第 11 讲 开映射与闭图像定理
教学目的
掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应用。
授课要点
1,开映射定理的条件、结论与证明思路。
2,闭图象定理的条件、结论与证明思路。
3,通过例子初步掌握其应用。
设 YX,是线性赋范空间,YXT →,是线性算子,我们曾经说过，若 T 是一一的，则
XTRT →
)(:
1
是线性算子，这里 )(TR 是 T 的值空间,此时对于每个 )(TRy∈,算子方程
yTx = 有唯一解存在,.
1
yTx
= 若 T 是到上的，则,)( YTR = 此时
1?
T 在整个空间 Y 上有定义,ITT =
1
是 X 上的恒等算子,若问在算子方程中 y 的微小变动是否引起 x 的变动也是微小的，这是由
1?
T 的连续性决定的,在微分方程理论中，存在性、惟一性和解对所给数据的连续依赖性统称为适定问题,这一问题与开映射定理有关,另外容易知道，当 T 是一一的线性映射时,T 是开算子恰恰相当于
1?
T 是连续算子 (见第一章第 3 讲定理 4),
定义 1 设 YXT →,是线性算子,若 T 将 X 中的每个开集映射为 Y 中的开集,称 T 为开算子 (开映射 ),
引理 1 设 YX,是线性赋范空间，线性算子 YXT →,是开算子当且仅当对于 X∈0 的每个邻域 ).0( rO,)).0(( rOT 包含 Y∈0 的邻域,
证 明 若 T 是开算子,).0( rO 是 X∈0 的邻域，则 )).0(( rOT 是开集．因为 00 =T,从
而 )).0(( rOT 是 Y∈0 的邻域,
反之，若 T 具有所说的性质,A 是 X 中任一开集，我们证明 )(AT 是 Y 中的开集,对于每个 )(ATy∈ )，设,,AxTxy ∈= 则存在,),(,0 ArxOr?> 此时 ),0(),( rOxrxO =? 是 X∈0
的邻域，于是由所说的性质 =?TxrxOT )).(()).0(( rOT 包含 Y∈0 的邻域,从而
+=TxrxOT )).(()).0(( rOT 包含 Tx 的邻域,显然 )()).(( ATrxOT?,所以 y 是 )(AT 的内点,y
是任意的，故 )(AT 为开集,T 为开算子,
定理 1 (开映射定理 ) 设 X 是 Banach 空间,Y 是线性赋范空间,YXT →,是有界线性算子并且 )(TR 是 Y 中的第二纲集，则 T 必是开算子并且是到上的,
特别地，从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子是开算子,
证 明 1°我们知道，对于线性赋范空间的任意子集,,BA BABA +?+,现在设
}
2
1;{},1;{
1
<∈=<∈= xXxUxXxU
容易验证
1111
,UUUUU =+,由于 T 的连续性
)()()()()()()(
111111
UTUTUTUTUTUTUT?+?+=?,(1)
我们只要证明了 )(
1
UT 含有内点，则 )(UT 以 0 为内点,
注意,Xx∈? 0→
n
x
，于是存在 n 使得
1
U
n
x
∈,即
1
nUx∈,这说明
1
1
nUX
n
∞
=
∪=,从而
,)()()()(
1
1
1
1
1
1
UTnUnTnUTXT
nnn
∞
=
∞
=
∞
=
∪?∪=∪=
)(XT 是第二纲集，故存在 n 使得 )(
1
UTn 具有非空内部，也即 )(
1
UT 具有非空内部,此时由上面所说,)(UT 以 Y∈0 为内点,不妨设 ),0()())1,0(( δ
YX
OUTOT?=,其中,0>δ （为明确起见我们记 X 中 0 点的邻域为
X
O,Y 中 0 点的邻域为
Y
O,） 由于 T 是线性的,故
0>?r 我们有
rrOrO
YY
= ),0(),0( δδ )),0(()( rOTUT
X
=, (2)
2
null
现在我们证明，由（ 2）可以推出
?)
2
,0(
δr
O
Y
)),0(( rOT, (3)
实际上,)
2
,0(
0
δr
Oy
Y
∈?,由（ 2）,
)
2
,0(
δr
O
Y
))
2
,0((
r
OT
,
于是存在 )
2
,0(
1
r
Ox
X
∈ 使得,
2
2
10
δr
Txy <? 即 ).
