1
第五章 有界线性算子的谱理论
线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的，它起源于代数方程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题,实际上在泛函分析产生的早期,Volterra、Fredholm、Hilbert 等人就曾研究过这样的问题,同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题,本章首先讨论算子的正则性和谱的概念及其基本性质，然后着重叙述
Riesz-Schauder 关于紧算子的谱论和 Hilbert 空间上自伴算子的谱论，最后介绍谱系和谱分解问题,
第 22 讲 有界线性算子的谱
教学目的：介绍有界线性算子谱的概念及谱的相关性质。
讲解要点,
1 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类。
2 谱半径公式，谱集的拓扑属性。
3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。
设 X 是线性赋范空间,)(XΒ 是 X 上全体有界线性算子构成的空间，我们已经知道 )(XΒ 是线性赋范空间,实际上，在 )(XΒ 中还可以引进另一种运算——算子的乘法,
对于两个算子,(),AB BX∈ 规定
2
))(()( xBAxAB =,.x X? ∈
这种运算满足
CABBCA )()( =
ACABCBA +=+ )(,
BCACCBA +=+ )(,
)()()( kBABkAABk ==,Φ∈k,
以 I 表示单位算子，则 AIAAI ==,若 || ||? 是 )(XΒ 上的范数，则
|| AB|| ||A||≤ ||B||,,(),A BBX? ∈
由于 )(XΒ 中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称 )(XΒ 是一个赋范代数,称 I 为单位元,若 )(XΒ 还是完备的,则称其为 Banach
代数,
Banach 代数的概念也可以完全公理式地加以定义,不过,本质上说来,任何一个 Banach 代数都可以看成某个空间上的算子代数,
前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当 A是线性算子时，若
1?
A 存在，则
1?
A 也是线性算子,现在我们将从 )(XΒ 中元素的角度进一步考察逆算子,
定义 1 称 )(XA Β∈ 是正则算子，若 A是到上的，
1?
A 存在并且是有界算子,
定理 1 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,则以下条件等价,
(1) A是正则算子,
(2) 存在 )(XB Β∈,IBAAB ==,此时 B 即是
1?
A,
(3) A是到上的并且存在 0>α,|||||||| xAx α≥,.x X?∈
(4) A是一一的到上的,
证 明 (1)? (2),若 A 是正则算子，
1?
A 存在并且
3
)(
1
XA Β∈
，取
1?
= AB,则 IBAAB ==,
(2)? (3),实际上 Xx∈?,令 Axy =,由 IBA= 知道
xBAxBy ==,于是
|| || || || || ||x By B=≤|| || || ||yB= |||| Ax
又由 1|| | | |I A=≤ |||| B 知道 0|||| ≠B,取
1
|| ||B α
=,则从上式得到
||||||||
||||
1
|||| xx
B
Ax α=≥,x X? ∈,
由 IAB = 知道 A是到上的,
(3)?(4),若 0=Ax 知道 0=x,故 }0{)( =AN,
(4)?(1),由 }0{)( =AN 知 A是一一的,于是
1?
A 存在,又 A到上,根据逆算子定理知 )(
1
XA Β∈
,
定理 2 设 )(,XBA Β∈,
(1) 若 A是正则算子,则
1?
A 是正则算子并且 AA =
11
)(,
(2) 若 BA,是正则算子，则 AB 是正则算子并且
111
)(
= ABAB,
(3) 若 A是正则算子,则
*
A 是正则算子并且
*11*
)()(
= AA,
证明
null
1 A正则，故 )(
1
XA Β∈
并且 IAAAA ==
11
,由于
)(XA Β∈,从定理 1(2)知
1?
A 正则并且
11
)(
= AA,
null
2 由正则性的定义,)(,
11
XBA Β∈
，并且
IAAAA ==
11
,IBBBB ==
11
,
于是
IBBBAABABAB ===
11111
)())((,
IAAABBAABAB ===
11111
)())((,
故 AB 正则并且
111
)(
= ABAB,
null
3 由 )(
1
XA Β∈
，故
*1
)(
A 存在并且 )()(
**1
XA Β∈
,
4
又
X
IAAAA ==
11
，于是对两边取共轭得到
*
***1*1*
)()(
X
X
IIAAAA ===
,
故
*11*
)()(
= AA,
以下我们就复空间进行讨论,这是为了充分应用复解析函数的优越性质,
注意对于赋范代数 ()XΒ,关于算子 A的多项式
01
n
n
aI aA aA+++null
总是有意义的,甚至若干个算子的 (多元 )多项式也是有意义的,同时算子幂级数
0
()
no
n
n
aA A I
∞
=
=
∑
的收敛性乃至算子函数 ()f A 的解析性都可以加以定义,例如表达式
21
00
,sin (1)
!(21)!
nn
An
AA
eA
+∞∞
==
+
∑∑
等在范数收敛意义下都代表 ()XΒ 中的元素,下面定理中出现的多项式和幂级数也是如此的,
定理 3(von Neumann) 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,C∈λ,
若 || || | |A λ<,则 AI?λ 是正则算子,
证明 令
∑
=
+
=
n
i
i
i
n
A
B
0
1
λ
，不妨设 α
λ
=
||
|||| A
，则 10 <≤α 并且
∑∑
=
+
=
+
≤≤
n
i
i
in
i
i
i
n
AA
B
0
1
0
1
||
||||
||
||||
||||
λλ )1(||
1
αλ?
≤
||||||
1
A?
=
λ
,
于是 )(XB
n
Β∈,对于每个 Xx∈,若 nm >,则
||||||||
1
1
x
A
xBxB
m
ni
i
i
nm ∑
+=
+
≤?
λ
||||
||||||
1
x
A
n
≤
+
λ
α
0,(,)mn→→∞
}{ xB
n
是 Cauchy 序列，故 xB
n
n ∞→
lim 存在,由 Banach-Steinhaus 定理，
存在 )(XB Β∈,使得
5
BxxB
n
n
=
∞→
lim,x X? ∈,(5-1-1)
又 )(XA Β∈,故 )(XAI Β∈?λ,对于每个 Xx∈,
xBAIBxAI
n
n
)(lim)(?=?
∞→
λλ
x
A
AI
n
i
i
i
n
))((lim
0
1
∑
=
+
∞→
=
λ
λ
x
AA
n
i
i
in
i
i
i
n
)(lim
0
1
1
0
∑∑
=
+
+
=
∞→
=
λλ
Ixx
A
I
n
n
n
=?=
+
+
∞→
)(lim
1
1
λ
即 IBAI =? )(λ,
另一方面，在式 (5-1-1)中，以 xAI )(?λ 代替 x,则
xAI
A
xAIB
n
i
i
i
n
))((lim)(
0
1
=?
