1
第21讲 共轭算子与一、五线性泛函
教学目的：掌握 Hilbert 空间上几类常用算子的性质。
讲解要点,
1 Hilbert 空间上线性泛函与线性算子的表现定理。
2 自伴算子的基本性质。
3 酉算子与正常算子的概念与属性。
定理1 (Riesz表现定理) 设H是Hilbert空间,
(1) yH? ∈,)(xf = ),( yx是H上的连续线性泛函并且
f = y,(4-3-1)
(2) 若f是H上的连续线性泛函,则存在唯一的Hy∈使得
)(xf = ),( yx,Hx∈? (4-3-2)
证明
D
1 设Hxx ∈
21
,,Φ∈βα,,则
)(
21
xxf βα + = ),(
21
yxx βα +
= α ( yx,
1
)+ β ( yx,
2
) =α )(
1
xf + β )(
2
xf,
f是线性的,又由不等式)(xf = ),( yx ≤ x y,f ≤ y,f连续,
若0=y,显然f = 0 = y,若0≠y,取yx =,则()f y = ),( yy
=
2
y,故f ≥ )(
y
y
f = y,总之,f = y,
D
2 若0,f = 取0=y即可,若0,f ≠ 设)( fNE =,E是H
的闭极大真子空间,设
⊥
⊕= EEH,{ }0≠
⊥
E,取
⊥
∈Ez,1=z,
2
则0)( ≠zf,令zzfy )(=,
⊥
∈Ey,由于x H? ∈,z
zf
xf
x
)(
)(
E∈,于是
0 = ( z
zf
xf
x
)(
)(
,y )
= ),( yx?(
()
()
f x
z
f z
,zzf )( )
= ),( yx? ),)(( zzxf
= ),( yx? )(xf
即)(xf = ),( yx,Hx∈?,由
D
1还知道 f = y,
若另有'yH∈使得)(xf = (,')x y,Hx∈?,则),( yx = (,')x y,
Hx∈?,即(,') 0,xy y?= 此时必有'.yy=
称定理1中的y为线性泛函f的表现,
记H上的连续线性泛函全体为
*
H,定理1表明从集合论的观点来看,H与
*
H是相同的,
定理2 设H是Hilbert空间,
*
H是H的共轭空间,
(1) 若映射HHT →
*
:,yTf =,其中y是f的表现,则
)(
21
ffT βα + = )(
1
fTα + )(
2
fTβ,
1
f?,
*
2
Hf ∈,(4-3-2)
T是到上的并且
*
f H?∈,Tf = f,
(2) ),( TgTf = (,)f g,
1
f?,
*
Hg∈,(4-3-3)
(3) 若J是从H到
**
H的自然嵌入算子,J是到上的线性映射
并且Jx = x,Hx∈?,
通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的,
证 明
D
1 设
11
yTf =,
22
yTf =,Φ∈βα,,则,x H? ∈
3
)(
1
xf = ),(
1
yx,)(
2
xf = ),(
2
yx,于是
(
21
ff βα + )( x )=α )(
1
xf + β )(
2
xf
=α ),(
1
yx + β ),(
2
yx = (,x
21
yy βα + ),
即)(
21
ffT βα + =
21
yy βα + = )(
1
fTα + )(
2
fTβ,由定理1知道T是到上的并且 Tf = y = f,
*
f H?∈,
D
2 由 )( gfT + = gf +,)( gfT? = gf?,则
Re ),( TgTf = ])()([
4
1 22
gfTgfT+
= ][
4
1 22
gfgf+ = Re ),( gf,
将f换为if,则
Re ),( TgTif = Re ),( gif,
又由T的共轭线性 ),( TgTf = ),( TgTifi,所以
Im ),( TgTf = Re ),( TgTif = Re ),( gif =?Im ),( gf,
从而
),( TgTf = ),( gf,f?,
*
Hg∈,
D
3 设J是从H到
**
H的自然嵌入算子,则Hx∈?,
)(yJx = )(xy,
*
Hy∈?,
若Hxx ∈
21
,,Φ∈βα,,则
)(
21
xxJ βα + )(y = )(
21
xxy βα +
= )()(
21
xyxy βα + = )()(
21
yJxyJx βα +
= ))((
21
yJxJx βα +
y是任意的,故)(
21
xxJ βα +＝
21
JxJx βα +。
x H
∈，由定理1，存在
∈Hy，使得),()(
= yffx,
4
*
Hf ∈?并且
= yx。若T是
D
1中的映射，不妨设xTy =
，由
D
2,
),()(
= yffx＝),( TfTy
= )(xf,
故
= xJx。J是到上的并且
= xJx＝
y＝
Ty＝x,
定理得证,
这里注意HHT →
:是共轭线性的但不是线性的,因此按照线性同构的观点来看，当Φ是复空间时，HH ≠
,尽管
H与H之间存在一一的到上的映射,另一方面，定理2（3）与我们关于一致凸空间的结论是一致的，即Hilbert空间是自反空间，从而Hilbert空间的闭单位球是ω紧的等等,
定义1 设H是Hilbert空间,,Φ→×HH:?是一映射,
(1) 称?是一、五线性的，若Hzyx ∈?,,，Φ∈βα,,
),( zyx βα? +＝),( zxα?＋),( zyβ?
