1
第 13 讲 Hahn-Banach 定理的应用
教学目的
理解延 拓定理的应用。
授课要点
通过介绍 Hahn-Banach 定 理在最佳逼近方面的应用帮助学生认识这一定理应用的途径和方式。
Hahn-Banach 定理在理论上和应用上都是十分重要的，它往往提供了某些学科或学科分支的理论基础,这里介绍一些它们在逼近论方面的应用,
定义 3 设 X 是线性赋范空间,E 是 X 的子集合,x X∈,称
yE∈ 是 x 关于 E 的最佳逼近元，若
inf
zE
x yxz
∈
=?,(1)
首先应该知道一般说来，最佳逼近元并不总是存在的,
例 1 设
[ ]
0,1EC?,E 是
[ ]
0,1 上定义的任意阶多项式全体构成的线性子空间，取
() [ ]0,1
t
xt e C=∈,尽管
( ),inf 0
zE
dxE x z
∈
=?=,
但不存在 yE∈ 使得 0xy?=，因为
t
e 不是多项式,这说明不存在
t
e
关于 E 的最佳逼近元,
定理 1 设 X 是线性赋范空间,E 是 X 的闭线性子空间，
0
x X∈,
则 yE∈ 是
0
x 关于 E 的最佳逼近元当且仅当存在 f X
∈ 使得 1f =,
2
()
0
0fx=,x E?∈ 并且 ( )
00
f xxy=?,
证 明 当
0
x E∈ 时，
0
x 是它自己关于 E 的最佳逼近元，此时容易证明结论成立,
现设
0
x E?,若 y 是
0
x 关于 E 的最佳逼近元，即
00
inf
zE
x yxzd
∈
=?=,
此时 0d＞,设
1
E =span{ }
0
,x E,令 ( )
01
f xad=,
10
x zax? =+,其中
zE∈,α∈Φ,则
0
f 是
1
E 上的线性泛函,并且 ( )
0
0fE=,()
00
f xd=,
由于
()
01 0
z
f xada x
a
=≤ +
01
zax x=+ =,
所以
0
1f ≤,ε? ＞0,取 zE∈ 使得
0
xzdε? +＜,则
( )
00
0
00
00
fx
xz d
ff
xz xz dε
≥=≥
+
,
于是
0
1f =,由 Hahn－ Banach 定理，存在 f X
∈ 使得在
1
E 上，
() ( )
0
f xfx=,特别地,( ) ( )
0
0fE f E= =,从而
() ( )
000 0
f xfxdxy===?,
反之，若 f X
∈ 满足定理中条件，对于任何 zE∈,
() ( )
0000
x y fx fxz xz?= =?≤?,
由于 yE∈,故
00
inf
zE
x yxz
∈
=?,
由定理前一部分的证明容易得出以下推论,
推论 1 设 X 是线性赋范空间,E 是 X 的线性子空间，
0
x X∈,
()
00
,inf 0
zE
dxE x z d
∈
=?=＞,则存在 f X
∈,使得 1f =,
3
()
0
f xd=,并且 () 0fx=,x E? ∈,
定理 1 实际上是最佳逼近元的判定定理,下面定理可以看成最佳逼近元的存在定理,
定理 2 设 X 是线性赋范空间,EX? 是有限维子空间，则对于每个 x X∈,x 关于 E 的最佳逼近元存在,
证 明 任取
0
yE∈,考虑集合
{ }
0;FzExzxy=∈?≤?,
容易验证 F 是 E 中的有界闭集，是 E 有限维的，从而是紧集并且
()()
,,dxF dxE=,取
n
zF∈ 使得
( )
,
n
x zdxF?→,此时存在子列
0
k
n
zzF→∈，于是
( ) ( )
0
lim,,
n
n
x zxzdxFdxE
→∞
=?= =,
0
z 即是 x 关于 E 的最佳逼近元,
例 2 对于实空间
[ ]
,Cab，由
{ }
1,,,
n
tt " "张成的线性子空间记为
n
E,
n
E 是有限维的，从而是闭的,由定理 2，
[ ]
,x Cab?∈,x 到
n
E
的最佳逼近元存在,即至少存在一组实数
0
,,
n
aa " "，使得
()
001
n
n
x taat at=++ + " "满足
[]
( ) ( ) ( )
00
,
sup,
n
tab
x xxtxtdxE
∈
=? =,(2)
例 3 对于复空间
[ ]
2
,L π π?,若
n
E 是由
{ };
ikt
enkn? ≤≤ 张成的线性子空间，则
[ ]
2
,xL π π?∈?,存在复数
k
c,nkn? ≤≤使得
0
n
ikt
k
kn
x ce
=?
