第 6 讲 紧性与连续映射
教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。
授课要点,
1,紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。
2,紧集在连续映射下的特性。
3,某些空间中紧子集的特征。
我们称集族 };{ Λλ
λ
∈B 覆盖 A，若,AB?
∈
λ
Λλ
∪
定义 1 设 X 是度量空间,XA?,
（ 1）称 A 是紧的，若 X 中的任一开集族覆盖 A 时，其中存在有限个开集仍覆盖 A,
（ 2） A 称为是相对紧的，若 A 紧,
（ 3）称 XE? 是 A 的 ε 网，若 AxO
Ex
∈
),( ε∪,
（ 4）称 A 是完全有界的，若 0>?ε,X 中存在由有限个元素构成的 A 的 ε 网,
注意，在定义 1（ 3）中，作为 A 的 ε 网的集合 E,并没有要求 XE?,对于一个集合来说，是否要求 XE? 并不改变其完全有界性,
首先让我们来看一个例子,
对于
2
null=X,若 ),0,1,0,,0( null
nullnullnullnullnull
null
n
n
e =,则 1||||
2
=
n
e,令 }1;{ ≥= neA
n
，则 A 不是紧集．实际上,nm≠?,2|||| =?
nm
ee,若取?
=
2
1
,
nn
eOB,则 }1,{ ≥nB
n
是 A 的开覆盖．但由于每个
n
B 只包含一个
n
e,故其中不包含任何有限子族覆盖 A,注意 A 是
2
null 中的有界集，由于
A 中不存在 Cauchy 序列，所以它还是闭集,
此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间,Bolzano-Weierstrass 定理并不成立,
思考题
（ 1） 证明定义 1（ 4）下面“注意”中所说的事实。
（ 2） 证明完全有界集一定是有界集,
定理 1 设 X 是度量空间,XA?,则下面两条件等价,
（ 1） A 是紧集,
（ 2） A 中任一无穷序列 }{
n
x 包含有子序列 }{
k
n
x,xx
k
n
→ 并且 Ax∈,
证明 先设 A 紧,}{
n
x 是 A 中的无穷序列．若 }{
n
x 无子序列收敛于 A 中的元，则
Ax∈?,0>?
x
r 和自然数
x
n,使得?=≥ };{),(
xnx
nnxrxO ∩,注意到 ArxO
x
Ax
∈
),(∪,由 A
的紧性，存在
k
xx ′′,,
1
null,使得 ArxO
j
xj
k
j
′
′
=
),(
1
∪,但当 },,max{
1 k
xx
nnm
′′
≥ null 时，
=≥′
′
};{),( mnxrxO
nxj
j
∩,从而
=≥′?≥
′
=
};{),(};{
1
mnxrxOmnx
nxj
k
j
n
j
∩∪,
矛盾,
反之，为证 A 紧，设 };{ Λλ
λ
∈B 是 A 的一族开覆盖,x A? ∈,B
λ
,
λ
Bx ∈,
λ
B 是开集，故存在 0>r,
λ
BrxO?),(,记 },),(;sup{ Λλ
λ
∈?= BrxOrr
x
，显然 0>
x
r,我们证明
0inf
0
>=
∈
x
Ax
rr （称
0
r 是 A 的 Lebesque 数）,
由下确界定义,
n
x A?∈，
0
rr
n
x
→,根据定理中条件,存在子序列
n
n
x,Axx
n
n
∈→
0
,不妨设
0
0 λ
Bx ∈,于是存在
0
k,当
0
kk ≥ 时，
∈
2
,
0
0
x
n
r
xOx
n
，此时
()
00
0
,
2
,
0 λ
BrxO
r
