1
第 23 讲 紧算子的谱论
教学目的：掌握紧算子谱的特征。
讲解要点,
1 紧算子谱的特征。
2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方程解的关系。Freidholm 择一定理。
紧算子是一大类有界线性算子,线性代数和积分方程中遇到的很多算子都是紧算子,本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz -Schauder
理论,为此，我们做一些必要的准备,
设 X 是 Banach 空间,()CX是 X 中的紧算子的全体,
引理 1 设 X 是 Banach 空间,N? X 是有限维子空间，则 N 是可余的，即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N,
证明 N 是闭的，设
1
,,
n
ee 是 N 的一组基，对于每个,x N∈
11
() ()
nn
x axe axe= ++,
此表达式是唯一的,容易验证，
1
(),,()
n
ax ax 是 N 上的线性泛函并且每个
1
()ax是连续的.实际上,() 0
i
ax= 当且仅当
11 1 1 1 1
() () () (),
iiii nn
x axe a xe a xe axe
++
= ++ + ++
故
111
() {,,,,,}
iiin
Na spane e e e
+
=为 1n? 维闭子空间,
i
a 在 N 上定义，根据 Hahn-Banach 定理，
i
a 可延拓到整个空间 X
上.记延拓后的泛函为
**
1
,,
n
aa,设
*
1
(),
n
i
i
M Na M
=
=∩ 是闭线性子空间,
我们证明,XMN=⊕
2
若,x MN∈∩ 则一方面对于每个,(),()0,
ii
ix Na a x∈ = 又
,x N∈ 故
11
() ()
nn
x axe axe= ++ = 0,
即 {0}.MN∩= 另一方面,?,x X∈ 记
'* *
11
() (),
nn
x axe axe=+? 则
'
x N∈ 并且
*'* *'* *
( ) () ( ) () () 0
iiiii
axx ax ax ax ax?=? =? =,1,.in=
于是
'
',yxxMx=?∈ 有分解
''
.x xy= + 所以,XMN= ⊕
引理 2 设 X 是 Banach 空间,(),A CX∈,0,Cλ λ∈ ≠ 则
()NIAλ? 是有限维的,()R IAλ? 是 X 的闭线性子空间,
证明 1
null
考虑 (),NNIA IAλ λ=是有界线性算子，故 N 是闭线性子空间,?,,x NAx xλ∈= 即 ()A NNNλ= =,A是紧算子，
设 {}
n
x 是单位球中的任一序列，则 {}
n
x
λ
是有界序列,(),
n
n
x
A x
λ
= 于是
{}
n
x 中有子序列 {}
k
n
x 收敛,这说明 N 的闭单位球是紧的，从而 N 是有限维的,
2
null
由引理 1，存在闭线性子空间,M XMN= ⊕,我们证明
()M RIAλ=?,
定义算子,,B MXBxxAxλ→=?.由于 XMN= ⊕,在 N 上，
0IAλ?=，故 () ( )R BRIAλ=?,B 是一一的，实际上若
1212
,,,BxBxxxM=∈则
12
()()I Ax I Axλ λ?=?，或
12
()()0IAxxλ=,
故一方面
12
,x xM?∈ 另一方面
12
()x xNIANλ? ∈?=，所以
12 1 2
0,x xxx?= =,
现在我们证明存在 0,|| || || ||,.aBxaxxM>≥?∈ 否则，存在
,
n
x M∈
1
|| || || ||
nn
Bxnx
<,不失一般性设 || || 1
n
x =,则
1
|| ||
n
Bxn
<,A是紧的，
故有子列
0
,.
kk
nn
x Ax x X→∈ 但
kkk
nnn
AxxBxλ=?,由 0
k
n
Bx → 知
3
0
().
k
nk
xxnλ →→∞ 于是一方面由 B 的连续性，
0
lim 0.
k
k
n
n
Bx Bxλ
→∞
= =
另一方面，
0
|| || lim || || | | 0,
k
k
n
n
xxλ λ
→∞
==≠ 矛盾说明 a是存在的,
若
n
y 是 ()R B 中的 Cauchy 序列，不妨设,,
nnn
yBxxM= ∈ 则
|| ||
mn
yy? || ( ) || || ||,
mn mn
B xx axx=?≥?
{}
n
x 是 M 中的 Cauchy 序列,M 闭，故存在
00
,.
n
x Mx x∈ → 令
00
,yBx= 则
000
(),,()
n
yRBBx BxyRB∈→=是闭的，所以 ()R IAλ?
是闭的,
引理 3 设 X 为 Banach 空间,(),A X∈B 则对应于 A的不同特征值的特征向量彼此线性无关,
证明 设
1
,
n
λ λ 是 A的互不相同的特征值，
1
,,
n
x x 是相应的特征向量,0,( 1,).
iii
x Ax x i nλ≠==? 若
1
,,
n
x x 线性相关，不失一般性设
1
1
n
nii
i
x ax
=
=
∑
，则一方面
11 11
()( )()( )
nn nnn
I AIAxIAxAxλ λλλ
=
121
()( )( )
nnnn
IA IAxλ λλλ
=
=
11
()( )0
nnnn
xλ λλλ
= ≠
另一方面，它们是可交换的，从而
11
()( )
nn
I AIAxλ λ
1
11
1
()( )0,
n
ini
i
aIA IAxλλ
=
= =
∑
矛盾,由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立,
定理 1 设 X 是 Banach 空间,(),A CX∈ 则
（1） A的非零谱点都是特征值,
（2） ()Aσ 是可数集，0是 ()Aσ 惟一可能的聚点,
(3) 若 dim,X =∞ 则 0().Aσ∈
(4) 对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的,
4
证明 1
null
我们证明当 0λ ≠ 时,若 IAλ? 是一一映射，则
IAλ?