∑
=
+
∞→
λ
λ
λ
x
AA
n
i
i
in
i
i
i
n
)(lim
0
1
1
0
∑∑
=
+
+
=
∞→
=
λλ
Ixx
A
I
n
n
n
=?=
+
+
∞→
)(lim
1
1
λ
即 IAIB =? )(λ,
由定理 1(2)知,AI?λ 是正则算子并且
1
)(
= AIB λ,换句话说，在算子的点点收敛 (实际上也可证明在范数收敛 )意义下
∑
∞
=
+
=?
0
1
1
)(
n
n
n
A
AI
λ
λ (5-1-2)
由 Banach-Steinhaus 定理的结论还知道
||||||)(||
1
BAI =?
λ
||||||
1
||||lim
A
B
n
n
≤≤
∞→
λ
定理 3 的结论使得算子 AI?λ 的正则性与复平面上的点联系起
6
来，由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型,具体地说有如下定义,
定义 2 设 X 是复空间,XXA →,是线性算子,C∈λ,
(1) 若 AI?λ 是正则算子，称 λ 是 A的正则点,A的正则点的全体记为 )(Aρ,称 )(Aρ 为 A的正则集,
(2) 若 AI?λ 不是正则算子,称 λ 是 A的谱点,A的谱点的全体记为 )(Aσ,称 )(Aσ 为 A的谱集,
(3) 特别地,若 AI?λ 不是可逆的 (即 AI?λ 不是一一的 ),称
λ 为 A的特征值,A的特征值的全体记为 )(A
p
σ,
(4) 若 AI?λ 可逆，但不是到上的，而值空间 ()R IAλ? 在 X 中稠密，则称 λ 为 A的连续谱，连续谱的全体记为 )(A
c
σ,
(5) 若 AI?λ 可逆,而值空间 ()R IAλ? 不在 X 中稠密,则称 λ
为 A的剩余谱，其全体记为 ()
r
Aσ,
)(A
p
σ,)(A
c
σ,()
r
Aσ 分别称为 A 的点谱,连续谱和剩余谱集,
此外,若
1
)(
AIλ 存在，则称
1
)(),(
= AIAR λλ 是 A的预解式,
明显地,若 )(A
p
σλ∈,则存在 0≠x 使得 0)( =? xAIλ,此时称
x 是 A的相应于 λ 的特征向量,称 )( AIN?λ 是 A的相应于 λ 的特征向量空间,
由定义还知道复平面 )()( AAC σρ ∪= 并且 () ()AAρ σ =?∩,另外 )(A
p
σ,(),(),
cr
AAσ σ 互不相交并且
() () () ()
pcr
AAAAσ σσσ= ∪∪,
算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系,算子方程解的存在性，唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来决定,
7
定理 4 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,
(1) )(Aρλ∈ 当且仅当非齐次方程
()I Ax yλ?= (5-1-3)
对于任何 yX∈ 的解存在，唯一,此时存在常数 0>c 使得
|| || || ||x cy≤,其中 x 是与 y 相应的 (5-1-3)的解,
(2) )(A
p
σλ∈ 当且仅当齐次方程
0)( =? xAIλ (5-1-4)
有非 0 解,
(3) () ()
cr
AAλ σσ∈ ∪ 当且仅当齐次方程 (5-1-4)有唯一 0 解而相应的非齐次方程 (5-1-3)不是对于每个 yX∈ 有解,
证明
null
1 )(Aρλ∈,则 )()(
1
XAI Β∈?
λ 并且
IAIAI =
)()(
1
λλ,故
11
()()()x IA IAx IAyλλ λ
==?,
并且
11
|| || || ( ) || || ( ) ||xIAyIAλλ
=? ≤? || ||y
由于当 0y = 时 0=x,故解是唯一的,
反之，若所说的条件成立，当 0y = 时,0=x,即方程
0)( =? xAIλ 有唯一的 0 解或 }0{)( =? xAIN λ,AI?λ 是一一映射，
1
)(
AIλ 存在,()I Ax yλ?=对于每个 y 有解，故 AI?λ 是到上的，
由定理 1(4)知 AI?λ 是正则算子，即 )(Aρλ∈,
null
2 若 )(A
p
σλ∈,则 AI?λ 不可逆 (不是一一的 ),于是存在
Xxx ∈
21
,，
21
xx ≠,
21
)()( xAIxAI?=? λλ,从而
0))((
21
= xxAIλ,0
21
≠? xx,即齐次方程有非 0 解,反之若
Xx∈,0≠x,0)( =? xAIλ,但显然 00)( =? AIλ,故 AI?λ 不是
8
一一的,)(A
p
σλ∈,
null
3 齐次方程只有 0 解对应于算子 AI?λ 是一一的,不是对于每个 yX∈ 有解对应于 AI?λ 不是到上的,故 (3)成立,
定理 5 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,则
(1) )(Aρ 是开集,
(2) )(Aσ 是紧集,
证明
null
1 若 )(
0
Aρλ ∈,AI?
0
λ 是正则算子,我们证明只要
||)(||
1
||
1
0
0
<?
AIλ
λλ,AI?λ 也是正则算子，即 )(Aρλ∈,从而
)(Aρ 为开集,
实际上,记 ||)(||
1
0
= AIλθ ||
0
λλ?,则 10 <≤θ,考虑序列
ii
n
i
i
n
AIB )()()1(
0
)1(
0
0
λλλ=
+?
=
∑
,
其中
11
0
)1(
0
])[()(
+?+?
=?
ii
AIAI λλ,若 nm >,则
(1)
00
1
|| || || ( 1) ( ) ( ) ||
m
iii
mn
in
BB IAλλλ
+
=+
=
∑
|)(|||)(||
0
1
11
0
i
m
ni
i
AI λλλ≤
∑
+=
+?
1
0
1
|| ( ) || 0
m
i
in
IAλθ
=+
=? →
∑
),( ∞→nm
所以 }{
n
B 是 )(XΒ 中的 Cauchy 序列,)(XΒ 是 Banach 空间，故存在
)(XB Β∈,BB
n
n
=
∞→
lim 或者
ii
i
i
AIB )()()1(
0
)1(
0
0
λλλ=
+?
∞
=
∑
(5-1-5)
现在
||)()(||
n
BAIBAI λλ || ||I Aλ≤? || ||
n
BB?→∞
所以
9
n
n
BAIBAI )(lim)(?=?
∞→
λλ
))()()1((·)(lim
0
)1(
0
0
ii
n
i
i
n
AIAI λλλλ=
+?
=
∞→
∑
)]()[(lim
00
AII
n
+?=
∞→
λλλ ·
))()()1((
0
)1(
0
0
ii
n
i
i
AI λλλ
+?
=
∑
IAII
nnn
n
==
++?+
∞→
])()()1([lim
1
0
)1(
0
1
λλλ,
同样地
IAIBAIB
n
n
=?=?