xO
x
x
n
n
,
于是 )(
2
0
0
kk
r
r
x
x
k
n
≥>,0
2
lim
0
0
>≥=
∞→
x
x
k
r
rr
k
n
,（这说明紧集的 Lebesque 数大于 0,）
现在任取 Ax ∈
1
，若 ArxO?),(
01
并且
1
),(
01 λ
BrxO?,则
1
λ
B 覆盖 A,否则存在
),(\
012
rxOAx ∈,若 ArxO
i
i
=
),(
0
2
1
∪ 并且
2
),(
02 λ
BrxO?,则
1
λ
B,
2
B
λ
覆盖 A,否则又存在
),(\
0
2
1
3
rxOAx
i
i=
∈ ∪,…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列 }{
n
x,显然
)(),(
0
nmrxxd
nm
≠≥,}{
n
x 无收敛子序列，与（ 2 ）矛盾．于是对于某个
0
n 有
0
0
1
(,)
n
i
i
Oxr A
=
∪,设
i
BrxO
i λ
),(
0
,则
()
00
0
11
,
i
nn
i
ii
B Oxr A
λ
==
∪∪,A 被有限覆盖,};{ Λλ
λ
∈B
是任意的，由定义 A 是紧集,
推论 1 每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的,
这是因为对于紧集 A 中的每个序列 }{
n
x,若 xx
n
→,必有子列 Axx
k
n
∈→,故 A 闭．另一方面若 A 紧,XE? 是闭的，则对于 Ax
n
}{,有子列 xx
k
n
→′,E 闭，故 Ex∈,所以 E
紧,
定理 2 设 X 为度量空间,XA?,则下面两条件等价,
（ 1） A 是相对紧集,
（ 2） A 中任一无穷序列 }{
n
x 包含收敛子序列（极限点不必在 A 中）,
证明 1°若 A 紧,AAx
n
}{,由定理 1，存在子序列 }{
k
n
x,XAxx
k
n
∈→,
2°反之，设 }{
n
x 是 A 中的无穷序列，构造 A 中的无穷序列 }{
n
y,
,.
1
,\,,(,).
nn
n
nn n nn
xxA
y
xxAAxAdxx
n
∈?
=
′′′∈∈ <
若若取
则 Ay
n
}{,由（ 2）,存在子列 }{
k
n
y,Xyy
k
n
∈→,显然 Ay∈ 并且
1
(,) (,) (,) (,) 0,
kkkk k
nnnn n
k
dx y dx y dy y dy y
n
≤+≤+→
所以 yx
k
n
→,由定理 1 知 A 紧，从而 A 相对紧,
定理 3 设 X 是度量空间,XA?,则下面两条件等价,
（ 1） A 是完全有界集,
（ 2） A 中任一无穷序列 }{
n
x 包含 Cauchy 子序列,
证明 1°若 A 是完全有界的,Ax
n
}{,取
2
1
=ε,则 A 有有限
2
1
网,}{
n
x 是无限的，
故至少有一个半径为
2
1
的球包含无穷多个
n
x,记它们为 }{
1i
x,显然 1),(
11
<
ji
xxd,}{
1i
x 作为
A 的子集同样是完全有界的,现在取
2
2
1
=ε,}{
1i
x 有有限的
2
2
1
网，其中之一包含 }{
1i
x 中无穷多个元，记为 }{
2i
x,显然
2
1
),(
22
<
ji
xxd,…．如此下去，得到可数多个序列，每个序列是前面一个的子序列．利用对角线方法选取 }{
nn
x,它是 }{
n
x 的子序列，由我们的取法知道，
}{
nn
x 是 Cauchy 序列,
2°若 A 不是完全有界的，则存在 0
0
>ε,A 不具有有限
0
ε 网．换句话说任取 Ax ∈
1
，
AxO?