是到上的,由逆算子定理
1
()()I AXλ
∈B,于是 ()Aλ ρ∈,便得到
（1）,
令 TIAλ=?,对于任意正整数,n
()
nn
TIAλ=?
11
(1)
nn nn
I CA CAλλ
=? ++?
n
I Bλ=?
其中 B 是 A与一个有界线性算子的乘积,由第三章 §3 知,B 是紧算子,
根据引理 2,() ( )
nn
R TRIBλ=? 是 X 的闭线性子空间，显然
1
() ()(1,2,).
nn
RT RT n
+
=? 如果
1
,( )
n
nRT
+
都是 ()
n
R T 的真子空间，由 Riesz引理，存在 (),
n
n
yRT∈ 使得
1
1
|| || 1,(,( )),
2
n
nn
yyRTρ
+
=≥
注意
1
(( ) ( ),
nn
TRT RT
+
所以
1
().
n
nnn
Ty y Ay R Tλ
+
=?∈ 记
1
0
,
n
nn
yAyTxλ
+
=
1' '
000
,,.
m
mmm
Ty y Ay T x x x Xλ
+
=?= ∈
若 mn>,则
11' 1 1
0
() ( ),( ) ( ),
mnm m n
m
yRT RT TxRT RT
++ + +
∈? ∈?
11
0
().
nn
Tx RT
++
∈
于是
11'
00
|| || || ( ) ( ) ||
nm
nm nm
AyAy y y TxTxλλ
++
=
'
1100
||| ( )|
nm
nm
x x
yyT Tλ
λ λ
++
=?+?
1
||(,( )
n
n
yRTλρ
+
≥
||
0.
2
λ
≥>
5
这与 A的紧性矛盾，于是存在
00
1
0
,( ) ( ).
nn
nRT RT
+
=
由于 T 是一一的，
0
11
(),()().
n
yRT TyRT RT
+
∈ ∈ = 不妨设
0
1n
Ty T x
+
=
0
(),,
n
TT x x X=∈ 则
00
(),
nn
yTxRT=∈ 从而
00
1
()(),
nn
RT RT
00
1
()().
nn
RT RT
= 继续这一过程最后得到
()R TX=,T 是到上的,
2
null
我们证明，对于任意的 0,t >
{,(),| | }A tλ λσ λ∈ >
是有限集,若不然，由 1
null
知，存在互不相同的一列 (),| |
n
Atλ σλ∈ >,
n
λ 是 A 的特征值,不妨设
n
x 是相应的特征向量，
0,( 1,2,).
nnn
xAxxnλ≠= =? 由引理 3,{}
n
x 是线性无关集，记
1
{,}M span x x=，则 dim,
n
M n=
n
M 是闭子空间并且
11
,
nnnn
M MM M
≠,由 Riesz 引理，存在
1
1
,|| || 1,(,) 2 ( 2,3,).
nnn nn
yM y yM nρ
∈= ≥=?
不妨设
1
,
n
nini
i
yxα
=
=
∑
则
1
1
() ()
n
nn n n n n in n i
i
yAy IAx IAxλαλ αλ
=
=? +?
∑
1
1
1
(),
n
in n i i n
i
xMαλ λ
=
=?∈
∑
为简便起见，记
1nn n n
yAyzλ
=,类似地，记
11 1
,.
mm m m m m
yAyzz Mλ
= ∈
若 mn>,则
11 1 1
,
nn mnnm
zM MyMM
∈? ∈?,
11
|| || || ( ) ( ) ||
mn mmnnmn
Ay Ay y y z zλ λ
=
11
||| ( )|
nmn
mm n
mmm
zz
yy
λ
λ
λλλ
=?+?
1
||
||(,) 0.
2
mmm
t
yMλρ
≥≥>
与 A的紧性矛盾,故 {,(),| | }A tλ λσ λ∈ > 为有限集,0t > 是任意的，
6
故 ()Aσ 是可数集，0是 ()Aσ 惟一可能的聚点,
3
null
若 0()Aρ∈,则 0 AAλ? =? 是正则算子.
1
A
有界,A紧，故
1
I AA
= 是紧算子，这说明 X 的闭单位球是紧的，从而 X 是有限维空间，与所设条件矛盾,
4
null
若 (),0,Aλ σλλ∈≠对应的特征向量空间为 ()NIAλ?,由引理 2即得之,
证毕,
由定理 1可知,对于紧算子 A来说，任何 0λ ≠,要 么 ()Aλ ρ∈,
要么 ()
p
Aλ σ∈,这通常被称为紧算子的 Fredholm 择一定理,相应于算子方程 ()I Ax yλ?=来讲，这相当于要么此方程对任何 yX∈ 有惟一解，要么相应的齐次方程 ()0IAxλ? = 有非 0 解,这和线性方程组的情况是一致的，和积分方程中的很多情况也是吻合的,
思考题 若 dim,X =∞ 则 ()TCX∈ 时,T 不是正则的,反过来
1
()TBX
∈ 时,()TCX∈,
定义 设 X 为线性赋范空间，
*
X 是 X 的共轭空间,
（1） 若
***
,,()0xXx Xxx∈∈ =，称
*
x 与 x正交，记为
*
x x⊥,
（2） 设
*
,M XN X,若
**
,,x Mx Nx x? ∈∈⊥,则称 M 与 N
正交，记为,M N⊥
特别地,{}x N⊥ 时，记为,xN⊥
定理 2 设 X 是 Banach 空间，
*
(),0,ACX Aλ∈≠是 A的共轭算子,
（1） 若 yX∈,则方程 ()I Ax yλ? = 可解的充要条件是
**
()yNI Aλ⊥?,
（2） 若
**
yX∈,则方程
****
()I Ax yλ? = 可解的充要条件是
7
*
()yNIAλ⊥?,
其中
**
()NI Aλ? 是
*
A 的相应于 λ 的特征向量空间,()NIAλ? 是 A
的相应于 λ的特征向量空间,
证明 1
null
若 ()I Ax yλ?=有解
*
,x x ∈
**
()NI Aλ?,则
**
() (,( ))x yxIAxλ=?
