1
第 20 讲 正交投影
教学目的：掌握正交投影算子和正交分解的基本性质。
讲解要点,
1 投影定理以及投影算子的初步性质。
2 投影算子的特征及其运算。
3 空间的正交分解。
定义 1 设 H 是内积空间,HE? 是线性子空间,Hx∈,若存在分解
21
xxx +=,其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
，则称
1
x 为 x在 E 上的投影，
记为
1
xxP
E
=,
定理 1 设 H 是内积空间,HE? 是线性子空间,x H∈,Ex ∈
1
，
则以下诸条件等价,
（ 1）
1E
Px x=,
（ 2）
1
inf
zE
x xxz
∈
=?,(4-2-1)
（ 3） zE?∈,实变量函数
2
1
()f xx zλ λ=?+ 在 0=λ 有最小值。
证明 )2()1(? x 有分解
12
x xx= +,其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
，
则 zE?∈,
1
x zE?∈,
21
x xz⊥?,于是
22
12
x zxzx?=?+＝
22
12
x zx?+ ≥
2
2
x ＝
2
1
x x?
注意到 Ex ∈
1
，故
1
inf
zE
x xxz
∈
=?。
)3()2(? 注意 )(λf 是 λ 的连续函数并且 Ezx ∈?λ
1
,)(λf 在
0=λ 的最小性即（ 4-2-1）,
2
)1()3(? Ez∈?,取 λ 为实变量，则
λ
λ
λ
)0()(
lim)0(
0
ff
f
=′
→
22
11
0
lim
x xzxx
λ
λ
λ
→
+
=
=
( )
2
11
0
lim (,) (,)x xz zx x z
λ
λ
→
+?+
= 2 Re
1
(,)x xz?,(4-2-2)
)(λf 在 0=λ 是可微的,由于 0=λ 是最小值点，故 Re
1
(,)x xz? =0,
同样地,将 z 换为 iz 得出 Im
1
(,)x xz? =0,从而
1
(,)x xz? ＝ 0,Ez∈ 是任意的，最后得出
1
x xE?⊥,故
1E
Px x= 。
定理 2（投影定理） 设 H 是 Hilbert 空间,HE? 为是线性子空间，则 x H?∈,
E
Px存在且唯一。
证明 若 x E∈,则
E
Px＝ x,若 x E?,取 Ex
n
∈ 使得
n
yx?
→ (,)yE dρ =,由于
22
()()
mn n m
x x xx xx?=
＝
22
2( )
nm
xx xx?+? － 4
2
2
nm
x x
x
+
≤ )(2
22
mn
xyxy?+? － 4
2
d 0→,
}{
n
x 是 Cauchy 序列。不妨设
0
xx
n
→,E 闭，所以 Ex ∈
0
,现在
0
lim
n
n
x xxxd
→∞
=?==inf
zE
x z
∈
,
由定理 1，
E
Px＝
0
x 。
由于 Hilbert 空间是严格凸的，
0
x 是唯一的最佳逼近元。
其实为了得到最佳逼近元，定理 2 中的集合 E 可以是任一闭凸子集，
0
x 的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理 2 和定理 1 还说明空间一点到闭子空间（闭凸集）的投影，恰恰是这一点关于闭子空间
3
（闭凸集）的最佳逼近元。不仅如此，在 Hilbert 空间上我们还可以定量地计算出一点到最佳逼近元的距离。
例 1 设 H 是 Hilbert 空间,HE? 是线性子空间,dim nE =,
n
ee,,
1
null 是 E 的一组规范正交基，则 Hx∈?,
∑
=
=
n
i
iiE
eexxP
1
),( 并且
(,)dxE=
22
12
1
((,).
i
i
xxe
∞
=
∑
(4-2-3)
若 }{
n
e 是 H 中的规范正交集,}{
n
espanE =,则
1
(,)
Eii
i
Px xee
∞
=
=
∑
并且
22
12
1
(,) ( (,)),
i
i
dxE x xe
∞
=
=?
∑
(4-2-4)
实际上，令
∑
=
=
n
i
ii
eexx
1
1
),(,
12
xxx?=,则 Ex ∈
1
,z E?∈,
1
(,)
n
ii
i
zzee
=
=
∑
,实际计算得到
21 1
(,) (,) (,) (,) 0xz xxz xz xz=? =? =
故 Ex ⊥
2
，从而
∑
=
==
n
i
iiE
eexxxP
1
1
),(,由投影定理
1
22
2
11
(,) ( )dxE x x x x=?=? =
12
2
2
1
((,)
n
j
j
xxe
=
∑
,
思考题 若
12
,,eenull 是 E 的规范正交基,证明类似的结论成立,
推论 1 设 H 是 Hilbert 空间,EH? 是闭线性子空间,记从 H
到 E 的投影算子是,P 则
(1) EHP →,是线性算子,
(2) 1.P ≤ 若 { }0E =,则 0;P = 若 { }0≠E,则,1=P
(3) () ( ),() ( ).E RP NI P NP RI P= =? =?
