第二章 有界线性算子与线性泛函
本章首先讨论线性算子的有界性和有界线性算子的空间,然后叙述关于线性算子和线性泛函的若干基本定理，它们是共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及 Hahn-- Banach延拓定理(包括分析形式和几何形式),这些定理在整个泛函分析理论中有着基本的重要作用,
本章还将介绍这些定理在 Fourie 分析、积分方程、微分方程适定问题以及逼近论和近似计算等方面的应用,
第 9 讲 空间 B(X,Y)与 X*
教学目的,
掌握有界线性算子的基本性质和算子空间 B(X,Y)的性质。
授课要点,
1,线性算子有界的等价条件。
2,算子空间 B(X,Y)的范数与基本性质。
3,求算子范数的某些常见方法。
我们已经在第一章引入了线性算子与线性泛函的概念,同时也介绍了算子的连续性概念,
现在让我们给出连续线性算子与连续线性泛函的一种形式上不同的定义,在基本空间是度量空间的情况下，它们在实质上是等价的,
定义 1 设 X,Y 是线性赋范空间,T,X→ Y 是线性算子,T 称为是有界的，若对于 X
中的任一有界集 A,T(A)是 Y 中的有界集,
注意应该把这一定义中的有界算子的概念与数学分析中有界函数的概念加以区别,后者是指在整个定义域中所取的值为有界的函数,同时要把线性算子与初等数学中所定义的线性函数加以区别，后者是指形如 baxxf +=)( 的所有函数,但只有在 b=0 的情况，它才是我们定义的线性算子,
定理 1 设 X,Y 是线性赋范空间,T,X→ Y 是线性算子，则下列诸条件等价：
(1) T 在某一点
0
x 连续,
(2) T 在 X 上连续,
(3) T 是有界算子,
(4) T 在 X 的某一点的有界邻域内有界,特别地,T 在 X 的单位球中有界,
(5) 存在 c＞ 0 使得
.,XxxcTx ∈?≤ （ 1）
若 fT = 是 X 上的线性泛函并且 0≠f,则以上诸条件还等价于,
(6) f 的 0 空间 }0)(;{)( =∈= xfXxfN 是 X 中的闭集,
(7) )( fN 不在 X 中稠密,
证明 (1)?(2) 若 T 在
0
x 连续，即?
0
xx
n
→ 时
0
TxTx
n
→,若 Xy∈ 是任一点并且 yy
n
→,令
0
xyyx
nn
+?=,则
0
xx
n
→,从而
00
)( TxxyyTTx
nn
→+?=,
T 是线性的，故 TyTy
n
→,
(2)? (3) 若 T 不是有界的，则存在有界集 )(,ATXA? 在 Y 中不是有界的,即
Axn
n
∈,,使得 nTx
n
≥,不妨设 Mx
n
≤,取,/ nxy
nn
= 则,0/ →≤ nMy
n
即
0→
n
y,而 ∞→>= nnTxTy
nn
/,T 在 0 点不是连续的，与 (2)矛盾,
(3)? (4) 显然,
(4)? (5) 不妨设 T 在 ),(
0
rxS =｛ rxxXx ≤?∈
0; ｝ 中有界,其中,0,
0
>∈ rXx 注意
),()1,0(
00
rxSxrS =+ （ 2）
由 T的线性,T在 ),(
0
rxS 上的有界性必导致它在
00
),( xrxS? 上的有界性,从而导致在 )1,0(S
上的有界性,为证 (5)，假定在 )1,0(S 上,cTx ≤,则 ),1,0(/,0,SxxxXx ∈≠∈? 从而
,)(,)( xcxTc
x
x
T ≤≤
此式对于任何 x X?∈ 成立,
(5)? (1) 由 (5)中式子不难知道,0→
n
x 时 0→
n
Tx,T 在 0 点连续,
现在设 f 为 X 上的线性泛函并且 f ≠ 0,
(2)? (6) 若 f 在 X 上连续,由于｛ 0｝是Φ中的闭集，由第 4 讲定理 3,)( fN ＝
})0({
1?
