第 17 讲 共轭算子与紧算子
教学目的
掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。
授课要点
1 共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。
2 紧算子的属性及常见紧算子的例。
赋范空间有共轭空间，同样地有界算子有共轭算子,让我们先看下面定义,
定义 1 设,X Y 是线性赋范空间，,X Y
分别是 X 与 Y 的共轭空间,
T∈B(),X Y,若线性算子,TY X
→ 满足
()( )()
Ty x y Tx
=,x X
∈,yY
∈
则称 T
是 T 的共轭算子,
有时我们记
() ( ),f xxf=,则上式可以写成
()( )
,,Tx y x T y
=,
( )
1
定理 1 设,X Y 是线性赋范空间,T ∈B( ),XY,则
(1) T
存在并且惟一,
(2) TT
=,
证 明 1° 对于每个 *yY
∈,记
( ) ( )
,lx Txy
=,l是 X 上的线性泛函，并且
() (),lx Txy y Tx
=≤ yTx
≤,x X? ∈
所以
lyT
≤
,
()3
这说明 lX
∈,显然 l与 y
有关，记为 Ty
，则 T
是 YX
→ 的算子,由定义知道
( ) ( ) ( )
,,x Ty lx Txy
==,xX? ∈,yY
∈
直接验证可知 T
是线性算子,上式表明 T
是 T 的共轭算子,
若
1
T
也是 T 的共轭算子，则 xX?∈,yY
∈,
()( ) ( )
1
,,,,x Ty Txy xTy
==
由 x的任意性知
1
Ty Ty
=,由 y
的任意性知
1
TT
=,
2° 由 ()3 式,? yY
∈,
Ty l y T
=≤,
故 TT
≤,
xX?∈,若 0Tx ≠,则存在
0
yY
∈,
0
1y
=,
0
Ty Tx
=,于是
()
00
,,Tx x T y T y x
=≤
若 0Tx =,此式自然成立,故
0
1
sup,
y
TTy Ty T
≤
≤≤ =
总之,TT
=,
由 2°还可以知道，若令 *( ) *TTσ =,则 ( )TTTσ
==,例行的验证表明 σ 是线性映射，所以 σ 是从 B(),XY 到 B
( )
,YX
的子空间上的等距同构,
例 1 设,
nm
T Φ→Φ是有界线性算子，
1
,,
n
eenull 是
n
Φ 的一组基，
1
,,
m
μ μnull 是
m
Φ 的一组基,T 在基底
1
,,
n
eenull 与
1
,,
m
μ μnull 之下对应的矩阵为
( )
ij
a,即
1
m
iik
k
Te a μ
=
=
∑
,( )1,,in= null,（2）
令
k
Y =span
111
{,,,,,}
kk n
eee e
+
nullnull,则
k
Y 是闭子空间，
kk
eY?,由 Hahn－ Banach 定理，
存在
( )
n
k
e
∈Φ,( )( ),0
kk kk
ee deY
=≠,必要时乘上一个不为 0 的常数,可设
()
1
kk
ee
=,
对于其余的
i
e,( ) 0
ki
ee
=,即
1
,,
n
ee
null 满足
()
1,,
0,.