称 E 是 P 的投影子空间,
4
证明
null
1 设
2121
,yyyxxx +=+=,其中
11 2 2
,,,x yExy E∈ ⊥,
则
),()(
2211
yxyxyx βαβαβα +++=+
其中
11
yx βα +,E∈ 而,0),(,0),(,
22
==∈? zyzxEz 故
22 2 2
(,)(,)(,)0.xyz xz yzα βα β+=+ =
所以 Eyx ⊥+
22
βα,于是
.)(
11
PyPxyxyxP βαβαβα +=+=+
P 是线性的,
null
2
,x H?∈ 若
21
xxx += 是正交分解,则
2
x =
2
1
x +
2
2
x,从而
2
Px =
2
1
x ≤
2
x,Px ≤ x,P ≤1,
若 { }0=E,则 Hx∈?,0=Px,故 0=P,
若 { }0≠E,则有 Ex ∈
1
,1
1
=x 使得
11
xPx =,P
1
Px≥ =
1
x =1,从而 P =1,
null
3 由于 )(PRy∈ 当且仅当
21
xxy += 时 0
2
=x,此即
0=?Pyy 从而 )( PINy?∈,反过来也一样,另一式子可同样证明,
定理 3 设 H 是 Hilbert 空间,E H? 是线性子空间,记
{}ExHxE ⊥∈=
⊥
,,则
(1)
⊥
E 是 H 的闭线性子空间,
(2) 若 E 是闭的,则 EE =
⊥⊥
,
(3) 若 E 是闭的,则
⊥
⊕= EEH,即
⊥
+= EEH,{ }0=∩
⊥
EE,(4-2-5)
(4) 若 E 是闭的,EHP →,是投影算子,则
⊥
E = )(PN,
通常称
⊥
E 是 E 的正交补空间,由于 (4-2-5),称 H 是 E 与
⊥
E 的
5
直和,换句话说,(3) 表明 Hilbert 空间的每个闭子空间存在正交补空间,
证明
null
1 若
⊥
∈Eyx,,则 Ez∈?,zx ⊥,zy ⊥,从而
),( zyx βα + = ),( zxα + ),( zyβ =0,
故 yx βα +
⊥
∈E,
⊥
E 是线性子空间,
若
⊥
∈Ex
n
,xx
n
→,则 Ez∈?,0),( =zx
n
,由内积关于变元的连续性,),( zx = 0),(lim =
∞→
zx
n
n
,故 zx ⊥,
⊥
∈Ex,
⊥
E 是闭的,
null
2 设 E 是闭的,则由
⊥
⊥ EE 知道 EE
⊥⊥
,另一方面,若
⊥⊥
∈Ex,则
⊥
⊥ Ex,若
21
xxx +=,Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
,则
⊥
∈Ex
2
,从而 0),(
2
=xx,于是
=+= ),(),(
22122
xxxxx 0),(
2
=xx,
故 0
2
=x,
1
xx = E∈,即 EE
⊥⊥
,最后
⊥⊥
= EE,
null
3 由定理 2,Hx∈?,
21
xxx +=,其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
,即
⊥
∈Ex
2
从而
⊥
+= EEH,另一方面 { }0=∩
⊥
EE,故
⊥
⊕= EEH,
null
4 Hx∈?,
21
xxx += 其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
,故
⊥
∈Ex 当且仅
当 0
1
=x,即 0=Px 或 )(PNx∈,从而 )(PNE =
⊥
,
思考题 若 H 是内积空间,HNM?,,
（ 1） 若 NM ⊥,则
⊥
NM,
⊥
MN,
（ 2） 若 NM?,则
⊥⊥
NM,
（ 3）
⊥⊥
= )(MM,
定义 2 (1) 称线性算子 XXT →,是幂等的,若 TT =
2
,
(2) 设 H 是内积空间,称 )(HBT ∈ 是自伴算子,若
),( yTx = ),( Tyx,Hyx ∈?,,(4-2-6)
定理 4 设 H 是 Hilbert 空间,)(HBP∈,则下列诸条件等价,
6
(1) P 是投影算子,
(2) PP =
2
并且 P 是自伴的,
(3) PP =
2
并且 )()( PRPN ⊥,
(4) 若 H 是复空间,以上条件还等价于
),( xPx =
2