**
(( ),)I Axxλ=?
***
(( ),) 0.IAxxλ=?=
故
**
().yNI Aλ⊥?
反之，若
**
(),yNI Aλ⊥? 我们证明 ()yRIAλ∈?,若不然，
()yRIAλ,
由引理 2,()R IAλ? 是闭线性子空间，根据 Hahan-Banach 定理,存在
**
,()0,xXxy∈≠但在 ()R IAλ? 上
*
0x =,由此，一方面,x X?∈
'
()()yIAxRIAλλ=?∈?,
***
(( ),)I Axxλ?
**'
(,( )) ()0.xIAxxyλ=?==
这说明
*** * **
()0,( ).I Ax x N I Aλλ?=∈? 另一方面由
*
() 0xy≠ 知道
**
()yNI Aλ⊥?不成立，从而出现矛盾,故 ()yRIAλ∈?,所以存在
xX∈,使得 ()yIAxλ=?,
2
null
若对于
**
yX∈,方程
****
()I Ax yλ? = 有解
*
x,则
()x NIAλ?∈?,
*** *
() (( ),) (,( )) 0yx I Axx x I Axλλ=?=?=，故
*
()yNIAλ⊥?,
反之，若
*
()yNIAλ⊥?，对于任意的 ()yRIAλ∈?,不妨设
(),yIAxλ=? 令
**
0
() ()yy yx=,我们将验证
*
0
y 是 ()R IAλ? 上的连续线性泛函,首先
*
0
y 有确定的意义,实际上，若另有
'
()yIAxλ=?,则
''
()()0,()I Ax x x x N I Aλλ=?∈?，但
*
()yNIAλ⊥?,所以
** * **
()0,()()yxx yx yx?= =,这说明
*
0
()yy由 y 惟一确定,
*
0
y 在 ()R IAλ? 上是线性的,现在证明
*
0
y 连续.设 ()
n
yRIAλ∈?,
不妨设 ()0
nn
yIAxλ=?→，根据引理 2中 ()R IAλ? 为闭子空间的证
8
明，存在 0,a > || ( ) || || ||I Ax a xλ?≥,即 || || || ( ) || || ||
nn
yIAxaxλ=?≥,
于是 {}
n
x 为有界序列,A紧,不妨设
0
k
n
Axx→,对 ()
kk
nn
yIAxλ=? 两端取极限得到，
0
k
n
x xλ →,由 IAλ? 的连续性又得到
0
()lim()lim 0
kk
kk
nn
nn
IAx IAx yλ λλ λ
→∞ →∞
=? = =,
于是
0
()x NIAλ∈?，所以
*
0
()0,yx=
** * *
00 0
1
() ( ) () ()0,
kkk
nnn
yy y I Ax yx yxλ
λ
=?= → =
这说明对于任一序列 0
n
y →,都可以选出子序列
*
0
{},() 0,
kk
nn
yyy→ 故必有
**
00
() 0,
n
yy y→ 连续,
根 据 Hahn-Banach 定理，存在
**
,x X∈ 在 ()R IAλ? 上
**
0
() ().x yyy= 现在对于任何,x X∈
*** * *
0
(( ),) (,( ) ) (,( ) )I AxxxIAxxIAxλλλ?=?=?
**
0
() ().yy yx==
故
* * ***
(),yIAxxλ=? 是方程的解,
定理 3 设 X 是 Banach 空间，
*
(),0,ACX Aλ∈≠是 A的共轭算子,则
（1）
*
() ( ).AAσσ=
（2） 设,(),A xλ μσ∈ 是 A的相应于 λ的特征向量，
*
x 是
*
A 的相应于 μ 的特征向量，,λ μ≠ 则
*
x x⊥,从而
**
()( )NIA NI Aλμ?⊥?,
（3）若 (),0Aλ σλ∈≠，则
**
dim ( ) dim ( )NIA NI Aλλ?=?,
证明 1
null
注意到
*
A 也是紧算子，故当 0λ ≠ 时,λ不是
*
A 的特征值,λ一定是正则点.若 dim X <∞，相 应 于
*
A 的矩阵是相应于 A
的矩阵的转置，根据线性代数的知识，二者有相同的特征值，结论成立,
若 dim X =∞，由定理 1(3),0()Aσ∈,同时
*
dim X =∞，于是
*
0()Aσ∈,现在设 0λ ≠,我们只须证明 ()Aλ ρ∈ 当且仅当
9
*
()Aλρ∈,
若 ()Aλ ρ∈,由本章 §1 定理 4(1),()I Ax yλ? = 对于任何 yX∈
有解，从定理 2 知，
**
().yNI Aλ⊥?由 y 的任意性知，
**
(){0}NI Aλ?=,即
*
I Aλ? 是一一映射，根据定理 1 证明中的 1
null
，
**
I Aλ? 是到上的，从而
*
()Aλρ∈,
反之，若
*
()Aλρ∈,则
****
()I Ax yλ? = 对于任意的
*
y 有解，于是由定理 2，
*
()yNIAλ⊥?，所以,(){0}NIAλ? =,IAλ? 是一一的.根据定理 1 证明中的 1
null
,IAλ? 到上，故 ()Aλ ρ∈,总之
*
() ( ).AAρρ= 所以
*
() ( ).AAσσ=
2
null
任 取
***
(),( )x NIAx NI Aλμ∈?∈?，则
**
,Ax x A xλ= =
*
xμ,于是
** *
() (,) (,)x xxxxAxλλ==
** * *
(,)(,) ().Ax x x x x xμμ===
或
*
()()0xxλμ?=.由 λ μ≠,故
*
() 0,xx=
**
()( )NIA NI Aλμ?⊥?,
3
null
设
** *
dim ( ),dim ( )NIA n NI A nλλ?=? =.根据定理 1(4),二者都是有限的,
首先证明
*
nn≤,若
*
0n =,不等式自然成立.若 0n=,即
(){0}NIAλ?=，于 是 IAλ? 是一一的，由定理 1证明的 1
null
,IAλ? 还是到上的,即 ()Aλ ρ∈,由上面的 1
null
，
*
()Aλρ∈,故
**
(){0}NI Aλ?=，
*
0,n = 所说等号成立,
现在考虑
*
,nn均为非零的情况，设
1
,
n
x x 是 ()NIAλ? 的一组基，
**
1
,
n
yy 是
**
()NI Aλ? 的一组基，由本节引理 1的证明不难知道，
存在
**
1
,
n
x x 使得
*
1,.