),( zyx βα? +＝),( yx?α＋),( zx?β,（4-3-5）
(2) 称?是对称（或Hermite）的，若),( yx?＝),( xy?,
(3) 称?是有界的，若存在0>C,
≤|),(| yx? yxC?，Hyx ∈?,,
此时记其范数为
sup{| (,) |,1,1}xy x y=≤≤,（4-3-5）
下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理,
定理3 设H是Hilbert空间,则Φ→×HH:?是有界一、五线性泛函当且仅当存在)(HBT ∈，使得
),(),( yTxyx =? Hyx ∈?,,（4-3- 6）
此时有T=?,
5
证 明 充分性,设)(HBT ∈,记),(),( yTxyx =?，则
Hzyx ∈?,,，Φ∈βα,,
)),((),( zyxTzyx βαβα? +=+
= ),( zTxα + ),( zTyβ = ),( zxα? + ),( zyβ?,
),(),( zyTxzyx βαβα? +=+ = ),( yx?α + ),( zx?β,
由于
),( yx? = ),( yTx ≤ Tx y ≤ T x y,
于是? ≤ T,?是有界的,
必要性,若),( yx?是有界一、五线性的,x H? ∈,令
)(yf = ),( yx?，Hy∈?是H上的连续线性泛函,实际上,由定义
)(yf = ),( yx? ≤? x y,
由定理1,存在Hz∈使得)(yf = ),( zy,记HHT →:,zTx =,则一方面
),( yTx = ),( yz = ),( zy = )(yf = ),( yx?,Hyx ∈?,,
另一方面,若0≠Tx,令
Tx
Tx
y =,则
Tx =
Tx
TxTx ),(
= x
Tx
Tx
x
x
T )),(( = x
Tx
Tx
x
x
),(? ≤? x
故T ≤?,
T是由?唯一决定的,实际上,若另有
1
T使得
),(
1
yxT = ),( yx? = ),( yTx,Hyx ∈?,,
则由y的任意性,必有xT
1
=Tx,再由x的任意性得到TT =
1
,最后由上面证明知道T =?,
定理4 设H是Hilbert空间,则()ABH? ∈,存在唯一的
)(HBB∈使得
6
(,)Axy= (,)x By,Hyx ∈?,,(4-3-7)
证 明 令),( yx? = ( Ayx,)，则?是一、五线性泛函并且
),( yx? = ),( Ayx ≤ x Ay ≤ A x y,
是有界的,由定理3,存在)(HBB∈使得),( yx? = (,)Bxy,于是
( xAy,)=( Bxy,),交换x与y的符号即得( yAx,) = ( Byx,),
定义2 设H是Hilbert空间,)(HBT ∈,若存在)(
*
HBT ∈使得),( yTx = ),(
*
yTx,Hyx ∈?,,
称
*
T是T的伴随算子,
定理4说明,对于任一有界线性算子)(HBT ∈,相应于T的伴随算子存在,此外,在 $2中我们讨论过自伴算子,自伴算子即满足
*
T = T的伴随算子,注意。与Banish空间情况略有不同的是，映射
*
TT→是共轭线性的,
命 题 设H是Hilbert空间,)(HBA∈,以下诸条件等价,
(1) 是自伴算子,
(2) ),( yx? =( yAx,) 是对称的,
若H是复空间,则以上还等价于,
(3) Hx∈?,),( xx? = ( xAx,) 是实数,
证 明 (1)?(2),只需注意,,x yH? ∈
),( yx? = ( yAx,) = ( Ayx,) = ),( xAy = ),( xy?,
(2)?(1),注意 ( yAx,)= ),( yx? = ),( xy? = ),( xAy = ( Ayx,),
(1)?(3),),( xx? = ),( Axx = ( xAx,) = ),( xx?,所以),( xx?是实数,
现在设H是复空间,我们证明(3)?(2)成立,实际上利用极化恒等式可得到
7
4 ),( yx? = 4( yAx,)
= ( yxyxA ++ ),( )－( yxyxA ),( )
+ i ( iyxiyxA ++ ),( )－i ( iyxiyxA ),( )
= ),( yxyx ++?－),( yxyx
+ ),( iyxiyxi ++?－),( iyxiyxi,
利用),( xx?是实数容易得出),( yx? = ),( xy?,故为对称的,
例1 设
{ }
:1
j
ejn≤≤是
n
C的规范正交基,()
n
ABC∈,其中
k
Ae =
1
n
jk j
j
ae
=
∑
,1,,kn= "
A对应的是nn×阶方阵()
jk
a,其中
jk
a =(,
kj
Aee),
x? =
1
n
kk
k
x e
=
∑
,=Ax
1
n
kk
k
x Ae
=
∑
=
1
n
k
k
x
=
∑
(
1
n
jk j
j
ae
=
∑
),
由定理4,A的共轭阵
*
A是存在的,实际上,由定义知道,若
*
A = ()
jk
b,则
jk
b = (
*
,
kj
Ae e ) =
*
(,)
jk
eAe= (,)
jk
Ae e =
kj
a,
*
A是A的转置伴随矩阵,
同样地,对于可分Hilbert空间,H 若{,1}