f 是 X 中的闭集,
(6)? (7) 若 )( fN 在 X 中稠密，由 (6)知 )( fN ＝ XfN =)(,与 f ≠ 0 矛盾,
(7)? (3) 由 (7)，
0
,0xXr?∈ >使得
0
(,) ()Ox r N f∩ =?,若 f 不是有界泛函，由
(3)与 (4)等价性的证明知道,f 在任一点的有界邻域上都不是有界的,特别地 f 不在 ),0( rO
上有界,我们证明此时 (f ),0( rO ）＝Φ，后者是整个标量域,实际上，,Φα∈? 存在
),0(' rOx ∈ ∈ O(0,r),使得 α>)'(xf,取
)'(
'
xf
x
x
α
=,则 ),0(,' rOxrxx ∈<<,另一方面
.)( α=xf
现在对于,)(
0
Φ∈? xf ),0( rOy∈? 使得 )()(
0
xfyf?=,即,0)(
0
=+ yxf 从而
)(
0
fNyx ∈+,但显然 ),(
00
rxOyx ∈+,所以 ≠∩ )(),(
0
fNrxO?，与所设矛盾,
在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子，下面举出一些常见的,
例 1 设,,
mn
YX ΦΦ == 在第 4 讲我们已提到,每个 m× n 阶矩阵 )(
ji
aA = 定义了一
个线性映射 T：
mn
ΦΦ →,反之，对于每个线性算子 T：,
mn
ΦΦ → 各取
mn
ΦΦ,的一组基底
mn
ee μμ,,;,,
11
；
令
niTe
j
m
j
jii
≤≤=
∑
=
1,
1
μα
则得到 m× n 阶矩阵 )(
ji
aA =,
于是，从
n
Φ 到
m
Φ 的线性算子可以与 m× n 阶矩阵对应起来,
特别地，取 m=1 便得到
n
Φ 上的线性泛函，它的一般形式是
n
nnn
xxxxxxf Φαα ∈=?++= ),,(,)(
111
" " （ 3）
其中
n
αα,,
1
"是某一组标量,
命 题 有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的,
证 明 先设 X=
n
Φ,X 上的范数是欧氏范数,
n
ee,,
1
"是 X 的一组基底，则对于任何
x∈ X,
,
1
∑
=
=
n
k
kk
exx,
1
k
m
k
k
TexTx
∑
=
=
k
Te 是 Y 中确定的元,T 完全由
k
Te 确定,由范数的三角不等式与 Minkowski 不等式,
,)()()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
xTexTeTexTx
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k ∑∑∑∑
====
=≤≤
由定理 1(5),T 是有界的,由第一章第 6 讲知道,X 上的任一范数都等价于欧氏范数，故结论对于 X 上的任一范数成立。,
例 2 (第二型 Fredholm 积分算子 ) 设 (?,Σ,μ)是测度空间,),( tsK 是在
(?×?,Σ×Σ,μ×μ)上可测的二元函数，满足
,)()(),(
2
2
∞<=
∫∫
×
tdsdtsKL μμ
定义 ),()(:
22
μμ LLT → 其中 yTx = 时
,)()(),()(
∫
=
μ tdtxtsKsy （ 4）
则 T 是有界线性算子,
这里，首先
2
()Tx L μ∈,事实上由 Holder 不等式
)()()(),()()(
2
2
sdtdtxtsKsdsy μμμ
∫∫∫
=
)()()()(),(
22
sdsxtdsdtsK μμμ
∫∫ ∫
×
≤
,
2
2
2
xL= （ 5）
故 ).(
2
μLy∈ 其次，容易验证 T 是线性的,最后,T 是连续的，因为（ 5）表明
)(,
2
222
μLxxLyTx ∈?≤=,
例 3 设算子
1
,llT →
∞
满足当 )(),(,
nn
yyxxyTx === 时
.1,
1
≥=
∑
∞
=
nxy
k
knkn
α
这里 )(
nk
α 是无穷矩阵，满足
11
,
nk
nk
c α
∞∞
==
=<∞
∑∑
则 T 是有界的,
直接计算表明
∞
∞
=
≥
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=≤==
∑∑∑∑∑
xcxxyTx
n
k
k
k
nk
nn
knk
n
n
1
1
1111
1
)sup)(( αα,（ 6）
线性是容易验证的，由定理 1,T 有界,
算子的有界性不仅与算子自身的构造有关，而且与空间有关，这一点应引起足够重视,
例 4 (1) 先设 ]1,0[
)1(
C 是在 ]1,0[ 中一阶导数连续的函数全体，其中的范数是
}.)('max,)(maxmax{
1010
)1(
txtxx
tt ≤≤≤≤
=
考虑微分算子 ]1,0[:
)1(
CD → ]1,0[C,
]1,0[),(')( ∈?= ttXtDx （ 7）
由于
=Dx
)1(
10
)('max xtx
t
≤
≤≤
,∈?x ]1,0[
)1(
C
D 是有界线性算子,
(2) 仍考虑如（ 1）的函数全体，但以 )(max
10
txx
t≤≤
= 作为其中的范数，记此空间为
]1,0[
~
C,同样对于微分算子 D，取元素序列,)(
n
n
ttx = 则
1,max,1
1
10
≥===
≤≤
nnntDxx
n
t
nn
所以,D ]1,0[
~
)1(
C → ]1,0[C 不是有界线性算子,
我们称 YXT →,是 0 算子，若,0,=∈? TxXx 称 XXT →,是单位算子（恒等算子）,
若,Xx∈?,xTx = 前者记为 0,后者记为 I.．
在理论和实际应用中，有时仅考虑单个的有界算子是不够的，还要考虑有界算子族,
设 X,Y 为线性赋范空间，记 B(X,Y)是从 X 到 Y 中的有界线性算子全体，像定义函数空间的线性运算那样定义 B(X,Y)中的加法和数乘，容易知道 B(X,Y) 是线性空间,当 X=Y 时，记
B(X,Y)为 B (X).