2
,0(
2
101
δr
OTxyy
Y
∈?= 再由（ 2）式,
)
2
,0(
2
δr
O
Y
))
2
,0((
2
r
OT
,
于是存在 )
2
,0(
2
2
r
Ox
X
∈ 使得,
2
3
21
δr
Txy <? 即,),
2
,0(
3
212
null
δr
OTxyy
Y
∈?=
一般来说,)
2
,0(
n
Xn
r
Ox ∈? 使得 ).
2
,0(
1
10
+
∈=
n
Ynn
r
OTxTxyy
δ
null
现在一方面,0lim =
∞→
n
n
y 所以 ).(lim
1
0 ∑
=
∞→
=
n
i
i
n
xTy 另一方面
r
r
x
i
i
i
i
=<
∑∑
∞
=
∞
= 11
2
,
X 完备，故存在
∑
=
∞→
=
n
i
i
n
o
xx
1
lim 并且 ,
1
0
rxx
i
i
<≤
∑
∞
=
即,),0(
0
UrOx
X
=∈ T 连续，故
).().(lim
0
1
0
xTxTy
n
i
i
n
==
∑
=
∞→
这说明（ 3）成立,由引理 1,T 是开算子,
3
null
记 ),
2
,0(
δr
OV
Y
= 像 1
null
中证明的一样，这里有 nVY
n
∞
=
∪=
1
，于是
∪=
∞
=
)()(
1
UnTXT
n
.
1
YnV
n
=∪
∞
=
T 是到上的,
由于完备度量空间是第二纲集，故最后的结论是明显的,
定理 2 (逆算子定理 ) 设 X 是 Banach 空间,Y 是线性赋范空间,YXT →,是一一的有界线性算子,若 )(XT 是 Y 中的第二纲集,则
1?
T 是定义在全空间 Y 上的有界线性算子,
此时 Y 是 Banach 空间,
特别地,从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子若是可逆的，则逆算子是有界的,
证 明 若 T 是一一的，
1?
T 存在，根据开映射定理,T 是到上的开映射,这说明
1?
T 是有界的,因此 T 是 X,Y 之间的同构,第一章第 7 讲定理 2 说明 Y 是 Banach 空间,
推论 1 设 X,Y 是 Banach 空间,YXT →,是一一的到上的有界线性算子，则存在正数 ba,＞ 0 使得
XxxbTxxa ∈?≤≤,（ 4）
推论 2 假设线性空间 X 上有两个范数
21
,,并且在两个范数之下 X 都成为 Banach
空间，若存在 a ＞ 0 使得,,
12
Xxxax ∈?≤ 则（ 4）成立。
证 明 为不致混淆，记 ),,(
1
1
= XX ),(
2
2
= XX,考虑恒等映射
21
,XXI →,由所设条件，
12
xaIx ≤,因此 I 是一一的到上的有界线性算子,由定理 2,
1?
I 有界，从而
2
1
1
1
xIxI
≤,即,
21
xbx ≤
这一结论表明，如果两个范数都使 X 成为 Banach 空间，只要两个范数是可比较的，则它们一定是彼此等价的,这一点与第一章第 7 讲中有限维空间的情况形成对照,
下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用,
例 1 考虑第一型 Fredholm 积分方程
∫
+=
1
0
),()(),()( sdttxtsKsx?λ (5)
这里 λ 是某个常数,),( tsK 是 1,0 ≤≤ ts 上的二元连续函数,]1,0[C∈?, 方程 (5)还可以简单地记为
λ =? xKI )(, (6)
这里
∫
=
1
0
)(),()( dttxtsKsKx 是从 ]1,0[C 到 ]1,0[C 上的线性算子,由本章第 1 讲例 7 可以求得
K 的范数，并且当 λ满足 1<Kλ 时，令,V →]1,0[C ]1,0[C,,?λ += KxVx 则
212121
xxKKxKxVxVx?≤?=? λλλ
所以 V 是压缩的,从而在 ]1,0[C 上有惟一不动点,它即是方程 (6)的解,
这说明对于每个 ∈? ]1,0[C,算子方程 (5)存在惟一连续解，从而线性算 KI λ? 是 ]1,0[C
到 ]1,0[C 的一一映射,由于 ]1,0[C 是 Banish 空间，定理 2 说明
1
)(
KI λ 是有界的,换句话说?的以 ]1,0[C 中范数的微小变动，导致相应解 x 的变动也是很小的,
例 2 考虑高阶微分方程的初值问题,
10,0)0(
)()()(.
