1
第 14 讲 凸集的隔离定理
教学目的
介绍凸 集的隔离定理及其应用。
授课要点
1,超平面的分析表达。
2,Minkowski 泛函的定 义及属性。
3,一般隔离定理的证明。
4,紧凸集的严格隔离定理。
5,Helly 的第 一、第二矩量定理。
凸集的隔离定理又称为 Hahn－ Banach 定理的几何形式，它在规划论，控制论与 Banach 空间几何理论上有重要的应用。
首先让我们考虑平面上的情况,
设,A B是平面
2
R 上两个不相交凸集,
则一定可以用一条直线将二者隔离开
来，即存在直线
12
:lax bx c+=，使
得对于 A中的每个点 ()
12
,x x,
12
ax bx c+≤，对于 B 中每个点
()
12
,x x,
12
ax bx c+≥.（见图）
对于一般线性空间中的凸集，我们有理由提出类似的问题,但是有两个更基本的问题需要解决：用什么将一般线性空间的凸集隔开？
怎样才算将两个凸集隔开？
定义 1 设 X 是线性空间,EX? 是某个集合,
（ 1） 称 E 是线性流形，若
0
ExM= +,其中
0
x X∈,M 是 X
的某个线性子空间,
2
（ 2） 称 E 是 X 的极大真子空间，若对于 X 的任一线性子空间
M,当 E M?,E M≠ 时,M X=,
（ 3） 称 E 为 X 的超平面，若
0
ExM= +,其中
0
x X∈,M 是
X 的极大真子空间,
X 上的线性泛函全体记为 X′（ X′中元不必连续）,显然就点集的包含关系来讲,X X
′?,有时称 X′为 X 的代数共轭，称 X
为 X
的拓扑共轭,
定理 1 （ 1） E 是 X 的极大真子空间当且仅当存在 f X′∈,
0f ≠,()E Nf=,()Nf是 f 的 0 空间,
（ 2 ） E 是 X 的超平面当且仅当存在 f X′∈,0f ≠,
(){ };Exfxc==，其中
c是某个常数,
证明 1
null
若 f X′∈,0f ≠,考虑子空间 ( )()
{ };0Nf xfx= =,
若 W 是线性子空间并且 ( ) ( ),Nf WNf W?≠，取 ()
0
\x WNf∈,
显然 ()
0
0fx≠ 。 x X∈,令
( )
()
0
0
fx
yx x
fx
=?,则
( ) 0fy=
，
()yNf∈,
( )
()
0
0
fx
x yx
fx
=+,从而 X = span ( )
{ }
0
,x Nf W?,即
WX=,()Nf是极大真子空间,
反之，若 E 是极大真子空间，取
0
x E?,则 X = span{ }
0
,x E,
x X∈,
10
x xax=+,其中
1
x E∈,a∈Φ，此表达式是唯一的,定义 ()f xa=,若
10
x xax=+,显然 ( )E Nf=,
2
null
若 E 是超平面，则
0
ExM= +,W 是极大真子空间，由 1
null
，
3
存在 f X′∈,0f ≠,( )WNf=,从而 x E∈ 当且仅当
() ( )
0
f xfxc==或 ( )
{ };Exfxc==,
若
(){ };Exfxc==,f X′∈,0f ≠,任取
0
x E∈,则
()
0
f xc=,
令
0
yxx=?,则 () 0fy=,由 1
null
,( )Nf 是极大真子空间，
( )
0
ExNf=+,E 是超平面,
定理 2 设 X 是线性赋范空间,EX? 是极大真子空间,f X′∈,
0f ≠,E 与 f 的关系如同定理 1，则
（ 1） E 是闭的当且仅当 f X
∈,
（ 2） E 是闭的当且仅当 E 不在 X 中稠密,
证明 由于 ()ENf=,全部结论可由本章第 1 讲定理 1 得出,
通常称实空间 X 的子集在超平面 ( )
{ };E xf x a= = 的一侧，若
( ){ };Axfxa?≤或 ( ){ };Axfxa?≥，称两个子集,AB被超平面 E
隔离，若,AB分属于 E 的两侧，称,AB被 E 严格隔离，若
