第 7 讲 紧性与有限维空间 可分性
教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。
授课要点,
1,有限维空间的同构性。
2,有限维空间单位球的紧性特征。
3,可分性与可分空间。
现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论 3 中已经知道，对于有限维空间来说,判别紧集的条件十分简单,实际上我们将会看到,这种情况是有限维空间所独有的,这里我们先给出一个同构性定理，在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念,
定理 1 设 X,Y 是线性赋范空间,YXT →,是到上的线性映射，则 T 是 X 到 Y 上的同构当且仅当存在正数 a,b 使得
|||||||||||| xbTxxa ≤≤,Xx∈?,（ 1）
若 X 与 Y 同构，当一个是完备空间时，另一个也是,
证 明 充分性．若对于任意的 Xx∈ 所说的不等式成立，则当
21
TxTx = 时,
0||)(||||||
2121
=?≤? xxTxxa,
从而
21
xx =,T 是一一的．若 Xxx
n
∈,,xx
n
→,则
0|||||||| →?≤? xxbTxTx
nn
,TxTx
n
→,
T 是连续的．若
n
y,Yy∈,yy
n
→,不妨设
nn
Txy =,Txy =,则
0||||||||||||||||
11
→?=?≤?=?
yyTxTxxxayTyTa
nnnn
，
于是 yTyT
n
11
→,
1?
T 连续．总之 X,Y 同构,
必要性．设 T 是从 X 到 Y 上的同构映射，若不存在 0>b 使得 |||||||| xbTx ≤ )( Xx∈?,此时对于任意的 n，有 Xx
n
∈,||||||||
nn
xnTx >,令
||||
n
n
n
xn
x
x =′,则 0
1
|||| →=′
n
x
n
,
从而 0→′
n
x,但
∞→>=′ n
xn
Tx
xT
n
n
n
||||
||||
||||,
这说明 T 不是连续的．矛盾即证明存在 0>b,|||||||| xbTx ≤,Xx∈?,同样地，由
1?
T 连续，
存在 0>a,||||
1
||||
1
y
a
yT ≤
,Yy∈?,令 Txy = 即得 |||||||| Txxa ≤,
最后的结论是明显的,
线性空间 X 上的两个范数
1
||||?,
2
||||? 称为是彼此等价的，若存在 0,>ba 使得
121
|||||||||||| xbxxa ≤≤,Xx∈? （ 2）
由上面定理及其证明可以得出以下推论,
推论 1 线性空间 X 上的两个范数
1
||||?,
2
||||? 是彼此等价的，若对于任何 Xx
n
∈,
0||||
1
→
n
x 当且仅当 0||||
2
→
n
x,
定理 2 设 X 是线性赋范空间,Y 是 X 的线性子空间,nY =dim,
n
Φ 是 n 维欧氏空间．若 YF
n
→Φ,是到上的（或一一的）线性映射，则 F 是
n
Φ 到 Y 上的同构并且 Y 是 X 的闭子空间,
证 明 令
n
k
k
e Φ∈= )0,,0,1,0,,0( null
nullnullnullnullnull
null,nk,,1null=,
kk
yeF =)(,则
∑∑
==
=
n
k
kk
n
k
kk
yeF
11
)( αα,
由于 F 为一一映射,0)( =xF 时必有 0=x,于是 0=
k
α,nk,,1null=,这说明
n
yy,,
1
null 线性无关,所以 F 是到上的,（另一方面,若 F 不是一一的,则
n
yy,,
1
null 线性相关,nF
n
<)(dim Φ,
F 不是到上的,）由
2
1
2
1
2
1
2
111
)||()||||(||||||||)(||
∑∑∑∑
====
≤≤
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk
yyeF ααα,
假设
2
1
2
1
)||||(
∑
=
=
n
k
k
yb,则