特别地,X 上的连续线性泛函的全体记为 X*，称 X*是 X 的共轭空间．
定理 2 对于每个 T∈B(X,Y), 令
1
sup
x
Tx Tx
≤
=,则 ·‖‖是 B(X,Y)上的范数,
证 明
1° 易知‖T ≥0.‖ 若 0=T,则,0,1,=≤∈? TxxXx 此时,0)(,0,=≠∈?
x
x
TxXx
从而 0=Tx,于是 0=T,
2° 实际计算知道
11
sup sup,
xx
TTx TxTααα α
≤≤
== =
3° 若 ),(,
21
YXBTT ∈,则
,supsup
)(sup)(sup
212
1
1
1
21
1
21
1
21
TTxTxT
xTxTxTTTT
xx
xx
+≤+≤
+≤+=+
≤≤
≤≤
故‖·‖是 B(X,Y)上的范数,
定理 3 若 T∈B(X,Y),则,0>?δ
01
sup sup,
xx
Tx
TTx
x≠=
== (8)
证 明 实际上
,supsupsupsup)(supsup
00,11100 x
Tx
x
Tx
TxTx
x
x
T
x
Tx
xxxxxxx ≠≠≤≤=≠≠
≤≤≤==
思考题
1,若 T∈B(X,Y),则
1
sup,
x
TTx
<
=
2,若 T∈B(X,Y),则,0>?δ
1
sup
x
Tx
δδ ≤
=,
定理 4 若 Y 是 Banach 空间，则 B(X,Y) 是 Banach 空间,
特别地，任一线性赋范空间的共轭空间 X*是 Banach 空间,
证明 设｛
n
T ｝是 B(X,Y) 中的 Cauchy 序列，则
0
,0 n?>?ε, 使得当
0
,nnm ≥ 时,
.sup
1
ε<?=?
≤
nmnm
x
TTxTxT （ 9）
此时对于每个,1,≤∈ xXx
.ε<? xTxT
nm
（ 10）
所以 { xT
n
}为 Y 中的 Cauchy 序列，由于 Y 是完备空间，不妨设 yxT
n
n
=
∞→
lim 并且记 Txy =,则
T 对于 1,≤∈ xXx 有定义,从而在整个 X 上有定义．由极限运算的线性性质和
n
T 的线性，
T 是线性算子,在 (11) 中固定,
0
nn ≥ 令 ∞→m 则
,ε≤? xTxT
n
(11)
并且由于（ 11）关于所有 1,≤xx 是一致的，从而
ε≤?=?
≤
xTTxTT
n
x
n
1
sup （ 12）
于是 ),,( YXBTT
n
∈? 但 ),( YXB 是线性空间，从而 ).,()( YXBTTTT
nn
∈+?= （ 12）还说明依照 ),( YXB 中的范数
,lim TT
n
n
=
∞→
故 B(X,Y)完备,
为了定性或定量地研究有界线性算子，就需要知道它的范数大小，下面我们给出计算算子范数的例子,
例 5 考虑空间,
n
Φ 不过对于每个 ),,,(
1 n
xxx "= 定义
1
max
j
jn
x x
≤≤
=,以此作为
n
Φ
上的范数,对于空间
m
Φ 情况类似,若映射
mn
T ΦΦ →,与 nm × 阶矩阵 )(
ji
aA= 对应 （见例 1）,我们来求 T 的范数,
首先设
1
(,,)
m
yTx y y== "，则
∑
=
≤≤≤≤
===
n
j
jji
mi
j
mi
xayyTx
1
11
maxmax
111
(max )(max ) (max )
nn
ij j ij
im jn im
jj
ax ax
≤≤ ≤≤ ≤≤
==
≤=
∑∑
于是,maxsup
1
1
1
∑
=
≤≤
≤
≤=
n
j
ji
mi
x
aTxT
另一方面，不妨设对于某个,1,
00
nii ≤≤
∑∑
=
≤≤
=
=
n
j
ji
mi
n
j
ji
aa
1
1
1
max
0
．取 ),,(
)0()0(
1
)0(
n
xxx "=,
其中
jij
asignx
0
)0(
=,则 1
)0(
=x （除非
0
0,1,
ij
ajn= ≤≤ 此时所有 0=
ji
a 从而 0=T ）,于是
===≥
∑∑
