1
第16讲 w收敛与 w
收敛
教学目的,
掌握弱收敛与弱
*
收敛的概念和基本性质。
授课要点,
1 序列弱收敛的定义和基本性质。
2 序列弱
*
收敛的定义和基本性质。
3 强弱序列有界性，闭性，完备性，紧性的比较。
有了共轭空间的知识，现在让我们引入一种新的收敛概念,
定义 1 设 X 是线性赋范空间,X
是 X 的共轭空间，
n
x,x X∈,
若对于每个 f X
∈,( ) ( )lim
n
n
f xfx
→∞
=,则称序列 { }
n
x 弱（ ω）收敛于 x,记为 lim
n
n
x xω
→∞
=?,或
n
x x
ω
→ 。
以往所讲的依范数收敛，有时又称为强收敛,必要时记之为
s
n
x x → 。
定理 1 弱收敛序列的极限是惟一的,
证明 设
n
x X∈,
w
n
x x →,
w
n
x y →,则 f X
∈,
() ( )
n
f xfx→,() ( )
n
f xfy→,于是 ( ) ( )f xfy=,由 Hahn－ Banach
定理的推论知道 x y=,
定理 2 设 X 是线性赋范空间，,,,
nn
x xy y X∈,,
n
λ λ∈Φ，
w
n
x x →,
w
n
yy →,
n
λ λ→,则
w
nn
x yxy+→+，
w
nn
x xλ λ →,
这一结论表明弱极限运算是线性的,
证明 f X
∈,直接计算得到
( )()( ) ( ) ( ) ( )
nn n n
f x y fx fy fx fy fx y+= + → + = +,
2
() ( ) ( ) ( )
nn n n
f xfxfxfxλ λλλ=→=,
即是所要的结论,
定理 3 若
s
n
x x →,则
w
n
x x →,
证明 对于每个 f X
∈,
() ( )
nn
f xfxfxx?≤?
，
若 0
n
xx?→，则
() ( )
n
f xfx→,故得之,
例 1 弱收敛的序列可能不是强收敛的,设 ()
p
n
elp∈ ＞1,
0,,01,0,
n
n
e
=
" "
,1n≥,对于每个
( ) ( )
11
1
pq
fl lpq
∈ =+=，不妨设 ()
12
,,f ηη= ",其中
1
q
n
n
η
∞
=
∞
∑
＜,于是 0
n
η →,
此时 ( ) 0
nn
fe η=→,故 0
w
n
e →,但 1
n
p
e =,故 0
n
e →,
定理 4 在有限维空间中，强收敛和弱收敛是一致的,
证明 只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的,实际上，若
()k
x,
( )0 n
x ∈Φ,
( ) ( )0k w
x x →,由于
( )
nn
Φ →Φ,取线性泛函
i
f,
当 { }
1
,,
n
x xx= " 时，
()
ii
f xx=,
( )1,,in= " 。则 ( )
n
i
f
∈Φ,
()
( )
()kk
ii
f xx=,
()
( )
()00
ii
f xx=,
由于
()
( )
()
( )
0k
ii
f xfx→ 即
( ) ( )
( )( )
0
1,,
k
ii
x xk i n→→∞= ",换句话说，
()k
x 依坐标收敛于
()0
x,故
( )k
x 必依范数收敛于
( )0
x,
尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛，但下面定理反映出弱收敛与强收敛的联系是紧密的,
3
定理 5 若
0
w
n
x x →,则存在 { }
n
x 中元素的凸组合构成的序列
{ }
n
y （即
1
n
ii
k
nnn
i
yrx
=
=
∑； 0
i
n
r ≥,
1
1
n
i
k
n
i
r
=
=
∑
）,
0
s
n
yx →,
证 明 考虑集合 { };1
