1
第 18 讲 自反空间与一致凸空间
教学目的
掌握具有明显几何特征与重要应用的一致凸空间的定义及相关性质,
授课要点
1 自反性的概念和常用空间的自反性,
2 自反空间的各种属性,
我们在前一讲已经定义过自反空间，当 X 自反时，自然嵌入映射
:JX X

→ 是到上的等距映射,X 与 X

等距同构,James 曾经给出过例子：一个 Banach 空间 X 与其二次共轭空间 X

等距同构，而自然嵌入映射 J 却不是相应的到上的等距映射，于是这样的空间 X 不是自反空间,这告诉我们，自反空间定义中到上的映射 J 一定要求是自然嵌入算子,
例 1
n
Φ,
p
l,
[ ]( )
,1
p
Lab p∞＜＜ 都是自反空间,
这里仅验证
[ ]
,
p
Lab的自反性,由本章第 15 讲定理 2 的证明我们已经知道当
11
1
pq
+=时，
[ ] [ ] [ ]
,,,
pqp
Lab Lab Lab

==，利用那里建立的等距同构映射复合起来可以得到
[ ]
,
p
L ab与
[ ]
,
p
Lab

之间一一的到上的等距同构映射,记此映射为
[ ] [ ]
:,,
pp
Lab Lab?

→,
x
x?→,
我们验证? 即是自然嵌入 J,实际上，对于任何
[ ]
,
p
f Lab
∈,若 f 对应于函数
[ ]
,
q
L abξ∈,则由第 15 讲定理 2 的证明，
x
作为
[ ]
,
p
Lab
上的线性泛函对应地有
2
( ) () () () () ()
bb
xx
aa
f ttdt xttdtfxξ ξ===
∫∫
,
f 是任意的，所以由定义? 即是 J,
例 2
0
c,
1
l,
[ ]
1
,Lab都不是自反的,
这里仅验证
1
l,我们知道
( )
1
ll
∞
=,并且空间
1
l 是可分的,l
∞
不可分，若
1
l 自反，则必有
( )
1
ll
∞
=,这与本章第 16 讲定理 15 的结论矛盾,
定理 1 若 X 是自反空间，则 X 的任一闭线性子空间 Y 是自反空间,
证明 设 YX? 是闭线性子空间,:JY Y

′ → 是自然嵌入映射,
对于每个 yY

∈ 和 x X

∈,记
Y
x
为 x
在 Y 上的限制并且令
( ) ( )
Y
xx yx

=,()1
则 x X

∈,于是存在 x X∈,( )Jx x

=,
现在证明 x Y∈,若不然,Y 是闭子空间,x Y?,则存在
0
x X

∈,()
0
1xx
=,( )
0
0xy
=,( )yY?∈,于是
() ( )
( )000 0
10
Y
xy x x yx

== = =,
矛盾，由此改记,x y=
对于 yY

∈,y
可以延拓为 X 上的连续线性泛函 x
，使得
Y
x y

=,从而由 ()1 式得到
( ) ( ) ( ) ( )yy xx x x y y

== =,
3
y
是任意的，故 Jy y

′ ==,J′到上,Y 自反,
利用稍微复杂一点的方法可以证明下面定理，这里将具体的证明略去,
定理 2 设 X 是 Banach 空间，则
(1) X 是自反的当且仅当 X
自反,
(2)若 X 自反,M 是 X 的闭线性子空间，则商空间 \X M 自反,
定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下诸条件等价,
(1) X 自反,
(2) X 中任一有界序列包含有 w收敛的子序列,
(3) X 的闭单位球
X
S 是 w 序列紧集,即
X
S 中任一无穷序列有弱收敛于
X
S 中点的子序列,
(4)? f X
∈,0f ≠,存在 x X∈,1x = 使得
( )
f xf=,
证明 (1)? (2) 设
{ }
n
x 是 X 中任一有界序列，例如
n
x M≤
()
1n? ≥,考虑
{ }
n
Y span x=,Y 是 X 的闭线性子空间,由定理 1,Y 自反,注意到 Y 是可分的，故 Y
可分,若,JY Y

