第一章 线性赋范空间
本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识,
正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构．本章将首先介绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用,
第 1 讲 线性空间
教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。
讲解要点,
1 了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。
2 掌握线性无关与基底的概念，弄清这 一概念与线性代数中有限维空间相应概念的联系与区别。
3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。
我们以 Φ 代表标量域，即实数域 R 或复数域 C,
定义 1 设 X 是某个集合，其中规定了两种运算（,加法”与“数乘” ）,使得
（Ⅰ） X 关于加法构成交换群．即 Xyx ∈?,，存在 Xu∈,称 u 为 x 与 y 之和：
yxu +=,满足
（ 1） xyyx +=+,
（ 2） )()( zyxzyx ++=++,
（ 3） 存在 X∈0 使得任意的 Xx∈,xx =+0,
（ 4） 对于每个 Xx∈,存在 Xx ∈′ 使得 0=′+ xx,记 xx?=′,称 x′是 x的负元,
（Ⅱ） 数乘运算可行,即 Xx∈?,Φα∈,存在 Xv∈,称 v 为 α 与 x的积,xv α=,满足 Φβα ∈,,Xyx ∈,,
（ 1） xx=1,
（ 2） xx )()( αββα =,
（ 3） yxyx ααα +=+ )(,
xxx βαβα +=+ )(,
则 X 称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量,
当 R=Φ 时，称 X 是实线性空间,
当 C=Φ 时，称 X 为复线性空间,
线性空间的子集合 E,若对于同样的标量域构成线性空间，则称 E 是 X 的线性子空间．显然 E 是 X 的线性子空间当且仅当 Eyx ∈?,,Φβα ∈,则 Eyx ∈+βα,
我们采用以下记号：当 Xx∈,XEE?
21
,,Φα∈ 时，记
}:{
1111
ExxxEx ∈+=+,
}:{
1111
ExaxaE ∈=,
},:{
22112121
ExExxxEE ∈∈+=+,
称 Eα 是 E 的倍集，称
21
EE + 是
1
E,
2
E 的（线性）和集,
注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开来,就运算性质来说,一般地,当 XE? 时,EEE +?2,其中的包含关系可能是严格的,此外，对于 XE,E? 有明确的意义；若?≠E,则?≠? EE 等等,
线性空间 X 中的元素
n
xx,,
1
null 称为是线性无关的，若 Φ∈?
n
aa,,
1
null,当
0
11
=++
nn
xaxa null
时 0
1
===
n
aa null,X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无关,不是线性无关的集合称为是线性相关的,若 E 线性无关并且 XE =span,则称 E 是 X 的基底—— Hamel 基．此时若 E 仅由有限个元素
n
xx,,
1
null 组成，则称 X 是 n 维空间，记为
nX =dim,若 E 由无穷多个元素构成，称 X 为无穷维的，记为 ∞=Xdim,当 }0{=X 时，
记 0dim =X,
例 1 n维空间
n
Φ,
X 中的每个元是一个 n数组 ),,(
1 n
xxx null=,Φ∈?