n
Ecoxn= ≥,只须证明
0
x E∈,
由凸集的隔离定理，对于紧集 { }
0
x 和闭凸集 E,存在 f X
∈ 和两实数
12
,rr（
12
rr＜ ）使得
() ( )
012
Re Ref xrr fy＜＜＜,yE? ∈,
特别地，取
n
yx= 可知这是与 f X
∈,
0
() ()
n
f xfx→ 矛盾的,
为了进一步刻划弱收敛，让我们引入自然嵌入算子的概念,首先
我们有
定理 6 对于每个 xX∈,在 X
上定义泛函 x
，使
() ( )x ffx
=,f X
∈,
则 x X
∈ 并且 x x
=,
证 明 由定义，
12
,f fX
∈，,α β∈Φ,
( ) ( )( )
12 12
x ff ffxαβ αβ
+=+
( ) ( )
12
f xfxαβ=+
( ) ( )
12
x fxfαβ
=+,
故 x
是线性泛函,由于
() ( )x ffxxf
=≤
，
4
所以
()x fx
≤,x X
∈,
对于 0x≠,由 Hahn－ Banach 定理的推论，存在 f X
∈,1f = 并且 ()f xx=,从而
( ) ( )x xf fx x
≥==
,
故 x x
=,
当 0x= 时，取 0x
=,
定义 2 称算子,JX X
→,Jx x
=,
() ()x ffx
=,f X
∈ ( )321
是从 X 到 X
的自然嵌入算子,
若 ( )JX X
=,称 X 是自反空间,
定理 7 自然嵌入算子是从 X 到 X
的子空间上的等距同构,
证 明 若
11
Jx x
=,
22
Jx x
=,则 f X
∈,( )()
11
x ffx
=,
() ( )
22
x ffx
=,从而由定义
( )( ) ( ) ( )
12 1 2
x xf xf xfαβ α β
+=+
( ) ( )
12
f xfxαβ=+
( )
12
f xxαβ=+
,
即 ()
12 1 2
Jx x x xαβ α β
+=+
12
Jx Jxα β= +,J 是线性的,
5
由定理 1 知 Jxx x
==,设 { },YJxxX=∈,则 YX
为线性子空间,J 是从 X 到 Y 上的等距同构,
将等距同构的空间看作同一空间，我们可以将 X 看作 X
的线性子空间，即 X X
,容易知道，当 X 是 Banach 空间时,X 是 X
的闭线性子空间,若 X 不是完备的，考虑 X
的闭子空间 ()JX，一方面
()JX为 Banach 空间，另一方面 X (即 ( )
JX)在
()JX中稠密，故可以将
()JX看成 X 的完备化空间,这样，借助于二次共轭空间，我们得到了线性赋范空间的一种完备化方法,
定义 3 设 X 为线性赋范空间,X
是 X 的共轭空间,称集合
E X? 是弱 ()w 有界集，若对于每个 f X
∈,存在 0
f
M ＞ 使得
f
x M≤,xE? ∈,
定理 8 集合 E X? 是 w有界集，当且仅当 E 是有界集,
证明 若 E 有界，即存在 0M＞,x M≤,xE∈,则对于每个
f X
∈,
( )
f
f xfxfMM≤≤=,xE? ∈
E 是 w有界集,
反之，若 E 是 w有界的,J 是从 X 到 X
的自然嵌入，则 ()JE是
X
的子集,对于每个 f X
∈,
() ()
f
x ffxM
=≤,( )x JE
∈,
()JE在 X
上点点有界，根据共鸣定理 (注意 X
为 Banach 空间 )，存
6
在 0M＞,x M
≤,( )x JE
∈,但 Jx x x
==,xE?∈,故
x M≤,xE? ∈,E 是有界集,
定理 9
w
n
x x → 当且仅当下面两条成立,
(1)
1
sup
n
n
x
≥
∞＜ ；
(2) 存在 GX
,spanG 在 X
中稠密，并且对于每个 fG∈,
( ) ( )
n
f xfx→
.