/
),(
01
ε,故有 ),(\
012
εxOAx ∈,又 AxO
i
i
/
=
),(
0
2
1
ε∪,从而有 null,
3
x,显然
0
),( ε≥
mn
xxd )( nm≠,}{
n
x 不包含任何 Cauchy 子序列，矛盾,
推论 2 设 X 是度量空间,XA?,
（ 1） A 是紧集则 A 必是相对紧的,
A是相对紧的则 A 必是完全有界的,
（ 2）若 A 是闭集，则 A 紧当且仅当 A 相对紧,
（ 3）若 X 完备，则 A 相对紧当且仅当 A 完全有界,
（ 4）整个空间 X 是紧的当且仅当 X 完备并且完全有界,
推论 3 设
n
A Φ?,则以下条件等价,
（ 1） A 是有界集,
（ 2） A 是完全有界集,
（ 3） A 是相对紧集．
特别地，在有限维线性赋范空间中 A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集,
证明 （ 3）?（ 2）?（ 1）是显然的,（ 1）?（ 3）根据 Bolzano-Weierstrass 定理得到,
定理 4 设 X,Y 是度量空间，其中 X 紧,YXT →,是连续映射，则
（ 1） )(XT 是紧集,
（ 2） T 在 X 上一致连续,即 0>?ε,0>?δ,对于任何 Xxx ∈′,，只要 δ<′),( xxd,
则 ε<′))(),(( xTxTd,
（ 3）若 f 是 X 上的实值连续函数，则 f 在 A 上可以达到上、下确界,
证明 1° 若 )(XTy
n
∈,不妨设 )(
nn
xTy =,Xx
n
∈,1≥n,X 紧，故存在 }{
k
n
x,
Xxx
k
n
∈→
0
，记 )(
00
xTy =,T 连续，故 )()()(
00
XTyxTxTy
kk
nn
∈=→=,由定理 1,)(XT
紧,
2°若不然，则存在 0
0
>ε,Xxx
nn
∈′,，
n
xxd
nn
1
),( <′,但
0
))(),(( ε≥′
nn
xTxTd,A 紧，
故存在 }{
k
n
x,Xxx
k
n
∈→
0
．从而
0
xx
k
n
→′,由 T 在
0
x 的连续性,
)()(
0
xTxT
k
n
→,)()(
0
xTxT
k
n
→′,
0))(),(())(),(())(),((
00
→′+≤′
kkkk
nnnn
xTxTdxTxTdxTxTd
这与
0
))(),(( ε≥′
kk
nn
xTxTd 矛盾,
3°由 1°,)(xf 在 R 中紧，故 )(xf 是有界集，记 )(sup xfa
Xx∈
=,由上确界定义，存在
Xx
n
∈,axf
n
→)(,X 紧,故 }{
n
x 中有子列 }{
k
n
x,Xxx
k
n
∈→
0
,所以 )()(
0
xfxf
k
n
→,
axf =)(
0
．对于下确界同样证明,
紧性在很多学科中都会用到,有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很重要的,
例 1 空间 )(?C 中的相对紧集,
设 ),( d? 是紧度量空间,)(?C 是? 上定义的标量值连续函数全体．定义
|)(|sup|||| txx
t?∈
=,)(?Cx∈?,（ 1）
容易验证,|||| x 有确定的意义 （即有限实数）,||||? 是 )(?C 上的范数并且 )(?C 是 Banach
空间,
)(?C 的子集 K 称为是等度连续的函数族,若 0>?ε,存在 0)( >= εδδ 使得?∈?
21
,tt,
δ<),(
21
ttd,则
ε<? |)()(|
21
txtx,Kx∈?,（ 2）
定理 5（ Arzela-Ascoli） )(?CK? 是相对紧集当且仅当 K 是 )(?C 中范数有界的等度连续函数族,
证明 充分性．由于 )(?C 的完备性只须证明 K 完全有界,
0ε?>，由等度连续性，取 0>δ 使得当 δ<′),( ttd 时，
3
|)()(|
ε
<′? txtx,? 是紧空间，
故有有限 δ 网
n
tt,,
1
null,使得?∈?t,i?,δ<),(
i
ttd,此时
3
|)()(|
ε
<?
i
txtx,（ 3）
记 })(:))(,),((
~
{
~
1
KtxtxtxxK
n
∈== null,K
~
是
n
Φ 中的点集，并且对于每个 Kx
~
~
∈,
∞<≤≤
∈∈
≤≤
=
∑
|)(|supsup|)(|max|)(|
1
1
2
txntxntx
tKx
i
ni
n
i
i
即 K
~
为
n
Φ 中的有界集，从而是完全有界集（推论 3）,
对于 ε,K
~
有有限
3
ε
网
k
xx
~
,,
~
1
null,我们证明,与
k
xx
~
,,
~
1
null 相应的函数
k
xx,,
1
null 是 K 的 ε 网,
实际上,Kx∈?,对应的 Ktxtxx
n
~
))(,),((
~
1
∈= null,从而有 ))(,),((
~
1 njjj
txtxx null= 使得
3
|)()(|
1
2
ε
<?