n
n
Φααα ∈=? ),,(
1
null,||||||)(|| αα bF ≤,所以 F 是连续的,
考虑函数
||)(||),,(
1
1 ∑
=
=
n
k
kkn
eFf ααα null,
n
n
Φααα ∈=? ),,(
1
null
则 f 是 n元连续函数,}1||;{
1
2
==
∑
=
n
k
k
E αα 是
n
Φ 中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理 4
（ 3）,f 可以达到上，下确界．不妨设
}),,();,,(inf{),,(
11
00
1
Eff
nnn
∈== ααααααβ nullnullnull,
因为
n
yy,,
1
null 线性无关，仅当 0
1
===
n
αα null 时 0),,(
1
=
n
f αα null,但 ),,(
00
1 n
αα null 位于 E 上，
故 0>β,
现在对于每个非 0 的
n
n
Φαα ∈),,(
1
null,令
2
1
2
1
)||(
∑
=
=′
n
k
k
k
k
α
α
α,
则 E
n
∈′′ ),,(
1
αα null,从而 βα ≥′
∑
=
||)(||
1
n
k
kk
eF 或者
2
1
1
2
1
)||(||)(||
∑∑
==
≥
n
k
k
n
k
kk
eF αβα,
即
||)(|||||| ααβ F≤,
n
Φα∈?,
由定理 1,F 是从
n
Φ 到 Y 上的同构映射．由于
n
Φ 完备，故 Y 完备．作为 X 的子空间,Y
是闭子空间．证毕,
设 X,Y 为线性赋范空间,nYX == dimdim,则存在到上的一一映射 XT
n
→Φ,和
YF
n
→Φ:,使得（ 1-4-9）成立．由此我们得到
推论 2
（ 1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构,
（ 2）有限维线性空间上的任意两个范数等价,
（ 3） 任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的,
最后，让我们证明有限维空间的一个特征,
引理（ Riesz） 设 X 是线性赋范空间,XE? 是闭线性子空间，若 XE ≠,则
)10( <<? εε,存在 Xx ∈
0
,1||||
0
=x 使得 ε>=
∈
),(inf),(
00
xxdExd
Ex
,
证 明 取 EXx \
~
∈,E 闭，故 0),
~
( >= dExd,因为 dd >ε/,取 Ex ∈′,使得
ε/||
~
|| dxx <′?,令
||
~
||
~
0
xx
xx
x
′?
′?
=
则 1||||
0
=x,对于任意的 Ex∈,E 为子空间，故 Exxxx ∈′?+′ ||
~
||,此时
x
xx
xx
xx?
′?
′?
=?
||
~
||
~
||||
0
xxxxx
xx
||
~
||
~
||
~
||
1
′′?
′?
=
/( / ),ddε ε>=
即 ε>),(
0
Exd,
定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价,
（ 1） ∞<Xdim,
（ 2） X 中每个有界闭集是紧集,
（ 3） X 的闭单位球 }1||||;{ ≤∈= xXxS
X
是紧集,
（ 4）单位球面 }1||||;{)( == xxXS
p
是紧集,
证 明 只须证明（ 4）?（ 1）,若反设 ∞=Xdim,取 Xx ∈
1
,1||||
1
=x,记 }{span
11
xY =,
则 1dim
1
=Y,由定理 7，
1
Y 是闭线性子空间,XY ≠
1
．由 Riesz 引理，存在 Xx ∈
2
,1||||
2
=x,
2
1
),(
12
>Yxd,记 },{span
212
xxY =,则 2dim
2
=Y,
2
Y 闭并且 XY ≠
2
．从而有
3
x,1||||
3
=x ‖，
2
1
),(
23
>Yxd,…．由此得到序列 }{
n
x,)(XSx
pn
∈,当 nm ≠ 时，
2
1
|||| >?
