1
第 24 讲 自伴算子的谱论
教学目的：掌握自伴算子谱的特征。
讲解要点,
1 自伴算子数值值域的特征。
2 自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方程解的关系。
3 紧自伴算子的投影算子分解。
本节我们讨论复 Hilbert 空间上的自伴算子,
定理 1 若 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈,
*
A 是 A的共轭算子，
则
(1) )}(:{)(
*
AA ρλλρ ∈=,
)}(:{)(
*
AA σλλσ ∈= （ 5-3-1）
(2) 若 x 是 A的相应于 λ 的特征向量,y 是
*
A 的相应于 μ 的特征向量,μλ ≠,则 yx ⊥,
证明
D
1 只须证明第一式，若 )(Aρλ∈,AI?λ 为正则算子，此时
*
()I Aλ? =
*
I Aλ? 正则,故 )(
*
Aρλ ∈,
*
{,()} ( )AAλλ ρ ρ∈?,
但 AA =
**
)(,于是 )()()}(:{
***
AAA ρρρλλ =?∈,两端取复共轭得到 )}(:{)(
*
AA ρλλρ ∈?,从而得到等式,
D
2 若 0)( =? xAIλ,0)(
*
=? yAIμ,0≠x,0≠y,则
),(),(),(),(
*
yAxyAxyxyx === λλλ
),(),( yxyx μμ ==,
于是 0),)(( =? yxμλ,μλ ≠,故 0),( =yx,从而 yx ⊥,
定理 2 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子,
2
(1) A的谱点都是实数,特别地 A的特征值都是实数,
(2) 对应于不同特征值的特征向量彼此正交,
(3) (),
r
Aσ =?
证明
D
1 Cλ?∈,,x X∈ 由自伴性,
22
2
(( ),) (,( ) ) (,) (,)
2Im
I A x x x I A x x Ax x x x Ax
ix
λλλλ
λ
=+
=
这里 Imλ 是 λ 的虚部,于是
2
2Im ((),)(,())2()x IAxx x IAx IAxxλλ λ λ≤? +?≤?
或者
()Im.I Ax xλλ?≥
由此知当 Im 0λ ≠ 时 I Aλ? 是一一的,此外令 ()I Ax yλ? =,则
1
1
()ImI Ay yλλ
≤,
1
()I Aλ
是有界的,此时 I Aλ? 的共轭 I Aλ? 也是一一的,由第四章§ 3 定理 6 ().R IA Hλ? = 根据
1
()I Aλ
的有界性,
().R IA Hλ?= 于是 I Aλ? 是正则的,矛盾即说明 Im 0λ =,
(),ARσ?
D
2 A是自伴算子,AA =
*
，若 yx,是相应于 μλ,的特征向量，
由
D
1,μλ,为实数,μλ ≠,既是 μλ ≠,由定理 1(2)即得到所要的结论,
3
D
若 (),
r
Aλ σ∈ 由
D
1,λ 是实数,从而 ()*I AIAλ λ? =?,由于 ()R IA Hλ?≠,由第四章§ 3 定理 6,
()NIAλ? = (){0},RIAλ
⊥
≠
于是 (),
p
Aλ σ∈ 矛盾,
为了更精细地考察自伴算子谱点的特性，我们引进下面概念,
定义 设 H 为 Hilbert 空间,)(HA Β∈,称集合
}1||||,:),{()( =∈= xHxxAxAω （ 5-3-2）
3
为 A的数值值域,称 ||sup
)(
μ
ωμ A
A
R
∈
= 为算子 A的数值半径,
定理 3 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子，则
(1) )()( AA ωσ?,特别地 )(Aσ,)(Aω 都由实数构成,
(2) ||||||sup
)(
A
A
=
∈
μ
ωμ
,
证明
D
1 注意 (,)Ax x 是实数,我们证明若 ()Aλω∈,则
()Aλσ∈,设 ||inf))(,(
)(
μλωλρ
ωμ
==
∈ A
Ad,则 0>d,Hx∈?,0≠x
时
22
||||)
||||
),
||||
((|||| x
x
x
x
x
Axd?≤ λ
|(,)(,)|x xAxxλ=?
|(( ),)|I Axxλ=?
