上连续,在 上取定号且可积,则)(xf ],[ ba )(xg ],[ ba ),,( ba∈?ξ
使 。
∫∫
=
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( ξ
特别,1)( ≡xg 时,],,[ ba∈?ξ 使,或))(()( abfdxxf
b
a
=
∫
ξ
19
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__________
],[
)()(
)(
xff
ab
dxxf
Ba
b
a
==
∫
ξ （平均值）
（8）若 在 上是可积的奇函数,则 ; )(xf ],[ aa? 0)( =
∫
a
a
dxxf
若 在 上是可积的偶函数,则 。 )(xf ],[ aa?
∫∫
=
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2)(
（9）若 是可积的周期函数,切周期为)(xf T,则对任意是实数 必有 a
∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
（10）若连续函数 满足,则存在)(xf 0)( =
∫
b
a
dxxf ),(
0
bax ∈ 使得 0)(
0
=xf 。
（11 ）若非负连续函数 满足,则)(xf 0)( =
∫
b
a
dxxf 0)(],,[ ≡∈? xfbax 。
（ 12）分部积分法 设 与 在 连续,为 在 上的一个原函数，则 )(xf )(xg′ ],[ ba )(xF )(xf ],[ ba
∫∫
=
b
a
b
a
b
a
dxxgxFxgxFdxxgxf )(')()()()()(
（ 13）区间变换,令 dttxtxfdxxf
b
a
)('))(()(
1
0
∫∫
ab
ax
t
=,
dttxtxfdxxf
d
c
b
a
)('))(()(
∫∫
,令 ccd
ab
ax
t +?
= )(,
（ 14） 运用定积分求极限常用公式为
∫
∑
=
+
=
∞→
b
a
n
k
dxxfk
n
ab
af
n
ab
)()(lim
1
n
,
其中 )()(
k
fk
n
ab
af ξ=
+,
k
x
n
ab
Δ=
（ 15）
∫
2
0
sin
π
xdx
n
∫
=
2
0
cos
π
xdx
n
，记
∫
=
2
0
sin
π
xdxI
n
n
，则
2
1
=
nn
I
n
n
I,（ ），初值：L,3,2=n 1,
2
10
== II
π
。
上述结果可归纳得到下述实用形式,
1
!)!12(
!)!2(
,
2!)!2(
!)!12(
122
+
=?
=
+
n
n
I
n
n
I
nn
π
（ L,3,2,1=n ）。
定积分的近似计算,
矩形法：
∫
+++
≈
b
a
n
yyy
n
ab
xf )()(
110
L
梯形法：
∫
++++
≈
b
a
nn
yyyy
n
ab
dxxf ])(
2
1
[)(
110
L
抛物线法：
∫

+++++++++
≈
b
a
nnn
yyyyyyyy
n
ab
dxxf )](4)(2)[(
3
)(
1312420
LL
定积分的几何应用
1.绕 x轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）
20
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平面区域 {})(0,),( xfybxayxD ≤≤≤≤= 绕 x 轴旋转生成的旋转体的
∫
=
b
a
x
dxxfV )(
2
π
2,绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法）
平面区域 {})(0,),( xfybxayxD ≤≤≤≤= 绕 轴旋转生成的旋转体
y
∫
=
b
a
y
dxxfxV )(2 π
光滑曲线的弧长
3,直角坐标系中的光滑曲线 bxaxfy ≤≤= ),( 的弧长为
[]
∫
′+=
b
a
dxxfl
2
)(1 。
4,参 数 方 程 下 βα ≤≤== ttyytxx ),(),( 的弧长为
[][]
∫
′++′=
β
α
dttytxl
22
)()( 。
5,极坐标系下光滑曲线 ( ) β?α?ρρ ≤≤=,的弧长为
() []
∫
′++=
β
α
ρ?ρ dl
2
2
)( 。
旋转体的侧面积
6,直角坐标系中曲线 绕bxaxfy ≤≤= ),( x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为
[]
∫
′+=
b
a
dxxfxfA
2
)(1)(2π
。
7,参数方程下曲线
βα ≤≤== ttyytxx ),(),(
绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为
[][]
∫
′++′=
β
α
π dttytxtyA
22
)()()(2
定积分的物理应用
∫
∫
=
=
=
=
b
a
b
a
dttf
ab
dxxf
ab
y
k
r
mm
kF
ApF
sFW
)(
1
)(
1
,
2
2
21
均方根：
函数的平均值：
为引力系数引力：
水压力：
功：
质心与形心
平面光滑曲线的质心 设平面光滑曲线的参数方程为
βα ≤≤== ttyytxx ),(),(
其质量线密度为 )(tμ,则其质量为
[][]
∫
′+′=
β
α
μ dttytxtM
22
)()()(
。