∞→
)(lim)( λλ,
由定理 1(2)知,AI?λ 是正则算子,)(Aρλ∈,
null
2 由 von Neumann 定理,当 || || | |A λ< 时,AI?λ 是正则算子，
故 )(Aσ 是平面 C 中的有界集，又 )(\)( ACA ρσ = 是闭集,所以 )(Aσ
是 C 中的紧集,
定理 6( Gelfand-Mazur) 设 X 是非零 Banach 空间,)(XA Β∈,
则 ()Aσ ≠?,
证明 注意 ()Aλ ρ?∈,
*
)(Xf Β∈,则 ))(()(
1?
= AIfF λλ
是复值函数,由定理 5 以及 f 的连续性,
)()( BfF =λ
ii
i
i
AIf ))()(()1(
0
)1(
0
0
λλλ=
+?
∞
=
∑
(5-1-6)
至少在
||)(||
1
||
1
0
0
<?
AIλ
λλ 时成立,
于是,)(λF 是 )(Aρ 中的解析函数，若 ()Aσ =?，则 )(λF 在整
10
个复平面 C 上解析,根据 von Neumann 定理，当 ||| |Aλ > 时,
||||||
1
||)(||
1
A
AI
<?
λ
λ,
故
0
||||||
||||
|))((|
1
→
<?
A
f
AIf
λ
λ ()λ →∞ (5-1-7)
)(λF 在 C 上有界,根据 Liouville 定理,)(λF 只能是常数,由式 (5-1-7)
必有 () 0,FCλ λ=?∈,特别地 0)0( =F,以上分析对于任何
*
)(Xf Β∈ 成立,
由于 X 是非 0 空间,)(XΒ 是非零 Banach 空间，从 ()Aσ =? 得知 )(0 Aρ∈,从而 )(
1
XA Β∈
,由 Hahn-Banish 定理,存在
*
)(Xf Β∈ 使得 0||||)(
11
≠=
AAf,若 F 是与 f 相应的解析函数，将
0=λ 代入 )(λF 在 0 点的展开式便得到 0)()0(
1
≠?=
AfF,这与
() 0F λ ≡ 矛盾,故 ()Aσ ≠?,
定义 3 称 ||max)(
)(
λ
σλ A
Ar
∈
= 为算子 A的谱半径,
从几何观点看,)(Ar 就是复平面中以原点为中心，包含 )(Aσ 的最小圆盘的半径,
定理 7(Gelfand) 设 X 为 Banach 空间，则
n
n
n
AAr ||||lim)(
∞→
= (5-1-8)
证明
null
1 首先我们证明右端极限存在并且等于
n
n
n
A ||||inf
1≥
,为简便计，令
n
n
n
Aa ||||inf
1≥
=,显然地
1
lim || || inf || ||
nn
nn
A Aa
≥→∞
≥=,(5-1-9)
11
另一方面,0>?ε,存在
0
n,使得 ε+< aA
n n
0 0
||||,当
0
nn ≥ 时，记
sknn +=
0
，
0
0 ns <≤,则
0
|| || || ||
kn sn
AA
+
=
0
|| ||
kn
A≤ ||||
s
A
0
|| || || ||
n ks
AA≤,
于是
n
s
n
k
n
n
n
AAA ||||||||||||
0
≤
n
s
n
kn
Aa ||||)(
0
ε+<,
令 ∞→n,则 0→
n
s
,1
0
→
n
kn
，从而
ε+≤
∞→
aA
n
n
n
||||lim,
ε 是任意的，故 aA
n
n
n
≤
∞→
||||lim,
总之，
n
n
n
n
n
n
AaA ||||inf||||lim
1≥∞→
==,
null
2 若 C∈λ,a>|| λ,则存在
0
n 和 0>ε 使得当
0
nn ≥ 时，
|| || | |
n
n
Aaε λ<+<,考虑级数
∑
∞
=
+
0
1
n
n
n
A
λ
,
由于
00
1
1|||
|| ||
|| ||
nn
nn nn
AA
λ λλ
∞∞
+
==
≤
∑∑
∞<
+
≤
∑
∞
=
n
nn
a
)
||
(
||
1
0
λ
ε
λ
故存在 )(XB Β∈,
∑
∞
=
+
=
0
1
n
n
n
A
B
λ
(5-1-10)
用类似于定理 5 的方法不难验证,IAIBBAI =?=? )()( λλ,从而
1
)(
= AIB λ,)(Aρλ∈,这说明
n
n
n
AAr ||||lim)(
∞→
≤,并且
∑
∞
=
+
=?
0
1
1
)(
n
n
n
A
AI
λ
λ (5-1-11)
12
null
3 由式 (5-1-11)，当 a>|| λ 并且
*
)(Xf Β∈ 时
∑
∞
=
+
=?
0
1
1
)(
))((
n
n
n
Af
AIf
λ
λ (5-1-12)
于是 ))((
1?
AIf λ 在区域 }||{ a>λλ,中解析,但由
null
2,
)}(||{}||{ Ara >?> λλλλ,,)(Aρ?,
根据 Laurent 展开式的唯一性，式 (5-1-12) 即 ))((
1?
AIf λ 在
)}(||{ Ar>λλ,上的 Laurent 展开式，由 Laurent 级数的性质,0>?ε,
∞<
+
∑
∞
=
+
0
1
))((
|)(|
n
n
n
Ar
Af
ε
(5-1-13)
记
n
n
n
Ar
A
B
))(( ε+
=,则 )(XB
n
Β∈,式 (5-1-13) 说明对于每个
*
)(Xf Β∈,|)(|
n
Bf 有界,由共鸣定理，存在 M 使得 ∞<≤ MB
n
||||,
所以 MArA
nn
))((|||| ε+≤,
ε+≤
∞→
)(||||lim ArA
n
n
n
,
0>ε 是任意的，故 )(||||lim ArA
n
n
n
≤
∞→
,
总之,)(||||lim ArA
n
n
n
=
∞→
,
例 1 设
nn
A Φ→Φ,是线性算子,A对应于矩阵
nnij
a
×
)(,对应于
C∈λ,要么行列式
0)det( ≠? AIλ,
此时方程 ()I Ax yλ?=对于任意
n
y∈Φ 有唯一解，从而 )(Aρλ∈,要么行列式
0)det( =? AIλ,
则方程 0)( =? xAIλ 有非 0 解,总之,有限维空间上的线性算子仅有点谱,记
k
λλ,,
1
null 是其点谱全体，则 ||max)(
1
i
ki
Ar λ
≤≤
=,
13
例 2 设 H 是 Hilbert 空间,)(HT Β∈ 是酉算子，则
() { | |1}TzCzσ?∈ =,,
实际上，由于 T 满足 || || || ||Tx x=,Hx∈?,所以 || || 1T =,由定理
3 知道 () { | |1}TzCzσ?∈ ≤,,
若 1|| <λ,则
|| ( ) || || || | |TIx Txλ λ? ≥?|| || (1 | | ) || ||x xλ=?,
由此不难知道 I Tλ? 是一一的并且 )( ITR λ? 是闭的,同样地，
*
T 也是酉算子并且 ITIT λλ?=?