|| ( ) |||| ||I Ax xλ≤?,
于是
||)(|||||| xAIxd?≤ λ （ 5-3-3）
若 )( AIRy
n
∈ λ,
0n
yy→,不妨设
nn
xAIy )(?= λ,这里
Xx
n
∈,由式（ 5-3-3） }{
n
x 是 Cauchy 序列,H 完备，不妨设
0n
x x→,
由 AI?λ 的连续性得到
00
)( xAIy?= λ,故 )(
0
AIRy?∈ λ,)( AIR?λ
是闭子空间,
I Aλ? 是到上的,若不然由 Riese 表现定理,存在,1yHy∈ = 使得 x H?∈,(( ),) 0IAxyλ?=,特别地,(( ),) 0IAyyλ? =,于是
2
(,) (),yAyy Aλλ ω== ∈
与所设矛盾,于是 I Aλ? 既是一一的,又是到上的,由逆算子定理,
1
()I Aλ
是有界的,所以 ().Aλ ρ∈ (1)成立,
D
2 )(Aωμ∈?,存在 Hx∈,1|||| =x,),( xAx=μ,于是
2
|||(,)|Ax x A x Aμ =≤=,
故 ||||||sup
)(
A
A
≤
∈
μ
ωμ
,
4
另一方面，设 ||sup
)(
μ
ωμ A
a
∈
=,则
2
|(,)| || ||Ax x a x≤,由极化恒等式知
)),(()),((),Re(4 yxyxAyxyxAyAx++=
于是
|4Re(,)| |( ( ),)| |( ( ),)|Axy Axyxy Axyxy≤ +++
22
|||||||| yxayxa?++≤
)||||||(||2
22
yxa +=,
后者利用了内积空间的平行四边形公式,
若 0≠Ax,取 1|||| =x,
|||| Ax
Ax
y = 则
|| || (,) Re(,)
|| || || ||
Ax Ax
Ax Ax Ax
Ax Ax
==
a
Ax
Ax
x
a
=+≤ )
||||
||||
||(||
2
2
2
2
当 0=Ax 时，此式自然成立，故 ||sup||||
)(
μ
ωμ A
aA
∈
=≤,
定理得证,
定理 4 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子，则
)(,AmM σ∈,其中
μ
ωμ )(
sup
A
M
∈
=,μ
ωμ )(
inf
A
m
∈
=,
证明 这里仅证明 )(AM σ∈,对于 )(Am σ∈ 可类似证之,
设 AMIB?=,则
),(),(),( xAxxxMxBx?=,Hx∈?,
根据 M 的定义,显然 0),( ≥xBx 并且
0),(inf
1||||
=
=
xBx
x
,(5-3-4)
现在,若 t是任一实数,则
0)),(( ≥++ xtBxxtBxB,
5
即
0),(),(),(),(
222
≥+++ xBxxxBtBxBxtBxxBt
由 B 的自伴性得到
0),(),(2),(
22
≥++ xBxBxBxtBxxBt
各项系数均为实数,故
),)(,(),(
22
xBxBxxBBxBx ≤ (5-3-5)
于是
|),(|||||||||),(||||
2324
xBxxBBxBxBx ≤=,
由 (5-3-4),
0||||inf
1||||
=
=
Bx
x
(5-3-6)
若 B 是一一的并且到上的,由本章§ 1 定理 1,存在 0>a,使得
Hx∈?,|||||||| xaBx ≥,从而 0||||inf
1||||
>≥
=
aBx
x
,与 (5-3-6) 矛盾,故
)(AM σ∈,
推 论 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子,若
A
r 是 A
的谱半径,
A
R 是 A的数值半径,
AA
r
*
是 AA
*
的谱半径,则
(1) |||| ARr
AA
==
(2)
2
||||
*
Ar
AA
=
证 明
D
1 实际上由定理 4,
()
max(,| |) sup | |
A
A
M mr
λσ
λ
∈
≤ =,故
A
A
A
rmMR ≤==
∈
|)||,max(|||sup
)(
μ
ωμ
但显然
A
AA
A
Rr =≤=
∈∈
||sup||sup
)()(
μλ
ωμσλ
,再由定理 3 得到
|||| ARr
AA
==,
D
2 注意到 AA
*
是自伴算子,由
D
1 得到
2*
||||||||
*
AAAr
AA
==,
后一等式是根据第四章§ 3 定理 6(4),
例 1 设 H 是 Hilbert 空间,E H? 是闭子空间,{0},.E H≠ 考
6
虑投影算子,,PH E→ 由于,{0},HEEE
⊥⊥
=⊕ ≠ 故存在
,1,xEx∈=
22
(,)Px x Px x== 1=,又存在,x E
⊥
∈ 1,x =
0,(,) 0.Px Px x== 于是 0(,)1.Px x≤ ≤ 由定理 4,
{0,1} ( ) [0,1].Pσ
上述事实也可以写成 ()0IPx?=或 0Px =,于是 0,1 ( ).
p
Pσ∈
若
12
01,x xxλ<< =+ 是正交分解,
12
,x Ex E∈ ⊥,则
()0IPxλ?=即
1
(1)xλ?