′ = 是自然嵌入映射，
{ }
n
x 是 Y 中的有界序列，从而
{ }
n
Jx′ 是 Y

中的有界序列,
根据本章第 16 讲定理 16,有子序列
{ }
k
n
Jx′ 及
0
yY

∈,
0
k
w
n
Jx y

′ →,由于 Y 是自反的，故存在
0
yY∈,
00
Jy y

′ =,即
yY

∈,
()( ) ()( )
0
k
n
Jx y Jy y

′′→,
现在,? x X

∈,设
Y
yx

=,则
() ()( )( ) ()( )
0
kkk
nnn
x xyx Jxy Jyy

′′== →
( )
0
yy
=
()
0
x y
=
故
0
k
w
n
x y →,
(2)? (3) 由上面证明知道，
nX
x S? ∈,有子序列
{ }
k
n
x,
4
0
k
w
n
x xX →∈,同时有
0
lim 1
k
n
k
xx
→∞
≤ ≤,故
0 X
x S∈,
X
S w序列紧,
(3)? (4) 设 0f ≠,f X
∈,由 ( )
1
sup
x
f fx
=
=,取
n
x X∈,
1
n
x =,()
1
n
f fx f
n
≤＜,由 (3),{ }
n
x 中有子序列
0
k
w
n
x x →,
0
lim 1
k
k
n
n
xx
→∞
≤≤，特别地,()
( )
0
lim
k
k
n
n
f xfx
→∞
=,但
()
1
k
n
k
f fx f
n
≤＜,
于是
() ( )
0
lim
k
k
n
n
f xfxf
→∞
==,
现在 ( )
00
f xfx≤,故
0
1x ≥,从 而
0
1x =,若 ( )
0
i
f xre
θ
=,
取
0
i
x ex
θ?
=,则
0
1xx==，并且
() ( ) ( )
00
i
f xefx rfx f
θ?
====,
(4)? (1) 一个初等的但繁复的证明由 James 作出 (见 Israel
J.Math,vol 13,1972 )，这里略去,
例 3
[ ]
0,1C 不是自反空间,取 ( )
n
n
x tt=,1n≥,则
[ ]
0,1
n
xC∈,
由第 16 讲例 4,若有子列
k
n
x 弱收敛于 x,则
( ) 0xt=
,01t＜＜,
()11x =
.
但
[ ]
0,1xC?,这说明
[ ]
0,1C 的闭单位球不是 w 序列紧的,由定理 3(3)
知
[ ]
0,1C 不自反,
习题二第 4 题和定理 3(4)也可以说明这个结论成立,
定理 3(3) 说明自反空间中的任一有界闭凸子集是弱序列紧集,这一性质在逼近论和凸分析中有很多应用,
5
定理 4 设 X 是线性赋范空间,E X? 是弱序列紧集，
0
\x XE∈,
则存在
0
yE∈ 使得
( )
00 0 0
inf,
yE
x yxydxE
∈
=?=,
即
0
y 是
0
x 关于 E 的最佳逼近元,
证明 取
n
yE∈ 使得
00
inf
n
yE
x yxy
∈
→?，由于 E 是弱序列紧的，从而有子列
0
k
n
yyE→∈,现在一方面
00 0
inf
yE
x yxy
∈
≥?,
另一方面,由于 f X
∈,
( ) ()
0
k
n
f yfy→,特别地取
0
f X
∈ 使得
0
1f =,()
00 0 0 0
f xy xy?=?，则
()
( )
00 000 00
lim
k
k
n
n
x yfxy fxy
→∞
=?=?
00
lim
k
k
n
n
f xy
→∞
≤?
0
inf
yE
x y
∈
=?,
于是
00 0
inf
yE
x yxy
∈
=?,
线性赋范空间 X 上的泛函 (
]
:,X? →?∞∞(不必线性 )称为是弱下半连续的，若对于任何
0
x X∈ 和
0
w
n
x x →,( ) ()
0
lim
n
n
x x
→∞
≤,