**
)(,于是
**
|| ( ) || || || | |TIxTxλ λ?≥? |||||)|1(|||| xx λ?=,
所以 IT λ?
*
是一一的，即 }0{)(
*
=? ITN λ,由第四章§ 3 定理 7，
I Tλ? 是到上的,从而 )(Tρλ∈,这说明 }1||{)( =∈? zCzT,σ,
例 3 (左移算子 ) 考虑算子
22
llT →：,
),,(),,(
3221
nullnull xxxxT =,
2
21
),,( lxxx ∈=? null,
容易计算出 || || 1T =,所以 }1||{)( ≤? λλσ,T,
Cλ?∈,1|| <λ,若 令 ),,,1(
2
0
nullλλ=x,则
22
0
),,( lTx ∈= nullλλ,
从而
00
xTx λ= 或者 0)(
0
=? xTIλ,由于 0
0
≠x,所以 )(T
p
σλ∈,于是
{||1} ()
p
Tλ λσ<?,}1||{)( ≤ λλσ,T,
)(Tσ 是闭集，故 }1||{)( ≤= λλσ,T,
现设 ||1λ =,若
12 23
()(,,)0ITx x x x xλ λλ?= =null
则
21
2132 1 1
,,,,.
n
n
xxxx xx xλλλ λ
=== =nullnull
当
1
0x ≠ 时,明显地
2
x l∈,于是只有
1
0x = 从而 0x =,这说明 ()I Tλ?
是一一的,故 ().
p
Tλσ∈
14
2
yl?∈ 和 0ε >,取
1
'(,,,)
n
yy y= nullnull 使得
2
'yy ε? <,此时令
2
121 1 2 1
0,,,( )
n
nn n
x xyx y y yλλ
==? =?+ ++nullnull,
12
(,,)xxx= null,计算表明 ()',I Tx yλ? = 这说明 ()R ITλ? 在
2
l 中稠密,
所以 ().
c
Tλ σ∈
总之
( ) { | | 1},( ) { | | 1}.
pc
TTσ λλ σ λλ= <==;;
例 4 考虑复空间 [,]Cab，其中 ba,有限，定义
:[,] [,]TCab Cab→,)())(( ttxtTx =,[,]x Cab? ∈
易知 T 为有界线性算子,
Cλ?∈,则 xtxTI )()(?=? λλ,当 0)( =? xTIλ 时，必须 0=x,
故 )( TI?λ 是一一映射，于是 ()
p
Tσ =?,
若 ],[ ba∈λ,[,]Cabα?∈,取
()
()
t
xt
t
α
λ
=
,则 [,]x Cab∈,实际上
1
|| || sup | |
atb
x
tλ≤≤
≤
|| ||α,
α
λ
α
λλ =
=?
t
txTI )()(,
所以 TI?λ 是到上的,)(Tρλ∈,
若 ],[ ba∈λ,TI?λ 仍然是一一的,我们证明 ()R ITλ? 不在
[,]Cab中稠密,从而 () () [,].
r
TTabσ σ= =
由于 ()()()(),I Txt txtλ λ?=? 故 ()R ITλ? 中每个元素在 λ 点的值为 0,若
1
[,],() 2,yCabyλ
∈> 则
1
() () 2xy x yλλ
≥? >,()x RITλ? ∈?
这说明 ().yRITλ∈?
15
思考题 若将上面算子换成
22
[,] [,]Lab Lab→ 的算子,试证明
() () [,],() (),
cpr
TTabTTσ σσσ== ==?
这说明如果所定义的空间改变了,谱集的情况也会跟着改变,
定理 8 设 X 是复空间,)(XA Β∈,)(,Aρμλ ∈,则予解式满足
(1) ),(),()(),(),( ARARARAR μλλμμλ?=?,
(2) 若 )(XB Β∈,BAAB =,则 BARABR ),(),( λλ =,
(3) ),(),(),(),( ARARARAR λμμλ =,
证明
null
1 μλ,是正则点，故
),(),( ARAR μλ?
11
)()(
= AIAI μλ
11
))(()(
= AIAIAI μμλ
11
))(()(
AIAIAI μλλ
11
)))(()(()(
= AIAIAIAI μλμλ
),(),()( ARAR μλλμ?=,
null
2
11
)()()(),(
= AIBAIAIABR λλλλ
11
))(()(
= AIAIBAI λλλ
BAR ),(λ=,
null
3 由 ))(,(),()( AIARARAI?=? λλλλ 知道
AARAAR ),(),( λλ =,将
null
2 中的 B 当作 ),( AR λ 即得出所要的结论,
定理 9 (谱映射定理 ) 设 X 为复空间,)(XA Β∈,若 )(λp 是复变量 λ 的 n 次多项式，则
))(())(( ApAp σσ =,(5-1-14)
其中 )(λp 是将 λ 换为 A时相应的算子多项式，而
)}()({))(( ApAp σλλσ ∈=,,
16
证明 若 )(Aσλ∈,不妨记
01
)( aaap
n
n
+++= λλλ null,)0( ≠
n
a,
则有 ),()()()( AQAIApIp λλλ?=?,其 中 ),( AQ λ 是 A的多项式，从而是一个有界线性算子,假若 )()( ApIp?λ 是正则算子，则
IApIpAQAI =
1
))()()(,()( λλλ,
IAQAIApIp =
),()())()((
1
λλλ,
容易知道 )( AI?λ 与 ),( AQ λ 以及 ),( AQ λ 与
1
))()((
ApIp λ 都可交换，
所以由上式也可得出
]))()()(,()[(
1?