n
en≥是H的规范正交基，(),TBH∈ 则T表现为一个无穷矩阵
,1
(),
kj k j
a
∞
=
其中
1
,1
kkj
j
Te a e k
∞
=
=≥
∑
（见第三章§3例4））,此时若
jk
b =
kj
a,则与()
jk
B b=相应的算子是
A的共轭算子,
例2 设:A []baL,
2
→ [ ]baL,
2
,
( Ax )(t ) = dssxstK
b
a
)(),(
∫
,∈?x [ ]baL,
2
,
8
其中),( stK是bta ≤≤,bsa ≤≤上可测且平方可积的函数,
由Holder不等式容易验证A是有界线性算子,故
*
A存在,实际上,
xA
*
( t ) = dssxtsK
b
a
)(),(
∫
,∈?x [ ]baL,
2
,
因为由定义,
),(
*
yAx =
∫
b
a
tx )( dtdssytsK
b
a
)(),(
∫
=
∫
b
a
tx )( dsdtsytsK
b
a
)(),(
∫
= dsdtsytxtsK
b
a
b
a
)()(),(
∫∫
= dttydssxstK
b
a
b
a
)())(),((
∫∫
= ),( yAx,,x y? ∈ [ ]baL,
2
,
若),( tsK = ),( stK,则A是自伴算子,
定理5 设H是Hilbert空间,)(,HBBA ∈,则
(1)
*
)( BA βα + =
*
Aα +
*
Bβ,
(2)
**
A = A,
(3)
*
)(AB =
*
B
*
A,
(4)
2
*
A =
2
A = AA
*
,
证明
D
1,xy H?∈,Φ∈βα,,
=+ ),)(( yxBA βα ),( yBxAx βα +
= ),(),( yBxyAx βα +
= ),(),( yBxyAx
+βα
= ))(,( yBAx
+βα
故
*
)( BA βα + =
*
Aα +
*
Bβ,
9
D
2 Hyx ∈?,,
),( xyA
＝),( yAx
＝),( yAx＝),( Axy,
故A＝
)(A＝
**
A,
D
3 )(,HBBA ∈，故)(HBAB∈，
)(AB存在.,xy H? ∈,
),(),( yABxyABx
= = ),( yABx
,
故
*
)(AB =
*
B
*
A,
D
4 Hyx ∈?,，),(),( yAxyAx
=,若0≠Ax，则
=Ax
Ax
AxAx ),(
＝
Ax
1
),( AxAx
＝
Ax
Ax
Ax,≤ x
Ax
Ax
A?
≤ xA?
,
所以
≤ AA,又由
D
2,,A AA
≤= 于是.A A
=
上式又可以写成),(
2
AxAxAx
= ≤
2
xAA?
，故
2
1
2
sup AxA
x ≤
= ≤ AA
。
显然AA
≤
A A＝
2
A，故=
2
A
2
A＝AA
,
定理6 设H是Hilbert空间,)(HBA∈，
A是A的伴随算子，
则
⊥?
= )()( ARAN,
⊥?
= )()( ARAN,
⊥?
= )()( ANAR,
⊥?
= )()( ANAR,
证明 若)(ANx∈，则0=Ax,yH? ∈,
10
0＝),( yAx＝),( yAx
,
故)(
⊥ ARx，
⊥?
∈ )(ARx，所以
⊥?
)()( ARAN,反之，x?∈
()R A
⊥
，),( yAx
＝0,Hy∈?,从而
),( yAx＝),( yAx
＝0,
y任意，故0=Ax，)(ANx∈，)()( ANAR?
⊥?
。总之()NA ()R A
⊥
=,
由此
⊥⊥
== )()()( ARARAN,
同样地由第一式知
⊥⊥?⊥
= )()( ARAN,但显然
⊥?
)(AR＝
⊥
)(AR，由§2定理3，=
)(AR
⊥⊥
)(AR＝
⊥⊥?
)(AR，故
⊥?
= )()( ANAR,第四式成立,
最后
⊥?
)(AN＝)()( ARAR =
,
定理7 (Lax-Milgram) 设H是Hilbert空间,Φ→×HH:? 是一、五线性的,若?有界并且存在0>r使得
),( xx? ≥ r
2
x,? Hx∈ (4-3-8)
则存在)(HBA∈,A可逆,
1?
A ≤
1?
r并且
),( yx? = ),( Ayx,? Hyx ∈,,
证明 由定理3知道存在)(HBA∈使得
),( yx? = ),( yAx = ),(
*
yAx,
由定理中条件,当yx =时
r
2
x ≤ ),( xx? ≤ Ax x
或者
r x ≤ Ax,? Hx∈,(4-3-9)
这说明A是可逆的,同样地还有
11
r x ≤ xA
*
,? Hx∈,
即
*
A也是可逆的,从而)(
*
AN = { }0,根据定理7,)(AR = H,又由
(4-3-9),若
n
y =
n
Ax y→,则
r
mn
xx? ≤
mn
AxAx? 0→ ),( ∞→nm,
于是{}
n
x是Cauchy序列,H完备,不妨设
0
xx
n
→,从而
y =
∞→n
lim
n
y =
∞→n
lim
n
Ax =
0
Ax,
即)(ARy∈,这说明)(AR是闭的,于是)(AR = H,A是一一的到上的,
由逆算子定理
1?
A是定义在整个H上的,令x = yA
1?
,? Hy∈,则
(4-3-9) 表明
r yA
1?
≤ y,
于是
1?