∑
=
n
i
iij
txtx,（ 4）
此时
3
|)()(|
ε
<?
iij
txtx,ni ≤≤1,
∈?t,取
i
t,使 δ<),(
i
ttd,则由（ 3）,（ 4）,
ε
εεε
=++<?+?+?≤?
333
|)()(||)()(||)()(||)()(| txtxtxtxtxtxtxtx
jijijiij
,
所以
ε
<?=?
∈
|)()(|max|||| txtxxx
j
t
j
,
即 ),( ε
j
xOx∈,K 是完全有界的,
必要性．设 K 是相对紧集，则 K 是范数有界集,
为证明 K 等度连续,0>?ε,设
k
xx,,
1
null 为 K 的
3
ε
网，每个
i
x )1( ki ≤≤ 在? 上连续，
从而一致连续．于是存在 0>δ,当 δ<′),( ttd 时,
3
|)()(|
ε
<′? txtx
ii
,1 ik≤ ≤,
对于每个 Kx∈,
|)()(||)()(||)()(||)()(| txtxtxtxtxtxtxtx
iiii
′?′+′?+?≤′?
|)()(|||||2 txtxxx
iii
′?+?<
ε
εε
=+<
33
2
．
故得之,
思考题
1,若函数族 |)(| tf
n
在紧集 A 上等度连续并且点点收敛，则 |)(| tf
n
在 A 上一致收敛,
2,设 ],[ baCE?,E 有界且满足 )10( ≤<αα 阶 Lipschitz 条件
12 12
|() ()| | |x txt Ltt
α
≤?,],[,
21
batt ∈,Ex∈?,
则 E 是 ],[ baC 中的相对紧集,
教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。
授课要点,
1,紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。
2,紧集在连续映射下的特性。
3,某些空间中紧子集的特征。
我们称集族 };{ Λλ
λ
∈B 覆盖 A，若,AB?
∈
λ
Λλ
∪
定义 1 设 X 是度量空间,XA?,
（ 1）称 A 是紧的，若 X 中的任一开集族覆盖 A 时，其中存在有限个开集仍覆盖 A,
（ 2） A 称为是相对紧的，若 A 紧,
（ 3）称 XE? 是 A 的 ε 网，若 AxO
Ex
∈
),( ε∪,
（ 4）称 A 是完全有界的，若 0>?ε,X 中存在由有限个元素构成的 A 的 ε 网,
注意，在定义 1（ 3）中，作为 A 的 ε 网的集合 E,并没有要求 XE?,对于一个集合来说，是否要求 XE? 并不改变其完全有界性,
首先让我们来看一个例子,
对于
2
null=X,若 ),0,1,0,,0( null
nullnullnullnullnull
null
n
n
e =,则 1||||
2
=
n
e,令 }1;{ ≥= neA
n
，则 A 不是紧集．实际上,nm≠?,2|||| =?
nm
ee,若取?
=
2
1
,
nn
eOB,则 }1,{ ≥nB
n
是 A 的开覆盖．但由于每个
n
B 只包含一个
n
e,故其中不包含任何有限子族覆盖 A,注意 A 是
2
null 中的有界集，由于
A 中不存在 Cauchy 序列，所以它还是闭集,
此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间,Bolzano-Weierstrass 定理并不成立,
思考题
（ 1） 证明定义 1（ 4）下面“注意”中所说的事实。
（ 2） 证明完全有界集一定是有界集,
定理 1 设 X 是度量空间,XA?,则下面两条件等价,
（ 1） A 是紧集,
（ 2） A 中任一无穷序列 }{
n
x 包含有子序列 }{
k
n
x,xx
k
n
→ 并且 Ax∈,
证明 先设 A 紧,}{
n
x 是 A 中的无穷序列．若 }{
n
x 无子序列收敛于 A 中的元，则
Ax∈?,0>?