()
0,.
ji
ij
xx
ij
=
=
≠
又容易用归纳的方法证明，存在
**
1
,
n
yy,使得
10
*
1,.
()
0,.
ji
ij
yy
ij
=
=
≠
定义,,FX X→
*
1
() ()
n
ii
i
F xxxy
=
=
∑
,.xX? ∈
显然 F 是有界线性算子并且是有限秩算子，从而 F 是紧的,算子
B AF=+是紧的,我们证明 IBλ? 是一一映射,
实际上，若 ()0IBxλ?=，则
*
1
( ) () ()
n
ii
i
I Ax Fx x xyλ
=
= =
∑
,
(5-2-1)
****
1
(,( ))(,()) ().
n
jjij
i
yIAxy xxyxxλ
=
= =
∑
但
***
()
j
yNIAλ∈?，故
***
(,( ))( ),)0
jj
yIAx IAyxλλ?=? =,(1,),jn=
从而
*
() 0
j
xx=,代入（5－2－1）知道 ()0,()I Ax x N I Aλ λ? =∈?,由于
1
,
n
x x 是的一组基，不妨设
1
n
ii
i
x xα
=
=
∑
，由
*
1
()
n
jj ii
i
x xαα
=
=
∑
*
() 0( 1,,)
j
x xj n= = = 知 0,x IBλ=? 是一一的,由引理 2的证明 1
null
，
IBλ? 是到上的,
若
*
nn<,取 xX∈,使
1
()
n
I Bx yλ
+
= 则
**
11 1
1()(,()
nn n
yy y IBxλ
++ +
==?
(,( ))(,()yIAxyFxλ=
*** * *
11
1
(( ),) (,( ) )
n
nn i
i
I Ay x y xxyλ
++
=
=
∑
0=,
因为
***
1
()
n
yNIAλ
+
∈?,矛盾说明
*
.nn≤
11
现在，由
**
X X?,并且当 ()0IAxλ? = 时，对于任意的
**
,x X∈
*
0(,( ))( ),)x IAx I Axxλλ=?=?
* * * ** * ** ** **
(( ),) (,( ) ),I Axx x I A x=? =?
即
** ** **
()0IAxλ?=，故
** **
()( ).NIA NI Aλλ
记
** ** **
dim ( )nNIAλ=?，于是
**
.nn≤,但类似于上面的证明知
** *
.nn≤,由此
*
.nn≤ 总之
*
.nn=
例1 考虑空间
2
l 上的线性算子
22
:A ll→,
32
1
(,,,),
23
xx
Ax x=
2
12
(,,)x xx l? = ∈
首先,
11
22
11
|| || ( | | ) ( | | ) || ||,
n
n
nn
x
Axxx
n
∞∞
==
=≤=
∑∑
T 是有界线性算子,设
22 2
1
:,(,,,,0)
2
n
nn
xx
Al l Ax x
n
→=?null,
则 || || 1,
nn
AA≤ 是有限秩算子从而是紧的,由
1
2
2
|| || 1 || || 1
1
|| || sup || ( ) || sup( | | )
i
nn
xx
in
x
AA AAx
i
∞
≤≤
=+
=? =
∑
1
2
2
|| || 1
1
1
sup ( | | )
1
i
x
in
x
n
∞
≤
=+
≤
+
∑
1
0.
1n
≤→
+
A也是紧算子,
若 (0,,0,10,)
n
n
e =
nullnullnullnullnull
，则
1
.
nn
Aee
n
= 由定义，
1
n
是 A的特征值，
n
e 是相应的特征向量,
2
x l? ∈,0Ax = 仅当 0x=,于是 A是一一映射，0不是特征值,注意到 A不是到上的，例如
2
0
11
(1,,,),
23
yl= ∈ 若
00
Ax y=,则应有
2
00
(1,1,),x xl=，因此 0 是谱点,我们证明：
12
1
() {,1}
p
An
n
σ =≥,从而 () () (0)
p
AAσ σ= ∪,
实际上，若
11
0,1,,,,
23
λ ≠ 则要使 ()0IAxλ? =,即
32
12 1
( ) (,,)(,,,)
23
xx
IAx xx xλλ? =
12
1
(( 1),( ),) 0
2
xxλλ==
必须
12
0xx===，即 0x=,故 IAλ? 是一一的，由引理 2 证明中的 1
null
,IAλ? 是到上的，从而 ()Aλ ρ∈,
最后，对于
1
n
n
λ =,考虑 ()0
n
IAxλ? = 的,
n
x xAxλ =,即
312 2
1
(,,)(,,,).