)(
)(
)(
)(
1
1
1
≤≤=
=+++
nix
tytxta
dt
txd
ta
dt
txd
i
n
n
n
n
n
null
(7)
其中 ]1,0[)(,),(
1
Ctata
n
∈null,记方程的左端为,xD
n
则
n
D 是 ]1,0[
)(n
C 到 ]1,0[C 的线性算子,
我们将证明算子方程 yxD
n
= 关于 ∈y ]1,0[C 具有连续依赖性,
根据初值条件，我们具体地考虑算子
:T ]1,0[
)(
0
n
C → ]1,0[
0
C,,xDx
n
null
这里 ]1,0[
)(
0
n
C 是具有 n 阶连续导数并且满足 10,0)0(
)(
≤≤= nix
i
的函数全体,对于空间
]1,0[
)(
0
n
C 应用第一章第 3 讲例 7 中的范数，容易验证它是完备的线性赋范空间,
首先 T 是有界的，不妨设 Mta
i
tni
≤
≤≤≤≤
)(maxmax
100
,则
.}1,max{
)(max}1,max{
)(max
19
10
xM
txM
txDTx
i
t
n
t
=
≤
=
∑
≤≤
≤≤
（ 8）
后者即是 x 在 ]1,0[
)(n
C 中的范数,n 是固定的，故 T 有界,
其次，若将方程改写为
),,',(
)1()(?
=
nn
xxtx nullΦ （ 9）
的形式，显然 Φ 不仅关于各变元是连续的，而且除 t 之外,Φ 关于各变元具有有界的一阶导数，从而关于这些变元满足 Lipschitz 条件,由 Picard 定理，对于每个 ∈y ]1,0[
0
C 存在惟一的 ∈x ]1,0[
)(
0
n
C 使之满足 yxD
n
= 和初值条件,实际上这个存在和惟一性即说明 T 是到上的和一一的,因此由逆算子定理
1?
T 是连续算子,即 yxD
n
= 的解随 y 而连续变动,
现在让我们转到闭图像定理,
定义 2 (1) 设 YX,是两个集合，考虑乘积
},,);,{( YyXxyxYX ∈∈?=×
若 YXT →,是某个映射，则称集合
}),,{()( XxTxxTG ∈?=
是 T 的图像, 显然 YX × 中的点 )(),( TGyx ∈ 当且仅当,Txy =
（ 2） 若 YX,是线性赋范空间，定义
YXyxyxyx ×∈?+= ),(,),(
则得到 YX × 上的范数,YX × 也是线性赋范空间，此时 YX × 完备当且仅当 YX,都完备,
若 YXT →,是线性算子，则,,Φβα ∈?