( ){ };A xf x a? ＜,( ){ };B xf x a? ＞ 或者相反,
前面在证明 Hahn－ Banach 延拓定理时，我们事先假定 X 上存在某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理，我们将要从满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来,
定理 3 设 X 是线性赋范空间,AX? 是以 0 为内点的凸集，定义
() { }inf 0;
A
x txtAμ =∈＞,则
4
（ 1）
A
μ 在整个 X 上有定义；
（ 2） 若 0t ≥,( ) ( )
AA
tx t xμμ=,x X? ∈ ；
（ 3）
()( ) ( )
AAA
x yxyμμμ+= +,,x yX? ∈ ；
（ 4） ()
{ } ( ){ };;
AA
xx Axxμμ ≤＜1 1,若 A 是开集，则
(){ };
A
Ax xμ= ＜1,
（ 1）,（ 2）,（ 3）说明
A
μ 是 X 上的正齐性次可加泛函,我们称
A
μ 是集合 A的 Minowski 泛函,
证明 1
null
对于每个 x X∈,0
x
n
→,A
null
是 0 X∈ 的领域，故存在
0
0
,
x
nAA
n
null
，即
0
x nA∈,所以集合 { }0;rxrA∈ ≠?＞,()
A
xμ 有意义,
2
null
由于 x rA∈ 当且仅当 tx trA∈,故
() { } { }inf ; inf ;
A
txt rxrA trxrAμ =∈=∈
{ } ( )inf ;
A
tr tx trA txμ=∈=,
3
null
设,0,rs> 若 x rA∈,ysA∈,即
x
A
r
∈,
y
A
s
∈,A是凸集，
故
xy r x s y
A
rs rsrrss
+
= +∈
++ +
ii，即 ( )x yrsA+∈+,从而
()
A
x yrsμ +≤+,r 与 s 是任意的,故 ( ) ( )()
AAA
x yxyμμμ+≤ +,
4
null
由
A
μ 的定义容易得到（ 4 ）中包含关系成立,例如若
()
A
xμ ＜1,则存在 r,0 r＜＜1,x rA∈ 或
x
A
r
∈,A是凸集,0 A∈,
5
从而 ()10
x
x rrA
r
=? + ∈i,故 ( )
{ };
A
x xAμ?＜1,现在设 A是开集，
若 x A∈,一定有 ε＞0 使得
( )
1 x Aε+ ∈ 或
1
1
x A
ε
∈
+
，从而
()
1
1
A
xμ
ε
≤
+
＜1,故 ( )
{ };
A
Ax xμ? ＜1,于是 ( )
{ };
A
Ax xμ= ＜1,
定理 4 设 X 是（实或复）线性赋范空间，,A B是 X 中的非空凸集,A ≠?
null
,AB=?
null
∩,则存在非零线性泛函 f X
∈ 和实数 r 使得
(){ };ReAx fxr?≤,( ){ };ReB xfxr?≥
其中
( )
Re f x 表示
()
f x 的实部,
证 明 不妨设 0 A∈
null
，因为若,f r 满足上面条件，则
0
x X? ∈
( ) ( ){ }
00;Re Rex A x fx fx r+? ≤ +,
( ) ( ){ };Re Rex B x fx fx r+? ≥ +,
特别地取
0
x A∈
null
并且考虑
0
Ax?,则至多改变 r 的值，结论仍然成立,
我们只须就实空间的情况证明之,因为由第 16 讲定理 2 前面的说明，复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部，
此时复泛函连续当且仅当它的实部连续,
现在考虑集合
0
CAxB=+?
null
，其中
0
x B∈,则 C 是开凸集并且由于 A ≠?
null
,0 C∈,此外
0
x C?,否则 0 AB∈?
null
从而得出
AB=?