ki ki
ki
ee
ki
δ
=
==
≠
称
1
,,
n
ee
null 是
( )
n
Φ 的关于
1
,,
n
eenull 的对偶基,类似地，设
**
1
,,
m
μ μnull 是
()
m
Φ 的关于
1
,,
m
μ μnull 的对偶基,
现在若
() ()
:
mn
T
Φ→Φ是 T 的共轭算子,T
与
( )
ij
b 对应，即
1
n
jjk
k
Tbeμ
=
=
∑
,( )1,,j m= null
则根据共轭算子的定义，应有
()( )
,,*
ij i j
Te e Tμ μ
=,( )1,1in jm≤≤ ≤≤
实际验算可知
()
1
,,
m
i j is s j ij
s
Te a aμμμ
=
==
∑
,
()
1
,,
n
ij ijk ji
k
eT e be bμ
=
= =
∑
,
所以
jiij
ba=,
即
( )
ij
b 是
()
ij
a 的转置矩阵,换句话说，一旦对偶基确定之后，从有限维空间到有限维空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵,在线性代数中我们知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用,现在我们希望知道对于更一般的有界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性,
定理 2 (1) 若,,X YZ为线性赋范空间,A∈B( ),YZ,B∈B(),XY,则
()ABBA
=,
(2) 设
X
I 与
X
I
分别为 X 与 X
中的单位算子，则
()
X
X
I I
=,
证明 1° 容易知道,AB∈B( ),YZ，故
()AB
存在,? xX∈,zZ
∈,
() ( ) ( ),,,x AB z ABx z Bx A z
==
( )
,x BAz
=,
故
()ABBA
=,
2°? xX∈,x X
∈,
() ( ) ( ) ( ),,,,
XX
X
x IxIxxxxxIx
===,
故
()
X
X
I I
=,
若,TY X
→ 是,TX Y→ 的共轭算子，记,TX Y
→ 是 T
的共轭算子。
定理 3 设,X Y 是线性赋范空间,A∈B( ),XY,则 A A
=,A
是 A的保持范数不变的延拓,
证明 由定理 1 知 A AA
==．比较,AX Y→ 与,A XY
→,由于
X X
,即
() ()DX DX
,对于 xX∈,仍用 x代表 ( )x Jx X
=∈，则
()( )( )
,,,A xy Ax y x Ay
==
()( )
,,x Ay Axy
==,yY
∈
故 A xAx
=,于是 A
是 A的保范延拓,
下面让我们考察一类重要的算子 ——紧算子,它在积分方程论及数学物理等学科中具有重要应用,
定义 2 设,X Y 是线性赋范空间,:TX Y→ 是线性算子,
(1) 称 T 是紧的，若 T 将 X 中的每个有界集映射为 Y 中的相对紧集,
(2) 称 T 是有限秩算子，若 ( )dimTX ∞＜,
容易知道,:TX Y→ 是紧算子当且仅当 T 把单位球
X
S 映射为 Y 中的相对紧集,
命 题
(1) 紧算子是有界算子,
(2) 有限秩有界算子是紧的,从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的,
(3) 设,,X YZ是线性赋范空间,A∈B( ),YZ,B∈B( ),XY,若,A B中有一个是紧的，则 AB 是紧算子,
证 明 1° 相对紧集是有界集，故得 (1),
2° 对于 X 中的任一有界集 E,( )TE是有界集，但 Y 是有限维空间的子集，故 ()TE
相对紧,(2)成立,
3° 设
X
S 是 X 的单位球，若 A是紧的，首先 ( )
X
BS 是 Y 中的有界集，然后 ()
X
ABS
是 Z 中的相对紧集，于是 AB 是紧的,若 B 是紧算子，首先 ( )
X
BS 是 Y 中的相对紧集，由于 A连续,A将 ( )
X
BS 中的收敛序列映射为
( )
X
ABS 中的收敛序列，故 AB 是紧的,
从 X 到 Y 中的紧算子的全体记为 ( ),CXY,
定理 4
(1) 若 ()
12
,,TT CXY∈,则
( )
12 1
,,TT TCXYα+∈,
( )α∈Φ,
(2) 若 Y 为 Banach 空间,( ),
n
TCXY∈ 并且 0
n
TT? →,则
(),TCXY∈,
(3) 若 Y 为 Banach 空间，则 ( ),CXY为 Banach 空间。
证 明 1°设
X
S 为 X 的单位球,( )
1 X
TS 是 Y 中的相对紧集，对于其中任一无穷序列
()
1 nn X
Tx x S∈,有子序列
11
k
n
Tx y Y→∈，又 ( )
2 X
TS 为 Y 中相对紧集，对于序列
()
2
k
n
Tx,
有子列
2' 2
k
n
Tx y Y→∈，从而 ()
12 1 2
k
n
TTx y y
′
+ →+，故
( )( )
12 X
TTS+ 是相对紧的，
()
12
,TT CXY+∈,
至于 ()
1
,TCXYα ∈ 可类似证之,
2°显然
1
sup
n
n
TM
≥
=∞＜,由 Banach－ Steinhaus 定理,TM≤,ε? ＞0,取
0
n 使得当
0
nn≥ 时，
n
TT
ε
＜
3
,
()
nX
TS 是相对紧集，从而是完全有界集，设
1
,,
k
yynull 是 ( )
nX
TS 的
ε
3
网，则有
1
,,
kX
x xS∈null,
ini
yTx= ()1,,ik= null,我们证明
1
,,
k
Tx Txnull 是 ( )
X
TS 的 ε 网,
实际上，
X
x S?∈,取
i
y 使得
ni nni
Tx y Tx Tx
ε
=? ＜
3
,
则
iinininn
Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx?≤? +? +?