定理 5 设 E 是线性赋范空间 X 中的弱序列紧集,,ER? → 是弱下半连续泛函，则? 在 E 上可达到极小值，即
0
x E? ∈ 使得
6
( ) ( )
0
lim
xE
x x
∈
=,
证 明 首先证明? 在 E 上是有下界的,若不然,1n?≥，
n
x E?∈,()
n
x n＜,E 弱紧，此时存在
0
k
w
n
x xE →∈，由? 的下半连续性,()
( )
0
lim
k
k
n
n
xx
→∞
≤=?∞，这与? 的定义矛盾,
其次，取
n
x E′∈ 使得 ( ) ( )inf
n
yE
x x
∈
′ =,则有子列
k
n
x′,
0
k
w
n
x xE′′ →∈,由下半连续性
() ( ) ()
0
lim inf
k
k
n
yE
n
x xx
∈
→∞
′′≤=,
另一方面，显然 () ( )
0
inf
yE
x x
∈
′ ≥,故最后有
( ) ( )
0
inf
yE
x x
∈
′ =,
推论 1 设 X 是自反空间,EX? 是有界闭凸子集，则
(1) x X?∈ 存在 x 关于 E 的最佳逼近元 y,
inf
zE
x yxz
∈
=?,
(2) 若,X R? → 是弱下半连续的，则
0
x E? ∈ 使得
( ) ( )
0
inf
xE
x x
∈
≥,
末了，让我们介绍一致凸空间,
定义 2 线性赋范空间 X 称为是一致凸的，若 ε? ( )02ε ≤＜,存在 δ＞0,对于任意,x yX∈,1x ≤,1y ≤,只要 xy ε? ≥,则
1
2
xy
δ
+
≤?,
()2
7
例 4 Hilbert 空间是一致凸的,
实际上，由平行四边形公式，,x yX? ∈
( )
2222
2x yxy xy++?= +,
若 1x ≤,1y ≤,xy ε?≥，则
2
2
4xy ε+ ≤?,于是
2
11
24
xy ε
δ
+
≤?=?,
其中
2
11
4
ε
δ =,
此外空间
p
l,
[ ]
,
p
Lab ( )1 p ∞＜＜ 也是一致凸空间,
由定义容易知道，每个一致凸空间是严格凸的,
例 4 由于
1
l,
[ ]
1
,L ab，
[ ]
,Cab，
[ ]
,L ab
∞
,c，
0
c 不是严格凸的，所以也不是一致凸的,
定理 6 Banach 空间 X 是一致凸的当且仅当,
nn
x yX? ∈,
lim lim 1
nn
nn
xy
→∞ →∞
==,lim 2
nn
n
xy
→∞
+ = 时,lim 0
nn
n
xy
→∞
=,
证 明 首先设 1
nn
xy= =,lim 2
nn
n
xy
→∞
+ =,若
lim
nn
n
xy ε
→∞
≥＞0,则有无穷多个,
kk
nn
x y 　使得
2
kk
nn
xy
ε
≥＞0,
由一致凸性定义,1
2
kk
nn
xy
δ
+
≤?,这里 ( )δδε= ＞0,从而
lim 2
nn
n
xy
→∞
+ ＜,矛盾,
现设 lim lim 1
nn
nn
xy
→∞ →∞
==,取
n
n
n
x
x
x
′ =,
n
n
n
y
y
y
′ =,则
n
x′ = 1
n
y′ =
8
并且 lim 2
nn
n
xy
→∞
′′? =,由上面证明知道 lim 0
nn
n
xy
→∞
′′? =,从而
　 lim lim 0
nn nn nn
nn
xy xx yy
→∞ →∞
′′?=? =,
反之，若 X 不是一致凸的，则存在
0
ε ＞0 和,
nn
x y 使得 1
n
x ≤,
1
n
y ≤,
0nn
xy ε?≥，但
1
1
2
nn
xy
n
+
≥?,这与定理中所说条件矛盾,
推论 2 设 X 是一致凸空间，
n
x X∈,若 1
n
x → 并且
,
lim 2
mn
nm
xx
→∞
+=，则
,
lim 0
mn
nm
xx
→∞
=,
定理 7 一致凸 Banach 空间是自反的,
证 明 对于每个
0
x X