null
∩,与假设矛盾,
设
C
μ 是集合 C 的 Minkowski 泛函,由定理 3，
C
μ 是在整个空间 X
上有定义的次可加正齐性泛函，并且 ( )
{ };
C
Cx xμ= ＜1,由 于
0
x C?,
故
()
0
1
C
xμ ≥,
6
考虑子空间 { }
0;M tx t R=∈和 M 上的非零线性泛函 ( )
00
f tx t=,
当 0t ≥ 时
() ( ) ( )
00 0 0CC
f tx t t x txμμ=≤ =,
当 0t ≤ 时，由于 ()
0
0
C
txμ ≥,显 然 ( ) ( )
00 0C
f tx t txμ=≤,根据定理 1，
存在 X 上线性泛函 f,f 是
0
f 的延拓，并且 ( ) ( )
C
f xxμ≤,
f 是连续的，实际上当 x C∈ 时,( ) ( )
C
fx xμ≤ ＜1,若
()x CC∈?∩,同样有 ( ) ( )
C
fx xμ?≤?＜1,从而
() ( ) ( )1
CC
xfx xμμ≤≤＜- ＜1,( )x CC? ∈?∩
注意 ( )CC?∩ 具有非空内点，故 f 连续，又由
0
x M∈ 知道
() ( )
000
1fx fx==,
现在 x A?∈
null
,yB∈,则
0
x xyC+?∈从而
( ) ( )
00
1
C
fxx y xx yμ+?≤ +?≤,( ) ( )f xfy≤
记
()sup
xA
rfx
∈
=,则 ()f xr≤,x A? ∈
null；同时 ( )rfy≤,? yB∈,
由于 ()
{ };A xf x r?≤
null
并且后者是闭集，故 ()
{ };Axfxr?≤
null
，
但对于凸集而言,AA=
null
，故 ( )
{ };A xf x r?≤,
定理 5 设 X 是（实或复）线性赋范空间，,A B是 X 中的非空凸集,AB=?∩,若 A是紧集,B 是闭集，则存在 f X
∈,实数
12
,rr，
12
rr＜,使得
(){ }
1;A xf x r?≤,( )
{ }
2;ReB xfxr?≥,
证 明 同样的，只须对于实空间证明结论成立,
我们已经知道此时
( ),adAB= ( )
,
inf,
xAyB
dxy
∈∈
= ＞0,于是
0,
2
a
AO
+
为开凸集并且 0,
2
a
AO B
+ =?
∩,根据上面定理 4，
存在连续线性泛函 f 和
2
rR∈,使得
7
(){}
2
0,;
2
a
AO xfx r
+?≤
,( )
{ }
2;B xf x r?≥,
注意 A是紧集,f 连续，故 f 在 A上可达到上确界,不妨设
0
x A∈,
() ()
01
sup
xA
f xfxr
∈
==，由于 f 不是 0 泛函，于是 f 在 0,
2
a
O
上不可能全取 0 值。不失一般性，设有 0,
2
a
xO
′∈
，
( )
fx′ ＞0,则
0
0,
2
a
xxAO
′+∈+
，从而
() ( ) ( )
11 0 0 2
sup
xA
f xrrfx fxxr
∈
′=+ =+≤＜,
定理得证,
最后，作为 Hahn－ Banach 定理和隔离定理的应用，让我们看一下 Helly 第一和第二矩量定理,
定理 6（ Helly） 设 X 是线性赋范空间,{ }
n
x X? 是一列元素，
n
a ∈Φ,β＞0,则存在 f X
∈ 满足 f β≤,( )
nn
f xa= （ 1n?≥）
的充要条件是
11
nn
ii ii
ka kxβ
==
≤
∑∑
，
i
k ∈Φ,1n≥ （ 1）
证 明 1
null
若满足所说条件的 f X
∈ 存在，则
()
11 1
nn n
ii i i ii
ii i
ka kf x f kx
== =
=≤
∑∑ ∑
1
n
ii
i
kxβ
=
≤
∑
，,
i
nk? ∈Φ
2
null
若所说的不等式成立，设 E = span{ },1
n
xn≥,令
8
0
11
nn
ii ii
ii
f kx ka
==
=
∑∑
，
1
n
ii
i
x kx
=
=
∑
这里
{ }
n
x 未必是线性无关的，但若另有
1
n
ii
i
x kx
=
′ ′?=
∑
，则 ( )1 表明
11
nn
ii ii
ii
ka ka
==
′′?