2
xλ+ 0=,故必有
12
0,x xx IPλ= ==?是一一的,另一方面,,yH?∈ 若
12
yyy= + 是到 E 的正交分解,取
12
1
yy
x
λ λ
=+
,则 ()I Px yλ?=,I Pλ? 是到上的,于是 ().Pλ ρ∈
总之 () () {0,1}.
p
PPσ σ= =
下面我们讨论紧自伴算子的谱,
定理 5 设 H 是 Hilbert空间,A是紧自伴算子,,M m如定理 4,若
0≠M (或 0≠m ),则 M (或 m )是 A的特征值,
证 明 现只证 M,对于 m 可类似证明之,
设 0≠M,记 AMIB?=,由定理 4 的证明知道（ 5-3-6）成 立,故存在 Hx
n
∈,1|||| =
n
x,0||||lim =
∞→
n
n
Bx,A 紧，于是有子列
k
n
x,
0
k
n
Axx→,由
nnn
AxMxBx?= 知
0
k
n
Mxx→,于是
0
Ax =
lim
k
k
n
n
MAx
→∞
0
Mx=,又
0
|| || lim || || 0
k
n
k
xMxM
→∞
= =≠,故 M 是 A的特征值,()
p
M Aσ∈,
定理 6 设 H 是 Hilbert 空间,A是紧自共伴算子,
(1) 存在有限或无穷非零实数序列 }{
n
λ,
n
λ 是 A的特征值,
12
||||λ λ≥≥ " ",
若 }{
n
λ 是无穷的,则 0
n
λ →,相应地存在规范正交序列 }{
n
e,使得
nnn
eAe λ= 并且对于每个 Hx∈,
7
nn
n
n
eexAx ),(
1
∑
∞
=
= λ (5-3-7)
(2) 若
n
P 是 H 到由
n
e 张成的线性子空间上的投影算子,则
∑
∞
=
=
1n
nn
PA λ (5-3-8)
(3) 若 0 不是 A的特征值,则 }1:{ ≥ne
n
是 H 的正交基,
证明
D
1 不妨设 0≠A,若
1
max{| |,| |} || ||M mAλ = =,由定理
5,
1
λ 是特征值,设
1
e 是相应的特征向量,1||||
1
=e,
111
eAe λ=,令
}{
11
espanQ =,}:{
11
exHxH ⊥∈=,则
1
Q,
1
H 是 H 的闭线性子空间,
并且
11
)( HHA?,实际上,若
1
Hx∈,则
0),(),(),(
1111
=== exAexeAx λ,
所以
1
HAx∈,
于是
1
H 仍然为 Hilbert 空间,定义
!
|
1 H
AA =,显然
1
A 仍是在
1
H 上的紧自共轭算子,若 0
1
=A,则 Hx∈?,根据投影定理,
11
hqx +=,其中
11
Qq ∈,
11
Hh ∈,此时
0
1111
+=+= qAhAqAx λ
1111111
),(),( eexeeq λλ ==
若 0
1
≠A,则 0||||
1
≠A,取 0||||
12
>= Aλ,此时
1
112
| | || || || | || || || | |
H
AA Aλ λ=≥ ==,由定理 5,
2
λ 为特征值,不妨设
12
He ∈,1||||
2
=e,
2221
eeA λ=,
},{
212
eespanQ =,}:{
22
QxHxH ⊥∈=,
此时同样有
22
)( HHA?,若 0|
2
12
==
H
AA,类似于上面的证明
222111
),(),( eexeexAx λλ +=,Hx∈?,
若 0
2
≠A,继续以上过程作出 ",
3
A,如果在有限次之后,有
0=
n
A,则
ii
n
i
i
eexAx ),(
1
∑
=
= λ (5-3-9)
8
定理 6(1)成立,否则,}{
n
λ 是无穷的,并且
12
||||λ λ≥≥ ",由
n
Q
与
n
H 的定义,对应的特征向量 }{
n
e 两两正交,其中
nnn
eAe λ=,此时必有 0
n
λ →,若不然,例如 0|| >≥δλ
n
对于无穷多个 n 成立,由于
)( mnAeAe
mn
≠⊥,则
22 2
|| || || || || ||
nm n m
Ae Ae Ae Ae?= +
02||||
222
>≥+= δλλ
mn
与 A的紧性矛盾,
现在设 }1:{ ≥=