==
≤≤
n
j
n
j
jijji
mi
axaTxT
11
)0(
1
)0(
0
max
∑
=
≤≤
n
j
ji
mi
a
1
1
max,
总之
=T
∑
=
≤≤
n
j
ji
mi
a
1
1
max,
例 6 设,,
1
∞<=∈
∑
∞
=n
nn
a αΦα 算子,:
1
0
lcT → 当,yTx = )(
n
xx = 时,
),,,(
2211
"xxy αα=
求 T 的范数,
易知 T 是线性的,又
,)max)((
1
11
xaxxTx
n
n
n
n
n
nn
=≤=
∞<≤
∞
=
∞
=
∑∑
αα
所以,aT ≤
另一方面，,0>?ε 存在
0
n,使得,
0
1
εα?>
∑
=
a
n
n
n
取
),0,,,(
0
1
)0(
" "
n
signsignx αα=
则除去平凡的情况，,1
)0(
=x 从而
,
0
1
)0(
εα?>=≥
∑
=
aTxT
n
n
n
ε是任意的，故最终有
== aT
∑
∞
=1n
n
α,
例 7（ 第一型 Fredholm 积分算子） 设 ),( tsK 是 btsa ≤≤,上的连续函数,定义算子
],,[],[,baCbaCT →
∫
∈?=
b
a
baCxdttxtsKsTx ],[,)(),()(
由于
∫
≤≤≤≤
==
b
absabsa
dttxtsKsTxTx )(),(max)(max
≤ ))(max)(),(max( sxdttsK
bsa
b
absa ≤≤≤≤
∫
≤
∫
≤≤
b
a
bsa
dttsK ),((max ） x
所以 ≤T
∫
≤≤
b
absa
dttsK ),(max,
另一方面，注意到
∫
≤≤
b
absa
dttsK ),(max 是 s 的连续函数，不妨设
dttsK
b
a
∫
),(
0
＝
∫
≤≤
b
absa
dttsK ),(max,
其中,bsa
o
≤≤ 取 ),,()(
0
tsKsigntx
o
= 则 )(
0
tx 在 ],[ ba 上可测并且,1)(
0
≤tx 但
0
x 未必在 ],[ baC 中,根据 Lyzin 定理,0>?ε,存在连续函数 1)(
~
),(
~
≤txtx 并且
,)}(
~
)(];,[{ ε<≠∈ txtxbatm
从而,1
~
],,[
~
=∈ xbaCx 此时
∫
≤≤
=≥
b
absa
dttxtsKxTT )(
~
),(max
~
∫∫
≥
≤≤≤≤
b
absa
b
absa
dttxtxtsKdttxtsK )()(
~
)(,(max)(),(max
00
≥
∫
dttsK
b
a
),(
0
∫
≤≤
b
absa
dttxtxtsK )()(
~
(),(max
0
≥
∫
dttsK
b
a
),(
0
2M,ε
这里 ),(sup tsKM
bta
bsa
≤≤
≤≤
=,ε 是任意的，故知
dttsKT
b
absa
∫
≤≤
= ),(max,
注意，同样地，算子的范数不仅与算子的具体构造有关，而且与空间的范数有关,
例 8 将
∫
=
b
a
dttxxf )()( 分别看成 ],[ baC 和 ],[
1
baL 上的线性泛函，计算它们的范数,
首先，在 ],[ baC 上有
xabtxabdttxxf
bta
b
a
)()(max)()()(?=?≤≤
≤≤
∫
,
取,1)(
0
≡tx 则 abxfx?== )(,1
00
，由此知 abf?=,
若 f 是 ],[
1
baL 上的线性泛函，则
dttxxf
b
a
)()(
∫
≤ ＝,
1
x
取,
1
)(
0
ab
tx
≡ 则 1)(,1
0
1
0
== xfx,由此知 1=f,
思考题
1,证明下列 f 是线性泛函，并且,1=f
(1) ].,[)(),()(],,[
00
baCtxxtxxfbat ∈=?=∈
(2) )1(,)(,)(,
0
0
∞≤≤∈=?=∈ plxxxxfNn
p
nn
2,设 ),()(