∑∑
11
0
nn
ii ii
ii
kx kxβ
==
′′≤?=
∑∑
,
由此知道,()
0
f x 有确定的意义，此外显然
0
f β≤,
由保范延拓定理，存在 f X
∈,
0
ffβ= ≤,在 E 上
() ()
0
1
n
ii
i
f xfx ka
=
==
∑
，特别地
( )
nn
f xa=,1n? ≥,
定理证毕,
定理 7（ Helly） 设 X 是 Banach 空间，
1
,,
n
f fX
∈null,M＞0,
1
,,
n
cc∈Φnull,则 ε? ＞0,x X
ε
∈ 使得 xM
ε
ε≤ +,()
ii
f xc
ε
=
()1,,in= null 的充要条件是
11
nn
ii ii
ac M af
==
≤
∑∑
，
1
,,
n
α α? ∈Φnull
( )2
证明 必要性 若 ε? ＞0,x
ε
存在，即 xM
ε
ε≤ +,
()
ii
f xc
ε
=
( )
1,,in= null,则
1
,,
n
α α? ∈Φnull,
()
11 1
nn n
ii ii ii
ii i
ac k f x af x
ε ε
== =
=≤
∑∑ ∑
,
ε 是任意的，故有
11
nn
ii ii
ac M af
==
≤
∑∑
,
充分性 不妨设
1
,,
n
f fnull 彼此线性无关，否则考虑其中的最大线性无关组
1
,,
m
f fnull,当对于后者证明了定理的结论时，根据线性相关性的条件，结论对于整个
1
,,
n
f fnull 也一定成立,此外我们仅就 X 为实
9
空间的情况进行证明，对于复空间，只须作细节上的修正,
考虑映射,
n
TX R→,( ) ( ) ( )
( )
1
,,
n
Tx fx f x= null,x X∈,容易验证 T 是有界线性算子。 T 是到上的，实际上,( )Tx是
n
R 的线性子空间，若 ()dimTx n＜,则存在不全为 0 的 n 个数
1
,,
n
aanull,
()
1
0
n
ii
i
af x
=
=
∑
,x X?∈,于是
1
0
n
ii
i
af
=
=
∑
。这与
1
,,
n
f fnull 线性无关性矛盾,
,
n
X R 都是 Banach 空间，于是 T 是开映射,
ε? ＞0,记
{ };ExxM
ε
ε=≤+，则
{ }
0;ExxM
ε
ε= +＜ 是
0 X∈ 的领域，于是
()
0
TE
ε
是 0
n
R∈ 的领域，即 0
n
R∈ 是 ()TE
ε
的内点,若不存在 x E
ε ε
∈,使得 ( )
ii
f xc
ε
= ( )1,,in= null,即
()
1
,,
n
cc c= null ()TE
ε
,注意到 ( )TE
ε
是
n
R 中的凸集,由隔离定理 （定理 4）存在
n
R 上的连续线性实泛函 F 和实数 r＞0,使得
()F Tx r≤,x E
ε
∈,( )F cr＞,
不妨设 ()
11 nn
F yby by=++null,( )
1
,,
n
n
yyR?∈null,其中
1
,,
n
bbR∈null,则 () ()
1
n
ii
i
FTx bf x
=
=
∑
,注意 x E
ε
∈ 当且仅当 x E
ε
∈,
故必有
() ()
1
n
ii
i
bf x FTx r
=
= ≤
∑
,
于是
() ()()
1
11
sup sup
nn
ii ii
xM x
bf x bf x M
ε
ε
≤+ ≤
==
= +
∑∑
() ()
1
11
sup
nn
ii ii
x
M bf r F c bcε
≤
==
=+ ≤ =
∑ ∑
＜,
1
,,
n
f fnull 线性无关，故
1
0
n
ii
i
bf
=
≠
∑
,从而
10
11
nn
ii ii
ii
M af ac
==
<
∑ ∑
,
与定理中所给条件矛盾,
定理得证,
思考题
设,,( 1)
nn
nα β ≥ 是两组实数，试给出存在 [,]π π? 上的可积函数