nm
xx,}{
n
x 没有收敛子序列．故 )(XS
p
不是紧集．矛盾说明 ∞<Xdim,
最后让我们介绍集合的可分性概念．当一个集合为可分集时，研究起来较为方便,
定义 设 X 是度量空间,XA?,称集合 A 是可分的，若存在可数集 XB? 使得
AB?,当 X 本身可分时，称 X 是可分空间,
命 题 紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的,
证 明 只需要证明完全有界集的情况．取 0↓
k
ε,设
)()(
1
,,
k
n
k
k
xx null 是 A 的有限
k
ε 网，令
}1,1;{
)(
k
k
i
nikxB ≤≤≥=,则 B 是可数集并且 Ax∈?,有 ),(
)(
k
k
i
xOx ε∈,故 xx
k
i
→
)(
，于是
AB?,
例 1
0
c,c,
p
l )1( ∞<≤ p,],[ baP,],[ baC,],[ baL
p
)1( ∞<≤ p 都是可分空间,
考虑集合 }1,);,0,,,{(
1
≥∈= nQrrrB
in
nullnull,即 B 是由至多有限多个坐标不为 0 并且每个坐标都是有理数的元素构成,易知 B 是可数集,对于任意的
0
)( cxx
n
∈= 和 0>ε,由于 0→
n
x,
先取
0
n 使得 ε<||
n
x,
0
nn>?,再取有理数
0
,,
1 n
rr null 使得 ε<?
≤≤
||max
0
1
ii
ni
rx,记 ),0,,,(
0
1
nullnull
n
rry =,
则 By∈ 并且 ε<?≤?=?
>≤≤≥
|}|max|,|maxmax{||max||||
00
11
i
ni
ii
ni
ii
i
xrxyxyx,这说明 B 在
0
c 中是稠密的，故
0
c 可分,
对于 c,记 ),1,1(
0
null=e,};{
0
QrerBB
ii
∈=′ ∪,若 cxx
n
∈= )(,不妨设 ax
n
→,先取
0
n 使得 ε<? || ax
n
，
0
nn>?,再取有理数
0
,,,
1 n
rrr null 使得 ε<? || ar,ε<?
≤≤
||max
0
1
ii
ni
rx,令
),,,,(
0
1
nullnull rrry
n
=′,此时 By ′∈′ 并且
ε2|||}|max|,|maxmax{||||
00
1
<?+≤′?
>≤≤
araxrxyx
i
ni
ii
ni
,
故 c 可分,
对于
p
l,由于
p
n
lxx ∈= )( 时,∞<
∑
∞
=1
||
i
p
n
x,先取
0
n 使得
p
ni
p
n
x ε<
∑
∞
+= 1
0
||,再取有理数
0
,,
1 n
rr null 使得
p
n
i
p
ii
rx ε<?
∑
=
0
1
||,仍记 ),0,,,(
0
1
nullnull
n
rry =,注意此时
p
ly∈ 并且整个
p
lB?,此外
p
ni
p
n
n
i
p
ii
p
p
xrxyx ε2||||||||
11
0
0
<+?≤?
∑∑
∞
+==
，或 || || 2
p
p
xy ε?<
由此知道
p
l 是可分的,
对于其余的空间，容易知道有理系数多项式的全体依照 ],[ baP 的范数是其中的可数稠密子集，所以 ],[ baP 可分,
根据 Weierstrass 定理,],[ baC 中的每个元（连续函数）可用多项式一致逼近，实际上即是依照 ],[ baC 中的范数逼近．所以 ],[ baP 在 ],[ baC 中稠密．另一方面容易验证，当 A 在 B 中稠密,B 在 C 中稠密时,A 一定在 C 中稠密．于是有理系数多项式的全体在 ],[ baC 中稠密，
],[ baC 是可分的,
最后根据 Lyzin 定理,],[ baC 在 ],[ baL
p
中稠密，于是 ],[ baL
p
是可分的,
例 2
∞
l,],[ baL
∞
不是可分空间,
这里仅证明
∞
l,考虑
∞
l 中坐标仅由 0,1 两个数组成的序列全体构成的集合 A,A 不是可数集，实际上它和区间 )1,0[ 中的实数可以建立一一对应关系．为了明白这一点，只需注意
)1,0[ 中的实数的二进位表示，实现了 A 与 )1,0[ 之间的一一对应．所以 A 具有连续统的势,
现在若可数集 B 在
∞
l 中稠密，则 B 中存在点
0
x 使得以
0
x 为中心,2/1 为半径的球
)2/1,(
0
xO 至少包含 A 中的两个不同点，注意 A 中的不同点
1
y,
2
y 在
∞
l 中的距离等于 1，所以
12/12/1),(),(),(1
020121
=+<+≤= xydxydyyd
矛盾说明
∞
l 不可分,
对于赋范空间，可分性还有一些等价说法,
定理 4 设 X 是线性赋范空间，则下列三条件等价,
(1) X 可分,
(2) 闭单位球
{ };1
X
SxXx=∈ ≤可分,
(3) 单位球面
( ) { };1
p
SX xXx=∈ =可分,
证 明 (1)? (2) 若可数集 A在 X 中稠密，则
X
AS∩ 是
X
S 中的可数稠密集,
(2)? (3) 若 A 是
X
S 中的可数稠密集,xA? ∈,0x≠,令
x
x
x
′=,
()00
′= 则
{ };A xx A
′′=∈是
()
p
SX中的可数稠密集,实际上，
( )
p
x SX?∈,‖ x ‖ =1,若
0
n
xx?→，则 1
n
xx→=，故
n
n
n
x
x xx
x
′?=?