=
∑
满足
4
() () ()
1
2
2
00
2
1
,
2
n
x xxtxtdtdxE
π
π
π
=? =
∫
,(3)
思考题
1,证明一个线性赋范空间 X 中的某一点到线性子空间 E 的最佳逼近元的全体是 E 中的凸集,
2,即使是闭子空间,一点到它的最佳逼近元也未必存在,例如设
0
1
{() ;2 0},
n
nn
n
Exx c x
∞
=
== ∈ =
∑
则 E 在
0
c 中闭，但
0
(2,0,)x = "这一点关于 E 没有最佳逼近元,此例也说明定理 2 关于无穷维子空间不成立,
有了最佳逼近元的存在性和判别准则，自然会考虑到唯一性问题,
为此我们需要一个新的概念,
定义 2 线性赋范空间 X 称为是严格凸的，若,x yX? ∈,当
x y≠,1xy==时
1
2
xy+
＜,(4)
从几何上说,严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上，
严格凸是逼近论中的一个基本概念，我们先给出严格凸空间的例子,
例 4 空间
[ ]
,
p
L ab ()p ∞1＜ ＜ 是严格凸的,
若存在
[ ]
,,
p
f gLab∈,1
pp
fg= =,并且 1
2
p
fg+
=,即
5
ppp
f gfg+= +，由第一章第二讲例 1 知道 Minkowski 不等式中等号成立当且仅当
() ( )f tkgt=,aμ?,
e，其中 k 为非负常数，
由 1
pp
fg+=知 1k =,故 f g=,这说明当 f g≠ 时
2
p
fg+
＜1,
同样的，空间
p
l ()p ∞1＜ ＜ 是严格凸的,
Hilbert 空间是严格凸的，这可以由平行四边形公式直接得到,
例 5
1
l 不是严格凸的，实际上只需取
()
1,0,0,x = "，
( )
0,1,0,y = ",
则 x y≠,1xy==，但 2xy+ =,
l
∞
也不是严格凸的，实际上取
()
1,0,x = "，
( )
1,1,0,y =? ",
则 x y≠,1xy==,2xy+ =,
此外空间
[ ] [ ] [ ]
01
,,,,,,,cc L ab L ab Cab
∞
也不是严格凸的，读者可直接验证之,
定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价,
（ 1） X 是严格凸的,
（ 2） 对于 X 中任何凸子集 E 和 x X∈,x 关于 E 至多有一个最佳逼近元,
（ 3） 对于每个 f X
∈,闭单位球
X
S 上至多有一点
0
x 使得
()
0
f xf=,
证明 (1) (2)? 不妨设 x E?,若有
00
,x xE′∈ 同时使
()
00
,x xxxdxEM′?=?= =,则此时
6
()
000
111
222
x x x xx xx M′+?≤?+?≤,
但 E 是凸集，从而 ()
0
1
2
x xE+∈，故应有
()
0
1
2
x xxM+?≥，于是 ()
0
1
2
x xxM+?=,
记
0
x x
y
M
=,
0
x x
z
M
′?