x
r 和自然数
x
n,使得?=≥ };{),(
xnx
nnxrxO ∩,注意到 ArxO
x
Ax
∈
),(∪,由 A
的紧性，存在
k
xx ′′,,
1
null,使得 ArxO
j
xj
k
j
′
′
=
),(
1
∪,但当 },,max{
1 k
xx
nnm
′′
≥ null 时，
=≥′
′
};{),( mnxrxO
nxj
j
∩,从而
=≥′?≥
′
=
};{),(};{
1
mnxrxOmnx
nxj
k
j
n
j
∩∪,
矛盾,
反之，为证 A 紧，设 };{ Λλ
λ
∈B 是 A 的一族开覆盖,x A? ∈,B
λ
,
λ
Bx ∈,
λ
B 是开集，故存在 0>r,
λ
BrxO?),(,记 },),(;sup{ Λλ
λ
∈?= BrxOrr
x
，显然 0>
x
r,我们证明
0inf
0
>=
∈
x
Ax
rr （称
0
r 是 A 的 Lebesque 数）,
由下确界定义,
n
x A?∈，
0
rr
n
x
→,根据定理中条件,存在子序列
n
n
x,Axx
n
n
∈→
0
,不妨设
0
0 λ
Bx ∈,于是存在
0
k,当
0
kk ≥ 时，
∈
2
,
0
0
x
n
r
xOx
n
，此时
()
00
0
,
2
,
0 λ
BrxO
r
xO
x
x
n
n
,
于是 )(
2
0
0
kk
r
r
x
x
k
n
≥>,0
2
lim
0
0
>≥=
∞→
x
x
k
r
rr
k
n
,（这说明紧集的 Lebesque 数大于 0,）
现在任取 Ax ∈
1
，若 ArxO?),(
01
并且
1
),(
01 λ
BrxO?,则
1
λ
B 覆盖 A,否则存在
),(\
012
rxOAx ∈,若 ArxO
i
i
=
),(
0
2
1
∪ 并且
2
),(
02 λ
BrxO?,则
1
λ
B,
2
B
λ
覆盖 A,否则又存在
),(\
0
2
1
3
rxOAx
i
i=
∈ ∪,…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列 }{
n
x,显然
)(),(
0
nmrxxd
nm
≠≥,}{
n
x 无收敛子序列，与（ 2 ）矛盾．于是对于某个
0
n 有
0
0
1
(,)
n
i
i
Oxr A
=
∪,设
i
BrxO
i λ
),(
0
,则
()
00
0
11
,
i
nn
i
ii
B Oxr A
λ
==
∪∪,A 被有限覆盖,};{ Λλ
λ
∈B
是任意的，由定义 A 是紧集,
推论 1 每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的,
这是因为对于紧集 A 中的每个序列 }{
n
x,若 xx
n
→,必有子列 Axx
k
n
∈→,故 A 闭．另一方面若 A 紧,XE? 是闭的，则对于 Ax
n
}{,有子列 xx
k
n
→′,E 闭，故 Ex∈,所以 E
紧,
定理 2 设 X 为度量空间,XA?,则下面两条件等价,
（ 1） A 是相对紧集,
（ 2） A 中任一无穷序列 }{
n
x 包含收敛子序列（极限点不必在 A 中）,
证明 1°若 A 紧,AAx
n
}{,由定理 1，存在子序列 }{
k
n
x,XAxx
k
n
∈→,
2°反之，设 }{
n
x 是 A 中的无穷序列，构造 A 中的无穷序列 }{
n
y,
,.
1
,\,,(,).
nn
n
nn n nn
xxA
y
xxAAxAdxx
n
∈?