ni n
TTx T Tx
ε
≤? ++?
3
ε＜,
Y 是完备的,()
X
TS 是完全有界集从而是相对紧集，即 ( ),TCXY∈,
3° 当 Y 是 Banach 空间时,B( ),XY 是 Banach 空间,由２°知,( ),CXY是 B(),XY
的闭线性子空间，故 (),CXY本身是 Banach 空间,
定理 5 设,X Y 是线性赋范空间,( ),TCXY∈,则
( )
,TCXY
∈,
证 明 设
X
S 是 X 的单位球，
Y
S
是 Y
的单位球，我们要证明
( )
Y
TS
是 X
中的相对紧集。由于 X
是 Banach 空间，只须证明
( )
Y
TS
是完全有界集,
ε? ＞0,()
X
TS 完全有界,故存在
1
,,
nX
x xS∈null 使得
ii
yTx= ( )1,,in= null 是 ()
X
TS
的
ε
4
网，即
X
x S?∈,
k
x? 使得
kk
Tx y Tx Tx
ε
=?＜
4
,()4
定义
:
n
Yσ
→Φ,
() ( ) ( )( )
1
,,
n
yyy yyσ
= null,yY
∈
则 σ 是有界的有限秩算子,从而是紧算子，
( )
Y
Sσ
完全有界,不妨设
( )()
1
,,
m
yyσσ
null 是
()
Y
Sσ
的
ε
4
网，于是
Y
yS
∈,存在
j
y
使得
2
1
2
1
(*) ( *) ( *( ) *( )),
4
n
jkjk
k
yy yyyy
ε
σσ
=
=? <
∑
从而
*( ) *( ),( 1,,)
4
kjk
yy y y k n
ε
<=null （ 4）
于是当 *(*)ySY∈ 时，由（ 3）,（ 4）,
*( ) * ( ) *( ) *( ) *( ) *( )
jkkjk
yTx y Tx yTx yy yy y y?≤?+?
+ *( ) *( )
jk j
yyyTx?,
故
** * *
j
Ty Ty?=sup
1
(,* * * *)
jx
x Ty Ty
≤
= sup
1
(,* *)
jx
Tx y y
≤
3
.
4
ε
ε≤ <
()
Y
TS
是完全有界的，所以 *T 紧,
定理 6 设,TX Y→ 是紧算子，则当,
n
x xX∈,
w
n
x x → 时，
n
Tx Tx→,
证明 1° 为简单起见，设有 0
w
n
x → 但
n
Tx 不收敛于 0，此时
0
ε? ＞0 和子序列
{ }
k
n
Tx,
0
k
n
Tx ε≥,但 { }
n
x 是有界集，
{ }
k
n
x 也是有界集，从而
{ }
k
n
Tx 是相对紧集,不妨设其子列
0
k
n
Tx y Y
′
→∈，于是
00
.y ε≥ 另一方面，由于 0
k
w
n
x
′
→,yY
∈,
()
( )
( )
( )0
lim,lim,0
kk
kk
nn
nn
yy Tx y xTy
′′
′′
→∞ →∞
== =,
由 Hahn－ Banach 定理，
0
0y =,矛盾,
让我们给出一些紧算子的例,
例 2 观察第一型 Fredholm 积分算子
[ ] [ ]
:,,TCab Cab→,
() ( )(),
b
a
Tx s K s t x t dt=
∫
,[ ],x Cab?∈
其中 (),Kst是,atsb≤≤上的连续函数,
在第二章第 9 讲我们已经知道,T 是有界线性算子，现在证明 T 还是紧算子,
设 E 是
[ ]
,Cab中的有界集，不妨设 x M≤,xE? ∈,则
() () () ()()
12 1 2
,,
b
a
Tx s Tx s K s t K s t x t dt?=
∫
() ()()
12
,,
b
a
Kst Kst xtdt≤?