)),(,(),(),(),( yxTyxTyTxyxTyyTxx βαβαβαβαβα ++=++=+
所以 )(TG 是 YX × 的线性子空间,
称 YXT →,是闭算子（闭映射）,若 )(TG 是 YX × 中的闭集,
定理 3
(1) YXT →,是闭算子当且仅当对于 X 中任一序列
n
x,若,,yTxxx
nn
→→ 则
Txy =,
（ 2） 连续算子是闭算子,
证 明 1° 若 )(TG 闭,Xx
n
∈,,,
nn
x xTx y→→ 则
0),(),( →?+?=? yTxxxyxTxx
nnnn
这说明在 )(TG 中 ),(),( yxTxx
nn
→,)(TG 闭导致 )(),( TGyx ∈,
反之，若 YXT →,具有所说的性质,),(),(),(),( yxyxTGyx
nnnn
→∈,则
0),(),( →?=?+? yxTxxyTxxx
nnnn
,
于是,
nn
x xTx y→→,由所说条件,Txy =,即 )(),( TGyx ∈,)(TG 闭,
2° 设 YXT →,连续，若,,
nn
x xTx y→→ 由 T 的连续性知道,TxTx
n
→ 从而
Txy =,由 1° 知 )(TG 是闭集,T 是闭算子,
例 3 考虑本章第 1 讲例 4(2)中的空间 ]1,0[
~
)1(
C 和算子 D,我们已经知道 D 不是有界的，但可以证明 D 是闭算子,
实际上，若,,Xxx
n
∈ 0',0 →?→? yxxx
nn
,.即在 ],[ ba 上，
n
x 一致收敛于 x,'
n
x 一致收敛于 y,由数学分析中求导与极限符号交换的定理
).(
)(
lim))(lim(
)(
ty
dt
tdx
tx
dt
d
dt
tdx
n
n
n
n
===
∞→∞→
即 yDx =,所以 D 是闭算子,
定理 4 (闭图像定理 ) 设 YX,是 Banach 空间,YXT →,是线性算子,若 T 是闭算子，
则 T 连续,
证 明 注意此时 YX × 是 Banach 空间,)(TG 是闭的，从而也是 Banach 空间,定义
),(),(,),(,)(,TGTxxxTxxXTGP ∈?→ null
则容易验证 P 是线性的、一一的和到上的,此外
,),(),( TxxxTxxP ≤=
故,1≤P 根据逆算子定理,),(),(:
1
TxxxTGXP null→
有界，从而
.,),(
11
XxxPxPTxxTx ∈?≤=≤
即 TPT,
1?
≤ 连续,
思考题
1、设
12
,ii是线性空间 X 上的两个完备范数，此时若任何
1
,
nn
x Xx x∈ →
i
时都有
2
n
x x→
i
，则反过来当
2
n
x x→
i
时，必有
1
n
x x →
i
,
2、考察在
1
[0,1]L 上，以下三范数的等价性,
（ 1）
1;i （ 2）
2;i （ 3）
2
1 1
2
2
0
((12)() ).x txtdt=+
∫
教学目的
掌握开映射定理与闭图象定理的内容并初步学会其应用。
授课要点
1,开映射定理的条件、结论与证明思路。
2,闭图象定理的条件、结论与证明思路。
3,通过例子初步掌握其应用。
设 YX,是线性赋范空间,YXT →,是线性算子,我们曾经说过，若 T 是一一的，则
XTRT →
)(:
1
是线性算子，这里 )(TR 是 T 的值空间,此时对于每个 )(TRy∈,算子方程
yTx = 有唯一解存在,.
1
yTx
= 若 T 是到上的，则,)( YTR = 此时
1?
T 在整个空间 Y 上有定义,ITT =
1
是 X 上的恒等算子,若问在算子方程中 y 的微小变动是否引起 x 的变动也是微小的，这是由
1?
T 的连续性决定的,在微分方程理论中，存在性、惟一性和解对所给数据的连续依赖性统称为适定问题,这一问题与开映射定理有关,另外容易知道，当 T 是一一的线性映射时,T 是开算子恰恰相当于
1?