n
nn n
x xx
x
xx x
≤?+?
11
1
n
nn
xx x≤?+? 0→,
(3)? (1) 设
12
,x x null 是 ()
p
SX中的可数稠密集，记
{ };1,2
n
Brxr n==null是有理数，,
则 B 是 X 中的可数稠密集,实际上，对于每个 xX∈,0x≠,()
p
x
x SX
x
′=∈,若
()
np
x SX∈,
n
x x′→ 取
n
rx→,则
nn
rx B∈,
nn
rx x→,故 B 在 X 中稠密,
思考题
1,不用推论 2（ 2）的结论，具体地建立
n
Φ i
p
（,）范数之间的不等式,这里
1,p≤<∞
1
1
1
1
(),
max,(,,)
p
n
p
i
p
i
n
in
in
xx
xxxxx
=
∞
≤≤
=
=?=∈Φ
∑
null
,
2、就 2n= 的情况，画出
222
∞
ΦΦΦiii
12
（,）,（,）,（,）以及 更多的
2
Φ i
p
（，） 的单位球,
教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。
授课要点,
1,有限维空间的同构性。
2,有限维空间单位球的紧性特征。
3,可分性与可分空间。
现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论 3 中已经知道，对于有限维空间来说,判别紧集的条件十分简单,实际上我们将会看到,这种情况是有限维空间所独有的,这里我们先给出一个同构性定理，在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念,
定理 1 设 X,Y 是线性赋范空间,YXT →,是到上的线性映射，则 T 是 X 到 Y 上的同构当且仅当存在正数 a,b 使得
|||||||||||| xbTxxa ≤≤,Xx∈?,（ 1）
若 X 与 Y 同构，当一个是完备空间时，另一个也是,
证 明 充分性．若对于任意的 Xx∈ 所说的不等式成立，则当
21
TxTx = 时,
0||)(||||||
2121
=?≤? xxTxxa,
从而
21
xx =,T 是一一的．若 Xxx
n
∈,,xx
n
→,则
0|||||||| →?≤? xxbTxTx
nn
,TxTx
n
→,
T 是连续的．若
n
y,Yy∈,yy
n
→,不妨设
nn
Txy =,Txy =,则
0||||||||||||||||
11
→?=?≤?=?
yyTxTxxxayTyTa
nnnn
，
于是 yTyT
n
11
→,
1?
T 连续．总之 X,Y 同构,
必要性．设 T 是从 X 到 Y 上的同构映射，若不存在 0>b 使得 |||||||| xbTx ≤ )( Xx∈?,此时对于任意的 n，有 Xx
n
∈,||||||||
nn
xnTx >,令
||||
n
n
n
xn
x
x =′,则 0
1
|||| →=′
n
x
n
,
从而 0→′
n
x,但
∞→>=′ n
xn
Tx
xT
n
n
n
||||
||||
||||,
这说明 T 不是连续的．矛盾即证明存在 0>b,|||||||| xbTx ≤,Xx∈?,同样地，由
1?