A ≤
1?
r,
定理得证,
定理8 设H是Hilbert空间,,)(HBT ∈是自伴的,则
T =
1
sup
≤x
),( xTx,
(4-3-10)
证明 首先对于1≤x,则
),( xTx ≤ Tx x ≤ T
2
x ≤ T,
故
1
sup
≤x
),( xTx ≤ T,
若记(4-3-10)的右端为r,则Hx∈?,当0≠x时
(( ),)
xx
Tr
xx
≤
12
或 ),( xTx ≤ r
2
x,
由自伴性,实际计算知道
( yxyxT ++ ),( )－( yxyxT ),( )
= 2 ),( yTx +2 ),( xTy
= 2 ),( yTx +2 ),( Txy = 4 Re ),( yTx
从而
Re(,)Tx y ≤
4
r
(
2
yx+ +
2
yx? ) ≤
2
r
(
2
x +
2
y ),
取
θi
e使得
(,)Tx y =
θi
e ),( yTx = )),(( yxeT
iθ
≤
2
r
(
2
xe
iθ
+
2
y ) =
2
r
(
2
x +
2
y ),
实际上此式关于Hyx ∈?,成立,若0≠Tx,令=y
Tx
x
Tx,代入上式有
Tx ≤ r
2
x，于是rT ≤,总之 (4-3-10)成立,
思考题 若)(,HBBA ∈并且),(),( xBxxAx = Hx∈?,则
BA=,
下面是两类更广泛的算子,
定义3 设H是复Hilbert空间,)(HBT ∈,
(1) 若TT
*
=
*
TT = I,则称T是酉算子，这里I是单位算子,
(2) 若TT
*
=
*
TT,则称T是正常算子,
13
容易知道,投影算子,自伴算子和酉算子都是正常算子,
定理9 设H是Hilbert空间,则
(1) T是酉算子当且仅当T是到上的并且
),( TyTx = ),( yx,? Hyx ∈,(4-3-11)
或者
Tx = x,? Hx∈ (4-3-12)
(2) T是正常算子当且仅当
Tx = xT
*
,? Hx∈ (4-3-13)
(3) )(HBT ∈是正常算子当且仅当T有分解T =
1
T + i
2
T,其中
1
T,
2
T是自伴算子并且
1
T
2
T =
2
T
1
T,
(4) 若()
n
TBH∈是正常算子,0,
n
TT?→ 则T是正常算子,
证明
D
1 应用极化恒等式容易知道(4-3-11) 与(4-3-12)是等价的,
由酉算子的定义,TT
*
x =
*
TT x = x,于 是T和
*
T都是到上的,此时
),( yx = ),(
*
yTxT = ),( TyTx
故式(4-3-13)成立.反过来当式(4-3-11)成立时,? Hyx ∈,,
),( yx = ),(
*
yTxT,于是TT
*
x = x,即TT
*
= I,同样地,
*
TT = I,
D
2 当 (4-3-13) 成立时,? Hx∈,
),( TxTx = ),(
**
xTxT,
从而
),(
*
xTxT = ),(
*
xxTT,
再应用极化恒等式便得到TT
*
－
*
TT =0,即T是正常算子,反过来的证明是容易的,
3
D
若
1
T,
2
T是自伴的并且
1
T
2
T =
2
T
1
T,T =
1
T + i
2
T,则
T
*
T = ) iT+T (
21
*
21
) iT+T (
14
= (
1
T + i
2
T )(
1
T - i
2
T )
= (
1
T - i
2
T )(
1
T + i
2
T )=
*
T T,
所以T是正常的,反之,若T是正常的,则
1
T =
2
1
(T＋
*
T ),
2
T =
i2
1
(T－
*
T )
是可交换的自共轭算子,并且T =
1
T + i
2
T,
4
D
注意此时
**
0
n
TT? →并且
**
nn nn
TT TT=,由此过渡到极限不难得到所要的结论,
例 3 考虑$ 1例3的空间],[
2
ππ?L和正交基
{ }
int
:0,1,2,en=±± ",
若定义]),[(
2
ππ?∈ LBT,使得
n
Te =
1+n
e，n? (这里记)(te
n
=
int
e ),
则T是酉算子,实际上为求
*
T,只需考虑
(
*
T
n
e,
m
e ) = (
n
e,
m
Te ) = (
n
e,
1+m
e ) =
=
.,0
,1,1
其他
nm
于是必有
*
T
n
e =
1?n
e,n?,从而知道TT
*
=
*
TT = I,
例 4 考虑复平面上的有界闭集?,记?上的Borel测度为μ,
),(
2
μ?L是?上定义的关于μ可测并且平方可积的函数全体,算子
:T ),(
2
μ?L → ),(
2
μ?L定义为
( ξT )( z )= z )(zξ,
则T是正常的,为求
*
T,只需知道∈?η ),(
2
μ?L,
( ξη
*
,T ) = ( ξη,T ) = μξη dzzz )()(
∫
= μξη dzzz )()(
∫
,
η是任意的,故必有)(
*
zzT ξξ =,于是
))((
*
zTT ξ = ))((
*
zzT ξ =
2
z
))((
*
zTT ξ = ))((
*
zzT ξ =
2
z )(zξ,
15
))((
*
zTT ξ = ))(( zzT ξ =
2
z )(zξ,
所以TT
*
=
*
TT,T是正常算子,
思考题
1,设U是酉算子,则当T是投影算子、自伴算子、酉算子、正常算子时,
1
UTU
也是,
2,设(),TBH∈ 证明
(1)
*
TT+是正常算子,
(2) 若T是正常算子,则,,CTI Tλ λλ? ∈+是正常算子,
