第5讲 不动点定理
教学目的：掌握压缩映象原理并应用于解各种 算子方程的问题。
授课要点,
1,压缩映象与压缩映象原理。
2,利用压缩映象原理解微分方程、积分方程和代数方程组。
求解各种类型（代数，积分，微分）的方程时，首先遇到的是解的存在性和惟一性问题．这类问题在泛函分析中即所谓不动点问题．其中关于不动点的存在性往往是与空间的完备性直接有关的,
定义 设X是度量空间，XXT →:是一个映射（不必线性），若存在a，10 <≤a使得
XyxyxdaTyTxd ∈?≤,),,(),( （1）
则称T是X上的一个压缩映射,
容易验证压缩映射在每一点是连续的,
若存在Xx ∈
0
使得
00
xTx =，则称
0
x是T的不动点,
定理1 完备度量空间上的压缩映射具有惟一的不动点,
证 明 任取Xx ∈
0
，则
0
Tx，)(
00
2
TxTxT =，…，)(
0
1
0
xTTxT
nn?
=
可归纳地予以定义．我们证明}{
0
xT
n
是X中的Cauchy序列,
实际上由压缩性,
),(),(),(
000
1
000
1
xTxdaxTxTadxTxTd
nnnnn
≤≤≤
+
",
从而对于任何自然数p,
),(),(
0000
xxTdaxTxTd
pnnpn
≤
+
)),(),((
000
1
0
xTxdxTxTda
ppn
++≤
"
),()1(
00
21
xTxdaaa
ppn
+++≤
"
),(
1
00
xTxd
a
a
n
≤ （2）
0
x与
0
Tx是X中两个固定的点，由于10 <≤a，不难知道}{
0
xT
n
是Cauchy序列,
X是完备的，不妨设xxT
n
n
=
∞→
0
lim，Xx∈．由T的连续性
xxTxTTxTTxT
n
n
n
n
n
n
====
+
∞→∞→∞→
0
1
00
lim)(lim)lim(,
x是T的不动点．这说明不动点是存在的,
若另有Xy∈，yyT =，则仍由压缩性
),(),(),( yxadyTxTdyxd ≤=，
此时必有0),( =yxd，从而yx =．这说明不动点是惟一的,
定理得证,
注意在不等式（2）中令∞→p，由于xxT
pn
p
=
+
∞→
0
lim，可以得到
),(
1
),(
000
xTxd
a
a
xxTd
n
n
≤,（3）
此式给出了
0
x经过T的n次迭代后到x的距离的估计,
命题 设XXT →:是X上的映射，若对于某个自然数k，
k
T有惟一不动点，则T以同一点为惟一不动点,
证明 设Xx ∈
0
是
k
T的惟一不动点，
00
xxT
k
=，则)()(
000
TxTxTTTx
kk
==．这说明
0
Tx
是
k
T的不动点．由惟一性知道
00
xTx =．又T的每个不动点必是
k
T的不动点，所以T的不动点是惟一的,
例1 考虑具有初值条件的微分方程
),( yxf
dx
dy
=，
00
)( yxy = （4）
其中),( yxf是二元连续函数并且满足关于y的Lipschitz条件,
|||),(),(|
2121
yyLyxfyxf?≤?，],[
00
δ+∈? xxx，∞<<?∞
21
,yy,
则当1Lδ <时，此微分方程存在惟一连续解,
实际上，若考虑映射],[],[,baCbaCT →（这里记
0
xa =，δ+=
0
xb）,
∫
+=
x
x
ttytfyxTy
0
d))(,())((
0
，[,],x ab∈ ],[)( baCxyy ∈=?,（5）
则y是方程（4）的解当且仅当y是T的不动点．由Lipschitz条件，按],[ baC中的范数有
||||),(
2121
TyTyTyTyd?=
∫
=
∈
x
xbat
ttytftytf
0
d))](,())(,([max
21
],[
∫
≤
∈
x
xbat
ttytyL
0
d|)()(|max
21
],[
|)()(|max||
21
],[
0
tytyxxL
bat
≤
∈
||||
21
yyL?≤δ
当1Lδ <时T是压缩的，由于],[ baC是完备的，定理1表明T有惟一不动点．从而方程（1）
存在惟一连续解,
例2 设),( tsK是矩形sa≤，bt ≤上的连续函数，∞<=
≤≤
MtsK
btsa
|),(|sup
,
．对于每个
Φμ∈，考虑Volterra型积分方程
)(d)(),()( txtKtx
t
a
τττμ +=
∫
,（6）
其中],[)( baCt ∈?．我们证明此方程在],[ baC中存在惟一解,
实际上，考虑映射],[],[,baCbaCT →,
)(d)(),())(( txtKtTx
t
a
τττμ +=
∫
，],[ baCx∈?