T 是连续算子 (见第一章第 3 讲定理 4),
定义 1 设 YXT →,是线性算子,若 T 将 X 中的每个开集映射为 Y 中的开集,称 T 为开算子 (开映射 ),
引理 1 设 YX,是线性赋范空间，线性算子 YXT →,是开算子当且仅当对于 X∈0 的每个邻域 ).0( rO,)).0(( rOT 包含 Y∈0 的邻域,
证 明 若 T 是开算子,).0( rO 是 X∈0 的邻域，则 )).0(( rOT 是开集．因为 00 =T,从
而 )).0(( rOT 是 Y∈0 的邻域,
反之，若 T 具有所说的性质,A 是 X 中任一开集，我们证明 )(AT 是 Y 中的开集,对于每个 )(ATy∈ )，设,,AxTxy ∈= 则存在,),(,0 ArxOr?> 此时 ),0(),( rOxrxO =? 是 X∈0
的邻域，于是由所说的性质 =?TxrxOT )).(()).0(( rOT 包含 Y∈0 的邻域,从而
+=TxrxOT )).(()).0(( rOT 包含 Tx 的邻域,显然 )()).(( ATrxOT?,所以 y 是 )(AT 的内点,y
是任意的，故 )(AT 为开集,T 为开算子,
定理 1 (开映射定理 ) 设 X 是 Banach 空间,Y 是线性赋范空间,YXT →,是有界线性算子并且 )(TR 是 Y 中的第二纲集，则 T 必是开算子并且是到上的,
特别地，从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子是开算子,
证 明 1°我们知道，对于线性赋范空间的任意子集,,BA BABA +?+,现在设
}
2
1;{},1;{
1
<∈=<∈= xXxUxXxU
容易验证
1111
,UUUUU =+,由于 T 的连续性
)()()()()()()(
111111
UTUTUTUTUTUTUT?+?+=?,(1)
我们只要证明了 )(
1
UT 含有内点，则 )(UT 以 0 为内点,
注意,Xx∈? 0→
n
x
，于是存在 n 使得
1
U
n
x
∈,即
1
nUx∈,这说明
1
1
nUX
n
∞
=
∪=,从而
,)()()()(
1
1
1
1
1
1
UTnUnTnUTXT
nnn
∞
=
∞
=
∞
=
∪?∪=∪=
)(XT 是第二纲集，故存在 n 使得 )(
1
UTn 具有非空内部，也即 )(
1
UT 具有非空内部,此时由上面所说,)(UT 以 Y∈0 为内点,不妨设 ),0()())1,0(( δ
YX
OUTOT?=,其中,0>δ （为明确起见我们记 X 中 0 点的邻域为
X
O,Y 中 0 点的邻域为
Y
O,） 由于 T 是线性的,故
0>?r 我们有
rrOrO
YY
= ),0(),0( δδ )),0(()( rOTUT
X
=, (2)
2
null
现在我们证明，由（ 2）可以推出
?)
2
,0(
δr
O
Y
)),0(( rOT, (3)
实际上,)
2
,0(
0
δr
Oy
Y
∈?,由（ 2）,
)
2
,0(
δr
O
Y
))
2
,0((
r
OT
,
于是存在 )
2
,0(
1
r
Ox
X
∈ 使得,
2
2
10
δr
Txy <? 即 ).
2
,0(
2
101
δr
OTxyy
Y
∈?= 再由（ 2）式,
)
2
,0(
2
δr
O
Y
))
2
,0((
2
r
OT
,
于是存在 )
2
,0(
2
2
r
Ox
X
∈ 使得,
2
3
21
δr
Txy <? 即,),
2
,0(
3
212
null
δr
OTxyy
Y
∈?=
一般来说,)
2
,0(
n
Xn
r
Ox ∈? 使得 ).
2
,0(
1
10
+
∈=
n
Ynn
r
OTxTxyy
δ
null
现在一方面,0lim =
∞→
n
n
y 所以 ).(lim
1
0 ∑
=
∞→
=
n
i
i
n
xTy 另一方面
r
r
x
i
i
i
i
=<
∑∑
∞
=
∞
= 11
2
,
X 完备，故存在
∑
=
∞→
=
n
i
i
n
o
xx
1
lim 并且 ,
1
0
rxx
i
i
<≤
∑
∞
=
即,),0(
0
UrOx
X
=∈ T 连续，故
).().(lim
0
1
0
xTxTy
n
i
i
n
==
∑
=
∞→
这说明（ 3）成立,由引理 1,T 是开算子,
3
null
记 ),
2
,0(
δr
OV
Y
= 像 1
null
中证明的一样，这里有 nVY
n
∞
=
∪=
1
，于是
∪=
∞
=
)()(
1
UnTXT
n
.
1
YnV
n
=∪
∞
=
T 是到上的,
由于完备度量空间是第二纲集，故最后的结论是明显的,
定理 2 (逆算子定理 ) 设 X 是 Banach 空间,Y 是线性赋范空间,YXT →,是一一的有界线性算子,若 )(XT 是 Y 中的第二纲集,则
1?
T 是定义在全空间 Y 上的有界线性算子,
此时 Y 是 Banach 空间,
特别地,从 Banach 空间到 Banach 空间上的有界线性算子若是可逆的，则逆算子是有界的,
证 明 若 T 是一一的，
1?