(3( 若,TS是正常算子并且T与
*
S、S与
*
T可交换,则TS是正常的,
第21讲 共轭算子与一、五线性泛函
教学目的：掌握 Hilbert 空间上几类常用算子的性质。
讲解要点,
1 Hilbert 空间上线性泛函与线性算子的表现定理。
2 自伴算子的基本性质。
3 酉算子与正常算子的概念与属性。
定理1 (Riesz表现定理) 设H是Hilbert空间,
(1) yH? ∈,)(xf = ),( yx是H上的连续线性泛函并且
f = y,(4-3-1)
(2) 若f是H上的连续线性泛函,则存在唯一的Hy∈使得
)(xf = ),( yx,Hx∈? (4-3-2)
证明
D
1 设Hxx ∈
21
,,Φ∈βα,,则
)(
21
xxf βα + = ),(
21
yxx βα +
= α ( yx,
1
)+ β ( yx,
2
) =α )(
1
xf + β )(
2
xf,
f是线性的,又由不等式)(xf = ),( yx ≤ x y,f ≤ y,f连续,
若0=y,显然f = 0 = y,若0≠y,取yx =,则()f y = ),( yy
=
2
y,故f ≥ )(
y
y
f = y,总之,f = y,
D
2 若0,f = 取0=y即可,若0,f ≠ 设)( fNE =,E是H
的闭极大真子空间,设
⊥
⊕= EEH,{ }0≠
⊥
E,取
⊥
∈Ez,1=z,
2
则0)( ≠zf,令zzfy )(=,
⊥
∈Ey,由于x H? ∈,z
zf
xf
x
)(
)(
E∈,于是
0 = ( z
zf
xf
x
)(
)(
,y )
= ),( yx?(
()
()
f x
z
f z
,zzf )( )
= ),( yx? ),)(( zzxf
= ),( yx? )(xf
即)(xf = ),( yx,Hx∈?,由
D
1还知道 f = y,
若另有'yH∈使得)(xf = (,')x y,Hx∈?,则),( yx = (,')x y,
Hx∈?,即(,') 0,xy y?= 此时必有'.yy=
称定理1中的y为线性泛函f的表现,
记H上的连续线性泛函全体为
*
H,定理1表明从集合论的观点来看,H与
*
H是相同的,
定理2 设H是Hilbert空间,
*
H是H的共轭空间,
(1) 若映射HHT →
*
:,yTf =,其中y是f的表现,则
)(
21
ffT βα + = )(
1
fTα + )(
2
fTβ,
1
f?,
*
2
Hf ∈,(4-3-2)
T是到上的并且
*
f H?∈,Tf = f,
(2) ),( TgTf = (,)f g,
1
f?,
*
Hg∈,(4-3-3)
(3) 若J是从H到
**
H的自然嵌入算子,J是到上的线性映射
并且Jx = x,Hx∈?,
通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的,
证 明
D
1 设
11
yTf =,
22
yTf =,Φ∈βα,,则,x H? ∈
3
)(
1
xf = ),(
1
yx,)(
2
xf = ),(
2
yx,于是
(
21
ff βα + )( x )=α )(
1
xf + β )(
2
xf
=α ),(
1
yx + β ),(
2
yx = (,x
21
yy βα + ),
即)(
21
ffT βα + =
21
yy βα + = )(
1
fTα + )(
2
fTβ,由定理1知道T是到上的并且 Tf = y = f,
*
f H?∈,
D
2 由 )( gfT + = gf +,)( gfT? = gf?,则
Re ),( TgTf = ])()([
4
1 22
gfTgfT+
= ][
4
1 22
gfgf+ = Re ),( gf,
将f换为if,则
Re ),( TgTif = Re ),( gif,
又由T的共轭线性 ),( TgTf = ),( TgTifi,所以
Im ),( TgTf = Re ),( TgTif = Re ),( gif =?Im ),( gf,
从而
),( TgTf = ),( gf,f?,
*
Hg∈,
D
3 设J是从H到
**
H的自然嵌入算子,则Hx∈?,
)(yJx = )(xy,
*
Hy∈?,
若Hxx ∈
21
,,Φ∈βα,,则
)(
21
xxJ βα + )(y = )(
21
xxy βα +
= )()(
21
xyxy βα + = )()(
21
yJxyJx βα +
= ))((
21
yJxJx βα +
y是任意的,故)(
21
xxJ βα +＝
21
JxJx βα +。
x H
∈，由定理1，存在
∈Hy，使得),()(
= yffx,
4
*
Hf ∈?并且
= yx。若T是
D
1中的映射，不妨设xTy =
，由
D
2,
),()(
= yffx＝),( TfTy
= )(xf,
故
= xJx。J是到上的并且
= xJx＝
y＝
Ty＝x,
定理得证,
这里注意HHT →
:是共轭线性的但不是线性的,因此按照线性同构的观点来看，当Φ是复空间时，HH ≠
,尽管
H与H之间存在一一的到上的映射,另一方面，定理2（3）与我们关于一致凸空间的结论是一致的，即Hilbert空间是自反空间，从而Hilbert空间的闭单位球是ω紧的等等,
定义1 设H是Hilbert空间,,Φ→×HH:?是一映射,
(1) 称?是一、五线性的，若Hzyx ∈?,,，Φ∈βα,,
),( zyx βα? +＝),( zxα?＋),( zyβ?