()x xt= 使得它关于 sin,cosnt nt 的 Fourier 系数是,,( 1)
nn
nα β ≥ 的条件,
第 14 讲 凸集的隔离定理
教学目的
介绍凸 集的隔离定理及其应用。
授课要点
1,超平面的分析表达。
2,Minkowski 泛函的定 义及属性。
3,一般隔离定理的证明。
4,紧凸集的严格隔离定理。
5,Helly 的第 一、第二矩量定理。
凸集的隔离定理又称为 Hahn－ Banach 定理的几何形式，它在规划论，控制论与 Banach 空间几何理论上有重要的应用。
首先让我们考虑平面上的情况,
设,A B是平面
2
R 上两个不相交凸集,
则一定可以用一条直线将二者隔离开
来，即存在直线
12
:lax bx c+=，使
得对于 A中的每个点 ()
12
,x x,
12
ax bx c+≤，对于 B 中每个点
()
12
,x x,
12
ax bx c+≥.（见图）
对于一般线性空间中的凸集，我们有理由提出类似的问题,但是有两个更基本的问题需要解决：用什么将一般线性空间的凸集隔开？
怎样才算将两个凸集隔开？
定义 1 设 X 是线性空间,EX? 是某个集合,
（ 1） 称 E 是线性流形，若
0
ExM= +,其中
0
x X∈,M 是 X
的某个线性子空间,
2
（ 2） 称 E 是 X 的极大真子空间，若对于 X 的任一线性子空间
M,当 E M?,E M≠ 时,M X=,
（ 3） 称 E 为 X 的超平面，若
0
ExM= +,其中
0
x X∈,M 是
X 的极大真子空间,
X 上的线性泛函全体记为 X′（ X′中元不必连续）,显然就点集的包含关系来讲,X X
′?,有时称 X′为 X 的代数共轭，称 X
为 X
的拓扑共轭,
定理 1 （ 1） E 是 X 的极大真子空间当且仅当存在 f X′∈,
0f ≠,()E Nf=,()Nf是 f 的 0 空间,
（ 2 ） E 是 X 的超平面当且仅当存在 f X′∈,0f ≠,
(){ };Exfxc==，其中
c是某个常数,
证明 1
null
若 f X′∈,0f ≠,考虑子空间 ( )()
{ };0Nf xfx= =,
若 W 是线性子空间并且 ( ) ( ),Nf WNf W?≠，取 ()
0
\x WNf∈,
显然 ()
0
0fx≠ 。 x X∈,令
( )
()
0
0
fx
yx x
fx
=?,则
( ) 0fy=
，
()yNf∈,
( )
()
0
0
fx
x yx
fx
=+,从而 X = span ( )
{ }
0
,x Nf W?,即
WX=,()Nf是极大真子空间,
反之，若 E 是极大真子空间，取
0
x E?,则 X = span{ }
0
,x E,
x X∈,
10
x xax=+,其中
1
x E∈,a∈Φ，此表达式是唯一的,定义 ()f xa=,若
10
x xax=+,显然 ( )E Nf=,
2
null
若 E 是超平面，则
0
ExM= +,W 是极大真子空间，由 1
null
，
3
存在 f X′∈,0f ≠,( )WNf=,从而 x E∈ 当且仅当
() ( )
0
f xfxc==或 ( )
{ };Exfxc==,
若
(){ };Exfxc==,f X′∈,0f ≠,任取
0
x E∈,则
()
0
f xc=,
令
0
yxx=?,则 () 0fy=,由 1
null
,( )Nf 是极大真子空间，
( )
0
ExNf=+,E 是超平面,
定理 2 设 X 是线性赋范空间,EX? 是极大真子空间,f X′∈,
0f ≠,E 与 f 的关系如同定理 1，则
（ 1） E 是闭的当且仅当 f X
∈,
（ 2） E 是闭的当且仅当 E 不在 X 中稠密,
证明 由于 ()ENf=,全部结论可由本章第 1 讲定理 1 得出,
通常称实空间 X 的子集在超平面 ( )
{ };E xf x a= = 的一侧，若
( ){ };Axfxa?≤或 ( ){ };Axfxa?≥，称两个子集,AB被超平面 E