=,则 1yz= =,但
()
0
11
1
22
yz
xxx
M
+
=?+=,
此与严格凸性矛盾,
(2) (3)? 若有两个不同点
00
,
X
x xS′∈ 使得
() ( )
00
f xfx f′==,
不妨设 1f =,考虑闭凸集
[ ] ( ){ }
00 0 0
,1;1xx z tx tx t′′==+? ≤≤
则 () ( )
()
00
11fz ftx tx′=+?=,01t≤ ≤,从而
( )1 f zfzz≤≤≤,
另一方面,
( )
00
11ztx tx′≤+? ≤,
故 1z =,这说明 0 点到
[ ]
00
,x x′ 有无穷多个最佳逼近元，与 (2)矛盾,
(3) (1)?,若 X 不是严格凸的，则有,,x yXxy∈ ≠ 使得
1
2
xy
xy
+
== =,由 Hahn－ Banach 定理，存在 f X
∈,1f =,
1
2
xy
f
+
=
，此时由于 ( ) 1fx≤,( ) 1fy≤,() ()
1
1
2
fx fy+ =,
故必有 () () 1fx fy==，从而对于任何 t,01t≤≤,
()()11ftx ty+? =，与 (3) 矛盾,
根据定理 2 与定理 3，例 3 中的最佳逼近元是唯一的,
7
作为严格凸性的另一个应用，我们考虑线性泛函延拓的唯一性问题,Hahn－ Banach 定理只解决了延拓的存在性，而一般来说，唯一性并不成立,
例 6 在
2
R 中定义范数
()
12 1 2
,x xxx=+，
2
12
(,)x xR?∈
则
(){ }
1
11
,0 ;GxxR=∈是
2
R 的线性子空间,( )
01 1
,0f xx= 是 G 上的线性泛函,由
() ( )
01 1 1
,0,0fx x x==,
容易知道
0
1f =,故
0
f 连续,
对于每个 Rβ∈,( )
12 1 2
,F xx x xβ=+ 都是
0
f 的延拓并且
() ( )( )
12 1 2 1 2
,ma,Fxx x x x xββ≤+ ≤ +
( ) ( )
12
max 1,,x xβ=,
于是当 1β ≤ 时,F 是保持范数的延拓，这种延拓的个数有不可数无穷多个,
这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件，而将其证明略去,
定理 7 设 X 是线性赋范空间，为了使 X 的每个线性子空间上的连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓,必须并且只须共轭空间 X
是严格凸的,
第 13 讲 Hahn-Banach 定理的应用
教学目的
理解延 拓定理的应用。
授课要点
通过介绍 Hahn-Banach 定 理在最佳逼近方面的应用帮助学生认识这一定理应用的途径和方式。
Hahn-Banach 定理在理论上和应用上都是十分重要的，它往往提供了某些学科或学科分支的理论基础,这里介绍一些它们在逼近论方面的应用,
定义 3 设 X 是线性赋范空间,E 是 X 的子集合,x X∈,称
yE∈ 是 x 关于 E 的最佳逼近元，若
inf
zE
x yxz
∈
=?,(1)
首先应该知道一般说来，最佳逼近元并不总是存在的,
例 1 设
[ ]
0,1EC?,E 是
[ ]
0,1 上定义的任意阶多项式全体构成的线性子空间，取
() [ ]0,1
t
xt e C=∈,尽管
( ),inf 0
zE
dxE x z
∈
=?=,
但不存在 yE∈ 使得 0xy?=，因为
t
e 不是多项式,这说明不存在
t
e
关于 E 的最佳逼近元,
定理 1 设 X 是线性赋范空间,E 是 X 的闭线性子空间，
0
x X∈,
则 yE∈ 是
0
x 关于 E 的最佳逼近元当且仅当存在 f X
∈ 使得 1f =,
2
()
0
0fx=,x E?∈ 并且 ( )
00
f xxy=?,
证 明 当
0
x E∈ 时，
0
x 是它自己关于 E 的最佳逼近元，此时容易证明结论成立,
现设
0
x E?,若 y 是
0
x 关于 E 的最佳逼近元，即
00
inf
zE
x yxzd
∈
=?=,
此时 0d＞,设
1
E =span{ }
0
,x E,令 ( )
01
f xad=,