∫
()
,Kst是连续函数，于是 ε? ＞0,δ? ＞0,当
12
ss δ? ＜ 时
() ()
()
12
,,Kst Kst
M ba
ε
＜,
此时
() ( )
12
Tx s Tx s ε? ＜,
这说明 ()TE是等度连续的函数族,
另一方面，由于 T 是有界线性算子,( )TE是有界集，由 Arzela－ Ascoli 定理,()TE是
[ ]
,Cab中的相对紧集,T 是紧算子,
例 3 仍设 (),Kst是,atsb≤≤上的连续函数,01a＜＜,考虑算子
()()
( ) ( ),
b
a
a
Kstxt
Tx s dt
st
=
∫
,[ ],x Cab?∈ ()6
我们证明 T 仍是紧算子,
为此考虑函数
()
()
()
,,,
,,0
0,,
n
Kst s t
n
Kst nstKst st
n
st
β
β
=≤
=?
1
＞
1
＜,
和算子
()()
( ) ( ),
b
n
n a
a
Kstxt
Tx s dt
st
=
∫
，
[ ]
,x Cab?∈
这里 1α β＜＜,容易验证积分核
( ),
n
a
Kst
st?
是,atsb≤ ≤ 上的连续函数，上例说明
n
T 是紧算子，但由
() ()( ) ( ) ( )
1
,,,b
n
aa
a st
n
Kst Kstxt Kstxt
dt dt
st st
≤
≤
∫∫
()
1
0
a
n
d
n
θ
θ
θ
≤
≤ →→∞
∫
知道 0
n
TT?→，定理 4(2)保证了 T 是紧算子,
例 4 第二型 Fredholm 积分算子也是紧算子,实际上对于核函数 ( ),Kst，,atsb≤≤，
存在一列二元简单函数 (),
n
Kst，使得
() ()
2
,,0
bb
n
aa
K s t K s t dtds? →
∫∫
,
而以 (),
n
Kst为核的同样的算子
() ( ) (),
b
nn
a
Txt K st x sdt=
∫
,[ ]
2
,x Lab?∈,
是有界的有限秩算子，上述极限表明 0
n
TT? →,
例 5 (无穷矩阵算子 ) 设有无穷矩阵
( )
ij
a,1,ij≤ ∞＜,满足
2
11
ij
ij
a
∞∞
==
∞
∑∑
＜,
定义算子
22
:Tl l→ 使得 ()
12
,,xxx= null,
( )
12
,,yTx yy== null 时，
1
iij
j
yax
∞
=
=
∑
( )1,2,i = null,
这一表达式写成矩阵的形式即
11
22
33
ij ij ij
ij ij ij
ij ij ij
aaa
yx
aaa
aaa
=
null
null
null
nullnull
nullnullnull
,
注意此时若 0,,0,1,0,
n
n
e
=
nullnull
nullnullnullnullnull
,则
( )
,
ij ij
Te e a=,,1ij≥,这里 (),ii 是
2
l 的内积,
T 的有界性容易由 Holｄ er 不等式得出，并且可以算出
1
2
2
11
ij
ij
Ta
∞∞
==
=
∑∑
,
现在设
22
:
n
Tl l→ 是无穷矩阵，它的 n阶主子阵与上述矩阵的相同，其余元素都是 0，
则
n
T 是有界的有限秩算子并且
1
2
22
11 11
0
nn
nijij
ij ij
TT a a
∞∞
== ==
=? →
∑∑ ∑∑
().n→∞