T 连续，
存在 0>a,||||
1
||||
1
y
a
yT ≤
,Yy∈?,令 Txy = 即得 |||||||| Txxa ≤,
最后的结论是明显的,
线性空间 X 上的两个范数
1
||||?,
2
||||? 称为是彼此等价的，若存在 0,>ba 使得
121
|||||||||||| xbxxa ≤≤,Xx∈? （ 2）
由上面定理及其证明可以得出以下推论,
推论 1 线性空间 X 上的两个范数
1
||||?,
2
||||? 是彼此等价的，若对于任何 Xx
n
∈,
0||||
1
→
n
x 当且仅当 0||||
2
→
n
x,
定理 2 设 X 是线性赋范空间,Y 是 X 的线性子空间,nY =dim,
n
Φ 是 n 维欧氏空间．若 YF
n
→Φ,是到上的（或一一的）线性映射，则 F 是
n
Φ 到 Y 上的同构并且 Y 是 X 的闭子空间,
证 明 令
n
k
k
e Φ∈= )0,,0,1,0,,0( null
nullnullnullnullnull
null,nk,,1null=,
kk
yeF =)(,则
∑∑
==
=
n
k
kk
n
k
kk
yeF
11
)( αα,
由于 F 为一一映射,0)( =xF 时必有 0=x,于是 0=
k
α,nk,,1null=,这说明
n
yy,,
1
null 线性无关,所以 F 是到上的,（另一方面,若 F 不是一一的,则
n
yy,,
1
null 线性相关,nF
n
<)(dim Φ,
F 不是到上的,）由
2
1
2
1
2
1
2
111
)||()||||(||||||||)(||
∑∑∑∑
====
≤≤
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk
yyeF ααα,
假设
2
1
2
1
)||||(
∑
=
=
n
k
k
yb,则
n
n
Φααα ∈=? ),,(
1
null,||||||)(|| αα bF ≤,所以 F 是连续的,
考虑函数
||)(||),,(
1
1 ∑
=
=
n
k
kkn
eFf ααα null,
n
n
Φααα ∈=? ),,(
1
null
则 f 是 n元连续函数,}1||;{
1
2
==
∑
=
n
k
k
E αα 是
n
Φ 中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理 4
（ 3）,f 可以达到上，下确界．不妨设
}),,();,,(inf{),,(
11
00
1
Eff
nnn
∈== ααααααβ nullnullnull,
因为
n
yy,,
1
null 线性无关，仅当 0
1
===
n
αα null 时 0),,(
1
=
n
f αα null,但 ),,(
00
1 n
αα null 位于 E 上，
故 0>β,
现在对于每个非 0 的
n
n
Φαα ∈),,(
1
null,令
2
1
2
1
)||(
∑
=
=′
n
k
k
k
k
α
α
α,
则 E
n
∈′′ ),,(
1
αα null,从而 βα ≥′
∑
=
||)(||
1
n
k
kk
eF 或者
2
1
1
2
1
)||(||)(||
∑∑
==
≥
n
k
k
n
k
kk
eF αβα,
即
||)(|||||| ααβ F≤,
n
Φα∈?,
由定理 1,F 是从
n
Φ 到 Y 上的同构映射．由于
n
Φ 完备，故 Y 完备．作为 X 的子空间,Y
是闭子空间．证毕,
设 X,Y 为线性赋范空间,nYX == dimdim,则存在到上的一一映射 XT
n
→Φ,和
YF
n
→Φ:,使得（ 1-4-9）成立．由此我们得到
推论 2
（ 1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构,
（ 2）有限维线性空间上的任意两个范数等价,
（ 3） 任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的,
最后，让我们证明有限维空间的一个特征,
引理（ Riesz） 设 X 是线性赋范空间,XE? 是闭线性子空间，若 XE ≠,则
)10( <<? εε,存在 Xx ∈
0
,1||||
0
=x 使得 ε>=
∈
),(inf),(
00
xxdExd
Ex
,
证 明 取 EXx \
~
∈,E 闭，故 0),
~
( >= dExd,因为 dd >ε/,取 Ex ∈′,使得
ε/||
~
|| dxx <′?,令
||
~
||
~
0
xx
xx
x
′?