23
xxx x
x
nn
=
若 in≠,要使
ii
x x
ni
=,必须 0
i
x =,故满足上面式子的 x具有形式 (0,,0,,0,)
n
x 或
nn
x xe=,于是
(){},dim()1,1.
nnn
N I A span e N I A nλ λ?=?= ≥
第 23 讲 紧算子的谱论
教学目的：掌握紧算子谱的特征。
讲解要点,
1 紧算子谱的特征。
2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方程解的关系。Freidholm 择一定理。
紧算子是一大类有界线性算子,线性代数和积分方程中遇到的很多算子都是紧算子,本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz -Schauder
理论,为此，我们做一些必要的准备,
设 X 是 Banach 空间,()CX是 X 中的紧算子的全体,
引理 1 设 X 是 Banach 空间,N? X 是有限维子空间，则 N 是可余的，即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N,
证明 N 是闭的，设
1
,,
n
ee 是 N 的一组基，对于每个,x N∈
11
() ()
nn
x axe axe= ++,
此表达式是唯一的,容易验证，
1
(),,()
n
ax ax 是 N 上的线性泛函并且每个
1
()ax是连续的.实际上,() 0
i
ax= 当且仅当
11 1 1 1 1
() () () (),
iiii nn
x axe a xe a xe axe
++
= ++ + ++
故
111
() {,,,,,}
iiin
Na spane e e e
+
=为 1n? 维闭子空间,
i
a 在 N 上定义，根据 Hahn-Banach 定理，
i
a 可延拓到整个空间 X
上.记延拓后的泛函为
**
1
,,
n
aa,设
*
1
(),
n
i
i
M Na M
=
=∩ 是闭线性子空间,
我们证明,XMN=⊕
2
若,x MN∈∩ 则一方面对于每个,(),()0,
ii
ix Na a x∈ = 又
,x N∈ 故
11
() ()
nn
x axe axe= ++ = 0,
即 {0}.MN∩= 另一方面,?,x X∈ 记
'* *
11
() (),
nn
x axe axe=+? 则
'
x N∈ 并且
*'* *'* *
( ) () ( ) () () 0
iiiii
axx ax ax ax ax?=? =? =,1,.in=
于是
'
',yxxMx=?∈ 有分解
''
.x xy= + 所以,XMN= ⊕
引理 2 设 X 是 Banach 空间,(),A CX∈,0,Cλ λ∈ ≠ 则
()NIAλ? 是有限维的,()R IAλ? 是 X 的闭线性子空间,
证明 1
null
考虑 (),NNIA IAλ λ=是有界线性算子，故 N 是闭线性子空间,?,,x NAx xλ∈= 即 ()A NNNλ= =,A是紧算子，
设 {}
n
x 是单位球中的任一序列，则 {}
n
x
λ
是有界序列,(),
n
n
x
A x
λ
= 于是
{}
n
x 中有子序列 {}
k
n
x 收敛,这说明 N 的闭单位球是紧的，从而 N 是有限维的,
2
null
由引理 1，存在闭线性子空间,M XMN= ⊕,我们证明
()M RIAλ=?,
定义算子,,B MXBxxAxλ→=?.由于 XMN= ⊕,在 N 上，
0IAλ?=，故 () ( )R BRIAλ=?,B 是一一的，实际上若
1212
,,,BxBxxxM=∈则
12
()()I Ax I Axλ λ?=?，或
12
()()0IAxxλ=,
故一方面
12
,x xM?∈ 另一方面
12
()x xNIANλ? ∈?=，所以
12 1 2
0,x xxx?= =,
现在我们证明存在 0,|| || || ||,.aBxaxxM>≥?∈ 否则，存在
,
n
x M∈
1
|| || || ||
nn
Bxnx
<,不失一般性设 || || 1
n
x =,则
1
|| ||
n
Bxn
<,A是紧的，
故有子列
0
,.
kk
nn
x Ax x X→∈ 但
kkk
nnn
AxxBxλ=?,由 0
k
n
Bx → 知
3
0
().
k
nk
xxnλ →→∞ 于是一方面由 B 的连续性，
0
lim 0.
k
k
n
n
Bx Bxλ
→∞
= =
另一方面，
0
|| || lim || || | | 0,
k
k
n
n
xxλ λ
→∞
==≠ 矛盾说明 a是存在的,
若
n
y 是 ()R B 中的 Cauchy 序列，不妨设,,
nnn
yBxxM= ∈ 则
|| ||
mn
yy? || ( ) || || ||,
mn mn
B xx axx=?≥?
{}
n
x 是 M 中的 Cauchy 序列,M 闭，故存在
00
,.
n
x Mx x∈ → 令
00
,yBx= 则
000
(),,()
n
yRBBx BxyRB∈→=是闭的，所以 ()R IAλ?
是闭的,
引理 3 设 X 为 Banach 空间,(),A X∈B 则对应于 A的不同特征值的特征向量彼此线性无关,
证明 设
1
,
n
λ λ 是 A的互不相同的特征值，
1
,,
n
x x 是相应的特征向量,0,( 1,).
iii
x Ax x i nλ≠==? 若
1
,,
n
x x 线性相关，不失一般性设
1
1
n
nii
i
x ax
=
=
∑
，则一方面
11 11
()( )()( )
nn nnn
I AIAxIAxAxλ λλλ
=
121
()( )( )
nnnn
IA IAxλ λλλ
=
=
11
()( )0
nnnn
xλ λλλ
= ≠
另一方面，它们是可交换的，从而
11
()( )
nn
I AIAxλ λ
1
11
1
()( )0,
n
ini
i
aIA IAxλλ
=
= =
∑
矛盾,由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立,
定理 1 设 X 是 Banach 空间,(),A CX∈ 则
（1） A的非零谱点都是特征值,
（2） ()Aσ 是可数集，0是 ()Aσ 惟一可能的聚点,
(3) 若 dim,X =∞ 则 0().Aσ∈
(4) 对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的,
4
证明 1
null
我们证明当 0λ ≠ 时,若 IAλ? 是一一映射，则
IAλ?
