第8讲 积空间与商空间
教学目的：了解积空间与商空间的定义与基本性质。
授课要点,
1,积空间的定义和基本性质。
2,商空间与商映射的基本属性。
设(;||),1
ii
X in?≤≤是一组线性赋范空间，令
{}niXxxxxX
iin
≤≤∈== 1,:),,(
1
",
记为
∏
=
=
n
i
i
XX
1
,X中元素的线性运算与序列空间中一样定义，则X是线性空间,若此外定义
∞<≤=
∑
=
pxx
p
n
i
p
iip
1,)||||(||||
1
1
ii
ni
xx ||||sup||||
1 ≤≤
∞
=,∞=p
则)||||,(
p
X?是线性赋范空间,
定理1 设
i
X，X如上，则X是线性赋范空间并且
(1) X是完备的当且仅当每个)1( niX
i
≤≤完备,
(2) 每个映射
iii
xxXXP →→,:是连续的（ni,...,1=）,
证 明 1°先设每个
i
X是完备的，假定),,(
)()(
1
)( k
n
kk
xxx "=是X中的Cauchy序列，则
0>?ε，
0
k?使得
0
,kks ≥时
　
pp
p
ks
n
i
p
i
k
i
s
i
xxxx ε<?=?
∑
=
||||||||
)()(
1
)()(
,
特别地对于每个i,
　 ε<?
i
k
i
s
i
xx ||||
)()(
(1)
这说明}1;{
)(
≥kx
k
i
是
i
X中的Cauchy序列.由
i
X的完备性,不妨设0||||
)(
→?
ii
k
i
xx，这里
)1( niXx
ii
≤≤∈,记),,(
1 n
xxx "=,在 (1) 中固定
0
kk ≥,令∞→s，则有
　 ε≤?
i
k
ii
xx ||||
)(
,(2)
不妨设对于每个i，当
0
kk ≥时 (2) 均成立,则
　)1(,)||||(||||
1
1
)()(
∞<≤≤?=?
∑
=
pnxxxx
pp
n
i
p
ii
k
ip
k
ε,
总之，xx
k
k
=
∞→
)(
lim,故X完备,
反之，设X完备，我们证明每个
i
X完备,注意
　 });0,,0,,0,,0{(
iii
i
i
XxxE ∈= "


"
是X的线性子空间并且
i
E与
i
X等距同构,
iipipi
Xxxx ∈?=,||||||)0,,0,,0,,0(|| "",
于是剩下只需证明
i
E是X的闭子空间,
设xxExx
k
i
k
i
k
→∈=
)()()(
,)0,,0,,0,,0( "",不妨设),,(
1 n
xxx "=，其中)1( niXx
ii
≤≤∈,
由于
　 0||||||||||||
)()(
→+?=?
∑
≠ij
p
jj
p
ii
k
i
p
p
k
xxxxx
此时必有ij ≠时，0=
j
x，同时0||||
)(
→?
ii
k
i
xx,这说明
ii
Ex ∈，
i
E闭,( ∞=p的情况可类似证明),
2°由于当),,(
1 n
xxx "=,Xyyy
n
∈= ),,(
1
"时
　 || || || || || ||
iiiiii p
Px Py x y x y?=?≤?　
所以
i
P连续)1( ni ≤≤,
上面我们只对有限多个空间定义它们的乘积，实际上对于无穷多个也可以类似定义。定理1也照样成立。读者不妨试证之。
下面让我们转到商空间,在第4讲证明完备化定理时我们已经接触过商集的概念,现在我们有,
定理2 设X是线性空间，XE?是线性子空间,
(1)若规定yx ~当且仅当Eyx ∈?，“~”是X中的等价关系,若定义
yxyx +=+，xx αα =,
则~)/(/ XEX =是线性空间 (称EX /是X关于E的商空间),
(2)若X是线性赋范空间，E是X的闭线性子空间，则EX /是线性赋范空间,
(3)若X是Banach空间，E是X的闭线性子空间，则EX /是Banach空间,
证 明 1° 对于任意的Xx∈，Exx ∈?,故xx ~,由于E是线性子空间，当Eyx ∈?