所以 T 也是紧算子,
思考题
1,证明若 dim X =∞,则单位算子,I XX→ 不可能是紧的,
2,证明若 dim X =∞,:TX X→ 是到上的,则 T 不可能是紧的,
教学目的
掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。
授课要点
1 共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。
2 紧算子的属性及常见紧算子的例。
赋范空间有共轭空间，同样地有界算子有共轭算子,让我们先看下面定义,
定义 1 设,X Y 是线性赋范空间，,X Y
分别是 X 与 Y 的共轭空间,
T∈B(),X Y,若线性算子,TY X
→ 满足
()( )()
Ty x y Tx
=,x X
∈,yY
∈
则称 T
是 T 的共轭算子,
有时我们记
() ( ),f xxf=,则上式可以写成
()( )
,,Tx y x T y
=,
( )
1
定理 1 设,X Y 是线性赋范空间,T ∈B( ),XY,则
(1) T
存在并且惟一,
(2) TT
=,
证 明 1° 对于每个 *yY
∈,记
( ) ( )
,lx Txy
=,l是 X 上的线性泛函，并且
() (),lx Txy y Tx
=≤ yTx
≤,x X? ∈
所以
lyT
≤
,
()3
这说明 lX
∈,显然 l与 y
有关，记为 Ty
，则 T
是 YX
→ 的算子,由定义知道
( ) ( ) ( )
,,x Ty lx Txy
==,xX? ∈,yY
∈
直接验证可知 T
是线性算子,上式表明 T
是 T 的共轭算子,
若
1
T
也是 T 的共轭算子，则 xX?∈,yY
∈,
()( ) ( )
1
,,,,x Ty Txy xTy
==
由 x的任意性知
1
Ty Ty
=,由 y
的任意性知
1
TT
=,
2° 由 ()3 式,? yY
∈,
Ty l y T
=≤,
故 TT
≤,
xX?∈,若 0Tx ≠,则存在
0
yY
∈,
0
1y
=,
0
Ty Tx
=,于是
()
00
,,Tx x T y T y x
=≤
若 0Tx =,此式自然成立,故
0
1
sup,
y
TTy Ty T
≤
≤≤ =
总之,TT
=,
由 2°还可以知道，若令 *( ) *TTσ =,则 ( )TTTσ
==,例行的验证表明 σ 是线性映射，所以 σ 是从 B(),XY 到 B
( )
,YX
的子空间上的等距同构,
例 1 设,
nm
T Φ→Φ是有界线性算子，
1
,,
n
eenull 是
n
Φ 的一组基，
1
,,
m
μ μnull 是
m
Φ 的一组基,T 在基底
1
,,
n
eenull 与
1
,,
m
μ μnull 之下对应的矩阵为
( )
ij
a,即
1
m
iik
k
Te a μ
=
=
∑
,( )1,,in= null,（2）
令
k
Y =span
111
{,,,,,}
kk n
eee e
+
nullnull,则
k
Y 是闭子空间，
kk
eY?,由 Hahn－ Banach 定理，
存在
( )
n
k
e
∈Φ,( )( ),0
kk kk
ee deY
=≠,必要时乘上一个不为 0 的常数,可设
()
1
kk
ee
=,
对于其余的
i
e,( ) 0
ki
ee
=,即
1
,,
n
ee
null 满足
()
1,,
0,.