是到上的,由逆算子定理
1
()()I AXλ
∈B,于是 ()Aλ ρ∈,便得到
（1）,
令 TIAλ=?,对于任意正整数,n
()
nn
TIAλ=?
11
(1)
nn nn
I CA CAλλ
=? ++?
n
I Bλ=?
其中 B 是 A与一个有界线性算子的乘积,由第三章 §3 知,B 是紧算子,
根据引理 2,() ( )
nn
R TRIBλ=? 是 X 的闭线性子空间，显然
1
() ()(1,2,).
nn
RT RT n
+
=? 如果
1
,( )
n
nRT
+
都是 ()
n
R T 的真子空间，由 Riesz引理，存在 (),
n
n
yRT∈ 使得
1
1
|| || 1,(,( )),
2
n
nn
yyRTρ
+
=≥
注意
1
(( ) ( ),
nn
TRT RT
+
所以
1
().
n
nnn
Ty y Ay R Tλ
+
=?∈ 记
1
0
,
n
nn
yAyTxλ
+
=
1' '
000
,,.
m
mmm
Ty y Ay T x x x Xλ
+
=?= ∈
若 mn>,则
11' 1 1
0
() ( ),( ) ( ),
mnm m n
m
yRT RT TxRT RT
++ + +
∈? ∈?
11
0
().
nn
Tx RT
++
∈
于是
11'
00
|| || || ( ) ( ) ||
nm
nm nm
AyAy y y TxTxλλ
++
=
'
1100
||| ( )|
nm
nm
x x
yyT Tλ
λ λ
++
=?+?
1
||(,( )
n
n
yRTλρ
+
≥
||
0.
2
λ
≥>
5
这与 A的紧性矛盾，于是存在
00
1
0
,( ) ( ).
nn
nRT RT
+
=
由于 T 是一一的，
0
11
(),()().
n
yRT TyRT RT
+
∈ ∈ = 不妨设
0
1n
Ty T x
+
=
0
(),,
n
TT x x X=∈ 则
00
(),
nn
yTxRT=∈ 从而
00
1
()(),
nn
RT RT
00
1
()().
nn
RT RT
= 继续这一过程最后得到
()R TX=,T 是到上的,
2
null
我们证明，对于任意的 0,t >
{,(),| | }A tλ λσ λ∈ >
是有限集,若不然，由 1
null
知，存在互不相同的一列 (),| |
n
Atλ σλ∈ >,
n
λ 是 A 的特征值,不妨设
n
x 是相应的特征向量，
0,( 1,2,).
nnn
xAxxnλ≠= =? 由引理 3,{}
n
x 是线性无关集，记
1
{,}M span x x=，则 dim,
n
M n=
n
M 是闭子空间并且
11
,
nnnn
M MM M
≠,由 Riesz 引理，存在
1
1
,|| || 1,(,) 2 ( 2,3,).
nnn nn
yM y yM nρ
∈= ≥=?
不妨设
1
,
n
nini
i
yxα
=
=
∑
则
1
1
() ()
n
nn n n n n in n i
i
yAy IAx IAxλαλ αλ
=
=? +?
∑
1
1
1
(),
n
in n i i n
i
xMαλ λ
=
=?∈
∑
为简便起见，记
1nn n n
yAyzλ
=,类似地，记
11 1
,.
mm m m m m
yAyzz Mλ
= ∈
若 mn>,则
11 1 1
,
nn mnnm
zM MyMM
∈? ∈?,
11
|| || || ( ) ( ) ||
mn mmnnmn
Ay Ay y y z zλ λ
=
11
||| ( )|
nmn
mm n
mmm
zz
yy
λ
λ
λλλ
=?+?
1
||
||(,) 0.
2
mmm
t
yMλρ
≥≥>
与 A的紧性矛盾,故 {,(),| | }A tλ λσ λ∈ > 为有限集,0t > 是任意的，
6
故 ()Aσ 是可数集，0是 ()Aσ 惟一可能的聚点,
3
null
若 0()Aρ∈,则 0 AAλ? =? 是正则算子.
1
A
有界,A紧，故
1
I AA
= 是紧算子，这说明 X 的闭单位球是紧的，从而 X 是有限维空间，与所设条件矛盾,
4
null
若 (),0,Aλ σλλ∈≠对应的特征向量空间为 ()NIAλ?,由引理 2即得之,
证毕,
由定理 1可知,对于紧算子 A来说，任何 0λ ≠,要 么 ()Aλ ρ∈,
要么 ()
p
Aλ σ∈,这通常被称为紧算子的 Fredholm 择一定理,相应于算子方程 ()I Ax yλ?=来讲，这相当于要么此方程对任何 yX∈ 有惟一解，要么相应的齐次方程 ()0IAxλ? = 有非 0 解,这和线性方程组的情况是一致的，和积分方程中的很多情况也是吻合的,
思考题 若 dim,X =∞ 则 ()TCX∈ 时,T 不是正则的,反过来
1
()TBX
∈ 时,()TCX∈,
定义 设 X 为线性赋范空间，
*
X 是 X 的共轭空间,
（1） 若
***
,,()0xXx Xxx∈∈ =，称
*
x 与 x正交，记为
*
x x⊥,
（2） 设
*
,M XN X,若
**
,,x Mx Nx x? ∈∈⊥,则称 M 与 N
正交，记为,M N⊥
特别地,{}x N⊥ 时，记为,xN⊥
定理 2 设 X 是 Banach 空间，
*
(),0,ACX Aλ∈≠是 A的共轭算子,
（1） 若 yX∈,则方程 ()I Ax yλ? = 可解的充要条件是
**
()yNI Aλ⊥?,
（2） 若
**
yX∈,则方程
****
()I Ax yλ? = 可解的充要条件是
7
*
()yNIAλ⊥?,
其中
**
()NI Aλ? 是
*
A 的相应于 λ 的特征向量空间,()NIAλ? 是 A
的相应于 λ的特征向量空间,
证明 1
null
若 ()I Ax yλ?=有解
*
,x x ∈
**
()NI Aλ?,则
**
() (,( ))x yxIAxλ=?