则T的不动点即是（6）的解。由于
∫
=?
t
a
yxtKtTytTx ττττμ d))()()((,(|||))(())((|
|||)()(|sup|| attytxM
bta
≤
≤≤
μ
),()(|| yxdatM?= μ （7）
直接对于左端取上确界未必会得到T的压缩性,所以需要考虑别的途径,实际上对于（7）两端关于t再积分，归纳地，若
),(
!
)(
|||))(())((| yxd
n
at
MtyTtxT
n
nnnn
≤? μ,
则
∫
=?
++
t
a
nnnn
yTxTtKtyTtxT ττττμ d)))(())()((,(|||))(())((|
11
),(d)(
!
1
||
11
yxda
n
M
t
a
nnn
∫
≤
++
ττμ
),(
)!1(
)(
||
1
11
yxd
n
at
M
n
nn
+
=
+
++
μ,
由此得到对于任何自然数n，
|))(())((|sup),( tyTtxTyTxTd
nn
bta
nn
=
≤≤
),(
!
)(||
yxd
n
abM
nnn
≤
μ
,
取n足够大，可使1
!
)(||
<
n
abM
nnn
μ
，此时
n
T成为],[ baC上的压缩映射．],[ baC完备，
所以
n
T有惟一不动点．再由命题1，T有同一不动点．它即是方程（6）的解,
对于线性空间X上的一个算子XXT →:，算子方程yTx =的求解问题很容易变成一个不动点的存在问题．例如设
yTxxVx?+=,
则V的不动点即是yTx =的解．让我们给出一个很一般的例,
例3 设X是Banach空间，U是从X到X中的算子，若
2121
xxaUxUx?≤?，Xxx ∈?
21
,,
其中10 <≤a，则方程yxUx +=有惟一解,
实际上，如上面所述，令yUxVx?=，则
212121
xxaUxUxVxVx?≤?=?，Xxx ∈?
21
,,
即V是X上的压缩映射．X完备，故存在xxVXx =∈,，从而yxUx?=，x是yxUx +=的惟一解,
在很多实际应用中，压缩映象的条件还是过于严格了,为了解决这些问题提出了各种各样的别的条件，比如“非扩张的”,甚至“扩张的”映射等,另外随着学科的发展又提出了
“随机的”和“集值的”映射等等,它们也都有相应的不动点定理,总之，至今有关“不动点定理”的问题已经发展成为内容十分丰富的体系，他们在解决理论和应用的许多问题中都提供了有力的工具，读者对此应有足够的重视,
教学目的：掌握压缩映象原理并应用于解各种 算子方程的问题。
授课要点,
1,压缩映象与压缩映象原理。
2,利用压缩映象原理解微分方程、积分方程和代数方程组。
求解各种类型（代数，积分，微分）的方程时，首先遇到的是解的存在性和惟一性问题．这类问题在泛函分析中即所谓不动点问题．其中关于不动点的存在性往往是与空间的完备性直接有关的,
定义 设X是度量空间，XXT →:是一个映射（不必线性），若存在a，10 <≤a使得
XyxyxdaTyTxd ∈?≤,),,(),( （1）
则称T是X上的一个压缩映射,
容易验证压缩映射在每一点是连续的,
若存在Xx ∈
0
使得
00
xTx =，则称
0
x是T的不动点,
定理1 完备度量空间上的压缩映射具有惟一的不动点,
证 明 任取Xx ∈
0
，则
0
Tx，)(
00
2
TxTxT =，…，)(
0
1
0
xTTxT
nn?