=
′′′∈∈ <
若若取
则 Ay
n
}{,由（ 2）,存在子列 }{
k
n
y,Xyy
k
n
∈→,显然 Ay∈ 并且
1
(,) (,) (,) (,) 0,
kkkk k
nnnn n
k
dx y dx y dy y dy y
n
≤+≤+→
所以 yx
k
n
→,由定理 1 知 A 紧，从而 A 相对紧,
定理 3 设 X 是度量空间,XA?,则下面两条件等价,
（ 1） A 是完全有界集,
（ 2） A 中任一无穷序列 }{
n
x 包含 Cauchy 子序列,
证明 1°若 A 是完全有界的,Ax
n
}{,取
2
1
=ε,则 A 有有限
2
1
网,}{
n
x 是无限的，
故至少有一个半径为
2
1
的球包含无穷多个
n
x,记它们为 }{
1i
x,显然 1),(
11
<
ji
xxd,}{
1i
x 作为
A 的子集同样是完全有界的,现在取
2
2
1
=ε,}{
1i
x 有有限的
2
2
1
网，其中之一包含 }{
1i
x 中无穷多个元，记为 }{
2i
x,显然
2
1
),(
22
<
ji
xxd,…．如此下去，得到可数多个序列，每个序列是前面一个的子序列．利用对角线方法选取 }{
nn
x,它是 }{
n
x 的子序列，由我们的取法知道，
}{
nn
x 是 Cauchy 序列,
2°若 A 不是完全有界的，则存在 0
0
>ε,A 不具有有限
0
ε 网．换句话说任取 Ax ∈
1
，
AxO?
/
),(
01
ε,故有 ),(\
012
εxOAx ∈,又 AxO
i
i
/
=
),(
0
2
1
ε∪,从而有 null,
3
x,显然
0
),( ε≥
mn
xxd )( nm≠,}{
n
x 不包含任何 Cauchy 子序列，矛盾,
推论 2 设 X 是度量空间,XA?,
（ 1） A 是紧集则 A 必是相对紧的,
A是相对紧的则 A 必是完全有界的,
（ 2）若 A 是闭集，则 A 紧当且仅当 A 相对紧,
（ 3）若 X 完备，则 A 相对紧当且仅当 A 完全有界,
（ 4）整个空间 X 是紧的当且仅当 X 完备并且完全有界,
推论 3 设
n
A Φ?,则以下条件等价,
（ 1） A 是有界集,
（ 2） A 是完全有界集,
（ 3） A 是相对紧集．
特别地，在有限维线性赋范空间中 A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集,
证明 （ 3）?（ 2）?（ 1）是显然的,（ 1）?（ 3）根据 Bolzano-Weierstrass 定理得到,
定理 4 设 X,Y 是度量空间，其中 X 紧,YXT →,是连续映射，则
（ 1） )(XT 是紧集,
（ 2） T 在 X 上一致连续,即 0>?ε,0>?δ,对于任何 Xxx ∈′,，只要 δ<′),( xxd,
则 ε<′))(),(( xTxTd,
（ 3）若 f 是 X 上的实值连续函数，则 f 在 A 上可以达到上、下确界,
证明 1° 若 )(XTy
n
∈,不妨设 )(
nn
xTy =,Xx
n
∈,1≥n,X 紧，故存在 }{
k
n
x,
Xxx
k
n
∈→
0
，记 )(
00
xTy =,T 连续，故 )()()(
00
XTyxTxTy
kk
nn
∈=→=,由定理 1,)(XT
紧,
2°若不然，则存在 0
0
>ε,Xxx
nn
∈′,，
n
xxd
nn
1
),( <′,但
0
))(),(( ε≥′
nn
xTxTd,A 紧，
故存在 }{
k
n
x,Xxx
k
n
∈→
0
．从而
0
xx
k
n
→′,由 T 在
0
x 的连续性,
)()(
0
xTxT
k
n
→,)()(
0
xTxT
k
n
→′,
0))(),(())(),(())(),((
00
→′+≤′
kkkk
nnnn
xTxTdxTxTdxTxTd
这与
0
))(),(( ε≥′
kk
nn
xTxTd 矛盾,
3°由 1°,)(xf 在 R 中紧，故 )(xf 是有界集，记 )(sup xfa
Xx∈
=,由上确界定义，存在
Xx
n
∈,axf
n
→)(,X 紧,故 }{
n
x 中有子列 }{
k
n
x,Xxx
k
n
∈→
0
,所以 )()(
0
xfxf
k
n
→,
axf =)(
0
．对于下确界同样证明,
紧性在很多学科中都会用到,有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很重要的,
例 1 空间 )(?C 中的相对紧集,
设 ),( d? 是紧度量空间,)(?C 是? 上定义的标量值连续函数全体．定义
|)(|sup|||| txx
t?∈
=,)(?Cx∈?,（ 1）
容易验证,|||| x 有确定的意义 （即有限实数）,||||? 是 )(?C 上的范数并且 )(?C 是 Banach
空间,
)(?C 的子集 K 称为是等度连续的函数族,若 0>?ε,存在 0)( >= εδδ 使得?∈?