证 明 若
w
n
x x →,显然 { }
n
x 是 w 有界集，由定理 3,
1
sup
n
n
x
≥
∞＜,后半部分结论自然成立，必要性得证,
反之，设 ()
n
x Mn≤?，不妨也设 x M≤,当
( )()
n
f xfx→ 对于 G中的所有 f 成立时，由于极限运算的线性，对于 spanG 中的每个 f 仍然成立,现在若 f X
∈,对于任意的 ε? ＞0,取 f′∈ spanG,
ff ε′? ＜,关于 f′，存在
0
n,当
0
nn≥ 时
( ) ( )
n
fx fx ε′′? ＜,
从而
() () ( ) ( ) ( ) ( )
nnnn
f xfx fxfx fxfx′′′?≤? +?
( ) ( )f xfx
′+?
nn
f fx f fxε′′≤? ++?
()21.M ε+＜
7
故
w
n
x x →,
例 2 ()1
p
lp∞＜＜ 中的序列
() ()
( )
nn
i
x xw= 收敛于
() ()
()
00
i
x x= 的充要条件是,
(1)
()
1
sup
n
p
n
x
≥
∞＜ ; （ 2） 1,i? ≥
( ) ( )
( )
0
.
n
ii
xxn→→∞
实际上，由
() ( )
11
1
pq
llpq
=+=，设 0,,0,1,0,
i
i
f
=
" "
，
{ };1
i
Gf=≥，则
q
i
f l∈ 并且对于每个 i,
()
( )
()
1,2,
nn
ii
fx x n== ",
()
( )
()00
.
ii
f xx=
最后,spanG 在
q
l 中是稠密的，对照定理 8 即得出所要的结论,
例 3
[ ]()
,1
p
Lab p∞＜＜ 中的序列 ( )
nn
x xt= 弱收敛于 ()
00
x xt=
的充要条件是
（ 1）
1
sup
n
p
n
x
≥
∞＜ ；
（2）并且对于每个 [ ]
0
,tab∈,
() ()
00
0
lim
tt
n
aan
x tdt x tdt
→∞
=
∫∫
,
实际上，设
[]
[ ]
{ }
,;,
at
Gtabχ=∈，其中
[],at
χ 是区间
[ ]
,at的特征函数。显然
[]
[ ]
,
,
q
at
Labχ ∈
( )
11
1pq
+ =,并且由 Lebesque 积分理论,
8
spanG 在 [ ],
q
Lab中稠密。现在记与
[]
0
,at
χ 相应的泛函为
0
t
f,则
()
[]
() ()
0
0 0
00,
,
bt
t at
aa
f x x tdt x tdtχ==
∫∫
()
[]
() ()
0
0 0
,
.
bt
tn n nat
aa
f xxtdxtdχ==
∫∫
对照定理 8 即得出所要的结论,
例 4 [ ],Cab 中的序列 { }
n
x 弱收敛于
0
x 的充要条件是
1
sup
n
n
x
≥
∞＜,并且对于每个 [ ],tab∈,( ) ( )
0n
x txt→,
实际上，对于每个 [ ],tab∈,定义 ( ) ( )
t
f xxt=,则
t
f 是
[ ]
,Cab上的线性泛函，并且 () ( )
t
f xxtx=≤，故 1
t
f ≤,
[ ]
,
t
f ab
∈,
若
0
w
n
x x →,必有
1
sup
n
n
x
≥
∞＜ 并且 ( ) ( )
0tn t
f xfx→,即
() ( )
0n
x txt→ ()n→∞,
反之，对于每个
[ ]
,f ab
∈,存在 ()
[ ]
0
,at V ab
∈,使得
() () ()
b
a
f xxtdtα=
∫
,( ) [ ],x tCab?∈
若定理中所说的条件成立,即
n
x M≤ 并且
( ) ( )
0n
x txt→,
[ ]
,tab?∈,
由 Stiltjes－ Lebesque 控制收敛定理得
() () () ()
0
lim,
bb
n
aan
x td t x td tαα
→∞
=
∫∫
即 ( ) ( )
0
lim
n
n
f xfx
→∞
=,f 是任意的，故
0
w
n
x x →,
9
定义 4 设 X 是线性赋范空间,X
是 X 的共轭空间，
n
f,f X
∈,
若 xX∈,() ()
n