′?
=
则 1||||
0
=x,对于任意的 Ex∈,E 为子空间，故 Exxxx ∈′?+′ ||
~
||,此时
x
xx
xx
xx?
′?
′?
=?
||
~
||
~
||||
0
xxxxx
xx
||
~
||
~
||
~
||
1
′′?
′?
=
/( / ),ddε ε>=
即 ε>),(
0
Exd,
定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价,
（ 1） ∞<Xdim,
（ 2） X 中每个有界闭集是紧集,
（ 3） X 的闭单位球 }1||||;{ ≤∈= xXxS
X
是紧集,
（ 4）单位球面 }1||||;{)( == xxXS
p
是紧集,
证 明 只须证明（ 4）?（ 1）,若反设 ∞=Xdim,取 Xx ∈
1
,1||||
1
=x,记 }{span
11
xY =,
则 1dim
1
=Y,由定理 7，
1
Y 是闭线性子空间,XY ≠
1
．由 Riesz 引理，存在 Xx ∈
2
,1||||
2
=x,
2
1
),(
12
>Yxd,记 },{span
212
xxY =,则 2dim
2
=Y,
2
Y 闭并且 XY ≠
2
．从而有
3
x,1||||
3
=x ‖，
2
1
),(
23
>Yxd,…．由此得到序列 }{
n
x,)(XSx
pn
∈,当 nm ≠ 时，
2
1
|||| >?
nm
xx,}{
n
x 没有收敛子序列．故 )(XS
p
不是紧集．矛盾说明 ∞<Xdim,
最后让我们介绍集合的可分性概念．当一个集合为可分集时，研究起来较为方便,
定义 设 X 是度量空间,XA?,称集合 A 是可分的，若存在可数集 XB? 使得
AB?,当 X 本身可分时，称 X 是可分空间,
命 题 紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的,
证 明 只需要证明完全有界集的情况．取 0↓
k
ε,设
)()(
1
,,
k
n
k
k
xx null 是 A 的有限
k
ε 网，令
}1,1;{
)(
k
k
i
nikxB ≤≤≥=,则 B 是可数集并且 Ax∈?,有 ),(
)(
k
k
i
xOx ε∈,故 xx
k
i
→
)(
，于是
AB?,
例 1
0
c,c,
p
l )1( ∞<≤ p,],[ baP,],[ baC,],[ baL
p
)1( ∞<≤ p 都是可分空间,
考虑集合 }1,);,0,,,{(
1
≥∈= nQrrrB
in
nullnull,即 B 是由至多有限多个坐标不为 0 并且每个坐标都是有理数的元素构成,易知 B 是可数集,对于任意的
0
)( cxx
n
∈= 和 0>ε,由于 0→
n
x,
先取
0
n 使得 ε<||
n
x,
0
nn>?,再取有理数
0
,,
1 n
rr null 使得 ε<?
≤≤
||max
0
1
ii
ni
rx,记 ),0,,,(
0
1
nullnull
n
rry =,
则 By∈ 并且 ε<?≤?=?
>≤≤≥
|}|max|,|maxmax{||max||||
00
11
i
ni
ii
ni
ii
i
xrxyxyx,这说明 B 在
0
c 中是稠密的，故
0
c 可分,
对于 c,记 ),1,1(
0
null=e,};{
0
QrerBB
ii
∈=′ ∪,若 cxx
n
∈= )(,不妨设 ax
n
→,先取
0
n 使得 ε<? || ax
n
，
0
nn>?,再取有理数
0
,,,
1 n
rrr null 使得 ε<? || ar,ε<?
≤≤
||max
0
1
ii
ni
rx,令
),,,,(
0
1
nullnull rrry
n
=′,此时 By ′∈′ 并且
ε2|||}|max|,|maxmax{||||
00
1
<?+≤′?
>≤≤
araxrxyx
i
ni
ii
ni
,
故 c 可分,
对于
p
l,由于
p
n
lxx ∈= )( 时,∞<
∑
∞
=1
||
i
p
n
x,先取
0
n 使得
p
ni
p
n
x ε<
∑
∞
+= 1
0
||,再取有理数
0
,,
1 n
rr null 使得
p
n
i
p
ii
rx ε<?