时Exy ∈?，故yx ~则xy ~,若Eyx ∈~，Ezy ∈?，则Ezyyxzx ∈?+?=? )()(，故
yx ~,zy ~时.所以“~”是等价关系,
记{}{}XxxEXEyyxx ∈=∈+= ;/,;，并且规定　
yxyx +=+，)( Φααα ∈= xx，，　
这些运算有确定的意义,例如若
11
,yyxx ==则EyyExx ∈?∈?
11
,，从而　
ExxEyxyx ∈?∈+?+
111
,)()( αα，　
于是
111
,xxyxyx αα =+=+,依照第1 讲定义1可验证EX /是线性空间，其中Eo =,
2° 对于每个EXx /∈，令　
||||inf|||| yx
xy∈
= (3)　
则||||?是EX /上的范数,实际上0|||| ≥x,若0|||| =x，则0||||,→∈?
nn
yxy，故Ezxy
nn
∈=?,
xxyz
nn
→?=，E闭，于是,0.xExE∈==
对于每个EXx /∈,
||||||||||inf||||||inf|||||||| xyayxx
xyxy
αααα ====
∈∈
,
最后，EXyx /,∈?，由定义，
n
xxxx
nn
1
||||||||,+<∈?，同时
n
yyyy
nn
1
||||||||,+<∈?，从而yxyx
nn
+∈+并且
n
yxyxyxyx
nnnn
2
|||||||||||||||||||||||| ++≤+≤+≤+,　
令∞→n，得到　
|||||||||||| yxyx +≤+,　
于是 (3) 定义了EX /上的范数,
3° 若X完备，E闭，{}
n
x是EX /中的Cauchy序列,取
kk
2
1
=ε，则
k
n?使当
k
nn≥时，
knn k
xx
2
1
|||| <?,不妨设
k
n单调增加,记
k
nk
xu =，则{ }
n
u是{ }
n
x的子序列并且
kkk
uu
2
1
||||
1
<?
+
.
从而由EX /中范数定义，存在Ez
k
∈，使得　
kkkk
zuu
2
1
||||
1
<+?
+
.　
记
kkkk
zuuv +?=
+1
，则
∑
∞
=
∞<
1
||||
k
k
v,X完备，故Xv∈?使得
∑
=
∞→
=
n
k
k
n
vv
1
lim,令
1
uvu +=,现在证明ux
n
→,
实际上由Ez
k
∈，则 1≥?n,
∑
=
∈
n
k
k
Ez
1
，oz
n
k
k
=
∑
=1
,　
0||||||||||||||||
11
11
1
111
→?=+≤+=?
∑∑∑
==
+
=
++
n
k
k
n
k
kn
n
k
knn
vvzuvuzuvuuu,　
于是uu
k
→，即ux
k
n
→,{}
n
x为Cauchy序列，其中有子列{ }
k
n
x收敛，故{ }
n
x收敛并且ux
n
→，
从而EX /完备,
定理3 设X是线性赋范空间，E是X的闭线性子空间，定义映射EXX /,→π，xx6，
则
(1) π是到上的连续映射,
(2) π将X中的开集映射为EX /中的开集,
证明 1°π是到上和连续的直接由定义得出,事实上，由EX /中范数定义，若
xx =)(π，则
||||||||inf||||||)(|| xyxx
xy
≤==
∈
π,(4)
2° 考虑空间X中的球),0( rO和EX /中的球),0( rO，后者即集合{}rxEXx <∈ ||||;/.
首先，对于每个),0( rOx∈，由|||| x的定义，存在),0( rOx∈使得xx =)(π,这说明
)),0((),0( rOrO π? (5)
设XV?是开集，现证)(Vπ是EX /中的开集.对于任一点)(Vx π∈，存在Vx∈，使得
xx =)(π,V是开集，故有0>r使得VrO?),0(,此时由集合的线性运算，),0(),( rOxrxO +=，
从而由 (5),　
)()),(()),0(()),0(()(),0( VrxOrOxrOxrOx πππππ?=+=+?+
所以x是)(Vπ的内点,x是任意的，故)(Vπ是开集,
思考题 若X是线性空间，E X?是线性子空间，验证EX /是线性空间。