f xfx→,则称序列
n
f 弱星 (w*）收敛于 f,记为
lim
n
n
f wf
→∞
=? 或
w
n
f f
→,
定理 10 w
收敛序列的极限是惟一的,
证明 设
w
n
f f
→,
w
n
f f
′ →,,则? xX∈,
( )()
n
f xfx→,
() ( )
n
f xfx′→,于是 () '(),,f xfxxX=?∈ 故 '.f f=
定理 11 设
n
f,f X
∈,
w
n
f f →,则
w
n
f f
→,
证明 若
w
n
f f →,则 x X
∈,
() ( ),
n
x fxf
→
但 X X
,xX?∈ 若 Jx x
=,则
() ( ) ( ) ( ),
nn
f xxf xf fx
=→=
故
w
n
f f
→,
例 5 w
收敛而不 w收敛的泛函序列,设
1
n
el∈,
n
e 如同例 1,由于
1
0
cl
=,()
12 0
,,x xx c? =∈ " ",( ) 0
nn
ex x= →,故 0
w
n
e
→,
另一方面，
( )
1
ll
∞
=,取 ( )
0
1,1,x l
∞
= ∈ " ",则
( )
0
1
n
xe
=,
故 0
w
n
e →,
定理 12 设 X
是 X 的共轭空间，
n
f,f X
∈,则
*w
n
f f → 当
10
且仅当
1
sup
n
n
x
≥
∞＜ 并且存在 E X?,span E 在 X 中稠密，对于每个
xE∈,( )()
n
f xfx→,
证明与定理 9 类似，此处略,
定义 5 线性赋范空间 X 中的子集 A 称为是弱序列闭集，若
n
x A?∈，
0
w
n
x x → 时，
0
x A∈,称 A是弱序列紧集，若 A中任一无穷序列有子序列弱收敛于 A中元。空间 X 称为是弱序列完备的，若 X
中的每个弱 Cauchy 序列 (即 f X
∈,( )
n
f x 是 Cauchy 序列 )都是弱收敛序列,
在前面我们已经证明过一个集合的弱有界与按范数有界等价,现在我们证明
定理 13 设 X 是线性赋范空间,A X? 是凸集，则 A是 (强 )闭集当且仅当 A是弱序列闭集,特别地，一个线性子空间是闭的当且仅当它是弱序列闭的,
证明 设 A 是弱序列闭的，
n
x A∈,
0
s
n
x x →,自然有
0
w
n
x x →,由弱序列闭性
0
x A∈,故 A是（强）闭的,
反之，若 A (强 )闭，
n
x A∈,
0
w
n
x x →,由定理 5，存在 { }
n
x 的凸组合构成的序列 { }
n
y,
0
s
n
yx →,但 A是凸集，所以
n
yA∈,A
（强）闭，故
0
x A∈,于是 A弱序列闭,
定理 14 线性赋范空间中的每个弱序列紧集是弱序列闭的,
证明 设 A 是弱序列紧的，
n
x A∈,
0
w
n
x x →,则存在子列
0
k
w
n
x xA′ →∈，由弱序列极限的惟一性
00
x xA′= ∈,
定理 15 若 X
是可分的,X 必为可分的,
11
证明 注意在第一章第 7 讲中我们已经知道 *XX或是可分的当
且仅当其单位球是可分的,设
( )
p
SX
是 X
的单位球面，
12
,,ff " 是
()
p
SX
中的可数稠密子集，由于
( )
1
sup
nn
n
ffx
≥
= =1,
取
n
x,1
n
x =,使
()
1
2
nn
fx＞ ( )1,2,n= ",
记 E = span{ }
n
x,则 E X=,若不然，有
0
\x XE∈,则 ( )
0
,dxE＞0,
根据第二章第 14 讲推论 5，存在 f X
∈,1f =,( )( )
00
,f xxEρ=
并且 () ( )0f xxE=?∈，于是
( )
p
f SX
∈,但 1n? ≥,
() () ()
1
2
nnnnnn
f f fx fx fx?≥? = ＞,
这与 { }
n
f 在
()
p
SX
中稠密矛盾,
例 5 定理 15 的逆不真,
我们已经知道
( )
1
ll
∞
=,
1
l 是可分的，但 l
∞
不是可分的,
定理 16 设 X 是可分线性赋范空间，则 X
中的任一有界序列
{ }
n
f 存在子序列
{ }
k
n
f,
*
.