),( zyx βα? +＝),( yx?α＋),( zx?β,（4-3-5）
(2) 称?是对称（或Hermite）的，若),( yx?＝),( xy?,
(3) 称?是有界的，若存在0>C,
≤|),(| yx? yxC?，Hyx ∈?,,
此时记其范数为
sup{| (,) |,1,1}xy x y=≤≤,（4-3-5）
下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理,
定理3 设H是Hilbert空间,则Φ→×HH:?是有界一、五线性泛函当且仅当存在)(HBT ∈，使得
),(),( yTxyx =? Hyx ∈?,,（4-3- 6）
此时有T=?,
5
证 明 充分性,设)(HBT ∈,记),(),( yTxyx =?，则
Hzyx ∈?,,，Φ∈βα,,
)),((),( zyxTzyx βαβα? +=+
= ),( zTxα + ),( zTyβ = ),( zxα? + ),( zyβ?,
),(),( zyTxzyx βαβα? +=+ = ),( yx?α + ),( zx?β,
由于
),( yx? = ),( yTx ≤ Tx y ≤ T x y,
于是? ≤ T,?是有界的,
必要性,若),( yx?是有界一、五线性的,x H? ∈,令
)(yf = ),( yx?，Hy∈?是H上的连续线性泛函,实际上,由定义
)(yf = ),( yx? ≤? x y,
由定理1,存在Hz∈使得)(yf = ),( zy,记HHT →:,zTx =,则一方面
),( yTx = ),( yz = ),( zy = )(yf = ),( yx?,Hyx ∈?,,
另一方面,若0≠Tx,令
Tx
Tx
y =,则
Tx =
Tx
TxTx ),(
= x
Tx
Tx
x
x
T )),(( = x
Tx
Tx
x
x
),(? ≤? x
故T ≤?,
T是由?唯一决定的,实际上,若另有
1
T使得
),(
1
yxT = ),( yx? = ),( yTx,Hyx ∈?,,
则由y的任意性,必有xT
1
=Tx,再由x的任意性得到TT =
1
,最后由上面证明知道T =?,
定理4 设H是Hilbert空间,则()ABH? ∈,存在唯一的
)(HBB∈使得
6
(,)Axy= (,)x By,Hyx ∈?,,(4-3-7)
证 明 令),( yx? = ( Ayx,)，则?是一、五线性泛函并且
),( yx? = ),( Ayx ≤ x Ay ≤ A x y,
是有界的,由定理3,存在)(HBB∈使得),( yx? = (,)Bxy,于是
( xAy,)=( Bxy,),交换x与y的符号即得( yAx,) = ( Byx,),
定义2 设H是Hilbert空间,)(HBT ∈,若存在)(
*
HBT ∈使得),( yTx = ),(
*
yTx,Hyx ∈?,,
称
*
T是T的伴随算子,
定理4说明,对于任一有界线性算子)(HBT ∈,相应于T的伴随算子存在,此外,在 $2中我们讨论过自伴算子,自伴算子即满足
*
T = T的伴随算子,注意。与Banish空间情况略有不同的是，映射
*
TT→是共轭线性的,
命 题 设H是Hilbert空间,)(HBA∈,以下诸条件等价,
(1) 是自伴算子,
(2) ),( yx? =( yAx,) 是对称的,
若H是复空间,则以上还等价于,
(3) Hx∈?,),( xx? = ( xAx,) 是实数,
证 明 (1)?(2),只需注意,,x yH? ∈
),( yx? = ( yAx,) = ( Ayx,) = ),( xAy = ),( xy?,
(2)?(1),注意 ( yAx,)= ),( yx? = ),( xy? = ),( xAy = ( Ayx,),
(1)?(3),),( xx? = ),( Axx = ( xAx,) = ),( xx?,所以),( xx?是实数,
现在设H是复空间,我们证明(3)?(2)成立,实际上利用极化恒等式可得到
7
4 ),( yx? = 4( yAx,)
= ( yxyxA ++ ),( )－( yxyxA ),( )
+ i ( iyxiyxA ++ ),( )－i ( iyxiyxA ),( )
= ),( yxyx ++?－),( yxyx
+ ),( iyxiyxi ++?－),( iyxiyxi,
利用),( xx?是实数容易得出),( yx? = ),( xy?,故为对称的,
例1 设
{ }
:1
j
ejn≤≤是
n
C的规范正交基,()
n
ABC∈,其中
k
Ae =
1
n
jk j
j
ae
=
∑
,1,,kn= "
A对应的是nn×阶方阵()
jk
a,其中
jk
a =(,
kj
Aee),
x? =
1
n
kk
k
x e
=
∑
,=Ax
1
n
kk
k
x Ae
=
∑
=
1
n
k
k
x
=
∑
(
1
n
jk j
j
ae
=
∑
),
由定理4,A的共轭阵
*
A是存在的,实际上,由定义知道,若
*
A = ()
jk
b,则
jk
b = (
*
,
kj
Ae e ) =
*
(,)
jk
eAe= (,)
jk
Ae e =
kj
a,
*
A是A的转置伴随矩阵,
同样地,对于可分Hilbert空间,H 若{,1}