ApIpAQAI λλλ =
IAIApIpAQ =
)]())()()(,([
1
λλλ
亦即 λ 是 A 的正则点，矛盾,于是 ))(()( App σλ ∈ 或者
))(())(( ApAp σσ?,
反之，若 (()p Aμσ∈,则
0)()()(
1
≠=? λμλμλμ
nn
ap null,)(Aσλ∈?,
从而 ),,1( ni
i
null=≠ μλ,即每个
i
μ 都是 A的正则点,此时
0)()()(
1
≠=? AIAIaApI
nn
μμμ null
必是正则算子,于是 (()p Aμσ∈,))(())(( ApAp σσ?,
思考题 若 ()TX∈B 是正则算子，则
11
(){,()}.TTσλλσ
=∈
第五章 有界线性算子的谱理论
线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的，它起源于代数方程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题,实际上在泛函分析产生的早期,Volterra、Fredholm、Hilbert 等人就曾研究过这样的问题,同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题,本章首先讨论算子的正则性和谱的概念及其基本性质，然后着重叙述
Riesz-Schauder 关于紧算子的谱论和 Hilbert 空间上自伴算子的谱论，最后介绍谱系和谱分解问题,
第 22 讲 有界线性算子的谱
教学目的：介绍有界线性算子谱的概念及谱的相关性质。
讲解要点,
1 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类。
2 谱半径公式，谱集的拓扑属性。
3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。
设 X 是线性赋范空间,)(XΒ 是 X 上全体有界线性算子构成的空间，我们已经知道 )(XΒ 是线性赋范空间,实际上，在 )(XΒ 中还可以引进另一种运算——算子的乘法,
对于两个算子,(),AB BX∈ 规定
2
))(()( xBAxAB =,.x X? ∈
这种运算满足
CABBCA )()( =
ACABCBA +=+ )(,
BCACCBA +=+ )(,
)()()( kBABkAABk ==,Φ∈k,
以 I 表示单位算子，则 AIAAI ==,若 || ||? 是 )(XΒ 上的范数，则
|| AB|| ||A||≤ ||B||,,(),A BBX? ∈
由于 )(XΒ 中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称 )(XΒ 是一个赋范代数,称 I 为单位元,若 )(XΒ 还是完备的,则称其为 Banach
代数,
Banach 代数的概念也可以完全公理式地加以定义,不过,本质上说来,任何一个 Banach 代数都可以看成某个空间上的算子代数,
前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当 A是线性算子时，若
1?
A 存在，则
1?
A 也是线性算子,现在我们将从 )(XΒ 中元素的角度进一步考察逆算子,
定义 1 称 )(XA Β∈ 是正则算子，若 A是到上的，
1?
A 存在并且是有界算子,
定理 1 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,则以下条件等价,
(1) A是正则算子,
(2) 存在 )(XB Β∈,IBAAB ==,此时 B 即是
1?
A,
(3) A是到上的并且存在 0>α,|||||||| xAx α≥,.x X?∈
(4) A是一一的到上的,
证 明 (1)? (2),若 A 是正则算子，
1?
A 存在并且
3
)(
1
XA Β∈
，取
1?
= AB,则 IBAAB ==,
(2)? (3),实际上 Xx∈?,令 Axy =,由 IBA= 知道
xBAxBy ==,于是
|| || || || || ||x By B=≤|| || || ||yB= |||| Ax
又由 1|| | | |I A=≤ |||| B 知道 0|||| ≠B,取
1
|| ||B α
=,则从上式得到
||||||||
||||
1
|||| xx
B
Ax α=≥,x X? ∈,
由 IAB = 知道 A是到上的,
(3)?(4),若 0=Ax 知道 0=x,故 }0{)( =AN,
(4)?(1),由 }0{)( =AN 知 A是一一的,于是
1?
A 存在,又 A到上,根据逆算子定理知 )(
1
XA Β∈
,
定理 2 设 )(,XBA Β∈,
(1) 若 A是正则算子,则
1?
A 是正则算子并且 AA =
11
)(,
(2) 若 BA,是正则算子，则 AB 是正则算子并且
111
)(
= ABAB,
(3) 若 A是正则算子,则
*
A 是正则算子并且
*11*
)()(
= AA,
证明
null
1 A正则，故 )(
1
XA Β∈
并且 IAAAA ==
11
,由于
)(XA Β∈,从定理 1(2)知
1?
A 正则并且
11
)(
= AA,
null
2 由正则性的定义,)(,
11
XBA Β∈
，并且
IAAAA ==
11
,IBBBB ==
11
,
于是
IBBBAABABAB ===
11111
)())((,
IAAABBAABAB ===
11111
)())((,
故 AB 正则并且
111
)(
= ABAB,
null
3 由 )(
1
XA Β∈
，故
*1
)(
A 存在并且 )()(
**1
XA Β∈
,
4
又
X
IAAAA ==
11
，于是对两边取共轭得到
*
***1*1*
)()(
X
X
IIAAAA ===
,
故
*11*
)()(
= AA,
以下我们就复空间进行讨论,这是为了充分应用复解析函数的优越性质,
注意对于赋范代数 ()XΒ,关于算子 A的多项式
01
n
n
aI aA aA+++null
总是有意义的,甚至若干个算子的 (多元 )多项式也是有意义的,同时算子幂级数
0
()
no
n
n
aA A I
∞
=
=
∑
的收敛性乃至算子函数 ()f A 的解析性都可以加以定义,例如表达式
21
00
,sin (1)
!(21)!
nn
An
AA
eA
+∞∞
==
+
∑∑
等在范数收敛意义下都代表 ()XΒ 中的元素,下面定理中出现的多项式和幂级数也是如此的,
定理 3(von Neumann) 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,C∈λ,
若 || || | |A λ<,则 AI?λ 是正则算子,
证明 令
∑
=
+
=
n
i
i
i
n
A
B
0
1
λ
，不妨设 α
λ
=
||
|||| A
，则 10 <≤α 并且
∑∑
=
+
=
+
≤≤
n
i
i
in
i
i
i
n
AA
B
0
1
0
1
||
||||
||
||||
||||
λλ )1(||
1
αλ?
≤
||||||
1
A?
=
λ
,
于是 )(XB
n
Β∈,对于每个 Xx∈,若 nm >,则
||||||||
1
1
x
A
xBxB
m
ni
i
i
nm ∑
+=
+
≤?
λ
||||
||||||
1
x
A
n
≤
+
λ
α
0,(,)mn→→∞
}{ xB
n
是 Cauchy 序列，故 xB
n
n ∞→
lim 存在,由 Banach-Steinhaus 定理，
存在 )(XB Β∈,使得
5
BxxB
n
n
=
∞→
lim,x X? ∈,(5-1-1)
又 )(XA Β∈,故 )(XAI Β∈?λ,对于每个 Xx∈,
xBAIBxAI
n
n
)(lim)(?=?
∞→
λλ
x
A
AI
n
i
i
i
n
))((lim
0
1
∑
=
+
∞→
=
λ
λ
x
AA
n
i
i
in
i
i
i
n
)(lim
0
1
1
0
∑∑
=
+
+
=
∞→
=
λλ
Ixx
A
I
n
n
n
=?=
+
+
∞→
)(lim
1
1
λ
即 IBAI =? )(λ,
另一方面，在式 (5-1-1)中，以 xAI )(?λ 代替 x,则
xAI
A
xAIB
n
i
i
i
n
))((lim)(
0
1
=?