k
w
n
f fX
→∈ 特别地,X
的闭单位球是 w
序列紧的,
证明 不妨设 { }
n
x 在 X 中稠密,1
n
f ≤,
12
由
( )
11n
f xx≤,取子序列 ( )
1
1,2,
i
fi= " 使
( )
11i
f x 收敛，又由
()
12 2i
f xx≤,取 { }
1i
f 的子序列
( )
2
1,2,
i
fi= " 使
( )
22i
f x 收敛，
",一般地有
ki
f 使得 ( )
ki k
f x 收敛
( )
i→∞,取对角线上的一列函数为 ()1,2,
kk
fk= ",则
kk
f 在每一点
i
x 收敛,
由于 { }
i
x 在 X 中稠密，对于每个 xX∈ 和任意的 ε＞0,存在
i
x 使得
i
xx ε? ＜,由不等式 (以下简记 kk 为 k,ss 为 s )
() () ( ) ( ) ( ) ( )
ns kk k s
f xfx fxfx fx fx′ ′′?≤?+?
( ) ( )
ss
f xfx′+?,
( ) ( )
kks
f xx fx fx′ ′′≤?+?
s
f xx′+?
取
0
n 足够大，使当
0
,ks n≥ 时，
( ) ( )
ks
fx fx ε′′? ＜,则上式变为
( ) ( ),
ks
fx fx ε? ＜3
于是
k
f 在 X 上处处收敛,
现在设 () ( )lim
k
k
f xfx
→∞
=,则 f 是线性的，并且
( ) ()lim
k
k
f xfxx
→∞
≤≤,
故 f X
∈,由 f 的定义即知
*w
k
f f →,
由上述内容可以看出，弱收敛的概念与强收敛既有联系又有区别,
13
记住这些联系与区别在理论上和应用上都是重要的,当把它们应用于不同的研究对象时，会引出形形色色彼此相同的或不同的方法或结果,
例如应用于向量值函数时，我们会得到强连续与弱连续，强可导与弱可导，强解析与弱解析，强可积与弱可积的概念,在很多情况下它们是不同的，不过，下面我们要讨论的定义在复平面 C的开集中的向量值函数的两种解析性是等价的,
设 X 是复线性赋范空间,?是复平面 C 中的开集,( )uz是定义在?中取值于 X 的向量值函数，称 u 在?中是（强）解析的，若
0
z?∈?,
0
z
r? ＞0,
n
aX∈ 使得
() ( )
0
0
n
n
n
uz a z z
∞
=
=?
∑
，
0
0 z
z zr? ＜
依 X 中范数收敛，称 u 在?中是弱解析的，若上述级数弱收敛，即
() ( )( )
0
0
n
n
n
x uz x a z z
∞
=
=?
∑
，
0
0 z
z zr? ＜
收敛,
由强解析容易得出弱解析，下面定理保证了相反的关系也能成立,
定理 17 设 X 是 Banach 空间，若 (形式 )幂级数
()
0
0
n
n
n
azz
∞
=
∑
，
n
aX∈
在
00
z zr? ＜ 中弱收敛，则此级数在
00
z zr? ＜ 中依范数收敛,
证明 对于
00
z zr?z,＜,取
10 0
z zr?
1
z,＜ 并且
010
z zzz＜,
由上述幂级数的弱收敛性,x X
∈,()( )
0
lim 0
n
n
n
xa zz
→∞
=,故
()
{ }0;1
n
n
azz n?≥弱有界，从而范数有界。不妨设
14
0
,1
n
n
azz M n? ≤≥
于是
0
010
00
10
n
n
n
nn n
zz
azz azz
zz
∞∞
==
=
∑∑
0
0
10
n
n
zz
M
zz
∞
=
≤∞
∑
＜,
由比较定理，
0
0
n
n
n
azz
∞
=
∑
收敛,X 是完备的，故
()( )
0
0
n
n
n
azz
∞
=
∑
依范数收敛,z是
00
z zr? ＜ 中任一点,所以结论成立,
思考题
1,若集合 *EX? 是 *w 有界的,E是否范数有界,
2,设 X 是 Banish 空间,(,),KBXY? 证明下面三条等价,
(1) sup,
TK
T
∈
<∞
(2),sup,
TK
xX Tx
∈
∈ <∞
(3),*,sup().