n
en≥是H的规范正交基，(),TBH∈ 则T表现为一个无穷矩阵
,1
(),
kj k j
a
∞
=
其中
1
,1
kkj
j
Te a e k
∞
=
=≥
∑
（见第三章§3例4））,此时若
jk
b =
kj
a,则与()
jk
B b=相应的算子是
A的共轭算子,
例2 设:A []baL,
2
→ [ ]baL,
2
,
( Ax )(t ) = dssxstK
b
a
)(),(
∫
,∈?x [ ]baL,
2
,
8
其中),( stK是bta ≤≤,bsa ≤≤上可测且平方可积的函数,
由Holder不等式容易验证A是有界线性算子,故
*
A存在,实际上,
xA
*
( t ) = dssxtsK
b
a
)(),(
∫
,∈?x [ ]baL,
2
,
因为由定义,
),(
*
yAx =
∫
b
a
tx )( dtdssytsK
b
a
)(),(
∫
=
∫
b
a
tx )( dsdtsytsK
b
a
)(),(
∫
= dsdtsytxtsK
b
a
b
a
)()(),(
∫∫
= dttydssxstK
b
a
b
a
)())(),((
∫∫
= ),( yAx,,x y? ∈ [ ]baL,
2
,
若),( tsK = ),( stK,则A是自伴算子,
定理5 设H是Hilbert空间,)(,HBBA ∈,则
(1)
*
)( BA βα + =
*
Aα +
*
Bβ,
(2)
**
A = A,
(3)
*
)(AB =
*
B
*
A,
(4)
2
*
A =
2
A = AA
*
,
证明
D
1,xy H?∈,Φ∈βα,,
=+ ),)(( yxBA βα ),( yBxAx βα +
= ),(),( yBxyAx βα +
= ),(),( yBxyAx
+βα
= ))(,( yBAx
+βα
故
*
)( BA βα + =
*
Aα +
*
Bβ,
9
D
2 Hyx ∈?,,
),( xyA
＝),( yAx
＝),( yAx＝),( Axy,
故A＝
)(A＝
**
A,
D
3 )(,HBBA ∈，故)(HBAB∈，
)(AB存在.,xy H? ∈,
),(),( yABxyABx
= = ),( yABx
,
故
*
)(AB =
*
B
*
A,
D
4 Hyx ∈?,，),(),( yAxyAx
=,若0≠Ax，则
=Ax
Ax
AxAx ),(
＝
Ax
1
),( AxAx
＝
Ax
Ax
Ax,≤ x
Ax
Ax
A?
≤ xA?
,
所以
≤ AA,又由
D
2,,A AA
≤= 于是.A A
=
上式又可以写成),(
2
AxAxAx
= ≤
2
xAA?
，故
2
1
2
sup AxA
x ≤
= ≤ AA
。
显然AA
≤
A A＝
2
A，故=
2
A
2
A＝AA
,
定理6 设H是Hilbert空间,)(HBA∈，
A是A的伴随算子，
则
⊥?
= )()( ARAN,
⊥?
= )()( ARAN,
⊥?
= )()( ANAR,
⊥?
= )()( ANAR,
证明 若)(ANx∈，则0=Ax,yH? ∈,
10
0＝),( yAx＝),( yAx
,
故)(
⊥ ARx，
⊥?
∈ )(ARx，所以
⊥?
)()( ARAN,反之，x?∈
()R A
⊥
，),( yAx
＝0,Hy∈?,从而
),( yAx＝),( yAx
＝0,
y任意，故0=Ax，)(ANx∈，)()( ANAR?
⊥?
。总之()NA ()R A
⊥
=,
由此
⊥⊥
== )()()( ARARAN,
同样地由第一式知
⊥⊥?⊥
= )()( ARAN,但显然
⊥?
)(AR＝
⊥
)(AR，由§2定理3，=
)(AR
⊥⊥
)(AR＝
⊥⊥?
)(AR，故
⊥?
= )()( ANAR,第四式成立,
最后
⊥?
)(AN＝)()( ARAR =
,
定理7 (Lax-Milgram) 设H是Hilbert空间,Φ→×HH:? 是一、五线性的,若?有界并且存在0>r使得
),( xx? ≥ r
2
x,? Hx∈ (4-3-8)
则存在)(HBA∈,A可逆,
1?
A ≤
1?
r并且
),( yx? = ),( Ayx,? Hyx ∈,,
证明 由定理3知道存在)(HBA∈使得
),( yx? = ),( yAx = ),(
*
yAx,
由定理中条件,当yx =时
r
2
x ≤ ),( xx? ≤ Ax x
或者
r x ≤ Ax,? Hx∈,(4-3-9)
这说明A是可逆的,同样地还有
11
r x ≤ xA
*
,? Hx∈,
即
*
A也是可逆的,从而)(
*
AN = { }0,根据定理7,)(AR = H,又由
(4-3-9),若
n
y =
n
Ax y→,则
r
mn
xx? ≤
mn
AxAx? 0→ ),( ∞→nm,
于是{}
n
x是Cauchy序列,H完备,不妨设
0
xx
n
→,从而
y =
∞→n
lim
n
y =
∞→n
lim
n
Ax =
0
Ax,
即)(ARy∈,这说明)(AR是闭的,于是)(AR = H,A是一一的到上的,
由逆算子定理
1?
A是定义在整个H上的,令x = yA
1?
,? Hy∈,则
(4-3-9) 表明
r yA
1?
≤ y,
于是
1?