T 存在，根据开映射定理,T 是到上的开映射,这说明
1?
T 是有界的,因此 T 是 X,Y 之间的同构,第一章第 7 讲定理 2 说明 Y 是 Banach 空间,
推论 1 设 X,Y 是 Banach 空间,YXT →,是一一的到上的有界线性算子，则存在正数 ba,＞ 0 使得
XxxbTxxa ∈?≤≤,（ 4）
推论 2 假设线性空间 X 上有两个范数
21
,,并且在两个范数之下 X 都成为 Banach
空间，若存在 a ＞ 0 使得,,
12
Xxxax ∈?≤ 则（ 4）成立。
证 明 为不致混淆，记 ),,(
1
1
= XX ),(
2
2
= XX,考虑恒等映射
21
,XXI →,由所设条件，
12
xaIx ≤,因此 I 是一一的到上的有界线性算子,由定理 2,
1?
I 有界，从而
2
1
1
1
xIxI
≤,即,
21
xbx ≤
这一结论表明，如果两个范数都使 X 成为 Banach 空间，只要两个范数是可比较的，则它们一定是彼此等价的,这一点与第一章第 7 讲中有限维空间的情况形成对照,
下面两例是开映射和逆算子定理在积分方程、微分方程适定问题上的应用,
例 1 考虑第一型 Fredholm 积分方程
∫
+=
1
0
),()(),()( sdttxtsKsx?λ (5)
这里 λ 是某个常数,),( tsK 是 1,0 ≤≤ ts 上的二元连续函数,]1,0[C∈?, 方程 (5)还可以简单地记为
λ =? xKI )(, (6)
这里
∫
=
1
0
)(),()( dttxtsKsKx 是从 ]1,0[C 到 ]1,0[C 上的线性算子,由本章第 1 讲例 7 可以求得
K 的范数，并且当 λ满足 1<Kλ 时，令,V →]1,0[C ]1,0[C,,?λ += KxVx 则
212121
xxKKxKxVxVx?≤?=? λλλ
所以 V 是压缩的,从而在 ]1,0[C 上有惟一不动点,它即是方程 (6)的解,
这说明对于每个 ∈? ]1,0[C,算子方程 (5)存在惟一连续解，从而线性算 KI λ? 是 ]1,0[C
到 ]1,0[C 的一一映射,由于 ]1,0[C 是 Banish 空间，定理 2 说明
1
)(
KI λ 是有界的,换句话说?的以 ]1,0[C 中范数的微小变动，导致相应解 x 的变动也是很小的,
例 2 考虑高阶微分方程的初值问题,
10,0)0(
)()()(.
)(
)(
)(
)(
1
1
1
≤≤=
=+++
nix
tytxta
dt
txd
ta
dt
txd
i
n
n
n
n
n
null
(7)
其中 ]1,0[)(,),(
1
Ctata
n
∈null,记方程的左端为,xD
n
则
n
D 是 ]1,0[
)(n
C 到 ]1,0[C 的线性算子,
我们将证明算子方程 yxD
n
= 关于 ∈y ]1,0[C 具有连续依赖性,
根据初值条件，我们具体地考虑算子
:T ]1,0[
)(
0
n
C → ]1,0[
0
C,,xDx
n
null
这里 ]1,0[
)(
0
n
C 是具有 n 阶连续导数并且满足 10,0)0(
)(
≤≤= nix
i
的函数全体,对于空间
]1,0[
)(
0
n
C 应用第一章第 3 讲例 7 中的范数，容易验证它是完备的线性赋范空间,
首先 T 是有界的，不妨设 Mta
i
tni
≤
≤≤≤≤
)(maxmax
100
,则
.}1,max{
)(max}1,max{
)(max
19
10
xM
txM
txDTx
i
t
n
t
=
≤
=
∑
≤≤
≤≤
（ 8）
后者即是 x 在 ]1,0[
)(n
C 中的范数,n 是固定的，故 T 有界,
其次，若将方程改写为
),,',(
)1()(?