∞
nespanQ
n
,}:{
∞∞
⊥∈= QxHxH,则 0| =
∞
H
A,
实际上若
∞
∈Hx,
∞
⊥Qx 从而
n
Qx ⊥,),2,1( "=∈ nHx
n
,则
nn
HHA?)(,
2
|||||||||),)|)((,( xAxxAxAx
n
HH
≤
∞
2
| ||| || 0
n
xλ= →,
于是
∞
∈? Hx,0),( =xAx,将 A看成 Hilbert 空间
∞
H 上的自共轭算子,
直接应用极化恒等式得到 0| =
∞
H
A,Hx∈?,令
∞∞
+= hqx,其中
∞∞
∈Qq,
∞∞
∈Hh,则
Ax Aq Ah
∞ ∞
= +
∑
∞
=
∞
+=
1
0)),((
n
nn
eeqA
∑
∞
=
∞
=
1
),(
n
nn
Aeeq
∑
∞
=
∞
=
1
),(
n
nnn
eeqλ
∑
∞
=
=
1
),(
n
nnn
eexλ
D
2 设
n
P 是从 H 到由
n
e 张成的线性子空间上的投影算子,则
nnn
eexxP ),(=,
若
n
λλ,,
1
" 为有限多个,由式 (5-3-9)
xPeexAx
n
i
iiii
n
i
i
)(),(
11
∑∑
==
== λλ,
于是
∑
=
=
n
i
ii
PA
1
λ,
9
若 }{
n
λ 是无穷的,则
2
1
1||||
2
1
||||sup||||
∑∑
=
=
=
=?
n
i
ii
x
n
i
ii
xPAxPA λλ
2
1
1||||
||),(||sup
∑
∞
+=
=
=
ni
iii
x
eexλ
2
1
2
1||||
|),(|||sup
∑
∞
+=
=
≤
ni
ii
x
exλ
22
1
|| || 1
1
||sup|(,)|
ni
x
in
x eλ
∞
+
=
=+
≤
∑
2
1
||0
n
λ
+
≤ →
故
∑∑
∞
==
∞→
==
11
lim
i
ii
n
i
ii
n
PPA λλ,
D
3 若 0 不是 A 的特征值,A 是一一映射,Hx∈?,若
),2,1( "=⊥ nex
n
,则
1
(,) 0
nnn
n
Ax x e eλ
∞
=
= =
∑
,由此得到 0=x,由第四章§ 1 定理 6,}1:{ ≥ne
n
是 H 的正交基,
例 2 对于第二型 Fredholm 积分方程
()x t =
1
0
(,) ( ) ()Ktsxsds ytλ +
∫
(5-3-10)
其中 K 作为二元函数在,atsb≤ ≤ 上平方可积,
2
[,]yLab∈,0λ ≠,
(5-3-10)可以简单地记为
()I Ax yλ? = (5-3-11)
(或 (
11
)I Ax yλ λ
= )),其中
()Axt =
1
0
(,) ( )Ktsxsds
∫
,
2
[,]x Lab?∈
即使第二型 Fredholm 积分算子,由第三章 §3 的知识,A是紧算子,当
(,) (,)Kst Kts= 时,A是自伴算子,现在假定 A是非 0 自伴算子,
由于 A 是紧的,根据上节的知识,要么 (5-3-11) 对于任何
2
[,]yLab∈ 有唯一解,要么齐次方程 ()0IAxλ? = 有非 0 解,在前一
10
种情况,根据自伴性,存在至多可列个实数,
n
λ λ≠
n
λ 是 A的特征值,
以及相应的特征向量
n
,利用正交化方法,不妨设 {; 1}
n
n? ≥ 就是规范正交系,显然 {; 1}
n
n? ≥ 还是正交基,于是由定理 6
2
11
(,) (,),[,]
nn n nn
nn
Ax Ax x x L a b λ
∞∞
==
∈
∑∑
其中级数按照
2
L 中范数收敛,将 (5-3-11)两端关于
n
取内积得到
(1 )(,) (,)
nn n
xyλλ= 或
1
(,) (1 ) (,)
nnn
xy? λλ?
=?
所以
=
1
11
(,) (1 )(,)
nn n nn
nn
y λλ
∞∞
==
=?
∑∑
是 (5-3-11)的解,
在第二种情况,对应地有若干个 1,
n
λ λ = 而相应地 (,) 0,
n
y? =
直接验证表明形如
1
11
(1 ) (,)
nn
nn n n n
cy
λλ λλ
λλ?
=≠
=+?