Px,Hx∈?,(4-2-7)
证明 (1)?(2),首先设 P 是从 H 到闭线性子空间 E 上的投影算子,Hx∈?,EPx∈,故 xP
2
= )(PxP = Px,于是 PP =
2
,其次,
,x yH?∈,
2121
,yyyxxx +=+=,Eyx ∈
11
,,Eyx ⊥
22
,,则
),( yPx = ),(
211
yyx + = ),(
11
yx
= ),(
121
yxx + = ),( Pyx,
P 自伴,
(2)?(3),若 (),x NP∈ 则 0,Px= 若 )(PRy∈ 则
1
x H? ∈,
1
Pxy =,
于是
),( yx = ),(
1
Pxx = ),(
1
xPx =0
即 )()( PRPN ⊥,
(3)?(1),令 )( PINE?=,E 是 H 的闭线性子空间,现在验证
P 是从 H 到 E 上的投影算子,
首先证明 )(PRE =,实际上 )(PRy∈?,,x H? ∈ Pxy = xP
2
=,
从而 0))(( =? PxPI,即 ()0,IPy? = ().yNIP∈? 反之 y?∈
()NI P? 则 0)( =? yPI,)(PRPyy ∈=,故 )()( PINPR?=,
Hx∈?,记 )( PxxPxx?+=,显然 EPRPx =∈ )(,又
xPIP )(? = )( PxxP? =0,于是 )(PNPxx ∈?,由 )()( PRPN ⊥ 得到
EPRPxx =⊥? )(,所以 P 是从 H 到 E 上的投影算子,
现在设 H 是复空间,
(2)?(4),
2
Px = ),( PxPx = ),(
2
xxP = ),( xPx,
7
(4)?(2),对于 H 上的任一线性算子 A,容易验证下面极化恒等式成立,
),(4 yAx = )),(( yxyxA ++ － )),(( yxyxA
(( ),) (( ),)iAx iy x iy iAx iy x iy+++ (4-2-8)
若 Hx∈?,),( xPx ＝
2
Px,则 ),( xPx 是实数,令 PA=,实际计算知道,
),( yPx ＝ ),( xPy ＝ ),( Pyx,
P 是自伴的,于是
),(
2
xxP ＝ ),( PxPx ＝ ),( xPx,Hx∈?,
令 PPA?=
2
，则 0),( =xAx,Hx∈?,再利用极化恒等式得到
0),( =yAx,Hyx ∈?,,
于是 0=A,即 PP =
2
,P 是幂等的,（ 2）成立,
整个定理得证,
若 P 是投影算子，则
),( xPx ＝ ),(
2
xxP ＝ ),( PxPx 0≥,Hx∈?
利用这一点我们可以在投影算子之间建立一种半序关系,若,
EM
PP分别是从 H 到闭线性子空间 E 和 M 上的投影算子，并且
),( xxP
E
≥ ),( xxP
M
,Hx∈? (4-2-9)
则记为
ME
PP ≥ （或
EM
PP ≤ ）,
定理 5 设
ME
PP,分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条件等价,
（ 1）,
M E
PP≤
（ 2）
ME
Px Px≤,Hx∈?,
（ 3） M E?,
（ 4）
ME
PP ＝
EM
PP ＝
M
P,
8
（ 5）
ME
PP? 是投影算子,
证明 )2()1(?
22
(,)(,)
MM E E
Px Pxx Pxx Px=≤=,故
ME
Px Px≤,Hx∈?,
)3()2(? 若 Mx∈,则 xxP
M
=,
222
xxPxP
ME
=≥ ＝
22
xPxxP
EE
+
故 0=? xPx
E
或 xxP
E
=,即 Ex∈,所以 EM? 。
)4()3(? Hx∈?,EMxP
M
∈,故 xPP
ME
＝ xP
M
或
ME
PP
＝
M
P,另一方面，设
2
xxPx
E
+=,Ex ⊥
2
从而 Mx ⊥
2
,又设
2
xxPx
M
′+=,Mx ⊥′
2
，故 Mxx ⊥′?
22
xPxP
ME
＝－ Mxx ⊥′? )(
22
。
若记 += xPxP
ME
)( xPxP
ME
,则 此 式 为 xP
E
关于线性子空间 M 的正交分解式，从而 xPP
EM
＝ xP
M
或
EM
PP ＝
M
P,
)5()4(? 此时 =?