∑
=
+
∞→
λ
λ
λ
x
AA
n
i
i
in
i
i
i
n
)(lim
0
1
1
0
∑∑
=
+
+
=
∞→
=
λλ
Ixx
A
I
n
n
n
=?=
+
+
∞→
)(lim
1
1
λ
即 IAIB =? )(λ,
由定理 1(2)知,AI?λ 是正则算子并且
1
)(
= AIB λ,换句话说，在算子的点点收敛 (实际上也可证明在范数收敛 )意义下
∑
∞
=
+
=?
0
1
1
)(
n
n
n
A
AI
λ
λ (5-1-2)
由 Banach-Steinhaus 定理的结论还知道
||||||)(||
1
BAI =?
λ
||||||
1
||||lim
A
B
n
n
≤≤
∞→
λ
定理 3 的结论使得算子 AI?λ 的正则性与复平面上的点联系起
6
来，由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型,具体地说有如下定义,
定义 2 设 X 是复空间,XXA →,是线性算子,C∈λ,
(1) 若 AI?λ 是正则算子，称 λ 是 A的正则点,A的正则点的全体记为 )(Aρ,称 )(Aρ 为 A的正则集,
(2) 若 AI?λ 不是正则算子,称 λ 是 A的谱点,A的谱点的全体记为 )(Aσ,称 )(Aσ 为 A的谱集,
(3) 特别地,若 AI?λ 不是可逆的 (即 AI?λ 不是一一的 ),称
λ 为 A的特征值,A的特征值的全体记为 )(A
p
σ,
(4) 若 AI?λ 可逆，但不是到上的，而值空间 ()R IAλ? 在 X 中稠密，则称 λ 为 A的连续谱，连续谱的全体记为 )(A
c
σ,
(5) 若 AI?λ 可逆,而值空间 ()R IAλ? 不在 X 中稠密,则称 λ
为 A的剩余谱，其全体记为 ()
r
Aσ,
)(A
p
σ,)(A
c
σ,()
r
Aσ 分别称为 A 的点谱,连续谱和剩余谱集,
此外,若
1
)(
AIλ 存在，则称
1
)(),(
= AIAR λλ 是 A的预解式,
明显地,若 )(A
p
σλ∈,则存在 0≠x 使得 0)( =? xAIλ,此时称
x 是 A的相应于 λ 的特征向量,称 )( AIN?λ 是 A的相应于 λ 的特征向量空间,
由定义还知道复平面 )()( AAC σρ ∪= 并且 () ()AAρ σ =?∩,另外 )(A
p
σ,(),(),
cr
AAσ σ 互不相交并且
() () () ()
pcr
AAAAσ σσσ= ∪∪,
算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系,算子方程解的存在性，唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来决定,
7
定理 4 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,
(1) )(Aρλ∈ 当且仅当非齐次方程
()I Ax yλ?= (5-1-3)
对于任何 yX∈ 的解存在，唯一,此时存在常数 0>c 使得
|| || || ||x cy≤,其中 x 是与 y 相应的 (5-1-3)的解,
(2) )(A
p
σλ∈ 当且仅当齐次方程
0)( =? xAIλ (5-1-4)
有非 0 解,
(3) () ()
cr
AAλ σσ∈ ∪ 当且仅当齐次方程 (5-1-4)有唯一 0 解而相应的非齐次方程 (5-1-3)不是对于每个 yX∈ 有解,
证明
null
1 )(Aρλ∈,则 )()(
1
XAI Β∈?
λ 并且
IAIAI =
)()(
1
λλ,故
11
()()()x IA IAx IAyλλ λ
==?,
并且
11
|| || || ( ) || || ( ) ||xIAyIAλλ
=? ≤? || ||y
由于当 0y = 时 0=x,故解是唯一的,
反之，若所说的条件成立，当 0y = 时,0=x,即方程
0)( =? xAIλ 有唯一的 0 解或 }0{)( =? xAIN λ,AI?λ 是一一映射，
1
)(
AIλ 存在,()I Ax yλ?=对于每个 y 有解，故 AI?λ 是到上的，
由定理 1(4)知 AI?λ 是正则算子，即 )(Aρλ∈,
null
2 若 )(A
p
σλ∈,则 AI?λ 不可逆 (不是一一的 ),于是存在
Xxx ∈
21
,，
21
xx ≠,
21
)()( xAIxAI?=? λλ,从而
0))((
21
= xxAIλ,0
21
≠? xx,即齐次方程有非 0 解,反之若
Xx∈,0≠x,0)( =? xAIλ,但显然 00)( =? AIλ,故 AI?λ 不是
8
一一的,)(A
p
σλ∈,
null
3 齐次方程只有 0 解对应于算子 AI?λ 是一一的,不是对于每个 yX∈ 有解对应于 AI?λ 不是到上的,故 (3)成立,
定理 5 设 X 是 Banach 空间,)(XA Β∈,则
(1) )(Aρ 是开集,
(2) )(Aσ 是紧集,
证明
null
1 若 )(
0
Aρλ ∈,AI?
0
λ 是正则算子,我们证明只要
||)(||
1
||
1
0
0
<?
AIλ
λλ,AI?λ 也是正则算子，即 )(Aρλ∈,从而
)(Aρ 为开集,
实际上,记 ||)(||
1
0
= AIλθ ||
0
λλ?,则 10 <≤θ,考虑序列
ii
n
i
i
n
AIB )()()1(
0
)1(
0
0
λλλ=
+?
=
∑
,
其中
11
0
)1(
0
])[()(
+?+?
=?
ii
AIAI λλ,若 nm >,则
(1)
00
1
|| || || ( 1) ( ) ( ) ||
m
iii
mn
in
BB IAλλλ
+
=+
=
∑
|)(|||)(||
0
1
11
0
i
m
ni
i
AI λλλ≤
∑
+=
+?
1
0
1
|| ( ) || 0
m
i
in
IAλθ
=+
=? →
∑
),( ∞→nm
所以 }{
n
B 是 )(XΒ 中的 Cauchy 序列,)(XΒ 是 Banach 空间，故存在
)(XB Β∈,BB
n
n
=
∞→
lim 或者
ii
i
i
AIB )()()1(
0
)1(
0
0
λλλ=
+?
∞
=
∑
(5-1-5)
现在
||)()(||
n
BAIBAI λλ || ||I Aλ≤? || ||
n
BB?→∞
所以
9
n
n
BAIBAI )(lim)(?=?
∞→
λλ
))()()1((·)(lim
0
)1(
0
0
ii
n
i
i
n
AIAI λλλλ=
+?
=
∞→
∑
)]()[(lim
00
AII
n
+?=
∞→
λλλ ·
))()()1((
0
)1(
0
0
ii
n
i
i
AI λλλ
+?
=
∑
IAII
nnn
n
==
++?+
∞→
])()()1([lim
1
0
)1(
0
1
λλλ,
同样地
IAIBAIB
n
n
=?=?