=
nn
xxtx nullΦ （ 9）
的形式，显然 Φ 不仅关于各变元是连续的，而且除 t 之外,Φ 关于各变元具有有界的一阶导数，从而关于这些变元满足 Lipschitz 条件,由 Picard 定理，对于每个 ∈y ]1,0[
0
C 存在惟一的 ∈x ]1,0[
)(
0
n
C 使之满足 yxD
n
= 和初值条件,实际上这个存在和惟一性即说明 T 是到上的和一一的,因此由逆算子定理
1?
T 是连续算子,即 yxD
n
= 的解随 y 而连续变动,
现在让我们转到闭图像定理,
定义 2 (1) 设 YX,是两个集合，考虑乘积
},,);,{( YyXxyxYX ∈∈?=×
若 YXT →,是某个映射，则称集合
}),,{()( XxTxxTG ∈?=
是 T 的图像, 显然 YX × 中的点 )(),( TGyx ∈ 当且仅当,Txy =
（ 2） 若 YX,是线性赋范空间，定义
YXyxyxyx ×∈?+= ),(,),(
则得到 YX × 上的范数,YX × 也是线性赋范空间，此时 YX × 完备当且仅当 YX,都完备,
若 YXT →,是线性算子，则,,Φβα ∈?
)),(,(),(),(),( yxTyxTyTxyxTyyTxx βαβαβαβαβα ++=++=+
所以 )(TG 是 YX × 的线性子空间,
称 YXT →,是闭算子（闭映射）,若 )(TG 是 YX × 中的闭集,
定理 3
(1) YXT →,是闭算子当且仅当对于 X 中任一序列
n
x,若,,yTxxx
nn
→→ 则
Txy =,
（ 2） 连续算子是闭算子,
证 明 1° 若 )(TG 闭,Xx
n
∈,,,
nn
x xTx y→→ 则
0),(),( →?+?=? yTxxxyxTxx
nnnn
这说明在 )(TG 中 ),(),( yxTxx
nn
→,)(TG 闭导致 )(),( TGyx ∈,
反之，若 YXT →,具有所说的性质,),(),(),(),( yxyxTGyx
nnnn
→∈,则
0),(),( →?=?+? yxTxxyTxxx
nnnn
,
于是,
nn
x xTx y→→,由所说条件,Txy =,即 )(),( TGyx ∈,)(TG 闭,
2° 设 YXT →,连续，若,,
nn
x xTx y→→ 由 T 的连续性知道,TxTx
n
→ 从而
Txy =,由 1° 知 )(TG 是闭集,T 是闭算子,
例 3 考虑本章第 1 讲例 4(2)中的空间 ]1,0[
~
)1(
C 和算子 D,我们已经知道 D 不是有界的，但可以证明 D 是闭算子,
实际上，若,,Xxx
n
∈ 0',0 →?→? yxxx
nn
,.即在 ],[ ba 上，
n
x 一致收敛于 x,'
n
x 一致收敛于 y,由数学分析中求导与极限符号交换的定理
).(
)(
lim))(lim(
)(
ty
dt
tdx
tx
dt
d
dt
tdx
n
n
n
n
===
∞→∞→
即 yDx =,所以 D 是闭算子,
定理 4 (闭图像定理 ) 设 YX,是 Banach 空间,YXT →,是线性算子,若 T 是闭算子，
则 T 连续,
证 明 注意此时 YX × 是 Banach 空间,)(TG 是闭的，从而也是 Banach 空间,定义
),(),(,),(,)(,TGTxxxTxxXTGP ∈?→ null
则容易验证 P 是线性的、一一的和到上的,此外
,),(),( TxxxTxxP ≤=
故,1≤P 根据逆算子定理,),(),(:
1
TxxxTGXP null→
有界，从而
.,),(
11
XxxPxPTxxTx ∈?≤=≤
即 TPT,
1?
≤ 连续,
思考题
1、设
12
,ii是线性空间 X 上的两个完备范数，此时若任何
1
,
nn
x Xx x∈ →
i
时都有
2
n
x x→
i
，则反过来当
2
n
x x→
i
时，必有
1
n
x x →
i
,
2、考察在
1
[0,1]L 上，以下三范数的等价性,
（ 1）
1;i （ 2）
2;i （ 3）
2
1 1
2
2
0
((12)() ).x txtdt=+
∫