2
txttTx = 若 T 是 ]1,0[]1,0[
12
LL → 的算子，计算?=T 若 T 是
]1,0[]1,0[
22
LL → 的算子，再求出‖ T‖=？
本章首先讨论线性算子的有界性和有界线性算子的空间,然后叙述关于线性算子和线性泛函的若干基本定理，它们是共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及 Hahn-- Banach延拓定理(包括分析形式和几何形式),这些定理在整个泛函分析理论中有着基本的重要作用,
本章还将介绍这些定理在 Fourie 分析、积分方程、微分方程适定问题以及逼近论和近似计算等方面的应用,
第 9 讲 空间 B(X,Y)与 X*
教学目的,
掌握有界线性算子的基本性质和算子空间 B(X,Y)的性质。
授课要点,
1,线性算子有界的等价条件。
2,算子空间 B(X,Y)的范数与基本性质。
3,求算子范数的某些常见方法。
我们已经在第一章引入了线性算子与线性泛函的概念,同时也介绍了算子的连续性概念,
现在让我们给出连续线性算子与连续线性泛函的一种形式上不同的定义,在基本空间是度量空间的情况下，它们在实质上是等价的,
定义 1 设 X,Y 是线性赋范空间,T,X→ Y 是线性算子,T 称为是有界的，若对于 X
中的任一有界集 A,T(A)是 Y 中的有界集,
注意应该把这一定义中的有界算子的概念与数学分析中有界函数的概念加以区别,后者是指在整个定义域中所取的值为有界的函数,同时要把线性算子与初等数学中所定义的线性函数加以区别，后者是指形如 baxxf +=)( 的所有函数,但只有在 b=0 的情况，它才是我们定义的线性算子,
定理 1 设 X,Y 是线性赋范空间,T,X→ Y 是线性算子，则下列诸条件等价：
(1) T 在某一点
0
x 连续,
(2) T 在 X 上连续,
(3) T 是有界算子,
(4) T 在 X 的某一点的有界邻域内有界,特别地,T 在 X 的单位球中有界,
(5) 存在 c＞ 0 使得
.,XxxcTx ∈?≤ （ 1）
若 fT = 是 X 上的线性泛函并且 0≠f,则以上诸条件还等价于,
(6) f 的 0 空间 }0)(;{)( =∈= xfXxfN 是 X 中的闭集,
(7) )( fN 不在 X 中稠密,
证明 (1)?(2) 若 T 在
0
x 连续，即?
0
xx
n
→ 时
0
TxTx
n
→,若 Xy∈ 是任一点并且 yy
n
→,令
0
xyyx
nn
+?=,则
0
xx
n
→,从而
00
)( TxxyyTTx
nn
→+?=,
T 是线性的，故 TyTy
n
→,
(2)? (3) 若 T 不是有界的，则存在有界集 )(,ATXA? 在 Y 中不是有界的,即
Axn
n
∈,,使得 nTx
n
≥,不妨设 Mx
n
≤,取,/ nxy
nn
= 则,0/ →≤ nMy
n
即
0→
n
y,而 ∞→>= nnTxTy
nn
/,T 在 0 点不是连续的，与 (2)矛盾,
(3)? (4) 显然,
(4)? (5) 不妨设 T 在 ),(
0
rxS =｛ rxxXx ≤?∈
0; ｝ 中有界,其中,0,
0
>∈ rXx 注意
),()1,0(
00
rxSxrS =+ （ 2）
由 T的线性,T在 ),(
0
rxS 上的有界性必导致它在
00
),( xrxS? 上的有界性,从而导致在 )1,0(S
上的有界性,为证 (5)，假定在 )1,0(S 上,cTx ≤,则 ),1,0(/,0,SxxxXx ∈≠∈? 从而
,)(,)( xcxTc
x
x
T ≤≤
此式对于任何 x X?∈ 成立,
(5)? (1) 由 (5)中式子不难知道,0→
n
x 时 0→
n
Tx,T 在 0 点连续,
现在设 f 为 X 上的线性泛函并且 f ≠ 0,
(2)? (6) 若 f 在 X 上连续,由于｛ 0｝是Φ中的闭集，由第 4 讲定理 3,)( fN ＝
})0({
1?