21
,tt,
δ<),(
21
ttd,则
ε<? |)()(|
21
txtx,Kx∈?,（ 2）
定理 5（ Arzela-Ascoli） )(?CK? 是相对紧集当且仅当 K 是 )(?C 中范数有界的等度连续函数族,
证明 充分性．由于 )(?C 的完备性只须证明 K 完全有界,
0ε?>，由等度连续性，取 0>δ 使得当 δ<′),( ttd 时，
3
|)()(|
ε
<′? txtx,? 是紧空间，
故有有限 δ 网
n
tt,,
1
null,使得?∈?t,i?,δ<),(
i
ttd,此时
3
|)()(|
ε
<?
i
txtx,（ 3）
记 })(:))(,),((
~
{
~
1
KtxtxtxxK
n
∈== null,K
~
是
n
Φ 中的点集，并且对于每个 Kx
~
~
∈,
∞<≤≤
∈∈
≤≤
=
∑
|)(|supsup|)(|max|)(|
1
1
2
txntxntx
tKx
i
ni
n
i
i
即 K
~
为
n
Φ 中的有界集，从而是完全有界集（推论 3）,
对于 ε,K
~
有有限
3
ε
网
k
xx
~
,,
~
1
null,我们证明,与
k
xx
~
,,
~
1
null 相应的函数
k
xx,,
1
null 是 K 的 ε 网,
实际上,Kx∈?,对应的 Ktxtxx
n
~
))(,),((
~
1
∈= null,从而有 ))(,),((
~
1 njjj
txtxx null= 使得
3
|)()(|
1
2
ε
<?
∑
=
n
i
iij
txtx,（ 4）
此时
3
|)()(|
ε
<?
iij
txtx,ni ≤≤1,
∈?t,取
i
t,使 δ<),(
i
ttd,则由（ 3）,（ 4）,
ε
εεε
=++<?+?+?≤?
333
|)()(||)()(||)()(||)()(| txtxtxtxtxtxtxtx
jijijiij
,
所以
ε
<?=?
∈
|)()(|max|||| txtxxx
j
t
j
,
即 ),( ε
j
xOx∈,K 是完全有界的,
必要性．设 K 是相对紧集，则 K 是范数有界集,
为证明 K 等度连续,0>?ε,设
k
xx,,
1
null 为 K 的
3
ε
网，每个
i
x )1( ki ≤≤ 在? 上连续，
从而一致连续．于是存在 0>δ,当 δ<′),( ttd 时,
3
|)()(|
ε
<′? txtx
ii
,1 ik≤ ≤,
对于每个 Kx∈,
|)()(||)()(||)()(||)()(| txtxtxtxtxtxtxtx
iiii
′?′+′?+?≤′?
|)()(|||||2 txtxxx
iii
′?+?<
ε
εε
=+<
33
2
．
故得之,
思考题
1,若函数族 |)(| tf
n
在紧集 A 上等度连续并且点点收敛，则 |)(| tf
n
在 A 上一致收敛,
2,设 ],[ baCE?,E 有界且满足 )10( ≤<αα 阶 Lipschitz 条件
12 12
|() ()| | |x txt Ltt
α
≤?,],[,
21
batt ∈,Ex∈?,
则 E 是 ],[ baC 中的相对紧集,