ki ki
ki
ee
ki
δ
=
==
≠
称
1
,,
n
ee
null 是
( )
n
Φ 的关于
1
,,
n
eenull 的对偶基,类似地，设
**
1
,,
m
μ μnull 是
()
m
Φ 的关于
1
,,
m
μ μnull 的对偶基,
现在若
() ()
:
mn
T
Φ→Φ是 T 的共轭算子,T
与
( )
ij
b 对应，即
1
n
jjk
k
Tbeμ
=
=
∑
,( )1,,j m= null
则根据共轭算子的定义，应有
()( )
,,*
ij i j
Te e Tμ μ
=,( )1,1in jm≤≤ ≤≤
实际验算可知
()
1
,,
m
i j is s j ij
s
Te a aμμμ
=
==
∑
,
()
1
,,
n
ij ijk ji
k
eT e be bμ
=
= =
∑
,
所以
jiij
ba=,
即
( )
ij
b 是
()
ij
a 的转置矩阵,换句话说，一旦对偶基确定之后，从有限维空间到有限维空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵,在线性代数中我们知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用,现在我们希望知道对于更一般的有界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性,
定理 2 (1) 若,,X YZ为线性赋范空间,A∈B( ),YZ,B∈B(),XY,则
()ABBA
=,
(2) 设
X
I 与
X
I
分别为 X 与 X
中的单位算子，则
()
X
X
I I
=,
证明 1° 容易知道,AB∈B( ),YZ，故
()AB
存在,? xX∈,zZ
∈,
() ( ) ( ),,,x AB z ABx z Bx A z
==
( )
,x BAz
=,
故
()ABBA
=,
2°? xX∈,x X
∈,
() ( ) ( ) ( ),,,,
XX
X
x IxIxxxxxIx
===,
故
()
X
X
I I
=,
若,TY X
→ 是,TX Y→ 的共轭算子，记,TX Y
→ 是 T
的共轭算子。
定理 3 设,X Y 是线性赋范空间,A∈B( ),XY,则 A A
=,A
是 A的保持范数不变的延拓,
证明 由定理 1 知 A AA
==．比较,AX Y→ 与,A XY
→,由于
X X
,即
() ()DX DX
,对于 xX∈,仍用 x代表 ( )x Jx X
=∈，则
()( )( )
,,,A xy Ax y x Ay
==
()( )
,,x Ay Axy
==,yY
∈
故 A xAx
=,于是 A
是 A的保范延拓,
下面让我们考察一类重要的算子 ——紧算子,它在积分方程论及数学物理等学科中具有重要应用,
定义 2 设,X Y 是线性赋范空间,:TX Y→ 是线性算子,
(1) 称 T 是紧的，若 T 将 X 中的每个有界集映射为 Y 中的相对紧集,
(2) 称 T 是有限秩算子，若 ( )dimTX ∞＜,
容易知道,:TX Y→ 是紧算子当且仅当 T 把单位球
X
S 映射为 Y 中的相对紧集,
命 题
(1) 紧算子是有界算子,
(2) 有限秩有界算子是紧的,从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的,
(3) 设,,X YZ是线性赋范空间,A∈B( ),YZ,B∈B( ),XY,若,A B中有一个是紧的，则 AB 是紧算子,
证 明 1° 相对紧集是有界集，故得 (1),
2° 对于 X 中的任一有界集 E,( )TE是有界集，但 Y 是有限维空间的子集，故 ()TE
相对紧,(2)成立,
3° 设
X
S 是 X 的单位球，若 A是紧的，首先 ( )
X
BS 是 Y 中的有界集，然后 ()
X
ABS
是 Z 中的相对紧集，于是 AB 是紧的,若 B 是紧算子，首先 ( )
X
BS 是 Y 中的相对紧集，由于 A连续,A将 ( )
X
BS 中的收敛序列映射为
( )
X
ABS 中的收敛序列，故 AB 是紧的,
从 X 到 Y 中的紧算子的全体记为 ( ),CXY,
定理 4
(1) 若 ()
12
,,TT CXY∈,则
( )
12 1
,,TT TCXYα+∈,
( )α∈Φ,
(2) 若 Y 为 Banach 空间,( ),
n
TCXY∈ 并且 0
n
TT? →,则
(),TCXY∈,
(3) 若 Y 为 Banach 空间，则 ( ),CXY为 Banach 空间。
证 明 1°设
X
S 为 X 的单位球,( )
1 X
TS 是 Y 中的相对紧集，对于其中任一无穷序列
()
1 nn X
Tx x S∈,有子序列
11
k
n
Tx y Y→∈，又 ( )
2 X
TS 为 Y 中相对紧集，对于序列
()
2
k
n
Tx,
有子列
2' 2
k
n
Tx y Y→∈，从而 ()
12 1 2
k
n
TTx y y
′
+ →+，故
( )( )
12 X
TTS+ 是相对紧的，
()
12
,TT CXY+∈,
至于 ()
1
,TCXYα ∈ 可类似证之,
2°显然
1
sup
n
n
TM
≥
=∞＜,由 Banach－ Steinhaus 定理,TM≤,ε? ＞0,取
0
n 使得当
0
nn≥ 时，
n
TT
ε
＜
3
,
()
nX
TS 是相对紧集，从而是完全有界集，设
1
,,
k
yynull 是 ( )
nX
TS 的
ε
3
网，则有
1
,,
kX
x xS∈null,
ini
yTx= ()1,,ik= null,我们证明
1
,,
k
Tx Txnull 是 ( )
X
TS 的 ε 网,
实际上，
X
x S?∈,取
i
y 使得
ni nni
Tx y Tx Tx
ε
=? ＜
3
,
则
iinininn
Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx Tx?≤? +? +?