2
)(
ME
PP
22
MEMMEE
PPPPPP + ＝
MMME
PPPP + ＝
ME
PP?,
ME
PP? 是幂等的。
由于
ME
PP,的自伴性,? Hyx ∈,
),)(( yxPP
ME
(,)
E
Pxy= － ),( yxP
M
＝ ),( yPx
E
－ ),( yPx
E
＝ ))(,( yPPx
ME
,
ME
PP? 是自伴的，故
ME
PP? 是投影算子。
)1()5(? 由
),( xxP
E
－ ),( xxP
M
＝ ),)(( xxPP
ME
＝ 0)(
2
≥? xPP
ME
得之,
定理 6 设
ME
PP,分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条件等价,
9
（ 1） ME ⊥,
（ 2） )()(
ME
PRPR ⊥,
（ 3）
ME
PP ＝ 0（称
E
P 与
M
P 正交）,
（ 4）
ME
PP + 是投影算子,
证明 )2()1(? 由 EPR
E
=)(,MPR
M
=)( 得到
)()(
ME
PRPR ⊥,
)3()2(? Hyx ∈?,,),(),( yPxPyPPx
MEME
= ＝ 0,故 yPP
ME
＝
0，从而
ME
PP ＝ 0,
)4()3(? Hx∈?,由
ME
PP ＝ 0 得 0=
EME
PPP,于是
),(
2
xPPxPPxPP
EMEMEM
= ＝ ),(
2
xPPxP
EME
＝ ),( xPPxP
EME
＝ ),( xPPPx
EME
＝ 0,
故 0=
EM
PP,现在
2
)(
ME
PP + ＝
22
MEMMEE
PPPPPP +++ ＝
ME
PP +,
又 Hyx ∈?,,
),)(( yxPP
ME
+ ＝ ),( yxP
E
＋ ),( yxP
M
＝ ),( yPx
E
＋ ),( yPx
E
＝ ))(,( yPPx
ME
+,
所以
ME
PP + 是投影算子,
)1()4(? 由
ME
PP + ＝
2
)(
ME
PP + ＝
22
MEMMEE
PPPPPP +++ ＝
MEMMEE
PPPPPP +++
知道
EMME
PPPP + ＝ 0
(4-2-10)
左乘
E
P,则 0=+
EMEME
PPPPP,
右乘
E
P,则 0=+
EMEME
PPPPP,
于是
EMME
PPPP =,由式（ 4-2-6）,
EMME
PPPP =,
10
x M?∈,xxP
M
=,故 xPxPP
EME
==0 。 Ex ⊥ 所以 EM ⊥,
思考题 若
21
,PP 是投影算子，则
21
PP 是投影算子当且仅当
21
PP ＝
12
PP,
引理 设 H 是 Hilbert 空间,{ }
n
P 是 H 上的一列投影算子并且
n
P
点点收敛于 P,即 Hx∈?,0→?PxxP
n
，则 P 是投影算子,
证明 Hx∈?,
∞→n
lim xP
n
= Px,由 Banach-Steinhaus 定理,P 是有界线性算子,又 yH?∈,
),( yPx =
∞→n
lim ),( yxP
n
=
∞→n
lim ),( yPx
n
= ),( Pyx
P 是自伴的,另一方面
xPP )(
2
= xPPPPPPPP
nnnn
)(
22
+?+?
≤ ))(( PxPP
n
+
n
P xPP
n
)(? + xPP
n
)(? 0→
故 xPP )(
2
=0,Hx∈?,即 PP =
2
,P 是幂等的,,
定理 7 设 H 为 Hilbert 空间,
(1) 若 { }
i
Q 是一列两两正交 ),0( jiQQ
ji
≠= 的投影算子,则存在
投影算子 P 使得
1
n
i
i
Qx Px
=
→
∑
点点成立,
(2) 若 { }
i
E 是一列单调上升 (,
ij
EEij?≤)的闭线性子空间并且
1
i
i
EE
∞
=
=
∪
,则
n
E
Px→
E
Px点点成立,
证明
null
1 记
∑
=
=
n
i
in
QP
1
,由定理 6,利用数学归纳法不难证明
n
P
是投影算子,由正交性
),( xQxQ
ji
= ),( xxQQ
ij
=0 ( ji ≠ )
故
11
2
x ≥
2
xP
n
= ),(
11
∑∑
==
n
j
j
n
i
i
xQxQ
=
∑
=
n
ji
ji
xQxQ
1,
),( =
2
1
∑
=
n
i
i
xQ,
所以
2
1
i
i
Qx
∞
=
<∞
∑
,又
2
1
∑
+=
m
ni
i
xQ =
2
1
xQ
i
m
ni
∑
+=
0(,)nm→→∞,
所以 xQ
n
i
i∑
=1
是 Cauchy 序列,H 完备,令 Px =
∞→n
lim xQ
n
i
i∑
=1
,由引理,P
是投影算子,
null
2 由定理 6,
1i
E
P
+
i
E
P 是投影算子并且
ij
EE
PP =
i
E
P ( ji < ),故
(
1i
E
P
+
i
E
P ) (
1j
E
P
+
j
E
P )=
1i
E
P
+
1+i
E
P +
i
E
P?
i
E
P = 0,
又
1
E
P (
1i
E
P
+
i
E
P ) =
1
E
P?
1
E
P =0,于是
12 13 2
,,,
EE EE E
PP PP P null
是一列两两正交的投影算子序列,由
null
1,Hx∈?,
n
E
P =x xP
E
1
+
∑
=
1
1
n
i
(
1+i
E
P -
i
E
P ) Pxx →,
P 为投影算子,现在验证
E
PP =,
记
L
PP =,我们证明 EL =,实际上,1≥?n,EE
n
,由定理 5,
对于每个 Hx∈,
xP
n
E
≤ xP
E
,
令 ∞→n,则
xP
L
=
∞→n
lim xP
n
E
≤ xP
E
,
于是 LE?,
另一方面,当 nk ≥ 时
k
Ex∈,故
k
E
P =x x,令 ∞→k,则
12
L
Px=
∞→k
lim
k
E
P =x x,所以 Lx∈,从而,
n
ELn? 是任意的并且
n
E 单调增加,于是
1
n
n
EL
∞
=
∪
,L闭,所以
1
n
n
EEL
∞
=
=?