TT
xXfY fTx
∈
∈ ∈ <∞
第16讲 w收敛与 w
收敛
教学目的,
掌握弱收敛与弱
*
收敛的概念和基本性质。
授课要点,
1 序列弱收敛的定义和基本性质。
2 序列弱
*
收敛的定义和基本性质。
3 强弱序列有界性，闭性，完备性，紧性的比较。
有了共轭空间的知识，现在让我们引入一种新的收敛概念,
定义 1 设 X 是线性赋范空间,X
是 X 的共轭空间，
n
x,x X∈,
若对于每个 f X
∈,( ) ( )lim
n
n
f xfx
→∞
=,则称序列 { }
n
x 弱（ ω）收敛于 x,记为 lim
n
n
x xω
→∞
=?,或
n
x x
ω
→ 。
以往所讲的依范数收敛，有时又称为强收敛,必要时记之为
s
n
x x → 。
定理 1 弱收敛序列的极限是惟一的,
证明 设
n
x X∈,
w
n
x x →,
w
n
x y →,则 f X
∈,
() ( )
n
f xfx→,() ( )
n
f xfy→,于是 ( ) ( )f xfy=,由 Hahn－ Banach
定理的推论知道 x y=,
定理 2 设 X 是线性赋范空间，,,,
nn
x xy y X∈,,
n
λ λ∈Φ，
w
n
x x →,
w
n
yy →,
n
λ λ→,则
w
nn
x yxy+→+，
w
nn
x xλ λ →,
这一结论表明弱极限运算是线性的,
证明 f X
∈,直接计算得到
( )()( ) ( ) ( ) ( )
nn n n
f x y fx fy fx fy fx y+= + → + = +,
2
() ( ) ( ) ( )
nn n n
f xfxfxfxλ λλλ=→=,
即是所要的结论,
定理 3 若
s
n
x x →,则
w
n
x x →,
证明 对于每个 f X
∈,
() ( )
nn
f xfxfxx?≤?
，
若 0
n
xx?→，则
() ( )
n
f xfx→,故得之,
例 1 弱收敛的序列可能不是强收敛的,设 ()
p
n
elp∈ ＞1,
0,,01,0,
n
n
e
=
" "
,1n≥,对于每个
( ) ( )
11
1
pq
fl lpq
∈ =+=，不妨设 ()
12
,,f ηη= ",其中
1
q
n
n
η
∞
=
∞
∑
＜,于是 0
n
η →,
此时 ( ) 0
nn
fe η=→,故 0
w
n
e →,但 1
n
p
e =,故 0
n
e →,
定理 4 在有限维空间中，强收敛和弱收敛是一致的,
证明 只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的,实际上，若
()k
x,
( )0 n
x ∈Φ,
( ) ( )0k w
x x →,由于
( )
nn
Φ →Φ,取线性泛函
i
f,
当 { }
1
,,
n
x xx= " 时，
()
ii
f xx=,
( )1,,in= " 。则 ( )
n
i
f
∈Φ,
()
( )
()kk
ii
f xx=,
()
( )
()00
ii
f xx=,
由于
()
( )
()
( )
0k
ii
f xfx→ 即
( ) ( )
( )( )
0
1,,
k
ii
x xk i n→→∞= ",换句话说，
()k
x 依坐标收敛于
()0
x,故
( )k
x 必依范数收敛于
( )0
x,
尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛，但下面定理反映出弱收敛与强收敛的联系是紧密的,
3
定理 5 若
0
w
n
x x →,则存在 { }
n
x 中元素的凸组合构成的序列
{ }
n
y （即
1
n
ii
k
nnn
i
yrx
=
=
∑； 0
i
n
r ≥,
1
1
n
i
k
n
i
r
=
=
∑
）,
0
s
n
yx →,