i
x,ni ≤≤1,定义
),,(),,(),,(
1111 nnnn
yxyxyyxx ++=+ nullnullnull,
),,(),,(
11 nn
axaxxxa nullnull =,)( Φ∈a,
这些 n数组构成线性空间，其维数为 n．即 nX =dim,
例 2 无穷序列空间
∞
Φ,
X 中的每个元都是一个无穷序列 ),,(
21
nullxxx =,Φ∈
n
x,定义
),,(),,(),,(
22112121
nullnullnull yxyxyyxx ++=+,
),,(),,(
2121
nullnull axaxxxa =,)( Φ∈a,
则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即 ∞=Xdim,
例 3 函数空间,
设? 为任一点集,X 是在? 上定义的函数全体，规定 )(tff =,)(tgg = 时,
)()())(( tgtftgf +=+,
)())(( taftaf =,)( Φ∈a,
容易验证 X 是线性空间,
今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。
注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n数组。这一点很重要，例如在线性代数中有一个结论：任何 1+n 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。
利用 Zorn 引理可以证明,任一线性空间必存在极大线性无关集合,这一集合即是 X 的
Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基,
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集,X 的子集 E 称为是凸的，若 Eyx ∈?,，
10 ≤≤ r,Eyrrx ∈?+ )1(,对于任一集合 XE?,记
11
co,,0,1,1,2,
nn
ii i i i
ErxxEr rn
==
=∈≥==
∑∑
null,
称 Eco 是 E 的凸壳．其中形如
∑
=
n
i
ii
xr
1
的元素称为
n
xx,,
1
null 的凸组合．记
=∈∈=
∑
=
null,2,1,,:span
1
naExxaE
ii
n
i
ii
Φ,
称 Espan 是由 E 张成的子空间，其中形如
∑
=
n
i
ii
xa
1
的元素称为
n
xx,,
1
null 的线性组合,
凸集,Eco 和 Espan 都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解。
命题 1
（ 1） Eco 是 X 中的凸集，它是 X 中包含 E 的所有凸集的交集,
（ 2） Espan 是 X 的线性子空间，它是 X 中包含 E 的所有线性子空间的交集,
证明 这里仅证（ 1）,（ 2）的证明更简单,
1° Eco 是凸集．实际上 Eyx,co∈?,不妨设
∑
=
=
n
i
ii
xrx
1
，
∑
=
=
m
j
jj
ysy
1
,
其中 Eyx
ji
∈,,0≥
i
r,0≥
j
s,1
1
=
∑
=
n
i
i
r,1
1
=
∑
=
m
j
j
s,对于任意的 r,10 ≤≤ r,
∑∑
==
+=?+
m
j
jj
n
i
ii
ysrxrryrrx
11
)1()1(,
由于 1)1()1(
11
=?+=?+
∑∑
==
rrsrrr
m
j
j
n
i
i；上式是
ji
yx,的凸组合，由 Eco 的定义知道
Eyrrx co)1( ∈?+,故 Eco 是凸集,
2°对于任一凸集 A,A中任意 n个元素的凸组合仍在 A中,
用数学归纳法，当 2=n 时，只要 Axx ∈
21
,,1
21
=+rr,0>
i
r,则 Axrxr ∈+
2211
，这由定义直接得出,再设 kn= 时成立，我们证明 1+= kn 时也成立．实际上若 Axxx
kk
∈
+11
,,,null,
0>
i
r,1
1
1
=
∑
+
=
k
i
i
r,注意 1
1
1
1
=
∑
=
+
k
i
k
i
r
r
，由归纳假设
A
r
xr
x
k
i
k
ii
∈
=
∑
=
+
1
1
1
,
从而 Axrxrxr
k
i
iikkk
∈=+?
∑
+
=
+++
1
1
111
)1(,
3°设 },{ Λλ
λ
∈E 是包含 E 的全体凸集，由
λ
EE?,显然
λ
EE coco?,由 2°，
λλ
EE =co,从而
λ
Λλ
EE
∈
∩co,另一方面由 1°,Eco 是包含 E 的凸集，从而对于某个
Λλ ∈
0
，
0
co
λ
EE =,于是
λ
Λλ
λ
λλ
λλ
EEEEE
∈≠
=?= ∩∩∩ )(co
0
00
,
总之，
λ
Λλ
EE
∈
= ∩co,
思考题
1、设 X 是线性空间，,,0,xXk k∈∈Φ≠ 证明
,,.x XXXXXkXX±= ±= =
2、利用定义证明例 1，例 2，例 3 中的空间都是线性空间。
3、参考书末的附录，试证明 Hamel 基的存在性。
（提示：设 X 不是仅有 0 元构成，记 X 中全体线性无关子集全体为 F，以集合包含关系为 F 上的半序，则 F 成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的上界。根据 Zorn 引理,F 有极大元，此极大元就是 X 的 Hamel 基。读者在第一次阅读时可以隔过这一问题）
4、设 X 是线性空间，证明 E X? 是 X 的线性子空间当且仅当
,,.E EEα βαβ?∈Φ+?