**
(( ),)I Axxλ=?
***
(( ),) 0.IAxxλ=?=
故
**
().yNI Aλ⊥?
反之，若
**
(),yNI Aλ⊥? 我们证明 ()yRIAλ∈?,若不然，
()yRIAλ,
由引理 2,()R IAλ? 是闭线性子空间，根据 Hahan-Banach 定理,存在
**
,()0,xXxy∈≠但在 ()R IAλ? 上
*
0x =,由此，一方面,x X?∈
'
()()yIAxRIAλλ=?∈?,
***
(( ),)I Axxλ?
**'
(,( )) ()0.xIAxxyλ=?==
这说明
*** * **
()0,( ).I Ax x N I Aλλ?=∈? 另一方面由
*
() 0xy≠ 知道
**
()yNI Aλ⊥?不成立，从而出现矛盾,故 ()yRIAλ∈?,所以存在
xX∈,使得 ()yIAxλ=?,
2
null
若对于
**
yX∈,方程
****
()I Ax yλ? = 有解
*
x,则
()x NIAλ?∈?,
*** *
() (( ),) (,( )) 0yx I Axx x I Axλλ=?=?=，故
*
()yNIAλ⊥?,
反之，若
*
()yNIAλ⊥?，对于任意的 ()yRIAλ∈?,不妨设
(),yIAxλ=? 令
**
0
() ()yy yx=,我们将验证
*
0
y 是 ()R IAλ? 上的连续线性泛函,首先
*
0
y 有确定的意义,实际上，若另有
'
()yIAxλ=?,则
''
()()0,()I Ax x x x N I Aλλ=?∈?，但
*
()yNIAλ⊥?,所以
** * **
()0,()()yxx yx yx?= =,这说明
*
0
()yy由 y 惟一确定,
*
0
y 在 ()R IAλ? 上是线性的,现在证明
*
0
y 连续.设 ()
n
yRIAλ∈?,
不妨设 ()0
nn
yIAxλ=?→，根据引理 2中 ()R IAλ? 为闭子空间的证
8
明，存在 0,a > || ( ) || || ||I Ax a xλ?≥,即 || || || ( ) || || ||
nn
yIAxaxλ=?≥,
于是 {}
n
x 为有界序列,A紧,不妨设
0
k
n
Axx→,对 ()
kk
nn
yIAxλ=? 两端取极限得到，
0
k
n
x xλ →,由 IAλ? 的连续性又得到
0
()lim()lim 0
kk
kk
nn
nn
IAx IAx yλ λλ λ
→∞ →∞
=? = =,
于是
0
()x NIAλ∈?，所以
*
0
()0,yx=
** * *
00 0
1
() ( ) () ()0,
kkk
nnn
yy y I Ax yx yxλ
λ
=?= → =
这说明对于任一序列 0
n
y →,都可以选出子序列
*
0
{},() 0,
kk
nn
yyy→ 故必有
**
00
() 0,
n
yy y→ 连续,
根 据 Hahn-Banach 定理，存在
**
,x X∈ 在 ()R IAλ? 上
**
0
() ().x yyy= 现在对于任何,x X∈
*** * *
0
(( ),) (,( ) ) (,( ) )I AxxxIAxxIAxλλλ?=?=?
**
0
() ().yy yx==
故
* * ***
(),yIAxxλ=? 是方程的解,
定理 3 设 X 是 Banach 空间，
*
(),0,ACX Aλ∈≠是 A的共轭算子,则
（1）
*
() ( ).AAσσ=
（2） 设,(),A xλ μσ∈ 是 A的相应于 λ的特征向量，
*
x 是
*
A 的相应于 μ 的特征向量，,λ μ≠ 则
*
x x⊥,从而
**
()( )NIA NI Aλμ?⊥?,
（3）若 (),0Aλ σλ∈≠，则
**
dim ( ) dim ( )NIA NI Aλλ?=?,
证明 1
null
注意到
*
A 也是紧算子，故当 0λ ≠ 时,λ不是
*
A 的特征值,λ一定是正则点.若 dim X <∞，相 应 于
*
A 的矩阵是相应于 A
的矩阵的转置，根据线性代数的知识，二者有相同的特征值，结论成立,
若 dim X =∞，由定理 1(3),0()Aσ∈,同时
*
dim X =∞，于是
*
0()Aσ∈,现在设 0λ ≠,我们只须证明 ()Aλ ρ∈ 当且仅当
9
*
()Aλρ∈,
若 ()Aλ ρ∈,由本章 §1 定理 4(1),()I Ax yλ? = 对于任何 yX∈
有解，从定理 2 知，
**
().yNI Aλ⊥?由 y 的任意性知，
**
(){0}NI Aλ?=,即
*
I Aλ? 是一一映射，根据定理 1 证明中的 1
null
，
**
I Aλ? 是到上的，从而
*
()Aλρ∈,
反之，若
*
()Aλρ∈,则
****
()I Ax yλ? = 对于任意的
*
y 有解，于是由定理 2，
*
()yNIAλ⊥?，所以,(){0}NIAλ? =,IAλ? 是一一的.根据定理 1 证明中的 1
null
,IAλ? 到上，故 ()Aλ ρ∈,总之
*
() ( ).AAρρ= 所以
*
() ( ).AAσσ=
2
null
任 取
***
(),( )x NIAx NI Aλμ∈?∈?，则
**
,Ax x A xλ= =
*
xμ,于是
** *
() (,) (,)x xxxxAxλλ==
** * *
(,)(,) ().Ax x x x x xμμ===
或
*
()()0xxλμ?=.由 λ μ≠,故
*
() 0,xx=
**
()( )NIA NI Aλμ?⊥?,
3
null
设
** *
dim ( ),dim ( )NIA n NI A nλλ?=? =.根据定理 1(4),二者都是有限的,
首先证明
*
nn≤,若
*
0n =,不等式自然成立.若 0n=,即
(){0}NIAλ?=，于 是 IAλ? 是一一的，由定理 1证明的 1
null
,IAλ? 还是到上的,即 ()Aλ ρ∈,由上面的 1
null
，
*
()Aλρ∈,故
**
(){0}NI Aλ?=，
*
0,n = 所说等号成立,
现在考虑
*
,nn均为非零的情况，设
1
,
n
x x 是 ()NIAλ? 的一组基，
**
1
,
n
yy 是
**
()NI Aλ? 的一组基，由本节引理 1的证明不难知道，
存在
**
1
,
n
x x 使得
*
1,.