ni n
TTx T Tx
ε
≤? ++?
3
ε＜,
Y 是完备的,()
X
TS 是完全有界集从而是相对紧集，即 ( ),TCXY∈,
3° 当 Y 是 Banach 空间时,B( ),XY 是 Banach 空间,由２°知,( ),CXY是 B(),XY
的闭线性子空间，故 (),CXY本身是 Banach 空间,
定理 5 设,X Y 是线性赋范空间,( ),TCXY∈,则
( )
,TCXY
∈,
证 明 设
X
S 是 X 的单位球，
Y
S
是 Y
的单位球，我们要证明
( )
Y
TS
是 X
中的相对紧集。由于 X
是 Banach 空间，只须证明
( )
Y
TS
是完全有界集,
ε? ＞0,()
X
TS 完全有界,故存在
1
,,
nX
x xS∈null 使得
ii
yTx= ( )1,,in= null 是 ()
X
TS
的
ε
4
网，即
X
x S?∈,
k
x? 使得
kk
Tx y Tx Tx
ε
=?＜
4
,()4
定义
:
n
Yσ
→Φ,
() ( ) ( )( )
1
,,
n
yyy yyσ
= null,yY
∈
则 σ 是有界的有限秩算子,从而是紧算子，
( )
Y
Sσ
完全有界,不妨设
( )()
1
,,
m
yyσσ
null 是
()
Y
Sσ
的
ε
4
网，于是
Y
yS
∈,存在
j
y
使得
2
1
2
1
(*) ( *) ( *( ) *( )),
4
n
jkjk
k
yy yyyy
ε
σσ
=
=? <
∑
从而
*( ) *( ),( 1,,)
4
kjk
yy y y k n
ε
<=null （ 4）
于是当 *(*)ySY∈ 时，由（ 3）,（ 4）,
*( ) * ( ) *( ) *( ) *( ) *( )
jkkjk
yTx y Tx yTx yy yy y y?≤?+?
+ *( ) *( )
jk j
yyyTx?,
故
** * *
j
Ty Ty?=sup
1
(,* * * *)
jx
x Ty Ty
≤
= sup
1
(,* *)
jx
Tx y y
≤
3
.
4
ε
ε≤ <
()
Y
TS
是完全有界的，所以 *T 紧,
定理 6 设,TX Y→ 是紧算子，则当,
n
x xX∈,
w
n
x x → 时，
n
Tx Tx→,
证明 1° 为简单起见，设有 0
w
n
x → 但
n
Tx 不收敛于 0，此时
0
ε? ＞0 和子序列
{ }
k
n
Tx,
0
k
n
Tx ε≥,但 { }
n
x 是有界集，
{ }
k
n
x 也是有界集，从而
{ }
k
n
Tx 是相对紧集,不妨设其子列
0
k
n
Tx y Y
′
→∈，于是
00
.y ε≥ 另一方面，由于 0
k
w
n
x
′
→,yY
∈,
()
( )
( )
( )0
lim,lim,0
kk
kk
nn
nn
yy Tx y xTy
′′
′′
→∞ →∞
== =,
由 Hahn－ Banach 定理，
0
0y =,矛盾,
让我们给出一些紧算子的例,
例 2 观察第一型 Fredholm 积分算子
[ ] [ ]
:,,TCab Cab→,
() ( )(),
b
a
Tx s K s t x t dt=
∫
,[ ],x Cab?∈
其中 (),Kst是,atsb≤≤上的连续函数,
在第二章第 9 讲我们已经知道,T 是有界线性算子，现在证明 T 还是紧算子,
设 E 是
[ ]
,Cab中的有界集，不妨设 x M≤,xE? ∈,则
() () () ()()
12 1 2
,,
b
a
Tx s Tx s K s t K s t x t dt?=
∫
() ()()
12
,,
b
a
Kst Kst xtdt≤?