5、设 X 是线性空间，证明 E X? 是 X 的凸子集当且仅当
,0,ts?> (),tsEtEsE+ =+
本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识,
正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构．本章将首先介绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用,
第 1 讲 线性空间
教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。
讲解要点,
1 了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。
2 掌握线性无关与基底的概念，弄清这 一概念与线性代数中有限维空间相应概念的联系与区别。
3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。
我们以 Φ 代表标量域，即实数域 R 或复数域 C,
定义 1 设 X 是某个集合，其中规定了两种运算（,加法”与“数乘” ）,使得
（Ⅰ） X 关于加法构成交换群．即 Xyx ∈?,，存在 Xu∈,称 u 为 x 与 y 之和：
yxu +=,满足
（ 1） xyyx +=+,
（ 2） )()( zyxzyx ++=++,
（ 3） 存在 X∈0 使得任意的 Xx∈,xx =+0,
（ 4） 对于每个 Xx∈,存在 Xx ∈′ 使得 0=′+ xx,记 xx?=′,称 x′是 x的负元,
（Ⅱ） 数乘运算可行,即 Xx∈?,Φα∈,存在 Xv∈,称 v 为 α 与 x的积,xv α=,满足 Φβα ∈,,Xyx ∈,,
（ 1） xx=1,
（ 2） xx )()( αββα =,
（ 3） yxyx ααα +=+ )(,
xxx βαβα +=+ )(,
则 X 称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量,
当 R=Φ 时，称 X 是实线性空间,
当 C=Φ 时，称 X 为复线性空间,
线性空间的子集合 E,若对于同样的标量域构成线性空间，则称 E 是 X 的线性子空间．显然 E 是 X 的线性子空间当且仅当 Eyx ∈?,,Φβα ∈,则 Eyx ∈+βα,
我们采用以下记号：当 Xx∈,XEE?
21
,,Φα∈ 时，记
}:{
1111
ExxxEx ∈+=+,
}:{
1111
ExaxaE ∈=,
},:{
22112121
ExExxxEE ∈∈+=+,
称 Eα 是 E 的倍集，称
21
EE + 是
1
E,
2
E 的（线性）和集,
注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开来,就运算性质来说,一般地,当 XE? 时,EEE +?2,其中的包含关系可能是严格的,此外，对于 XE,E? 有明确的意义；若?≠E,则?≠? EE 等等,
线性空间 X 中的元素
n
xx,,
1
null 称为是线性无关的，若 Φ∈?
n
aa,,
1
null,当
0
11
=++
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===
n
aa null,X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无关,不是线性无关的集合称为是线性相关的,若 E 线性无关并且 XE =span,则称 E 是 X 的基底—— Hamel 基．此时若 E 仅由有限个元素
n
xx,,
1
null 组成，则称 X 是 n 维空间，记为
nX =dim,若 E 由无穷多个元素构成，称 X 为无穷维的，记为 ∞=Xdim,当 }0{=X 时，
记 0dim =X,
例 1 n维空间
n
Φ,
X 中的每个元是一个 n数组 ),,(
1 n
xxx null=,Φ∈?