10
x zax? =+,其中
zE∈,α∈Φ,则
0
f 是
1
E 上的线性泛函,并且 ( )
0
0fE=,()
00
f xd=,
由于
()
01 0
z
f xada x
a
=≤ +
01
zax x=+ =,
所以
0
1f ≤,ε? ＞0,取 zE∈ 使得
0
xzdε? +＜,则
( )
00
0
00
00
fx
xz d
ff
xz xz dε
≥=≥
+
,
于是
0
1f =,由 Hahn－ Banach 定理，存在 f X
∈ 使得在
1
E 上，
() ( )
0
f xfx=,特别地,( ) ( )
0
0fE f E= =,从而
() ( )
000 0
f xfxdxy===?,
反之，若 f X
∈ 满足定理中条件，对于任何 zE∈,
() ( )
0000
x y fx fxz xz?= =?≤?,
由于 yE∈,故
00
inf
zE
x yxz
∈
=?,
由定理前一部分的证明容易得出以下推论,
推论 1 设 X 是线性赋范空间,E 是 X 的线性子空间，
0
x X∈,
()
00
,inf 0
zE
dxE x z d
∈
=?=＞,则存在 f X
∈,使得 1f =,
3
()
0
f xd=,并且 () 0fx=,x E? ∈,
定理 1 实际上是最佳逼近元的判定定理,下面定理可以看成最佳逼近元的存在定理,
定理 2 设 X 是线性赋范空间,EX? 是有限维子空间，则对于每个 x X∈,x 关于 E 的最佳逼近元存在,
证 明 任取
0
yE∈,考虑集合
{ }
0;FzExzxy=∈?≤?,
容易验证 F 是 E 中的有界闭集，是 E 有限维的，从而是紧集并且
()()
,,dxF dxE=,取
n
zF∈ 使得
( )
,
n
x zdxF?→,此时存在子列
0
k
n
zzF→∈，于是
( ) ( )
0
lim,,
n
n
x zxzdxFdxE
→∞
=?= =,
0
z 即是 x 关于 E 的最佳逼近元,
例 2 对于实空间
[ ]
,Cab，由
{ }
1,,,
n
tt " "张成的线性子空间记为
n
E,
n
E 是有限维的，从而是闭的,由定理 2，
[ ]
,x Cab?∈,x 到
n
E
的最佳逼近元存在,即至少存在一组实数
0
,,
n
aa " "，使得
()
001
n
n
x taat at=++ + " "满足
[]
( ) ( ) ( )
00
,
sup,
n
tab
x xxtxtdxE
∈
=? =,(2)
例 3 对于复空间
[ ]
2
,L π π?,若
n
E 是由
{ };
ikt
enkn? ≤≤ 张成的线性子空间，则
[ ]
2
,xL π π?∈?,存在复数
k
c,nkn? ≤≤使得
0
n
ikt
k
kn
x ce
=?
=
∑
满足
4
() () ()
1
2
2
00
2
1
,
2
n
x xxtxtdtdxE
π
π
π
=? =
∫
,(3)
思考题
1,证明一个线性赋范空间 X 中的某一点到线性子空间 E 的最佳逼近元的全体是 E 中的凸集,
2,即使是闭子空间,一点到它的最佳逼近元也未必存在,例如设
0
1
{() ;2 0},
n
nn
n
Exx c x
∞
=
== ∈ =
∑
则 E 在
0
c 中闭，但
0
(2,0,)x = "这一点关于 E 没有最佳逼近元,此例也说明定理 2 关于无穷维子空间不成立,
有了最佳逼近元的存在性和判别准则，自然会考虑到唯一性问题,
为此我们需要一个新的概念,
定义 2 线性赋范空间 X 称为是严格凸的，若,x yX? ∈,当
x y≠,1xy==时
1
2
xy+
＜,(4)
从几何上说,严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上，
严格凸是逼近论中的一个基本概念，我们先给出严格凸空间的例子,
例 4 空间
[ ]
,
p
L ab ()p ∞1＜ ＜ 是严格凸的,
若存在
[ ]
,,
p
f gLab∈,1
pp
fg= =,并且 1
2
p
fg+
=,即
5
ppp
f gfg+= +，由第一章第二讲例 1 知道 Minkowski 不等式中等号成立当且仅当
() ( )f tkgt=,aμ?,