f 是 X 中的闭集,
(6)? (7) 若 )( fN 在 X 中稠密，由 (6)知 )( fN ＝ XfN =)(,与 f ≠ 0 矛盾,
(7)? (3) 由 (7)，
0
,0xXr?∈ >使得
0
(,) ()Ox r N f∩ =?,若 f 不是有界泛函，由
(3)与 (4)等价性的证明知道,f 在任一点的有界邻域上都不是有界的,特别地 f 不在 ),0( rO
上有界,我们证明此时 (f ),0( rO ）＝Φ，后者是整个标量域,实际上，,Φα∈? 存在
),0(' rOx ∈ ∈ O(0,r),使得 α>)'(xf,取
)'(
'
xf
x
x
α
=,则 ),0(,' rOxrxx ∈<<,另一方面
.)( α=xf
现在对于,)(
0
Φ∈? xf ),0( rOy∈? 使得 )()(
0
xfyf?=,即,0)(
0
=+ yxf 从而
)(
0
fNyx ∈+,但显然 ),(
00
rxOyx ∈+,所以 ≠∩ )(),(
0
fNrxO?，与所设矛盾,
在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子，下面举出一些常见的,
例 1 设,,
mn
YX ΦΦ == 在第 4 讲我们已提到,每个 m× n 阶矩阵 )(
ji
aA = 定义了一
个线性映射 T：
mn
ΦΦ →,反之，对于每个线性算子 T：,
mn
ΦΦ → 各取
mn
ΦΦ,的一组基底
mn
ee μμ,,;,,
11
；
令
niTe
j
m
j
jii
≤≤=
∑
=
1,
1
μα
则得到 m× n 阶矩阵 )(
ji
aA =,
于是，从
n
Φ 到
m
Φ 的线性算子可以与 m× n 阶矩阵对应起来,
特别地，取 m=1 便得到
n
Φ 上的线性泛函，它的一般形式是
n
nnn
xxxxxxf Φαα ∈=?++= ),,(,)(
111
" " （ 3）
其中
n
αα,,
1
"是某一组标量,
命 题 有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的,
证 明 先设 X=
n
Φ,X 上的范数是欧氏范数,
n
ee,,
1
"是 X 的一组基底，则对于任何
x∈ X,
,
1
∑
=
=
n
k
kk
exx,
1
k
m
k
k
TexTx
∑
=
=
k
Te 是 Y 中确定的元,T 完全由
k
Te 确定,由范数的三角不等式与 Minkowski 不等式,
,)()()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
xTexTeTexTx
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k ∑∑∑∑
====
=≤≤
由定理 1(5),T 是有界的,由第一章第 6 讲知道,X 上的任一范数都等价于欧氏范数，故结论对于 X 上的任一范数成立。,
例 2 (第二型 Fredholm 积分算子 ) 设 (?,Σ,μ)是测度空间,),( tsK 是在
(?×?,Σ×Σ,μ×μ)上可测的二元函数，满足
,)()(),(
2
2
∞<=
∫∫
×
tdsdtsKL μμ
定义 ),()(:
22
μμ LLT → 其中 yTx = 时
,)()(),()(
∫
=
μ tdtxtsKsy （ 4）
则 T 是有界线性算子,
这里，首先
2
()Tx L μ∈,事实上由 Holder 不等式
)()()(),()()(
2
2
sdtdtxtsKsdsy μμμ
∫∫∫
=
)()()()(),(
22
sdsxtdsdtsK μμμ
∫∫ ∫
×
≤
,
2
2
2
xL= （ 5）
故 ).(
2
μLy∈ 其次，容易验证 T 是线性的,最后,T 是连续的，因为（ 5）表明
)(,
2
222
μLxxLyTx ∈?≤=,
例 3 设算子
1
,llT →
∞
满足当 )(),(,
nn
yyxxyTx === 时
.1,
1
≥=
∑
∞
=
nxy
k
knkn
α
这里 )(
nk
α 是无穷矩阵，满足
11
,
nk
nk
c α
∞∞
==
=<∞
∑∑
则 T 是有界的,
直接计算表明
∞
∞
=
≥
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=≤==
∑∑∑∑∑
xcxxyTx
n
k
k
k
nk
nn
knk
n
n
1
1
1111
1
)sup)(( αα,（ 6）
线性是容易验证的，由定理 1,T 有界,
算子的有界性不仅与算子自身的构造有关，而且与空间有关，这一点应引起足够重视,
例 4 (1) 先设 ]1,0[
)1(
C 是在 ]1,0[ 中一阶导数连续的函数全体，其中的范数是
}.)('max,)(maxmax{
1010
)1(
txtxx
tt ≤≤≤≤
=
考虑微分算子 ]1,0[:
)1(
CD → ]1,0[C,
]1,0[),(')( ∈?= ttXtDx （ 7）
由于
=Dx
)1(
10
)('max xtx
t
≤
≤≤
,∈?x ]1,0[
)1(
C
D 是有界线性算子,
(2) 仍考虑如（ 1）的函数全体，但以 )(max
10
txx
t≤≤
= 作为其中的范数，记此空间为
]1,0[
~
C,同样对于微分算子 D，取元素序列,)(
n
n
ttx = 则
1,max,1
1
10
≥===
≤≤
nnntDxx
n
t
nn
所以,D ]1,0[
~
)1(
C → ]1,0[C 不是有界线性算子,
我们称 YXT →,是 0 算子，若,0,=∈? TxXx 称 XXT →,是单位算子（恒等算子）,
若,Xx∈?,xTx = 前者记为 0,后者记为 I.．
在理论和实际应用中，有时仅考虑单个的有界算子是不够的，还要考虑有界算子族,
设 X,Y 为线性赋范空间，记 B(X,Y)是从 X 到 Y 中的有界线性算子全体，像定义函数空间的线性运算那样定义 B(X,Y)中的加法和数乘，容易知道 B(X,Y) 是线性空间,当 X=Y 时，记
B(X,Y)为 B (X).