i
x,ni ≤≤1,定义
),,(),,(),,(
1111 nnnn
yxyxyyxx ++=+ nullnullnull,
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11 nn
axaxxxa nullnull =,)( Φ∈a,
这些 n数组构成线性空间，其维数为 n．即 nX =dim,
例 2 无穷序列空间
∞
Φ,
X 中的每个元都是一个无穷序列 ),,(
21
nullxxx =,Φ∈
n
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nullnull axaxxxa =,)( Φ∈a,
则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即 ∞=Xdim,
例 3 函数空间,
设? 为任一点集,X 是在? 上定义的函数全体，规定 )(tff =,)(tgg = 时,
)()())(( tgtftgf +=+,
)())(( taftaf =,)( Φ∈a,
容易验证 X 是线性空间,
今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。
注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n数组。这一点很重要，例如在线性代数中有一个结论：任何 1+n 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。
利用 Zorn 引理可以证明,任一线性空间必存在极大线性无关集合,这一集合即是 X 的
Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基,
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集,X 的子集 E 称为是凸的，若 Eyx ∈?,，
10 ≤≤ r,Eyrrx ∈?+ )1(,对于任一集合 XE?,记
11
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nn
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称 Eco 是 E 的凸壳．其中形如
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=
n
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1
的元素称为
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1
null 的凸组合．记
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1
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ii
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称 Espan 是由 E 张成的子空间，其中形如
∑
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n
i
ii
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1
的元素称为
n
xx,,
1
null 的线性组合,
凸集,Eco 和 Espan 都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解。
命题 1
（ 1） Eco 是 X 中的凸集，它是 X 中包含 E 的所有凸集的交集,
（ 2） Espan 是 X 的线性子空间，它是 X 中包含 E 的所有线性子空间的交集,
证明 这里仅证（ 1）,（ 2）的证明更简单,
1° Eco 是凸集．实际上 Eyx,co∈?,不妨设
∑
=
=
n
i
ii
xrx
1
，
∑
=
=
m
j
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1
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其中 Eyx
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∑∑
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m
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11
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11
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∑∑
==
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n
i
i；上式是
ji
yx,的凸组合，由 Eco 的定义知道
Eyrrx co)1( ∈?+,故 Eco 是凸集,
2°对于任一凸集 A,A中任意 n个元素的凸组合仍在 A中,
用数学归纳法，当 2=n 时，只要 Axx ∈
21
,,1
21
=+rr,0>
i
r,则 Axrxr ∈+
2211
，这由定义直接得出,再设 kn= 时成立，我们证明 1+= kn 时也成立．实际上若 Axxx
kk
∈
+11
,,,null,
0>
i
r,1
1
1
=
∑
+
=
k
i
i
r,注意 1
1
1
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∑
=
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k
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k
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r
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，由归纳假设
A
r
xr
x
k
i
k
ii
∈
=
∑
=
+
1
1
1
,
从而 Axrxrxr
k
i
iikkk
∈=+?
∑
+
=
+++
1
1
111
)1(,
3°设 },{ Λλ
λ
∈E 是包含 E 的全体凸集，由
λ
EE?,显然
λ
EE coco?,由 2°，
λλ
EE =co,从而
λ
Λλ
EE
∈
∩co,另一方面由 1°,Eco 是包含 E 的凸集，从而对于某个
Λλ ∈
0
，
0
co
λ
EE =,于是
λ
Λλ
λ
λλ
λλ
EEEEE
∈≠
=?= ∩∩∩ )(co
0
00
,
总之，
λ
Λλ
EE
∈
= ∩co,
思考题
1、设 X 是线性空间，,,0,xXk k∈∈Φ≠ 证明
,,.x XXXXXkXX±= ±= =
2、利用定义证明例 1，例 2，例 3 中的空间都是线性空间。
3、参考书末的附录，试证明 Hamel 基的存在性。
（提示：设 X 不是仅有 0 元构成，记 X 中全体线性无关子集全体为 F，以集合包含关系为 F 上的半序，则 F 成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的上界。根据 Zorn 引理,F 有极大元，此极大元就是 X 的 Hamel 基。读者在第一次阅读时可以隔过这一问题）
4、设 X 是线性空间，证明 E X? 是 X 的线性子空间当且仅当
,,.E EEα βαβ?∈Φ+?
5、设 X 是线性空间，证明 E X? 是 X 的凸子集当且仅当
,0,ts?> (),tsEtEsE+ =+