∞→
)(lim)( λλ,
由定理 1(2)知,AI?λ 是正则算子,)(Aρλ∈,
null
2 由 von Neumann 定理,当 || || | |A λ< 时,AI?λ 是正则算子，
故 )(Aσ 是平面 C 中的有界集，又 )(\)( ACA ρσ = 是闭集,所以 )(Aσ
是 C 中的紧集,
定理 6( Gelfand-Mazur) 设 X 是非零 Banach 空间,)(XA Β∈,
则 ()Aσ ≠?,
证明 注意 ()Aλ ρ?∈,
*
)(Xf Β∈,则 ))(()(
1?
= AIfF λλ
是复值函数,由定理 5 以及 f 的连续性,
)()( BfF =λ
ii
i
i
AIf ))()(()1(
0
)1(
0
0
λλλ=
+?
∞
=
∑
(5-1-6)
至少在
||)(||
1
||
1
0
0
<?
AIλ
λλ 时成立,
于是,)(λF 是 )(Aρ 中的解析函数，若 ()Aσ =?，则 )(λF 在整
10
个复平面 C 上解析,根据 von Neumann 定理，当 ||| |Aλ > 时,
||||||
1
||)(||
1
A
AI
<?
λ
λ,
故
0
||||||
||||
|))((|
1
→
<?
A
f
AIf
λ
λ ()λ →∞ (5-1-7)
)(λF 在 C 上有界,根据 Liouville 定理,)(λF 只能是常数,由式 (5-1-7)
必有 () 0,FCλ λ=?∈,特别地 0)0( =F,以上分析对于任何
*
)(Xf Β∈ 成立,
由于 X 是非 0 空间,)(XΒ 是非零 Banach 空间，从 ()Aσ =? 得知 )(0 Aρ∈,从而 )(
1
XA Β∈
,由 Hahn-Banish 定理,存在
*
)(Xf Β∈ 使得 0||||)(
11
≠=
AAf,若 F 是与 f 相应的解析函数，将
0=λ 代入 )(λF 在 0 点的展开式便得到 0)()0(
1
≠?=
AfF,这与
() 0F λ ≡ 矛盾,故 ()Aσ ≠?,
定义 3 称 ||max)(
)(
λ
σλ A
Ar
∈
= 为算子 A的谱半径,
从几何观点看,)(Ar 就是复平面中以原点为中心，包含 )(Aσ 的最小圆盘的半径,
定理 7(Gelfand) 设 X 为 Banach 空间，则
n
n
n
AAr ||||lim)(
∞→
= (5-1-8)
证明
null
1 首先我们证明右端极限存在并且等于
n
n
n
A ||||inf
1≥
,为简便计，令
n
n
n
Aa ||||inf
1≥
=,显然地
1
lim || || inf || ||
nn
nn
A Aa
≥→∞
≥=,(5-1-9)
11
另一方面,0>?ε,存在
0
n,使得 ε+< aA
n n
0 0
||||,当
0
nn ≥ 时，记
sknn +=
0
，
0
0 ns <≤,则
0
|| || || ||
kn sn
AA
+
=
0
|| ||
kn
A≤ ||||
s
A
0
|| || || ||
n ks
AA≤,
于是
n
s
n
k
n
n
n
AAA ||||||||||||
0
≤
n
s
n
kn
Aa ||||)(
0
ε+<,
令 ∞→n,则 0→
n
s
,1
0
→
n
kn
，从而
ε+≤
∞→
aA
n
n
n
||||lim,
ε 是任意的，故 aA
n
n
n
≤
∞→
||||lim,
总之，
n
n
n
n
n
n
AaA ||||inf||||lim
1≥∞→
==,
null
2 若 C∈λ,a>|| λ,则存在
0
n 和 0>ε 使得当
0
nn ≥ 时，
|| || | |
n
n
Aaε λ<+<,考虑级数
∑
∞
=
+
0
1
n
n
n
A
λ
,
由于
00
1
1|||
|| ||
|| ||
nn
nn nn
AA
λ λλ
∞∞
+
==
≤
∑∑
∞<
+
≤
∑
∞
=
n
nn
a
)
||
(
||
1
0
λ
ε
λ
故存在 )(XB Β∈,
∑
∞
=
+
=
0
1
n
n
n
A
B
λ
(5-1-10)
用类似于定理 5 的方法不难验证,IAIBBAI =?=? )()( λλ,从而
1
)(
= AIB λ,)(Aρλ∈,这说明
n
n
n
AAr ||||lim)(
∞→
≤,并且
∑
∞
=
+
=?
0
1
1
)(
n
n
n
A
AI
λ
λ (5-1-11)
12
null
3 由式 (5-1-11)，当 a>|| λ 并且
*
)(Xf Β∈ 时
∑
∞
=
+
=?
0
1
1
)(
))((
n
n
n
Af
AIf
λ
λ (5-1-12)
于是 ))((
1?
AIf λ 在区域 }||{ a>λλ,中解析,但由
null
2,
)}(||{}||{ Ara >?> λλλλ,,)(Aρ?,
根据 Laurent 展开式的唯一性，式 (5-1-12) 即 ))((
1?
AIf λ 在
)}(||{ Ar>λλ,上的 Laurent 展开式，由 Laurent 级数的性质,0>?ε,
∞<
+
∑
∞
=
+
0
1
))((
|)(|
n
n
n
Ar
Af
ε
(5-1-13)
记
n
n
n
Ar
A
B
))(( ε+
=,则 )(XB
n
Β∈,式 (5-1-13) 说明对于每个
*
)(Xf Β∈,|)(|
n
Bf 有界,由共鸣定理，存在 M 使得 ∞<≤ MB
n
||||,
所以 MArA
nn
))((|||| ε+≤,
ε+≤
∞→
)(||||lim ArA
n
n
n
,
0>ε 是任意的，故 )(||||lim ArA
n
n
n
≤
∞→
,
总之,)(||||lim ArA
n
n
n
=
∞→
,
例 1 设
nn
A Φ→Φ,是线性算子,A对应于矩阵
nnij
a
×
)(,对应于
C∈λ,要么行列式
0)det( ≠? AIλ,
此时方程 ()I Ax yλ?=对于任意
n
y∈Φ 有唯一解，从而 )(Aρλ∈,要么行列式
0)det( =? AIλ,
则方程 0)( =? xAIλ 有非 0 解,总之,有限维空间上的线性算子仅有点谱,记
k
λλ,,
1
null 是其点谱全体，则 ||max)(
1
i
ki
Ar λ
≤≤
=,
13
例 2 设 H 是 Hilbert 空间,)(HT Β∈ 是酉算子，则
() { | |1}TzCzσ?∈ =,,
实际上，由于 T 满足 || || || ||Tx x=,Hx∈?,所以 || || 1T =,由定理
3 知道 () { | |1}TzCzσ?∈ ≤,,
若 1|| <λ,则
|| ( ) || || || | |TIx Txλ λ? ≥?|| || (1 | | ) || ||x xλ=?,
由此不难知道 I Tλ? 是一一的并且 )( ITR λ? 是闭的,同样地，
*
T 也是酉算子并且 ITIT λλ?=?