=
可归纳地予以定义．我们证明}{
0
xT
n
是X中的Cauchy序列,
实际上由压缩性,
),(),(),(
000
1
000
1
xTxdaxTxTadxTxTd
nnnnn
≤≤≤
+
",
从而对于任何自然数p,
),(),(
0000
xxTdaxTxTd
pnnpn
≤
+
)),(),((
000
1
0
xTxdxTxTda
ppn
++≤
"
),()1(
00
21
xTxdaaa
ppn
+++≤
"
),(
1
00
xTxd
a
a
n
≤ （2）
0
x与
0
Tx是X中两个固定的点，由于10 <≤a，不难知道}{
0
xT
n
是Cauchy序列,
X是完备的，不妨设xxT
n
n
=
∞→
0
lim，Xx∈．由T的连续性
xxTxTTxTTxT
n
n
n
n
n
n
====
+
∞→∞→∞→
0
1
00
lim)(lim)lim(,
x是T的不动点．这说明不动点是存在的,
若另有Xy∈，yyT =，则仍由压缩性
),(),(),( yxadyTxTdyxd ≤=，
此时必有0),( =yxd，从而yx =．这说明不动点是惟一的,
定理得证,
注意在不等式（2）中令∞→p，由于xxT
pn
p
=
+
∞→
0
lim，可以得到
),(
1
),(
000
xTxd
a
a
xxTd
n
n
≤,（3）
此式给出了
0
x经过T的n次迭代后到x的距离的估计,
命题 设XXT →:是X上的映射，若对于某个自然数k，
k
T有惟一不动点，则T以同一点为惟一不动点,
证明 设Xx ∈
0
是
k
T的惟一不动点，
00
xxT
k
=，则)()(
000
TxTxTTTx
kk
==．这说明
0
Tx
是
k
T的不动点．由惟一性知道
00
xTx =．又T的每个不动点必是
k
T的不动点，所以T的不动点是惟一的,
例1 考虑具有初值条件的微分方程
),( yxf
dx
dy
=，
00
)( yxy = （4）
其中),( yxf是二元连续函数并且满足关于y的Lipschitz条件,
|||),(),(|
2121
yyLyxfyxf?≤?，],[
00
δ+∈? xxx，∞<<?∞
21
,yy,
则当1Lδ <时，此微分方程存在惟一连续解,
实际上，若考虑映射],[],[,baCbaCT →（这里记
0
xa =，δ+=
0
xb）,
∫
+=
x
x
ttytfyxTy
0
d))(,())((
0
，[,],x ab∈ ],[)( baCxyy ∈=?,（5）
则y是方程（4）的解当且仅当y是T的不动点．由Lipschitz条件，按],[ baC中的范数有
||||),(
2121
TyTyTyTyd?=
∫
=
∈
x
xbat
ttytftytf
0
d))](,())(,([max
21
],[
∫
≤
∈
x
xbat
ttytyL
0
d|)()(|max
21
],[
|)()(|max||
21
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0
tytyxxL
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≤
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||||
21
yyL?≤δ
当1Lδ <时T是压缩的，由于],[ baC是完备的，定理1表明T有惟一不动点．从而方程（1）
存在惟一连续解,
例2 设),( tsK是矩形sa≤，bt ≤上的连续函数，∞<=
≤≤
MtsK
btsa
|),(|sup
,
．对于每个
Φμ∈，考虑Volterra型积分方程
)(d)(),()( txtKtx
t
a
τττμ +=
∫
,（6）
其中],[)( baCt ∈?．我们证明此方程在],[ baC中存在惟一解,
实际上，考虑映射],[],[,baCbaCT →,
)(d)(),())(( txtKtTx
t
a
τττμ +=
∫
，],[ baCx∈?
则T的不动点即是（6）的解。由于
∫
=?
t
a
yxtKtTytTx ττττμ d))()()((,(|||))(())((|
|||)()(|sup|| attytxM
bta
≤
≤≤
μ
),()(|| yxdatM?= μ （7）
直接对于左端取上确界未必会得到T的压缩性,所以需要考虑别的途径,实际上对于（7）两端关于t再积分，归纳地，若
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!
)(
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n
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MtyTtxT
n
nnnn
≤? μ,
则
∫
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++
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nnnn
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11
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!
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11
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M
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μ,
由此得到对于任何自然数n，
|))(())((|sup),( tyTtxTyTxTd
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≤≤
),(
!
)(||
yxd
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nnn
≤
μ
,
取n足够大，可使1
!
)(||
<
n
abM
nnn
μ
，此时
n
T成为],[ baC上的压缩映射．],[ baC完备，
所以
n
T有惟一不动点．再由命题1，T有同一不动点．它即是方程（6）的解,
对于线性空间X上的一个算子XXT →:，算子方程yTx =的求解问题很容易变成一个不动点的存在问题．例如设
yTxxVx?+=,
则V的不动点即是yTx =的解．让我们给出一个很一般的例,
例3 设X是Banach空间，U是从X到X中的算子，若
2121
xxaUxUx?≤?，Xxx ∈?
21
,,
其中10 <≤a，则方程yxUx +=有惟一解,
实际上，如上面所述，令yUxVx?=，则
212121
xxaUxUxVxVx?≤?=?，Xxx ∈?
21
,,
即V是X上的压缩映射．X完备，故存在xxVXx =∈,，从而yxUx?=，x是yxUx +=的惟一解,
在很多实际应用中，压缩映象的条件还是过于严格了,为了解决这些问题提出了各种各样的别的条件，比如“非扩张的”,甚至“扩张的”映射等,另外随着学科的发展又提出了
“随机的”和“集值的”映射等等,它们也都有相应的不动点定理,总之，至今有关“不动点定理”的问题已经发展成为内容十分丰富的体系，他们在解决理论和应用的许多问题中都提供了有力的工具，读者对此应有足够的重视,