∪
,
总之,EL =,故
EL
PPP ==,
第 20 讲 正交投影
教学目的：掌握正交投影算子和正交分解的基本性质。
讲解要点,
1 投影定理以及投影算子的初步性质。
2 投影算子的特征及其运算。
3 空间的正交分解。
定义 1 设 H 是内积空间,HE? 是线性子空间,Hx∈,若存在分解
21
xxx +=,其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
，则称
1
x 为 x在 E 上的投影，
记为
1
xxP
E
=,
定理 1 设 H 是内积空间,HE? 是线性子空间,x H∈,Ex ∈
1
，
则以下诸条件等价,
（ 1）
1E
Px x=,
（ 2）
1
inf
zE
x xxz
∈
=?,(4-2-1)
（ 3） zE?∈,实变量函数
2
1
()f xx zλ λ=?+ 在 0=λ 有最小值。
证明 )2()1(? x 有分解
12
x xx= +,其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
，
则 zE?∈,
1
x zE?∈,
21
x xz⊥?,于是
22
12
x zxzx?=?+＝
22
12
x zx?+ ≥
2
2
x ＝
2
1
x x?
注意到 Ex ∈
1
，故
1
inf
zE
x xxz
∈
=?。
)3()2(? 注意 )(λf 是 λ 的连续函数并且 Ezx ∈?λ
1
,)(λf 在
0=λ 的最小性即（ 4-2-1）,
2
)1()3(? Ez∈?,取 λ 为实变量，则
λ
λ
λ
)0()(
lim)0(
0
ff
f
=′
→
22
11
0
lim
x xzxx
λ
λ
λ
→
+
=
=
( )
2
11
0
lim (,) (,)x xz zx x z
λ
λ
→
+?+
= 2 Re
1
(,)x xz?,(4-2-2)
)(λf 在 0=λ 是可微的,由于 0=λ 是最小值点，故 Re
1
(,)x xz? =0,
同样地,将 z 换为 iz 得出 Im
1
(,)x xz? =0,从而
1
(,)x xz? ＝ 0,Ez∈ 是任意的，最后得出
1
x xE?⊥,故
1E
Px x= 。
定理 2（投影定理） 设 H 是 Hilbert 空间,HE? 为是线性子空间，则 x H?∈,
E
Px存在且唯一。
证明 若 x E∈,则
E
Px＝ x,若 x E?,取 Ex
n
∈ 使得
n
yx?
→ (,)yE dρ =,由于
22
()()
mn n m
x x xx xx?=
＝
22
2( )
nm
xx xx?+? － 4
2
2
nm
x x
x
+
≤ )(2
22
mn
xyxy?+? － 4
2
d 0→,
}{
n
x 是 Cauchy 序列。不妨设
0
xx
n
→,E 闭，所以 Ex ∈
0
,现在
0
lim
n
n
x xxxd
→∞
=?==inf
zE
x z
∈
,
由定理 1，
E
Px＝
0
x 。
由于 Hilbert 空间是严格凸的，
0
x 是唯一的最佳逼近元。
其实为了得到最佳逼近元，定理 2 中的集合 E 可以是任一闭凸子集，
0
x 的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理 2 和定理 1 还说明空间一点到闭子空间（闭凸集）的投影，恰恰是这一点关于闭子空间
3
（闭凸集）的最佳逼近元。不仅如此，在 Hilbert 空间上我们还可以定量地计算出一点到最佳逼近元的距离。
例 1 设 H 是 Hilbert 空间,HE? 是线性子空间,dim nE =,
n
ee,,
1
null 是 E 的一组规范正交基，则 Hx∈?,
∑
=
=
n
i
iiE
eexxP
1
),( 并且
(,)dxE=
22
12
1
((,).
i
i
xxe
∞
=
∑
(4-2-3)
若 }{
n
e 是 H 中的规范正交集,}{
n
espanE =,则
1
(,)
Eii
i
Px xee
∞
=
=
∑
并且
22
12
1
(,) ( (,)),
i
i
dxE x xe
∞
=
=?
∑
(4-2-4)
实际上，令
∑
=
=
n
i
ii
eexx
1
1
),(,
12
xxx?=,则 Ex ∈
1
,z E?∈,
1
(,)
n
ii
i
zzee
=
=
∑
,实际计算得到
21 1
(,) (,) (,) (,) 0xz xxz xz xz=? =? =
故 Ex ⊥
2
，从而
∑
=
==
n
i
iiE
eexxxP
1
1
),(,由投影定理
1
22
2
11
(,) ( )dxE x x x x=?=? =
12
2
2
1
((,)
n
j
j
xxe
=
∑
,
思考题 若
12
,,eenull 是 E 的规范正交基,证明类似的结论成立,
推论 1 设 H 是 Hilbert 空间,EH? 是闭线性子空间,记从 H
到 E 的投影算子是,P 则
(1) EHP →,是线性算子,
(2) 1.P ≤ 若 { }0E =,则 0;P = 若 { }0≠E,则,1=P
(3) () ( ),() ( ).E RP NI P NP RI P= =? =?