∑∑
的函数都是 (5-3-11)的解,其中
n
c 是任意常数,
第 24 讲 自伴算子的谱论
教学目的：掌握自伴算子谱的特征。
讲解要点,
1 自伴算子数值值域的特征。
2 自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方程解的关系。
3 紧自伴算子的投影算子分解。
本节我们讨论复 Hilbert 空间上的自伴算子,
定理 1 若 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈,
*
A 是 A的共轭算子，
则
(1) )}(:{)(
*
AA ρλλρ ∈=,
)}(:{)(
*
AA σλλσ ∈= （ 5-3-1）
(2) 若 x 是 A的相应于 λ 的特征向量,y 是
*
A 的相应于 μ 的特征向量,μλ ≠,则 yx ⊥,
证明
D
1 只须证明第一式，若 )(Aρλ∈,AI?λ 为正则算子，此时
*
()I Aλ? =
*
I Aλ? 正则,故 )(
*
Aρλ ∈,
*
{,()} ( )AAλλ ρ ρ∈?,
但 AA =
**
)(,于是 )()()}(:{
***
AAA ρρρλλ =?∈,两端取复共轭得到 )}(:{)(
*
AA ρλλρ ∈?,从而得到等式,
D
2 若 0)( =? xAIλ,0)(
*
=? yAIμ,0≠x,0≠y,则
),(),(),(),(
*
yAxyAxyxyx === λλλ
),(),( yxyx μμ ==,
于是 0),)(( =? yxμλ,μλ ≠,故 0),( =yx,从而 yx ⊥,
定理 2 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子,
2
(1) A的谱点都是实数,特别地 A的特征值都是实数,
(2) 对应于不同特征值的特征向量彼此正交,
(3) (),
r
Aσ =?
证明
D
1 Cλ?∈,,x X∈ 由自伴性,
22
2
(( ),) (,( ) ) (,) (,)
2Im
I A x x x I A x x Ax x x x Ax
ix
λλλλ
λ
=+
=
这里 Imλ 是 λ 的虚部,于是
2
2Im ((),)(,())2()x IAxx x IAx IAxxλλ λ λ≤? +?≤?
或者
()Im.I Ax xλλ?≥
由此知当 Im 0λ ≠ 时 I Aλ? 是一一的,此外令 ()I Ax yλ? =,则
1
1
()ImI Ay yλλ
≤,
1
()I Aλ
是有界的,此时 I Aλ? 的共轭 I Aλ? 也是一一的,由第四章§ 3 定理 6 ().R IA Hλ? = 根据
1
()I Aλ
的有界性,
().R IA Hλ?= 于是 I Aλ? 是正则的,矛盾即说明 Im 0λ =,
(),ARσ?
D
2 A是自伴算子,AA =
*
，若 yx,是相应于 μλ,的特征向量，
由
D
1,μλ,为实数,μλ ≠,既是 μλ ≠,由定理 1(2)即得到所要的结论,
3
D
若 (),
r
Aλ σ∈ 由
D
1,λ 是实数,从而 ()*I AIAλ λ? =?,由于 ()R IA Hλ?≠,由第四章§ 3 定理 6,
()NIAλ? = (){0},RIAλ
⊥
≠
于是 (),
p
Aλ σ∈ 矛盾,
为了更精细地考察自伴算子谱点的特性，我们引进下面概念,
定义 设 H 为 Hilbert 空间,)(HA Β∈,称集合
}1||||,:),{()( =∈= xHxxAxAω （ 5-3-2）
3
为 A的数值值域,称 ||sup
)(
μ
ωμ A
A
R
∈
= 为算子 A的数值半径,
定理 3 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子，则
(1) )()( AA ωσ?,特别地 )(Aσ,)(Aω 都由实数构成,
(2) ||||||sup
)(
A
A
=
∈
μ
ωμ
,
证明
D
1 注意 (,)Ax x 是实数,我们证明若 ()Aλω∈,则
()Aλσ∈,设 ||inf))(,(
)(
μλωλρ
ωμ
==
∈ A
Ad,则 0>d,Hx∈?,0≠x
时
22
||||)
||||
),
||||
((|||| x
x
x
x
x
Axd?≤ λ
|(,)(,)|x xAxxλ=?
|(( ),)|I Axxλ=?