隔离，若,AB分属于 E 的两侧，称,AB被 E 严格隔离，若
( ){ };A xf x a? ＜,( ){ };B xf x a? ＞ 或者相反,
前面在证明 Hahn－ Banach 延拓定理时，我们事先假定 X 上存在某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理，我们将要从满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来,
定理 3 设 X 是线性赋范空间,AX? 是以 0 为内点的凸集，定义
() { }inf 0;
A
x txtAμ =∈＞,则
4
（ 1）
A
μ 在整个 X 上有定义；
（ 2） 若 0t ≥,( ) ( )
AA
tx t xμμ=,x X? ∈ ；
（ 3）
()( ) ( )
AAA
x yxyμμμ+= +,,x yX? ∈ ；
（ 4） ()
{ } ( ){ };;
AA
xx Axxμμ ≤＜1 1,若 A 是开集，则
(){ };
A
Ax xμ= ＜1,
（ 1）,（ 2）,（ 3）说明
A
μ 是 X 上的正齐性次可加泛函,我们称
A
μ 是集合 A的 Minowski 泛函,
证明 1
null
对于每个 x X∈,0
x
n
→,A
null
是 0 X∈ 的领域，故存在
0
0
,
x
nAA
n
null
，即
0
x nA∈,所以集合 { }0;rxrA∈ ≠?＞,()
A
xμ 有意义,
2
null
由于 x rA∈ 当且仅当 tx trA∈,故
() { } { }inf ; inf ;
A
txt rxrA trxrAμ =∈=∈
{ } ( )inf ;
A
tr tx trA txμ=∈=,
3
null
设,0,rs> 若 x rA∈,ysA∈,即
x
A
r
∈,
y
A
s
∈,A是凸集，
故
xy r x s y
A
rs rsrrss
+
= +∈
++ +
ii，即 ( )x yrsA+∈+,从而
()
A
x yrsμ +≤+,r 与 s 是任意的,故 ( ) ( )()
AAA
x yxyμμμ+≤ +,
4
null
由
A
μ 的定义容易得到（ 4 ）中包含关系成立,例如若
()
A
xμ ＜1,则存在 r,0 r＜＜1,x rA∈ 或
x
A
r
∈,A是凸集,0 A∈,
5
从而 ()10
x
x rrA
r
=? + ∈i,故 ( )
{ };
A
x xAμ?＜1,现在设 A是开集，
若 x A∈,一定有 ε＞0 使得
( )
1 x Aε+ ∈ 或
1
1
x A
ε
∈
+
，从而
()
1
1
A
xμ
ε
≤
+
＜1,故 ( )
{ };
A
Ax xμ? ＜1,于是 ( )
{ };
A
Ax xμ= ＜1,
定理 4 设 X 是（实或复）线性赋范空间，,A B是 X 中的非空凸集,A ≠?
null
,AB=?
null
∩,则存在非零线性泛函 f X
∈ 和实数 r 使得
(){ };ReAx fxr?≤,( ){ };ReB xfxr?≥
其中
( )
Re f x 表示
()
f x 的实部,
证 明 不妨设 0 A∈
null
，因为若,f r 满足上面条件，则
0
x X? ∈
( ) ( ){ }
00;Re Rex A x fx fx r+? ≤ +,
( ) ( ){ };Re Rex B x fx fx r+? ≥ +,
特别地取
0
x A∈
null
并且考虑
0
Ax?,则至多改变 r 的值，结论仍然成立,
我们只须就实空间的情况证明之,因为由第 16 讲定理 2 前面的说明，复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部，
此时复泛函连续当且仅当它的实部连续,
现在考虑集合
0
CAxB=+?
null
，其中
0
x B∈,则 C 是开凸集并且由于 A ≠?
null
,0 C∈,此外
0
x C?,否则 0 AB∈?
null
从而得出
AB=?