曲线关于 x轴与 y 轴的静力矩分别为
[][]
∫
′+′=
β
α
μ dttytxtytM
x
22
)()()()(
，
[][]
∫
′+′=
β
α
μ dttytxtxtM
y
22
)()()()(
21
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其质心坐标 (yx,)为
[][]
[][]
∫
∫
′+′
′+′
=
β
α
β
α
μ
μ
dttytxt
dttytxtxt
x
22
22
)()()(
)()()()(
,
[][]
[][]
∫
∫
′+′
′+′
=
β
α
β
α
μ
μ
dttytxt
dttytxtyt
y
22
22
)()()(
)()()()(
若平面光滑曲线的方程为 bxaxfy ≤≤= ),(,则
[ ]
[]
∫
∫
′+
′+
=
β
α
β
α
μ
μ
dttft
dttfxt
x
2
2
)(1)(
)(1)(
,
[]
[]
∫
∫
′+
′+
=
β
α
β
α
μ
μ
dttft
dttfxft
y
2
2
)(1)(
)(1)()(
平面图形的形心（质心） 设 在区间 上可积,则平面图形 )(),( xgxf ],[ ba
{})()(,),( xgyxfbxayxD ≤≤≤≤= 的形心为
[ ]
[]
∫
∫
=
b
a
b
a
dxxfxg
dxxfxgx
x
)()(
)()(
,
[]
[]
∫
∫
=
b
a
b
a
dxxfxg
dxxfxg
y
)()(
)()(
2
1
22
。
空间解析几何和向量代数,
空间两点的距离：
2
12
2
12
2
1221
)()()( zzyyxxMMd?+?+?==
向量在轴上的投影,,cosPr?= ABABj
u
是 AB 与 u轴的夹角，
2121
PrPr)(Pr ajajaaj
u
vvvv
+=+
zzyyxx
bababababa ++=?=? θcos
v
v
v
v
是一个数量
两向量之间的夹角
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
++?++
++
=θ,
θsin,bac
bbb
aaa
kji
bac
zyx
zyx
v
vv
v
vv
==×=
例,rwv
vvv
×= 线速度
向量的混合积：
αα,cos)(][ cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
zyx
zyx
zyx
v
v
vv
v
vv
v
v
×==?×=
为锐角时，代表平行六面体的体积。
平面的方程,
1．点法式
0)()()(
000
=?+?+? zzCyyBxxA
，其中
),,(},,,{
0000
zyxMCBAn =
v
2．一般方程：
0=+++ DCzByAx
3．截距式方程：
1=++
c
z
b
y
a
x
22
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平面外任意一点到该平面的距离：
222
000
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
空间直线的方程：
t
p
zz
n
yy
m
xx
=
=
=
000
，其中 };,,{ pnms =
v
其中参数方程
+=
+=
+=
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
二次曲面
1.椭球面：
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
2.抛物线：
同号）（ qpz
q
y
p
x
,,
22
22
=+
3.双曲面
单叶双曲面：
1
2
2
2
2
2
2
=?+
c
z
b
y
a
x
双叶双曲面,1
2
2
2
2
2
2
=+?
c
z
b
y
a
x
（马鞍面）
多元函数微分法及应用,
全微分,dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
dudy
y
z
dx
x
z
dz
+
+
=
+
= 　
全微分的近似计算,yyxfxyxfdzz
yx
Δ+Δ=≈Δ ),(),(
多元复合函数的求导法,
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
yxvyxufz
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dz
tvtufz
+
=
=
+
==
)],(),,([
)](),([
当 时,),(),( yxvvyxuu ==,
dy
y
v
dx
x
v
dvdy
y
u
dx
x
u
du
+
=
+
= 　
隐函数的求导公式,
隐函数
dx
dy
F
F
yF
F
xdx
yd
F
F
dx
dy
yxF
y
x
y
x
y
x

=?== )()(0),(
2
2
＋，,
隐函数
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
zyxF?=
=
=,,　0),,(
隐函数方程组,
vu
vu
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
vuyxG
vuyxF
=
=
=
=
=
),(
),(
,
0),,,(
0),,,(
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
=
=
=
=
23