**
)(,于是
**
|| ( ) || || || | |TIxTxλ λ?≥? |||||)|1(|||| xx λ?=,
所以 IT λ?
*
是一一的，即 }0{)(
*
=? ITN λ,由第四章§ 3 定理 7，
I Tλ? 是到上的,从而 )(Tρλ∈,这说明 }1||{)( =∈? zCzT,σ,
例 3 (左移算子 ) 考虑算子
22
llT →：,
),,(),,(
3221
nullnull xxxxT =,
2
21
),,( lxxx ∈=? null,
容易计算出 || || 1T =,所以 }1||{)( ≤? λλσ,T,
Cλ?∈,1|| <λ,若 令 ),,,1(
2
0
nullλλ=x,则
22
0
),,( lTx ∈= nullλλ,
从而
00
xTx λ= 或者 0)(
0
=? xTIλ,由于 0
0
≠x,所以 )(T
p
σλ∈,于是
{||1} ()
p
Tλ λσ<?,}1||{)( ≤ λλσ,T,
)(Tσ 是闭集，故 }1||{)( ≤= λλσ,T,
现设 ||1λ =,若
12 23
()(,,)0ITx x x x xλ λλ?= =null
则
21
2132 1 1
,,,,.
n
n
xxxx xx xλλλ λ
=== =nullnull
当
1
0x ≠ 时,明显地
2
x l∈,于是只有
1
0x = 从而 0x =,这说明 ()I Tλ?
是一一的,故 ().
p
Tλσ∈
14
2
yl?∈ 和 0ε >,取
1
'(,,,)
n
yy y= nullnull 使得
2
'yy ε? <,此时令
2
121 1 2 1
0,,,( )
n
nn n
x xyx y y yλλ
==? =?+ ++nullnull,
12
(,,)xxx= null,计算表明 ()',I Tx yλ? = 这说明 ()R ITλ? 在
2
l 中稠密,
所以 ().
c
Tλ σ∈
总之
( ) { | | 1},( ) { | | 1}.
pc
TTσ λλ σ λλ= <==;;
例 4 考虑复空间 [,]Cab，其中 ba,有限，定义
:[,] [,]TCab Cab→,)())(( ttxtTx =,[,]x Cab? ∈
易知 T 为有界线性算子,
Cλ?∈,则 xtxTI )()(?=? λλ,当 0)( =? xTIλ 时，必须 0=x,
故 )( TI?λ 是一一映射，于是 ()
p
Tσ =?,
若 ],[ ba∈λ,[,]Cabα?∈,取
()
()
t
xt
t
α
λ
=
,则 [,]x Cab∈,实际上
1
|| || sup | |
atb
x
tλ≤≤
≤
|| ||α,
α
λ
α
λλ =
=?
t
txTI )()(,
所以 TI?λ 是到上的,)(Tρλ∈,
若 ],[ ba∈λ,TI?λ 仍然是一一的,我们证明 ()R ITλ? 不在
[,]Cab中稠密,从而 () () [,].
r
TTabσ σ= =
由于 ()()()(),I Txt txtλ λ?=? 故 ()R ITλ? 中每个元素在 λ 点的值为 0,若
1
[,],() 2,yCabyλ
∈> 则
1
() () 2xy x yλλ
≥? >,()x RITλ? ∈?
这说明 ().yRITλ∈?
15
思考题 若将上面算子换成
22
[,] [,]Lab Lab→ 的算子,试证明
() () [,],() (),
cpr
TTabTTσ σσσ== ==?
这说明如果所定义的空间改变了,谱集的情况也会跟着改变,
定理 8 设 X 是复空间,)(XA Β∈,)(,Aρμλ ∈,则予解式满足
(1) ),(),()(),(),( ARARARAR μλλμμλ?=?,
(2) 若 )(XB Β∈,BAAB =,则 BARABR ),(),( λλ =,
(3) ),(),(),(),( ARARARAR λμμλ =,
证明
null
1 μλ,是正则点，故
),(),( ARAR μλ?
11
)()(
= AIAI μλ
11
))(()(
= AIAIAI μμλ
11
))(()(
AIAIAI μλλ
11
)))(()(()(
= AIAIAIAI μλμλ
),(),()( ARAR μλλμ?=,
null
2
11
)()()(),(
= AIBAIAIABR λλλλ
11
))(()(
= AIAIBAI λλλ
BAR ),(λ=,
null
3 由 ))(,(),()( AIARARAI?=? λλλλ 知道
AARAAR ),(),( λλ =,将
null
2 中的 B 当作 ),( AR λ 即得出所要的结论,
定理 9 (谱映射定理 ) 设 X 为复空间,)(XA Β∈,若 )(λp 是复变量 λ 的 n 次多项式，则
))(())(( ApAp σσ =,(5-1-14)
其中 )(λp 是将 λ 换为 A时相应的算子多项式，而
)}()({))(( ApAp σλλσ ∈=,,
16
证明 若 )(Aσλ∈,不妨记
01
)( aaap
n
n
+++= λλλ null,)0( ≠
n
a,
则有 ),()()()( AQAIApIp λλλ?=?,其 中 ),( AQ λ 是 A的多项式，从而是一个有界线性算子,假若 )()( ApIp?λ 是正则算子，则
IApIpAQAI =
1
))()()(,()( λλλ,
IAQAIApIp =
),()())()((
1
λλλ,
容易知道 )( AI?λ 与 ),( AQ λ 以及 ),( AQ λ 与
1
))()((
ApIp λ 都可交换，
所以由上式也可得出
]))()()(,()[(
1?
ApIpAQAI λλλ =
IAIApIpAQ =
)]())()()(,([
1
λλλ
亦即 λ 是 A 的正则点，矛盾,于是 ))(()( App σλ ∈ 或者
))(())(( ApAp σσ?,
反之，若 (()p Aμσ∈,则
0)()()(
1
≠=? λμλμλμ
nn
ap null,)(Aσλ∈?,
从而 ),,1( ni
i
null=≠ μλ,即每个
i
μ 都是 A的正则点,此时
0)()()(
1
≠=? AIAIaApI
nn
μμμ null
必是正则算子,于是 (()p Aμσ∈,))(())(( ApAp σσ?,
思考题 若 ()TX∈B 是正则算子，则
11
(){,()}.TTσλλσ
=∈