e，其中 k 为非负常数，
由 1
pp
fg+=知 1k =,故 f g=,这说明当 f g≠ 时
2
p
fg+
＜1,
同样的，空间
p
l ()p ∞1＜ ＜ 是严格凸的,
Hilbert 空间是严格凸的，这可以由平行四边形公式直接得到,
例 5
1
l 不是严格凸的，实际上只需取
()
1,0,0,x = "，
( )
0,1,0,y = ",
则 x y≠,1xy==，但 2xy+ =,
l
∞
也不是严格凸的，实际上取
()
1,0,x = "，
( )
1,1,0,y =? ",
则 x y≠,1xy==,2xy+ =,
此外空间
[ ] [ ] [ ]
01
,,,,,,,cc L ab L ab Cab
∞
也不是严格凸的，读者可直接验证之,
定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价,
（ 1） X 是严格凸的,
（ 2） 对于 X 中任何凸子集 E 和 x X∈,x 关于 E 至多有一个最佳逼近元,
（ 3） 对于每个 f X
∈,闭单位球
X
S 上至多有一点
0
x 使得
()
0
f xf=,
证明 (1) (2)? 不妨设 x E?,若有
00
,x xE′∈ 同时使
()
00
,x xxxdxEM′?=?= =,则此时
6
()
000
111
222
x x x xx xx M′+?≤?+?≤,
但 E 是凸集，从而 ()
0
1
2
x xE+∈，故应有
()
0
1
2
x xxM+?≥，于是 ()
0
1
2
x xxM+?=,
记
0
x x
y
M
=,
0
x x
z
M
′?
=,则 1yz= =,但
()
0
11
1
22
yz
xxx
M
+
=?+=,
此与严格凸性矛盾,
(2) (3)? 若有两个不同点
00
,
X
x xS′∈ 使得
() ( )
00
f xfx f′==,
不妨设 1f =,考虑闭凸集
[ ] ( ){ }
00 0 0
,1;1xx z tx tx t′′==+? ≤≤
则 () ( )
()
00
11fz ftx tx′=+?=,01t≤ ≤,从而
( )1 f zfzz≤≤≤,
另一方面,
( )
00
11ztx tx′≤+? ≤,
故 1z =,这说明 0 点到
[ ]
00
,x x′ 有无穷多个最佳逼近元，与 (2)矛盾,
(3) (1)?,若 X 不是严格凸的，则有,,x yXxy∈ ≠ 使得
1
2
xy
xy
+
== =,由 Hahn－ Banach 定理，存在 f X
∈,1f =,
1
2
xy
f
+
=
，此时由于 ( ) 1fx≤,( ) 1fy≤,() ()
1
1
2
fx fy+ =,
故必有 () () 1fx fy==，从而对于任何 t,01t≤≤,
()()11ftx ty+? =，与 (3) 矛盾,
根据定理 2 与定理 3，例 3 中的最佳逼近元是唯一的,
7
作为严格凸性的另一个应用，我们考虑线性泛函延拓的唯一性问题,Hahn－ Banach 定理只解决了延拓的存在性，而一般来说，唯一性并不成立,
例 6 在
2
R 中定义范数
()
12 1 2
,x xxx=+，
2
12
(,)x xR?∈
则
(){ }
1
11
,0 ;GxxR=∈是
2
R 的线性子空间,( )
01 1
,0f xx= 是 G 上的线性泛函,由
() ( )
01 1 1
,0,0fx x x==,
容易知道
0
1f =,故
0
f 连续,
对于每个 Rβ∈,( )
12 1 2
,F xx x xβ=+ 都是
0
f 的延拓并且
() ( )( )
12 1 2 1 2
,ma,Fxx x x x xββ≤+ ≤ +
( ) ( )
12
max 1,,x xβ=,
于是当 1β ≤ 时,F 是保持范数的延拓，这种延拓的个数有不可数无穷多个,
这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件，而将其证明略去,
定理 7 设 X 是线性赋范空间，为了使 X 的每个线性子空间上的连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓,必须并且只须共轭空间 X
是严格凸的,