|| ( ) |||| ||I Ax xλ≤?,
于是
||)(|||||| xAIxd?≤ λ （ 5-3-3）
若 )( AIRy
n
∈ λ,
0n
yy→,不妨设
nn
xAIy )(?= λ,这里
Xx
n
∈,由式（ 5-3-3） }{
n
x 是 Cauchy 序列,H 完备，不妨设
0n
x x→,
由 AI?λ 的连续性得到
00
)( xAIy?= λ,故 )(
0
AIRy?∈ λ,)( AIR?λ
是闭子空间,
I Aλ? 是到上的,若不然由 Riese 表现定理,存在,1yHy∈ = 使得 x H?∈,(( ),) 0IAxyλ?=,特别地,(( ),) 0IAyyλ? =,于是
2
(,) (),yAyy Aλλ ω== ∈
与所设矛盾,于是 I Aλ? 既是一一的,又是到上的,由逆算子定理,
1
()I Aλ
是有界的,所以 ().Aλ ρ∈ (1)成立,
D
2 )(Aωμ∈?,存在 Hx∈,1|||| =x,),( xAx=μ,于是
2
|||(,)|Ax x A x Aμ =≤=,
故 ||||||sup
)(
A
A
≤
∈
μ
ωμ
,
4
另一方面，设 ||sup
)(
μ
ωμ A
a
∈
=,则
2
|(,)| || ||Ax x a x≤,由极化恒等式知
)),(()),((),Re(4 yxyxAyxyxAyAx++=
于是
|4Re(,)| |( ( ),)| |( ( ),)|Axy Axyxy Axyxy≤ +++
22
|||||||| yxayxa?++≤
)||||||(||2
22
yxa +=,
后者利用了内积空间的平行四边形公式,
若 0≠Ax,取 1|||| =x,
|||| Ax
Ax
y = 则
|| || (,) Re(,)
|| || || ||
Ax Ax
Ax Ax Ax
Ax Ax
==
a
Ax
Ax
x
a
=+≤ )
||||
||||
||(||
2
2
2
2
当 0=Ax 时，此式自然成立，故 ||sup||||
)(
μ
ωμ A
aA
∈
=≤,
定理得证,
定理 4 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子，则
)(,AmM σ∈,其中
μ
ωμ )(
sup
A
M
∈
=,μ
ωμ )(
inf
A
m
∈
=,
证明 这里仅证明 )(AM σ∈,对于 )(Am σ∈ 可类似证之,
设 AMIB?=,则
),(),(),( xAxxxMxBx?=,Hx∈?,
根据 M 的定义,显然 0),( ≥xBx 并且
0),(inf
1||||
=
=
xBx
x
,(5-3-4)
现在,若 t是任一实数,则
0)),(( ≥++ xtBxxtBxB,
5
即
0),(),(),(),(
222
≥+++ xBxxxBtBxBxtBxxBt
由 B 的自伴性得到
0),(),(2),(
22
≥++ xBxBxBxtBxxBt
各项系数均为实数,故
),)(,(),(
22
xBxBxxBBxBx ≤ (5-3-5)
于是
|),(|||||||||),(||||
2324
xBxxBBxBxBx ≤=,
由 (5-3-4),
0||||inf
1||||
=
=
Bx
x
(5-3-6)
若 B 是一一的并且到上的,由本章§ 1 定理 1,存在 0>a,使得
Hx∈?,|||||||| xaBx ≥,从而 0||||inf
1||||
>≥
=
aBx
x
,与 (5-3-6) 矛盾,故
)(AM σ∈,
推 论 设 H 是 Hilbert 空间,)(HA Β∈ 是自伴算子,若
A
r 是 A
的谱半径,
A
R 是 A的数值半径,
AA
r
*
是 AA
*
的谱半径,则
(1) |||| ARr
AA
==
(2)
2
||||
*
Ar
AA
=
证 明
D
1 实际上由定理 4,
()
max(,| |) sup | |
A
A
M mr
λσ
λ
∈
≤ =,故
A
A
A
rmMR ≤==
∈
|)||,max(|||sup
)(
μ
ωμ
但显然
A
AA
A
Rr =≤=
∈∈
||sup||sup
)()(
μλ
ωμσλ
,再由定理 3 得到
|||| ARr
AA
==,
D
2 注意到 AA
*
是自伴算子,由
D
1 得到
2*
||||||||
*
AAAr
AA
==,
后一等式是根据第四章§ 3 定理 6(4),
例 1 设 H 是 Hilbert 空间,E H? 是闭子空间,{0},.E H≠ 考
6
虑投影算子,,PH E→ 由于,{0},HEEE
⊥⊥
=⊕ ≠ 故存在
,1,xEx∈=
22
(,)Px x Px x== 1=,又存在,x E
⊥
∈ 1,x =
0,(,) 0.Px Px x== 于是 0(,)1.Px x≤ ≤ 由定理 4,
{0,1} ( ) [0,1].Pσ
上述事实也可以写成 ()0IPx?=或 0Px =,于是 0,1 ( ).
p
Pσ∈
若
12
01,x xxλ<< =+ 是正交分解,
12
,x Ex E∈ ⊥,则
()0IPxλ?=即
1
(1)xλ?