∑
=
0
1
||,仍记 ),0,,,(
0
1
nullnull
n
rry =,注意此时
p
ly∈ 并且整个
p
lB?,此外
p
ni
p
n
n
i
p
ii
p
p
xrxyx ε2||||||||
11
0
0
<+?≤?
∑∑
∞
+==
，或 || || 2
p
p
xy ε?<
由此知道
p
l 是可分的,
对于其余的空间，容易知道有理系数多项式的全体依照 ],[ baP 的范数是其中的可数稠密子集，所以 ],[ baP 可分,
根据 Weierstrass 定理,],[ baC 中的每个元（连续函数）可用多项式一致逼近，实际上即是依照 ],[ baC 中的范数逼近．所以 ],[ baP 在 ],[ baC 中稠密．另一方面容易验证，当 A 在 B 中稠密,B 在 C 中稠密时,A 一定在 C 中稠密．于是有理系数多项式的全体在 ],[ baC 中稠密，
],[ baC 是可分的,
最后根据 Lyzin 定理,],[ baC 在 ],[ baL
p
中稠密，于是 ],[ baL
p
是可分的,
例 2
∞
l,],[ baL
∞
不是可分空间,
这里仅证明
∞
l,考虑
∞
l 中坐标仅由 0,1 两个数组成的序列全体构成的集合 A,A 不是可数集，实际上它和区间 )1,0[ 中的实数可以建立一一对应关系．为了明白这一点，只需注意
)1,0[ 中的实数的二进位表示，实现了 A 与 )1,0[ 之间的一一对应．所以 A 具有连续统的势,
现在若可数集 B 在
∞
l 中稠密，则 B 中存在点
0
x 使得以
0
x 为中心,2/1 为半径的球
)2/1,(
0
xO 至少包含 A 中的两个不同点，注意 A 中的不同点
1
y,
2
y 在
∞
l 中的距离等于 1，所以
12/12/1),(),(),(1
020121
=+<+≤= xydxydyyd
矛盾说明
∞
l 不可分,
对于赋范空间，可分性还有一些等价说法,
定理 4 设 X 是线性赋范空间，则下列三条件等价,
(1) X 可分,
(2) 闭单位球
{ };1
X
SxXx=∈ ≤可分,
(3) 单位球面
( ) { };1
p
SX xXx=∈ =可分,
证 明 (1)? (2) 若可数集 A在 X 中稠密，则
X
AS∩ 是
X
S 中的可数稠密集,
(2)? (3) 若 A 是
X
S 中的可数稠密集,xA? ∈,0x≠,令
x
x
x
′=,
()00
′= 则
{ };A xx A
′′=∈是
()
p
SX中的可数稠密集,实际上，
( )
p
x SX?∈,‖ x ‖ =1,若
0
n
xx?→，则 1
n
xx→=，故
n
n
n
x
x xx
x
′?=?
n
nn n
x xx
x
xx x
≤?+?
11
1
n
nn
xx x≤?+? 0→,
(3)? (1) 设
12
,x x null 是 ()
p
SX中的可数稠密集，记
{ };1,2
n
Brxr n==null是有理数，,
则 B 是 X 中的可数稠密集,实际上，对于每个 xX∈,0x≠,()
p
x
x SX
x
′=∈,若
()
np
x SX∈,
n
x x′→ 取
n
rx→,则
nn
rx B∈,
nn
rx x→,故 B 在 X 中稠密,
思考题
1,不用推论 2（ 2）的结论，具体地建立
n
Φ i
p
（,）范数之间的不等式,这里
1,p≤<∞
1
1
1
1
(),
max,(,,)
p
n
p
i
p
i
n
in
in
xx
xxxxx
=
∞
≤≤
=
=?=∈Φ
∑
null
,
2、就 2n= 的情况，画出
222
∞
ΦΦΦiii
12
（,）,（,）,（,）以及 更多的
2
Φ i
p
（，） 的单位球,