称 E 是 P 的投影子空间,
4
证明
null
1 设
2121
,yyyxxx +=+=,其中
11 2 2
,,,x yExy E∈ ⊥,
则
),()(
2211
yxyxyx βαβαβα +++=+
其中
11
yx βα +,E∈ 而,0),(,0),(,
22
==∈? zyzxEz 故
22 2 2
(,)(,)(,)0.xyz xz yzα βα β+=+ =
所以 Eyx ⊥+
22
βα,于是
.)(
11
PyPxyxyxP βαβαβα +=+=+
P 是线性的,
null
2
,x H?∈ 若
21
xxx += 是正交分解,则
2
x =
2
1
x +
2
2
x,从而
2
Px =
2
1
x ≤
2
x,Px ≤ x,P ≤1,
若 { }0=E,则 Hx∈?,0=Px,故 0=P,
若 { }0≠E,则有 Ex ∈
1
,1
1
=x 使得
11
xPx =,P
1
Px≥ =
1
x =1,从而 P =1,
null
3 由于 )(PRy∈ 当且仅当
21
xxy += 时 0
2
=x,此即
0=?Pyy 从而 )( PINy?∈,反过来也一样,另一式子可同样证明,
定理 3 设 H 是 Hilbert 空间,E H? 是线性子空间,记
{}ExHxE ⊥∈=
⊥
,,则
(1)
⊥
E 是 H 的闭线性子空间,
(2) 若 E 是闭的,则 EE =
⊥⊥
,
(3) 若 E 是闭的,则
⊥
⊕= EEH,即
⊥
+= EEH,{ }0=∩
⊥
EE,(4-2-5)
(4) 若 E 是闭的,EHP →,是投影算子,则
⊥
E = )(PN,
通常称
⊥
E 是 E 的正交补空间,由于 (4-2-5),称 H 是 E 与
⊥
E 的
5
直和,换句话说,(3) 表明 Hilbert 空间的每个闭子空间存在正交补空间,
证明
null
1 若
⊥
∈Eyx,,则 Ez∈?,zx ⊥,zy ⊥,从而
),( zyx βα + = ),( zxα + ),( zyβ =0,
故 yx βα +
⊥
∈E,
⊥
E 是线性子空间,
若
⊥
∈Ex
n
,xx
n
→,则 Ez∈?,0),( =zx
n
,由内积关于变元的连续性,),( zx = 0),(lim =
∞→
zx
n
n
,故 zx ⊥,
⊥
∈Ex,
⊥
E 是闭的,
null
2 设 E 是闭的,则由
⊥
⊥ EE 知道 EE
⊥⊥
,另一方面,若
⊥⊥
∈Ex,则
⊥
⊥ Ex,若
21
xxx +=,Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
,则
⊥
∈Ex
2
,从而 0),(
2
=xx,于是
=+= ),(),(
22122
xxxxx 0),(
2
=xx,
故 0
2
=x,
1
xx = E∈,即 EE
⊥⊥
,最后
⊥⊥
= EE,
null
3 由定理 2,Hx∈?,
21
xxx +=,其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
,即
⊥
∈Ex
2
从而
⊥
+= EEH,另一方面 { }0=∩
⊥
EE,故
⊥
⊕= EEH,
null
4 Hx∈?,
21
xxx += 其中 Ex ∈
1
,Ex ⊥
2
,故
⊥
∈Ex 当且仅
当 0
1
=x,即 0=Px 或 )(PNx∈,从而 )(PNE =
⊥
,
思考题 若 H 是内积空间,HNM?,,
（ 1） 若 NM ⊥,则
⊥
NM,
⊥
MN,
（ 2） 若 NM?,则
⊥⊥
NM,
（ 3）
⊥⊥
= )(MM,
定义 2 (1) 称线性算子 XXT →,是幂等的,若 TT =
2
,
(2) 设 H 是内积空间,称 )(HBT ∈ 是自伴算子,若
),( yTx = ),( Tyx,Hyx ∈?,,(4-2-6)
定理 4 设 H 是 Hilbert 空间,)(HBP∈,则下列诸条件等价,
6
(1) P 是投影算子,
(2) PP =
2
并且 P 是自伴的,
(3) PP =
2
并且 )()( PRPN ⊥,
(4) 若 H 是复空间,以上条件还等价于
),( xPx =
2
Px,Hx∈?,(4-2-7)