null
∩,与假设矛盾,
设
C
μ 是集合 C 的 Minkowski 泛函,由定理 3，
C
μ 是在整个空间 X
上有定义的次可加正齐性泛函，并且 ( )
{ };
C
Cx xμ= ＜1,由 于
0
x C?,
故
()
0
1
C
xμ ≥,
6
考虑子空间 { }
0;M tx t R=∈和 M 上的非零线性泛函 ( )
00
f tx t=,
当 0t ≥ 时
() ( ) ( )
00 0 0CC
f tx t t x txμμ=≤ =,
当 0t ≤ 时，由于 ()
0
0
C
txμ ≥,显 然 ( ) ( )
00 0C
f tx t txμ=≤,根据定理 1，
存在 X 上线性泛函 f,f 是
0
f 的延拓，并且 ( ) ( )
C
f xxμ≤,
f 是连续的，实际上当 x C∈ 时,( ) ( )
C
fx xμ≤ ＜1,若
()x CC∈?∩,同样有 ( ) ( )
C
fx xμ?≤?＜1,从而
() ( ) ( )1
CC
xfx xμμ≤≤＜- ＜1,( )x CC? ∈?∩
注意 ( )CC?∩ 具有非空内点，故 f 连续，又由
0
x M∈ 知道
() ( )
000
1fx fx==,
现在 x A?∈
null
,yB∈,则
0
x xyC+?∈从而
( ) ( )
00
1
C
fxx y xx yμ+?≤ +?≤,( ) ( )f xfy≤
记
()sup
xA
rfx
∈
=,则 ()f xr≤,x A? ∈
null；同时 ( )rfy≤,? yB∈,
由于 ()
{ };A xf x r?≤
null
并且后者是闭集，故 ()
{ };Axfxr?≤
null
，
但对于凸集而言,AA=
null
，故 ( )
{ };A xf x r?≤,
定理 5 设 X 是（实或复）线性赋范空间，,A B是 X 中的非空凸集,AB=?∩,若 A是紧集,B 是闭集，则存在 f X
∈,实数
12
,rr，
12
rr＜,使得
(){ }
1;A xf x r?≤,( )
{ }
2;ReB xfxr?≥,
证 明 同样的，只须对于实空间证明结论成立,
我们已经知道此时
( ),adAB= ( )
,
inf,
xAyB
dxy
∈∈
= ＞0,于是
0,
2
a
AO
+
为开凸集并且 0,
2
a
AO B
+ =?
∩,根据上面定理 4，
存在连续线性泛函 f 和
2
rR∈,使得
7
(){}
2
0,;
2
a
AO xfx r
+?≤
,( )
{ }
2;B xf x r?≥,
注意 A是紧集,f 连续，故 f 在 A上可达到上确界,不妨设
0
x A∈,
() ()
01
sup
xA
f xfxr
∈
==，由于 f 不是 0 泛函，于是 f 在 0,
2
a
O
上不可能全取 0 值。不失一般性，设有 0,
2
a
xO
′∈
，
( )
fx′ ＞0,则
0
0,
2
a
xxAO
′+∈+
，从而
() ( ) ( )
11 0 0 2
sup
xA
f xrrfx fxxr
∈
′=+ =+≤＜,
定理得证,
最后，作为 Hahn－ Banach 定理和隔离定理的应用，让我们看一下 Helly 第一和第二矩量定理,
定理 6（ Helly） 设 X 是线性赋范空间,{ }
n
x X? 是一列元素，
n
a ∈Φ,β＞0,则存在 f X
∈ 满足 f β≤,( )
nn
f xa= （ 1n?≥）
的充要条件是
11
nn
ii ii
ka kxβ
==
≤
∑∑
，
i
k ∈Φ,1n≥ （ 1）
证 明 1
null
若满足所说条件的 f X
∈ 存在，则
()
11 1
nn n
ii i i ii
ii i
ka kf x f kx
== =
=≤
∑∑ ∑
1
n
ii
i
kxβ
=
≤
∑
，,
i
nk? ∈Φ
2
null
若所说的不等式成立，设 E = span{ },1
n
xn≥,令
8
0
11
nn
ii ii
ii
f kx ka
==
=
∑∑
，
1
n
ii
i
x kx
=
=
∑
这里
{ }
n
x 未必是线性无关的，但若另有
1
n
ii
i
x kx
=
′ ′?=
∑
，则 ( )1 表明
11
nn
ii ii
ii
ka ka
==
′′?