A ≤
1?
r,
定理得证,
定理8 设H是Hilbert空间,,)(HBT ∈是自伴的,则
T =
1
sup
≤x
),( xTx,
(4-3-10)
证明 首先对于1≤x,则
),( xTx ≤ Tx x ≤ T
2
x ≤ T,
故
1
sup
≤x
),( xTx ≤ T,
若记(4-3-10)的右端为r,则Hx∈?,当0≠x时
(( ),)
xx
Tr
xx
≤
12
或 ),( xTx ≤ r
2
x,
由自伴性,实际计算知道
( yxyxT ++ ),( )－( yxyxT ),( )
= 2 ),( yTx +2 ),( xTy
= 2 ),( yTx +2 ),( Txy = 4 Re ),( yTx
从而
Re(,)Tx y ≤
4
r
(
2
yx+ +
2
yx? ) ≤
2
r
(
2
x +
2
y ),
取
θi
e使得
(,)Tx y =
θi
e ),( yTx = )),(( yxeT
iθ
≤
2
r
(
2
xe
iθ
+
2
y ) =
2
r
(
2
x +
2
y ),
实际上此式关于Hyx ∈?,成立,若0≠Tx,令=y
Tx
x
Tx,代入上式有
Tx ≤ r
2
x，于是rT ≤,总之 (4-3-10)成立,
思考题 若)(,HBBA ∈并且),(),( xBxxAx = Hx∈?,则
BA=,
下面是两类更广泛的算子,
定义3 设H是复Hilbert空间,)(HBT ∈,
(1) 若TT
*
=
*
TT = I,则称T是酉算子，这里I是单位算子,
(2) 若TT
*
=
*
TT,则称T是正常算子,
13
容易知道,投影算子,自伴算子和酉算子都是正常算子,
定理9 设H是Hilbert空间,则
(1) T是酉算子当且仅当T是到上的并且
),( TyTx = ),( yx,? Hyx ∈,(4-3-11)
或者
Tx = x,? Hx∈ (4-3-12)
(2) T是正常算子当且仅当
Tx = xT
*
,? Hx∈ (4-3-13)
(3) )(HBT ∈是正常算子当且仅当T有分解T =
1
T + i
2
T,其中
1
T,
2
T是自伴算子并且
1
T
2
T =
2
T
1
T,
(4) 若()
n
TBH∈是正常算子,0,
n
TT?→ 则T是正常算子,
证明
D
1 应用极化恒等式容易知道(4-3-11) 与(4-3-12)是等价的,
由酉算子的定义,TT
*
x =
*
TT x = x,于 是T和
*
T都是到上的,此时
),( yx = ),(
*
yTxT = ),( TyTx
故式(4-3-13)成立.反过来当式(4-3-11)成立时,? Hyx ∈,,
),( yx = ),(
*
yTxT,于是TT
*
x = x,即TT
*
= I,同样地,
*
TT = I,
D
2 当 (4-3-13) 成立时,? Hx∈,
),( TxTx = ),(
**
xTxT,
从而
),(
*
xTxT = ),(
*
xxTT,
再应用极化恒等式便得到TT
*
－
*
TT =0,即T是正常算子,反过来的证明是容易的,
3
D
若
1
T,
2
T是自伴的并且
1
T
2
T =
2
T
1
T,T =
1
T + i
2
T,则
T
*
T = ) iT+T (
21
*
21
) iT+T (
14
= (
1
T + i
2
T )(
1
T - i
2
T )
= (
1
T - i
2
T )(
1
T + i
2
T )=
*
T T,
所以T是正常的,反之,若T是正常的,则
1
T =
2
1
(T＋
*
T ),
2
T =
i2
1
(T－
*
T )
是可交换的自共轭算子,并且T =
1
T + i
2
T,
4
D
注意此时
**
0
n
TT? →并且
**
nn nn
TT TT=,由此过渡到极限不难得到所要的结论,
例 3 考虑$ 1例3的空间],[
2
ππ?L和正交基
{ }
int
:0,1,2,en=±± ",
若定义]),[(
2
ππ?∈ LBT,使得
n
Te =
1+n
e，n? (这里记)(te
n
=
int
e ),
则T是酉算子,实际上为求
*
T,只需考虑
(
*
T
n
e,
m
e ) = (
n
e,
m
Te ) = (
n
e,
1+m
e ) =
=
.,0
,1,1
其他
nm
于是必有
*
T
n
e =
1?n
e,n?,从而知道TT
*
=
*
TT = I,
例 4 考虑复平面上的有界闭集?,记?上的Borel测度为μ,
),(
2
μ?L是?上定义的关于μ可测并且平方可积的函数全体,算子
:T ),(
2
μ?L → ),(
2
μ?L定义为
( ξT )( z )= z )(zξ,
则T是正常的,为求
*
T,只需知道∈?η ),(
2
μ?L,
( ξη
*
,T ) = ( ξη,T ) = μξη dzzz )()(
∫
= μξη dzzz )()(
∫
,
η是任意的,故必有)(
*
zzT ξξ =,于是
))((
*
zTT ξ = ))((
*
zzT ξ =
2
z
))((
*
zTT ξ = ))((
*
zzT ξ =
2
z )(zξ,
15
))((
*
zTT ξ = ))(( zzT ξ =
2
z )(zξ,
所以TT
*
=
*
TT,T是正常算子,
思考题
1,设U是酉算子,则当T是投影算子、自伴算子、酉算子、正常算子时,
1
UTU
也是,
2,设(),TBH∈ 证明
(1)
*
TT+是正常算子,
(2) 若T是正常算子,则,,CTI Tλ λλ? ∈+是正常算子,
(3( 若,TS是正常算子并且T与
*
S、S与
*
T可交换,则TS是正常的,