证明 (1)?(2),首先设 P 是从 H 到闭线性子空间 E 上的投影算子,Hx∈?,EPx∈,故 xP
2
= )(PxP = Px,于是 PP =
2
,其次,
,x yH?∈,
2121
,yyyxxx +=+=,Eyx ∈
11
,,Eyx ⊥
22
,,则
),( yPx = ),(
211
yyx + = ),(
11
yx
= ),(
121
yxx + = ),( Pyx,
P 自伴,
(2)?(3),若 (),x NP∈ 则 0,Px= 若 )(PRy∈ 则
1
x H? ∈,
1
Pxy =,
于是
),( yx = ),(
1
Pxx = ),(
1
xPx =0
即 )()( PRPN ⊥,
(3)?(1),令 )( PINE?=,E 是 H 的闭线性子空间,现在验证
P 是从 H 到 E 上的投影算子,
首先证明 )(PRE =,实际上 )(PRy∈?,,x H? ∈ Pxy = xP
2
=,
从而 0))(( =? PxPI,即 ()0,IPy? = ().yNIP∈? 反之 y?∈
()NI P? 则 0)( =? yPI,)(PRPyy ∈=,故 )()( PINPR?=,
Hx∈?,记 )( PxxPxx?+=,显然 EPRPx =∈ )(,又
xPIP )(? = )( PxxP? =0,于是 )(PNPxx ∈?,由 )()( PRPN ⊥ 得到
EPRPxx =⊥? )(,所以 P 是从 H 到 E 上的投影算子,
现在设 H 是复空间,
(2)?(4),
2
Px = ),( PxPx = ),(
2
xxP = ),( xPx,
7
(4)?(2),对于 H 上的任一线性算子 A,容易验证下面极化恒等式成立,
),(4 yAx = )),(( yxyxA ++ － )),(( yxyxA
(( ),) (( ),)iAx iy x iy iAx iy x iy+++ (4-2-8)
若 Hx∈?,),( xPx ＝
2
Px,则 ),( xPx 是实数,令 PA=,实际计算知道,
),( yPx ＝ ),( xPy ＝ ),( Pyx,
P 是自伴的,于是
),(
2
xxP ＝ ),( PxPx ＝ ),( xPx,Hx∈?,
令 PPA?=
2
，则 0),( =xAx,Hx∈?,再利用极化恒等式得到
0),( =yAx,Hyx ∈?,,
于是 0=A,即 PP =
2
,P 是幂等的,（ 2）成立,
整个定理得证,
若 P 是投影算子，则
),( xPx ＝ ),(
2
xxP ＝ ),( PxPx 0≥,Hx∈?
利用这一点我们可以在投影算子之间建立一种半序关系,若,
EM
PP分别是从 H 到闭线性子空间 E 和 M 上的投影算子，并且
),( xxP
E
≥ ),( xxP
M
,Hx∈? (4-2-9)
则记为
ME
PP ≥ （或
EM
PP ≤ ）,
定理 5 设
ME
PP,分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条件等价,
（ 1）,
M E
PP≤
（ 2）
ME
Px Px≤,Hx∈?,
（ 3） M E?,
（ 4）
ME
PP ＝
EM
PP ＝
M
P,
8
（ 5）
ME
PP? 是投影算子,
证明 )2()1(?
22
(,)(,)
MM E E
Px Pxx Pxx Px=≤=,故
ME
Px Px≤,Hx∈?,
)3()2(? 若 Mx∈,则 xxP
M
=,
222
xxPxP
ME
=≥ ＝
22
xPxxP
EE
+
故 0=? xPx
E
或 xxP
E
=,即 Ex∈,所以 EM? 。
)4()3(? Hx∈?,EMxP
M
∈,故 xPP
ME
＝ xP
M
或
ME
PP
＝
M
P,另一方面，设
2
xxPx
E
+=,Ex ⊥
2
从而 Mx ⊥
2
,又设
2
xxPx
M
′+=,Mx ⊥′
2
，故 Mxx ⊥′?
22
xPxP
ME
＝－ Mxx ⊥′? )(
22
。
若记 += xPxP
ME
)( xPxP
ME
,则 此 式 为 xP
E
关于线性子空间 M 的正交分解式，从而 xPP
EM
＝ xP
M
或
EM
PP ＝
M
P,
)5()4(? 此时 =?