∑∑
11
0
nn
ii ii
ii
kx kxβ
==
′′≤?=
∑∑
,
由此知道,()
0
f x 有确定的意义，此外显然
0
f β≤,
由保范延拓定理，存在 f X
∈,
0
ffβ= ≤,在 E 上
() ()
0
1
n
ii
i
f xfx ka
=
==
∑
，特别地
( )
nn
f xa=,1n? ≥,
定理证毕,
定理 7（ Helly） 设 X 是 Banach 空间，
1
,,
n
f fX
∈null,M＞0,
1
,,
n
cc∈Φnull,则 ε? ＞0,x X
ε
∈ 使得 xM
ε
ε≤ +,()
ii
f xc
ε
=
()1,,in= null 的充要条件是
11
nn
ii ii
ac M af
==
≤
∑∑
，
1
,,
n
α α? ∈Φnull
( )2
证明 必要性 若 ε? ＞0,x
ε
存在，即 xM
ε
ε≤ +,
()
ii
f xc
ε
=
( )
1,,in= null,则
1
,,
n
α α? ∈Φnull,
()
11 1
nn n
ii ii ii
ii i
ac k f x af x
ε ε
== =
=≤
∑∑ ∑
,
ε 是任意的，故有
11
nn
ii ii
ac M af
==
≤
∑∑
,
充分性 不妨设
1
,,
n
f fnull 彼此线性无关，否则考虑其中的最大线性无关组
1
,,
m
f fnull,当对于后者证明了定理的结论时，根据线性相关性的条件，结论对于整个
1
,,
n
f fnull 也一定成立,此外我们仅就 X 为实
9
空间的情况进行证明，对于复空间，只须作细节上的修正,
考虑映射,
n
TX R→,( ) ( ) ( )
( )
1
,,
n
Tx fx f x= null,x X∈,容易验证 T 是有界线性算子。 T 是到上的，实际上,( )Tx是
n
R 的线性子空间，若 ()dimTx n＜,则存在不全为 0 的 n 个数
1
,,
n
aanull,
()
1
0
n
ii
i
af x
=
=
∑
,x X?∈,于是
1
0
n
ii
i
af
=
=
∑
。这与
1
,,
n
f fnull 线性无关性矛盾,
,
n
X R 都是 Banach 空间，于是 T 是开映射,
ε? ＞0,记
{ };ExxM
ε
ε=≤+，则
{ }
0;ExxM
ε
ε= +＜ 是
0 X∈ 的领域，于是
()
0
TE
ε
是 0
n
R∈ 的领域，即 0
n
R∈ 是 ()TE
ε
的内点,若不存在 x E
ε ε
∈,使得 ( )
ii
f xc
ε
= ( )1,,in= null,即
()
1
,,
n
cc c= null ()TE
ε
,注意到 ( )TE
ε
是
n
R 中的凸集,由隔离定理 （定理 4）存在
n
R 上的连续线性实泛函 F 和实数 r＞0,使得
()F Tx r≤,x E
ε
∈,( )F cr＞,
不妨设 ()
11 nn
F yby by=++null,( )
1
,,
n
n
yyR?∈null,其中
1
,,
n
bbR∈null,则 () ()
1
n
ii
i
FTx bf x
=
=
∑
,注意 x E
ε
∈ 当且仅当 x E
ε
∈,
故必有
() ()
1
n
ii
i
bf x FTx r
=
= ≤
∑
,
于是
() ()()
1
11
sup sup
nn
ii ii
xM x
bf x bf x M
ε
ε
≤+ ≤
==
= +
∑∑
() ()
1
11
sup
nn
ii ii
x
M bf r F c bcε
≤
==
=+ ≤ =
∑ ∑
＜,
1
,,
n
f fnull 线性无关，故
1
0
n
ii
i
bf
=
≠
∑
,从而
10
11
nn
ii ii
ii
M af ac
==
<
∑ ∑
,
与定理中所给条件矛盾,
定理得证,
思考题
设,,( 1)
nn
nα β ≥ 是两组实数，试给出存在 [,]π π? 上的可积函数
()x xt= 使得它关于 sin,cosnt nt 的 Fourier 系数是,,( 1)
nn
nα β ≥ 的条件,