()
0,.
ji
ij
xx
ij
=
=
≠
又容易用归纳的方法证明，存在
**
1
,
n
yy,使得
10
*
1,.
()
0,.
ji
ij
yy
ij
=
=
≠
定义,,FX X→
*
1
() ()
n
ii
i
F xxxy
=
=
∑
,.xX? ∈
显然 F 是有界线性算子并且是有限秩算子，从而 F 是紧的,算子
B AF=+是紧的,我们证明 IBλ? 是一一映射,
实际上，若 ()0IBxλ?=，则
*
1
( ) () ()
n
ii
i
I Ax Fx x xyλ
=
= =
∑
,
(5-2-1)
****
1
(,( ))(,()) ().
n
jjij
i
yIAxy xxyxxλ
=
= =
∑
但
***
()
j
yNIAλ∈?，故
***
(,( ))( ),)0
jj
yIAx IAyxλλ?=? =,(1,),jn=
从而
*
() 0
j
xx=,代入（5－2－1）知道 ()0,()I Ax x N I Aλ λ? =∈?,由于
1
,
n
x x 是的一组基，不妨设
1
n
ii
i
x xα
=
=
∑
，由
*
1
()
n
jj ii
i
x xαα
=
=
∑
*
() 0( 1,,)
j
x xj n= = = 知 0,x IBλ=? 是一一的,由引理 2的证明 1
null
，
IBλ? 是到上的,
若
*
nn<,取 xX∈,使
1
()
n
I Bx yλ
+
= 则
**
11 1
1()(,()
nn n
yy y IBxλ
++ +
==?
(,( ))(,()yIAxyFxλ=
*** * *
11
1
(( ),) (,( ) )
n
nn i
i
I Ay x y xxyλ
++
=
=
∑
0=,
因为
***
1
()
n
yNIAλ
+
∈?,矛盾说明
*
.nn≤
11
现在，由
**
X X?,并且当 ()0IAxλ? = 时，对于任意的
**
,x X∈
*
0(,( ))( ),)x IAx I Axxλλ=?=?
* * * ** * ** ** **
(( ),) (,( ) ),I Axx x I A x=? =?
即
** ** **
()0IAxλ?=，故
** **
()( ).NIA NI Aλλ
记
** ** **
dim ( )nNIAλ=?，于是
**
.nn≤,但类似于上面的证明知
** *
.nn≤,由此
*
.nn≤ 总之
*
.nn=
例1 考虑空间
2
l 上的线性算子
22
:A ll→,
32
1
(,,,),
23
xx
Ax x=
2
12
(,,)x xx l? = ∈
首先,
11
22
11
|| || ( | | ) ( | | ) || ||,
n
n
nn
x
Axxx
n
∞∞
==
=≤=
∑∑
T 是有界线性算子,设
22 2
1
:,(,,,,0)
2
n
nn
xx
Al l Ax x
n
→=?null,
则 || || 1,
nn
AA≤ 是有限秩算子从而是紧的,由
1
2
2
|| || 1 || || 1
1
|| || sup || ( ) || sup( | | )
i
nn
xx
in
x
AA AAx
i
∞
≤≤
=+
=? =
∑
1
2
2
|| || 1
1
1
sup ( | | )
1
i
x
in
x
n
∞
≤
=+
≤
+
∑
1
0.
1n
≤→
+
A也是紧算子,
若 (0,,0,10,)
n
n
e =
nullnullnullnullnull
，则
1
.
nn
Aee
n
= 由定义，
1
n
是 A的特征值，
n
e 是相应的特征向量,
2
x l? ∈,0Ax = 仅当 0x=,于是 A是一一映射，0不是特征值,注意到 A不是到上的，例如
2
0
11
(1,,,),
23
yl= ∈ 若
00
Ax y=,则应有
2
00
(1,1,),x xl=，因此 0 是谱点,我们证明：
12
1
() {,1}
p
An
n
σ =≥,从而 () () (0)
p
AAσ σ= ∪,
实际上，若
11
0,1,,,,
23
λ ≠ 则要使 ()0IAxλ? =,即
32
12 1
( ) (,,)(,,,)
23
xx
IAx xx xλλ? =
12
1
(( 1),( ),) 0
2
xxλλ==
必须
12
0xx===，即 0x=,故 IAλ? 是一一的，由引理 2 证明中的 1
null
,IAλ? 是到上的，从而 ()Aλ ρ∈,
最后，对于
1
n
n
λ =,考虑 ()0
n
IAxλ? = 的,
n
x xAxλ =,即
312 2
1
(,,)(,,,).
23
xxx x
x
nn
=
若 in≠,要使
ii
x x
ni
=,必须 0
i
x =,故满足上面式子的 x具有形式 (0,,0,,0,)
n
x 或
nn
x xe=,于是
(){},dim()1,1.
nnn
N I A span e N I A nλ λ?=?= ≥