∫
()
,Kst是连续函数，于是 ε? ＞0,δ? ＞0,当
12
ss δ? ＜ 时
() ()
()
12
,,Kst Kst
M ba
ε
＜,
此时
() ( )
12
Tx s Tx s ε? ＜,
这说明 ()TE是等度连续的函数族,
另一方面，由于 T 是有界线性算子,( )TE是有界集，由 Arzela－ Ascoli 定理,()TE是
[ ]
,Cab中的相对紧集,T 是紧算子,
例 3 仍设 (),Kst是,atsb≤≤上的连续函数,01a＜＜,考虑算子
()()
( ) ( ),
b
a
a
Kstxt
Tx s dt
st
=
∫
,[ ],x Cab?∈ ()6
我们证明 T 仍是紧算子,
为此考虑函数
()
()
()
,,,
,,0
0,,
n
Kst s t
n
Kst nstKst st
n
st
β
β
=≤
=?
1
＞
1
＜,
和算子
()()
( ) ( ),
b
n
n a
a
Kstxt
Tx s dt
st
=
∫
，
[ ]
,x Cab?∈
这里 1α β＜＜,容易验证积分核
( ),
n
a
Kst
st?
是,atsb≤ ≤ 上的连续函数，上例说明
n
T 是紧算子，但由
() ()( ) ( ) ( )
1
,,,b
n
aa
a st
n
Kst Kstxt Kstxt
dt dt
st st
≤
≤
∫∫
()
1
0
a
n
d
n
θ
θ
θ
≤
≤ →→∞
∫
知道 0
n
TT?→，定理 4(2)保证了 T 是紧算子,
例 4 第二型 Fredholm 积分算子也是紧算子,实际上对于核函数 ( ),Kst，,atsb≤≤，
存在一列二元简单函数 (),
n
Kst，使得
() ()
2
,,0
bb
n
aa
K s t K s t dtds? →
∫∫
,
而以 (),
n
Kst为核的同样的算子
() ( ) (),
b
nn
a
Txt K st x sdt=
∫
,[ ]
2
,x Lab?∈,
是有界的有限秩算子，上述极限表明 0
n
TT? →,
例 5 (无穷矩阵算子 ) 设有无穷矩阵
( )
ij
a,1,ij≤ ∞＜,满足
2
11
ij
ij
a
∞∞
==
∞
∑∑
＜,
定义算子
22
:Tl l→ 使得 ()
12
,,xxx= null,
( )
12
,,yTx yy== null 时，
1
iij
j
yax
∞
=
=
∑
( )1,2,i = null,
这一表达式写成矩阵的形式即
11
22
33
ij ij ij
ij ij ij
ij ij ij
aaa
yx
aaa
aaa
=
null
null
null
nullnull
nullnullnull
,
注意此时若 0,,0,1,0,
n
n
e
=
nullnull
nullnullnullnullnull
,则
( )
,
ij ij
Te e a=,,1ij≥,这里 (),ii 是
2
l 的内积,
T 的有界性容易由 Holｄ er 不等式得出，并且可以算出
1
2
2
11
ij
ij
Ta
∞∞
==
=
∑∑
,
现在设
22
:
n
Tl l→ 是无穷矩阵，它的 n阶主子阵与上述矩阵的相同，其余元素都是 0，
则
n
T 是有界的有限秩算子并且
1
2
22
11 11
0
nn
nijij
ij ij
TT a a
∞∞
== ==
=? →
∑∑ ∑∑
().n→∞
所以 T 也是紧算子,
思考题
1,证明若 dim X =∞,则单位算子,I XX→ 不可能是紧的,
2,证明若 dim X =∞,:TX X→ 是到上的,则 T 不可能是紧的,