∈,不失一般性设
0
1x

=,我们证明存在
0
x X∈ 使得
00
Jx x

=,其中 J 是自然嵌入映射。
实际上,1n?≥，存在
n
x X

∈,1
n
x
= 使得
()
00
11
1
n
xx x
nn

=?＞,()3
由 Helly 第二选择定理，对于
1
,,
n
x x

""和
1
n
ε =,存在
n
x X∈ 使得
( ) ( )
0 iin
x xxx

=
()
4
并且
0
11
1
n
xx
nn

≤+=+,
于是
9
() ()
0
11
iinin
xx xx xx
nn

=≤ +＜＜,
由此得到 lim 1
n
n
x
→∞
=,再由
() () ()
0
1
21
iinim
x xxxxx
n


=+


＜2
inm
x xx
≤+
nm
x x=+
1
1
n

≤+


2,
得出
,
lim 2
mn
nm
xx
→∞
+=,上面推论 2 说明
,
lim 0
mn
nm
xx
→∞
=,换句话说，
{ }
n
x 是 Cauchy 序列,X 完备，不妨设
0
lim
n
n
x xX
→∞
= ∈,显然
0
1x =,
对于
()4,固定 i，令 n→∞，则得到 ( ) ( )
00ii
x xxx

=,1i ≥,
0
x 是惟一的,实际上若另有
0
x X′∈,
0
1x′ =,
00
x x′ ≠ 并且
() ()
00ii
x xxx

′=,1i?≥根据一致凸性必有
00
2xx′+ ＜,但由
() ()
0000
1
21 2
ii
x x xxx xx
n


′ ′?≤ = +≤+


,
得出
00
2xx′+≥，矛盾,
若 x X

∈ 是任一元,考虑序列
12
,,,xxx

",重复上面过程可得到
0
x,
0
1x = 并且
() ()
00
x xxx

=,
( ) ( )
00ii
x xxx

=,1i ≥
10
由惟一性知道
00
x x= 并且
( ) ( )
00
x xxx

=,x
的任意性说明
00
Jx x

=,J 到上，故 X 自反,
推论 3 设 X 是一致凸 Banach 空间,EX? 是非空闭凸集，则存在惟一的
0
x E∈ 使得
0
inf
xE
x x
∈
=,
证 明 若 0 E?,由于 X 是自反空间，由推论 1(其中取 0x = )即得出所要的结论，当 0 E∈ 时，取
0
0x = 即可,
推论 4 设 X 是一致凸 Banach 空间，
n
x X∈,则
n
x x→ 当且仅当
w
n
x x → 并且
n
x x→,
证 明 必要性是明显的,现证充分性,设
w
n
x x →,
n
x x→,
若 0x =,即 0
n
x →,故结论成立,若 0x ≠,不失一般性，设 1x =,
取 f X
∈,1f =,()f xx=,则
()( )22
mn
fx x fx+ →=,
从而
()
,,
2lim lim
mn mn
mn mn
f xx xx
→∞ →∞
≤+≤+
( )
,
lim 2
mn
mn
xx
→∞
≤ +=,
由推论 2,0
mn
xx?→,由此得出
n
x x→,
思考题
试证明
p
l 和 [,](0 )
p
Lab p< <∞ 都是一致凸空间,(在 2 p≤ <∞时证明并应用不等式
1
2( ),,.
pp pp
p
x yxy xyxy
++?≤ +? 在
12p<≤情况利用这一结果以及共轭范数的公式,)