2
)(
ME
PP
22
MEMMEE
PPPPPP + ＝
MMME
PPPP + ＝
ME
PP?,
ME
PP? 是幂等的。
由于
ME
PP,的自伴性,? Hyx ∈,
),)(( yxPP
ME
(,)
E
Pxy= － ),( yxP
M
＝ ),( yPx
E
－ ),( yPx
E
＝ ))(,( yPPx
ME
,
ME
PP? 是自伴的，故
ME
PP? 是投影算子。
)1()5(? 由
),( xxP
E
－ ),( xxP
M
＝ ),)(( xxPP
ME
＝ 0)(
2
≥? xPP
ME
得之,
定理 6 设
ME
PP,分别是 Hilbert 空间中的投影算子。则以下诸条件等价,
9
（ 1） ME ⊥,
（ 2） )()(
ME
PRPR ⊥,
（ 3）
ME
PP ＝ 0（称
E
P 与
M
P 正交）,
（ 4）
ME
PP + 是投影算子,
证明 )2()1(? 由 EPR
E
=)(,MPR
M
=)( 得到
)()(
ME
PRPR ⊥,
)3()2(? Hyx ∈?,,),(),( yPxPyPPx
MEME
= ＝ 0,故 yPP
ME
＝
0，从而
ME
PP ＝ 0,
)4()3(? Hx∈?,由
ME
PP ＝ 0 得 0=
EME
PPP,于是
),(
2
xPPxPPxPP
EMEMEM
= ＝ ),(
2
xPPxP
EME
＝ ),( xPPxP
EME
＝ ),( xPPPx
EME
＝ 0,
故 0=
EM
PP,现在
2
)(
ME
PP + ＝
22
MEMMEE
PPPPPP +++ ＝
ME
PP +,
又 Hyx ∈?,,
),)(( yxPP
ME
+ ＝ ),( yxP
E
＋ ),( yxP
M
＝ ),( yPx
E
＋ ),( yPx
E
＝ ))(,( yPPx
ME
+,
所以
ME
PP + 是投影算子,
)1()4(? 由
ME
PP + ＝
2
)(
ME
PP + ＝
22
MEMMEE
PPPPPP +++ ＝
MEMMEE
PPPPPP +++
知道
EMME
PPPP + ＝ 0
(4-2-10)
左乘
E
P,则 0=+
EMEME
PPPPP,
右乘
E
P,则 0=+
EMEME
PPPPP,
于是
EMME
PPPP =,由式（ 4-2-6）,
EMME
PPPP =,
10
x M?∈,xxP
M
=,故 xPxPP
EME
==0 。 Ex ⊥ 所以 EM ⊥,
思考题 若
21
,PP 是投影算子，则
21
PP 是投影算子当且仅当
21
PP ＝
12
PP,
引理 设 H 是 Hilbert 空间,{ }
n
P 是 H 上的一列投影算子并且
n
P
点点收敛于 P,即 Hx∈?,0→?PxxP
n
，则 P 是投影算子,
证明 Hx∈?,
∞→n
lim xP
n
= Px,由 Banach-Steinhaus 定理,P 是有界线性算子,又 yH?∈,
),( yPx =
∞→n
lim ),( yxP
n
=
∞→n
lim ),( yPx
n
= ),( Pyx
P 是自伴的,另一方面
xPP )(
2
= xPPPPPPPP
nnnn
)(
22
+?+?
≤ ))(( PxPP
n
+
n
P xPP
n
)(? + xPP
n
)(? 0→
故 xPP )(
2
=0,Hx∈?,即 PP =
2
,P 是幂等的,,
定理 7 设 H 为 Hilbert 空间,
(1) 若 { }
i
Q 是一列两两正交 ),0( jiQQ
ji
≠= 的投影算子,则存在
投影算子 P 使得
1
n
i
i
Qx Px
=
→
∑
点点成立,
(2) 若 { }
i
E 是一列单调上升 (,
ij
EEij?≤)的闭线性子空间并且
1
i
i
EE
∞
=
=
∪
,则
n
E
Px→
E
Px点点成立,
证明
null
1 记
∑
=
=
n
i
in
QP
1
,由定理 6,利用数学归纳法不难证明
n
P
是投影算子,由正交性
),( xQxQ
ji
= ),( xxQQ
ij
=0 ( ji ≠ )
故
11
2
x ≥
2
xP
n
= ),(
11
∑∑
==
n
j
j
n
i
i
xQxQ
=
∑
=
n
ji
ji
xQxQ
1,
),( =
2
1
∑
=
n
i
i
xQ,
所以
2
1
i
i
Qx
∞
=
<∞
∑
,又
2
1
∑
+=
m
ni
i
xQ =
2
1
xQ
i
m
ni
∑
+=
0(,)nm→→∞,
所以 xQ
n
i
i∑
=1
是 Cauchy 序列,H 完备,令 Px =
∞→n
lim xQ
n
i
i∑
=1
,由引理,P
是投影算子,
null
2 由定理 6,
1i
E
P
+
i
E
P 是投影算子并且
ij
EE
PP =
i
E
P ( ji < ),故
(
1i
E
P
+
i
E
P ) (
1j
E
P
+
j
E
P )=
1i
E
P
+
1+i
E
P +
i
E
P?
i
E
P = 0,
又
1
E
P (
1i
E
P
+
i
E
P ) =
1
E
P?
1
E
P =0,于是
12 13 2
,,,
EE EE E
PP PP P null
是一列两两正交的投影算子序列,由
null
1,Hx∈?,
n
E
P =x xP
E
1
+
∑
=
1
1
n
i
(
1+i
E
P -
i
E
P ) Pxx →,
P 为投影算子,现在验证
E
PP =,
记
L
PP =,我们证明 EL =,实际上,1≥?n,EE
n
,由定理 5,
对于每个 Hx∈,
xP
n
E
≤ xP
E
,
令 ∞→n,则
xP
L
=
∞→n
lim xP
n
E
≤ xP
E
,
于是 LE?,
另一方面,当 nk ≥ 时
k
Ex∈,故
k
E
P =x x,令 ∞→k,则
12
L
Px=
∞→k
lim
k
E
P =x x,所以 Lx∈,从而,
n
ELn? 是任意的并且
n
E 单调增加,于是
1
n
n
EL
∞
=
∪
,L闭,所以
1
n
n
EEL
∞
=
=?
∪
,
总之,EL =,故
EL
PPP ==,