特别地,X 上的连续线性泛函的全体记为 X*，称 X*是 X 的共轭空间．
定理 2 对于每个 T∈B(X,Y), 令
1
sup
x
Tx Tx
≤
=,则 ·‖‖是 B(X,Y)上的范数,
证 明
1° 易知‖T ≥0.‖ 若 0=T,则,0,1,=≤∈? TxxXx 此时,0)(,0,=≠∈?
x
x
TxXx
从而 0=Tx,于是 0=T,
2° 实际计算知道
11
sup sup,
xx
TTx TxTααα α
≤≤
== =
3° 若 ),(,
21
YXBTT ∈,则
,supsup
)(sup)(sup
212
1
1
1
21
1
21
1
21
TTxTxT
xTxTxTTTT
xx
xx
+≤+≤
+≤+=+
≤≤
≤≤
故‖·‖是 B(X,Y)上的范数,
定理 3 若 T∈B(X,Y),则,0>?δ
01
sup sup,
xx
Tx
TTx
x≠=
== (8)
证 明 实际上
,supsupsupsup)(supsup
00,11100 x
Tx
x
Tx
TxTx
x
x
T
x
Tx
xxxxxxx ≠≠≤≤=≠≠
≤≤≤==
思考题
1,若 T∈B(X,Y),则
1
sup,
x
TTx
<
=
2,若 T∈B(X,Y),则,0>?δ
1
sup
x
Tx
δδ ≤
=,
定理 4 若 Y 是 Banach 空间，则 B(X,Y) 是 Banach 空间,
特别地，任一线性赋范空间的共轭空间 X*是 Banach 空间,
证明 设｛
n
T ｝是 B(X,Y) 中的 Cauchy 序列，则
0
,0 n?>?ε, 使得当
0
,nnm ≥ 时,
.sup
1
ε<?=?
≤
nmnm
x
TTxTxT （ 9）
此时对于每个,1,≤∈ xXx
.ε<? xTxT
nm
（ 10）
所以 { xT
n
}为 Y 中的 Cauchy 序列，由于 Y 是完备空间，不妨设 yxT
n
n
=
∞→
lim 并且记 Txy =,则
T 对于 1,≤∈ xXx 有定义,从而在整个 X 上有定义．由极限运算的线性性质和
n
T 的线性，
T 是线性算子,在 (11) 中固定,
0
nn ≥ 令 ∞→m 则
,ε≤? xTxT
n
(11)
并且由于（ 11）关于所有 1,≤xx 是一致的，从而
ε≤?=?
≤
xTTxTT
n
x
n
1
sup （ 12）
于是 ),,( YXBTT
n
∈? 但 ),( YXB 是线性空间，从而 ).,()( YXBTTTT
nn
∈+?= （ 12）还说明依照 ),( YXB 中的范数
,lim TT
n
n
=
∞→
故 B(X,Y)完备,
为了定性或定量地研究有界线性算子，就需要知道它的范数大小，下面我们给出计算算子范数的例子,
例 5 考虑空间,
n
Φ 不过对于每个 ),,,(
1 n
xxx "= 定义
1
max
j
jn
x x
≤≤
=,以此作为
n
Φ
上的范数,对于空间
m
Φ 情况类似,若映射
mn
T ΦΦ →,与 nm × 阶矩阵 )(
ji
aA= 对应 （见例 1）,我们来求 T 的范数,
首先设
1
(,,)
m
yTx y y== "，则
∑
=
≤≤≤≤
===
n
j
jji
mi
j
mi
xayyTx
1
11
maxmax
111
(max )(max ) (max )
nn
ij j ij
im jn im
jj
ax ax
≤≤ ≤≤ ≤≤
==
≤=
∑∑
于是,maxsup
1
1
1
∑
=
≤≤
≤
≤=
n
j
ji
mi
x
aTxT
另一方面，不妨设对于某个,1,
00
nii ≤≤
∑∑
=
≤≤
=
=
n
j
ji
mi
n
j
ji
aa
1
1
1
max
0
．取 ),,(
)0()0(
1
)0(
n
xxx "=,
其中
jij
asignx
0
)0(
=,则 1
)0(
=x （除非
0
0,1,
ij
ajn= ≤≤ 此时所有 0=
ji
a 从而 0=T ）,于是
===≥
∑∑
==
≤≤
n
j
n
j
jijji
mi
axaTxT
11
)0(
1
)0(
0