证 明 考虑集合 { };1
n
Ecoxn= ≥,只须证明
0
x E∈,
由凸集的隔离定理，对于紧集 { }
0
x 和闭凸集 E,存在 f X
∈ 和两实数
12
,rr（
12
rr＜ ）使得
() ( )
012
Re Ref xrr fy＜＜＜,yE? ∈,
特别地，取
n
yx= 可知这是与 f X
∈,
0
() ()
n
f xfx→ 矛盾的,
为了进一步刻划弱收敛，让我们引入自然嵌入算子的概念,首先
我们有
定理 6 对于每个 xX∈,在 X
上定义泛函 x
，使
() ( )x ffx
=,f X
∈,
则 x X
∈ 并且 x x
=,
证 明 由定义，
12
,f fX
∈，,α β∈Φ,
( ) ( )( )
12 12
x ff ffxαβ αβ
+=+
( ) ( )
12
f xfxαβ=+
( ) ( )
12
x fxfαβ
=+,
故 x
是线性泛函,由于
() ( )x ffxxf
=≤
，
4
所以
()x fx
≤,x X
∈,
对于 0x≠,由 Hahn－ Banach 定理的推论，存在 f X
∈,1f = 并且 ()f xx=,从而
( ) ( )x xf fx x
≥==
,
故 x x
=,
当 0x= 时，取 0x
=,
定义 2 称算子,JX X
→,Jx x
=,
() ()x ffx
=,f X
∈ ( )321
是从 X 到 X
的自然嵌入算子,
若 ( )JX X
=,称 X 是自反空间,
定理 7 自然嵌入算子是从 X 到 X
的子空间上的等距同构,
证 明 若
11
Jx x
=,
22
Jx x
=,则 f X
∈,( )()
11
x ffx
=,
() ( )
22
x ffx
=,从而由定义
( )( ) ( ) ( )
12 1 2
x xf xf xfαβ α β
+=+
( ) ( )
12
f xfxαβ=+
( )
12
f xxαβ=+
,
即 ()
12 1 2
Jx x x xαβ α β
+=+
12
Jx Jxα β= +,J 是线性的,
5
由定理 1 知 Jxx x
==,设 { },YJxxX=∈,则 YX
为线性子空间,J 是从 X 到 Y 上的等距同构,
将等距同构的空间看作同一空间，我们可以将 X 看作 X
的线性子空间，即 X X
,容易知道，当 X 是 Banach 空间时,X 是 X
的闭线性子空间,若 X 不是完备的，考虑 X
的闭子空间 ()JX，一方面
()JX为 Banach 空间，另一方面 X (即 ( )
JX)在
()JX中稠密，故可以将
()JX看成 X 的完备化空间,这样，借助于二次共轭空间，我们得到了线性赋范空间的一种完备化方法,
定义 3 设 X 为线性赋范空间,X
是 X 的共轭空间,称集合
E X? 是弱 ()w 有界集，若对于每个 f X
∈,存在 0
f
M ＞ 使得
f
x M≤,xE? ∈,
定理 8 集合 E X? 是 w有界集，当且仅当 E 是有界集,
证明 若 E 有界，即存在 0M＞,x M≤,xE∈,则对于每个
f X
∈,
( )
f
f xfxfMM≤≤=,xE? ∈
E 是 w有界集,
反之，若 E 是 w有界的,J 是从 X 到 X
的自然嵌入，则 ()JE是
X
的子集,对于每个 f X
∈,
() ()
f
x ffxM
=≤,( )x JE
∈,
()JE在 X
上点点有界，根据共鸣定理 (注意 X
为 Banach 空间 )，存
6
在 0M＞,x M
≤,( )x JE
∈,但 Jx x x
==,xE?∈,故
x M≤,xE? ∈,E 是有界集,
定理 9
w
n
x x → 当且仅当下面两条成立,
(1)
1
sup
n
n
x
≥
∞＜ ；
(2) 存在 GX
,spanG 在 X
中稠密，并且对于每个 fG∈,
( ) ( )
n
f xfx→
.