2
xλ+ 0=,故必有
12
0,x xx IPλ= ==?是一一的,另一方面,,yH?∈ 若
12
yyy= + 是到 E 的正交分解,取
12
1
yy
x
λ λ
=+
,则 ()I Px yλ?=,I Pλ? 是到上的,于是 ().Pλ ρ∈
总之 () () {0,1}.
p
PPσ σ= =
下面我们讨论紧自伴算子的谱,
定理 5 设 H 是 Hilbert空间,A是紧自伴算子,,M m如定理 4,若
0≠M (或 0≠m ),则 M (或 m )是 A的特征值,
证 明 现只证 M,对于 m 可类似证明之,
设 0≠M,记 AMIB?=,由定理 4 的证明知道（ 5-3-6）成 立,故存在 Hx
n
∈,1|||| =
n
x,0||||lim =
∞→
n
n
Bx,A 紧，于是有子列
k
n
x,
0
k
n
Axx→,由
nnn
AxMxBx?= 知
0
k
n
Mxx→,于是
0
Ax =
lim
k
k
n
n
MAx
→∞
0
Mx=,又
0
|| || lim || || 0
k
n
k
xMxM
→∞
= =≠,故 M 是 A的特征值,()
p
M Aσ∈,
定理 6 设 H 是 Hilbert 空间,A是紧自共伴算子,
(1) 存在有限或无穷非零实数序列 }{
n
λ,
n
λ 是 A的特征值,
12
||||λ λ≥≥ " ",
若 }{
n
λ 是无穷的,则 0
n
λ →,相应地存在规范正交序列 }{
n
e,使得
nnn
eAe λ= 并且对于每个 Hx∈,
7
nn
n
n
eexAx ),(
1
∑
∞
=
= λ (5-3-7)
(2) 若
n
P 是 H 到由
n
e 张成的线性子空间上的投影算子,则
∑
∞
=
=
1n
nn
PA λ (5-3-8)
(3) 若 0 不是 A的特征值,则 }1:{ ≥ne
n
是 H 的正交基,
证明
D
1 不妨设 0≠A,若
1
max{| |,| |} || ||M mAλ = =,由定理
5,
1
λ 是特征值,设
1
e 是相应的特征向量,1||||
1
=e,
111
eAe λ=,令
}{
11
espanQ =,}:{
11
exHxH ⊥∈=,则
1
Q,
1
H 是 H 的闭线性子空间,
并且
11
)( HHA?,实际上,若
1
Hx∈,则
0),(),(),(
1111
=== exAexeAx λ,
所以
1
HAx∈,
于是
1
H 仍然为 Hilbert 空间,定义
!
|
1 H
AA =,显然
1
A 仍是在
1
H 上的紧自共轭算子,若 0
1
=A,则 Hx∈?,根据投影定理,
11
hqx +=,其中
11
Qq ∈,
11
Hh ∈,此时
0
1111
+=+= qAhAqAx λ
1111111
),(),( eexeeq λλ ==
若 0
1
≠A,则 0||||
1
≠A,取 0||||
12
>= Aλ,此时
1
112
| | || || || | || || || | |
H
AA Aλ λ=≥ ==,由定理 5,
2
λ 为特征值,不妨设
12
He ∈,1||||
2
=e,
2221
eeA λ=,
},{
212
eespanQ =,}:{
22
QxHxH ⊥∈=,
此时同样有
22
)( HHA?,若 0|
2
12
==
H
AA,类似于上面的证明
222111
),(),( eexeexAx λλ +=,Hx∈?,
若 0
2
≠A,继续以上过程作出 ",
3
A,如果在有限次之后,有
0=
n
A,则
ii
n
i
i
eexAx ),(
1
∑
=
= λ (5-3-9)
8
定理 6(1)成立,否则,}{
n
λ 是无穷的,并且
12
||||λ λ≥≥ ",由
n
Q
与
n
H 的定义,对应的特征向量 }{
n
e 两两正交,其中
nnn
eAe λ=,此时必有 0
n
λ →,若不然,例如 0|| >≥δλ
n
对于无穷多个 n 成立,由于
)( mnAeAe
mn
≠⊥,则
22 2
|| || || || || ||
nm n m
Ae Ae Ae Ae?= +
02||||
222
>≥+= δλλ
mn
与 A的紧性矛盾,
现在设 }1:{ ≥=
∞
nespanQ
n
,}:{