max
∑
=
≤≤
n
j
ji
mi
a
1
1
max,
总之
=T
∑
=
≤≤
n
j
ji
mi
a
1
1
max,
例 6 设,,
1
∞<=∈
∑
∞
=n
nn
a αΦα 算子,:
1
0
lcT → 当,yTx = )(
n
xx = 时,
),,,(
2211
"xxy αα=
求 T 的范数,
易知 T 是线性的,又
,)max)((
1
11
xaxxTx
n
n
n
n
n
nn
=≤=
∞<≤
∞
=
∞
=
∑∑
αα
所以,aT ≤
另一方面，,0>?ε 存在
0
n,使得,
0
1
εα?>
∑
=
a
n
n
n
取
),0,,,(
0
1
)0(
" "
n
signsignx αα=
则除去平凡的情况，,1
)0(
=x 从而
,
0
1
)0(
εα?>=≥
∑
=
aTxT
n
n
n
ε是任意的，故最终有
== aT
∑
∞
=1n
n
α,
例 7（ 第一型 Fredholm 积分算子） 设 ),( tsK 是 btsa ≤≤,上的连续函数,定义算子
],,[],[,baCbaCT →
∫
∈?=
b
a
baCxdttxtsKsTx ],[,)(),()(
由于
∫
≤≤≤≤
==
b
absabsa
dttxtsKsTxTx )(),(max)(max
≤ ))(max)(),(max( sxdttsK
bsa
b
absa ≤≤≤≤
∫
≤
∫
≤≤
b
a
bsa
dttsK ),((max ） x
所以 ≤T
∫
≤≤
b
absa
dttsK ),(max,
另一方面，注意到
∫
≤≤
b
absa
dttsK ),(max 是 s 的连续函数，不妨设
dttsK
b
a
∫
),(
0
＝
∫
≤≤
b
absa
dttsK ),(max,
其中,bsa
o
≤≤ 取 ),,()(
0
tsKsigntx
o
= 则 )(
0
tx 在 ],[ ba 上可测并且,1)(
0
≤tx 但
0
x 未必在 ],[ baC 中,根据 Lyzin 定理,0>?ε,存在连续函数 1)(
~
),(
~
≤txtx 并且
,)}(
~
)(];,[{ ε<≠∈ txtxbatm
从而,1
~
],,[
~
=∈ xbaCx 此时
∫
≤≤
=≥
b
absa
dttxtsKxTT )(
~
),(max
~
∫∫
≥
≤≤≤≤
b
absa
b
absa
dttxtxtsKdttxtsK )()(
~
)(,(max)(),(max
00
≥
∫
dttsK
b
a
),(
0
∫
≤≤
b
absa
dttxtxtsK )()(
~
(),(max
0
≥
∫
dttsK
b
a
),(
0
2M,ε
这里 ),(sup tsKM
bta
bsa
≤≤
≤≤
=,ε 是任意的，故知
dttsKT
b
absa
∫
≤≤
= ),(max,
注意，同样地，算子的范数不仅与算子的具体构造有关，而且与空间的范数有关,
例 8 将
∫
=
b
a
dttxxf )()( 分别看成 ],[ baC 和 ],[
1
baL 上的线性泛函，计算它们的范数,
首先，在 ],[ baC 上有
xabtxabdttxxf
bta
b
a
)()(max)()()(?=?≤≤
≤≤
∫
,
取,1)(
0
≡tx 则 abxfx?== )(,1
00
，由此知 abf?=,
若 f 是 ],[
1
baL 上的线性泛函，则
dttxxf
b
a
)()(
∫
≤ ＝,
1
x
取,
1
)(
0
ab
tx
≡ 则 1)(,1
0
1
0
== xfx,由此知 1=f,
思考题
1,证明下列 f 是线性泛函，并且,1=f
(1) ].,[)(),()(],,[
00
baCtxxtxxfbat ∈=?=∈
(2) )1(,)(,)(,
0
0
∞≤≤∈=?=∈ plxxxxfNn
p
nn
2,设 ),()(
2
txttTx = 若 T 是 ]1,0[]1,0[
12
LL → 的算子，计算?=T 若 T 是
]1,0[]1,0[
22
LL → 的算子，再求出‖ T‖=？