∞∞
⊥∈= QxHxH,则 0| =
∞
H
A,
实际上若
∞
∈Hx,
∞
⊥Qx 从而
n
Qx ⊥,),2,1( "=∈ nHx
n
,则
nn
HHA?)(,
2
|||||||||),)|)((,( xAxxAxAx
n
HH
≤
∞
2
| ||| || 0
n
xλ= →,
于是
∞
∈? Hx,0),( =xAx,将 A看成 Hilbert 空间
∞
H 上的自共轭算子,
直接应用极化恒等式得到 0| =
∞
H
A,Hx∈?,令
∞∞
+= hqx,其中
∞∞
∈Qq,
∞∞
∈Hh,则
Ax Aq Ah
∞ ∞
= +
∑
∞
=
∞
+=
1
0)),((
n
nn
eeqA
∑
∞
=
∞
=
1
),(
n
nn
Aeeq
∑
∞
=
∞
=
1
),(
n
nnn
eeqλ
∑
∞
=
=
1
),(
n
nnn
eexλ
D
2 设
n
P 是从 H 到由
n
e 张成的线性子空间上的投影算子,则
nnn
eexxP ),(=,
若
n
λλ,,
1
" 为有限多个,由式 (5-3-9)
xPeexAx
n
i
iiii
n
i
i
)(),(
11
∑∑
==
== λλ,
于是
∑
=
=
n
i
ii
PA
1
λ,
9
若 }{
n
λ 是无穷的,则
2
1
1||||
2
1
||||sup||||
∑∑
=
=
=
=?
n
i
ii
x
n
i
ii
xPAxPA λλ
2
1
1||||
||),(||sup
∑
∞
+=
=
=
ni
iii
x
eexλ
2
1
2
1||||
|),(|||sup
∑
∞
+=
=
≤
ni
ii
x
exλ
22
1
|| || 1
1
||sup|(,)|
ni
x
in
x eλ
∞
+
=
=+
≤
∑
2
1
||0
n
λ
+
≤ →
故
∑∑
∞
==
∞→
==
11
lim
i
ii
n
i
ii
n
PPA λλ,
D
3 若 0 不是 A 的特征值,A 是一一映射,Hx∈?,若
),2,1( "=⊥ nex
n
,则
1
(,) 0
nnn
n
Ax x e eλ
∞
=
= =
∑
,由此得到 0=x,由第四章§ 1 定理 6,}1:{ ≥ne
n
是 H 的正交基,
例 2 对于第二型 Fredholm 积分方程
()x t =
1
0
(,) ( ) ()Ktsxsds ytλ +
∫
(5-3-10)
其中 K 作为二元函数在,atsb≤ ≤ 上平方可积,
2
[,]yLab∈,0λ ≠,
(5-3-10)可以简单地记为
()I Ax yλ? = (5-3-11)
(或 (
11
)I Ax yλ λ
= )),其中
()Axt =
1
0
(,) ( )Ktsxsds
∫
,
2
[,]x Lab?∈
即使第二型 Fredholm 积分算子,由第三章 §3 的知识,A是紧算子,当
(,) (,)Kst Kts= 时,A是自伴算子,现在假定 A是非 0 自伴算子,
由于 A 是紧的,根据上节的知识,要么 (5-3-11) 对于任何
2
[,]yLab∈ 有唯一解,要么齐次方程 ()0IAxλ? = 有非 0 解,在前一
10
种情况,根据自伴性,存在至多可列个实数,
n
λ λ≠
n
λ 是 A的特征值,
以及相应的特征向量
n
,利用正交化方法,不妨设 {; 1}
n
n? ≥ 就是规范正交系,显然 {; 1}
n
n? ≥ 还是正交基,于是由定理 6
2
11
(,) (,),[,]
nn n nn
nn
Ax Ax x x L a b λ
∞∞
==
∈
∑∑
其中级数按照
2
L 中范数收敛,将 (5-3-11)两端关于
n
取内积得到
(1 )(,) (,)
nn n
xyλλ= 或
1
(,) (1 ) (,)
nnn
xy? λλ?
=?
所以
=
1
11
(,) (1 )(,)
nn n nn
nn
y λλ
∞∞
==
=?
∑∑
是 (5-3-11)的解,
在第二种情况,对应地有若干个 1,
n
λ λ = 而相应地 (,) 0,
n
y? =
直接验证表明形如
1
11
(1 ) (,)
nn
nn n n n
cy
λλ λλ
λλ?
=≠
=+?
∑∑
的函数都是 (5-3-11)的解,其中
n
c 是任意常数,