证 明 若
w
n
x x →,显然 { }
n
x 是 w 有界集，由定理 3,
1
sup
n
n
x
≥
∞＜,后半部分结论自然成立，必要性得证,
反之，设 ()
n
x Mn≤?，不妨也设 x M≤,当
( )()
n
f xfx→ 对于 G中的所有 f 成立时，由于极限运算的线性，对于 spanG 中的每个 f 仍然成立,现在若 f X
∈,对于任意的 ε? ＞0,取 f′∈ spanG,
ff ε′? ＜,关于 f′，存在
0
n,当
0
nn≥ 时
( ) ( )
n
fx fx ε′′? ＜,
从而
() () ( ) ( ) ( ) ( )
nnnn
f xfx fxfx fxfx′′′?≤? +?
( ) ( )f xfx
′+?
nn
f fx f fxε′′≤? ++?
()21.M ε+＜
7
故
w
n
x x →,
例 2 ()1
p
lp∞＜＜ 中的序列
() ()
( )
nn
i
x xw= 收敛于
() ()
()
00
i
x x= 的充要条件是,
(1)
()
1
sup
n
p
n
x
≥
∞＜ ; （ 2） 1,i? ≥
( ) ( )
( )
0
.
n
ii
xxn→→∞
实际上，由
() ( )
11
1
pq
llpq
=+=，设 0,,0,1,0,
i
i
f
=
" "
，
{ };1
i
Gf=≥，则
q
i
f l∈ 并且对于每个 i,
()
( )
()
1,2,
nn
ii
fx x n== ",
()
( )
()00
.
ii
f xx=
最后,spanG 在
q
l 中是稠密的，对照定理 8 即得出所要的结论,
例 3
[ ]()
,1
p
Lab p∞＜＜ 中的序列 ( )
nn
x xt= 弱收敛于 ()
00
x xt=
的充要条件是
（ 1）
1
sup
n
p
n
x
≥
∞＜ ；
（2）并且对于每个 [ ]
0
,tab∈,
() ()
00
0
lim
tt
n
aan
x tdt x tdt
→∞
=
∫∫
,
实际上，设
[]
[ ]
{ }
,;,
at
Gtabχ=∈，其中
[],at
χ 是区间
[ ]
,at的特征函数。显然
[]
[ ]
,
,
q
at
Labχ ∈
( )
11
1pq
+ =,并且由 Lebesque 积分理论,
8
spanG 在 [ ],
q
Lab中稠密。现在记与
[]
0
,at
χ 相应的泛函为
0
t
f,则
()
[]
() ()
0
0 0
00,
,
bt
t at
aa
f x x tdt x tdtχ==
∫∫
()
[]
() ()
0
0 0
,
.
bt
tn n nat
aa
f xxtdxtdχ==
∫∫
对照定理 8 即得出所要的结论,
例 4 [ ],Cab 中的序列 { }
n
x 弱收敛于
0
x 的充要条件是
1
sup
n
n
x
≥
∞＜,并且对于每个 [ ],tab∈,( ) ( )
0n
x txt→,
实际上，对于每个 [ ],tab∈,定义 ( ) ( )
t
f xxt=,则
t
f 是
[ ]
,Cab上的线性泛函，并且 () ( )
t
f xxtx=≤，故 1
t
f ≤,
[ ]
,
t
f ab
∈,
若
0
w
n
x x →,必有
1
sup
n
n
x
≥
∞＜ 并且 ( ) ( )
0tn t
f xfx→,即
() ( )
0n
x txt→ ()n→∞,
反之，对于每个
[ ]
,f ab
∈,存在 ()
[ ]
0
,at V ab
∈,使得
() () ()
b
a
f xxtdtα=
∫
,( ) [ ],x tCab?∈
若定理中所说的条件成立,即
n
x M≤ 并且
( ) ( )
0n
x txt→,
[ ]
,tab?∈,
由 Stiltjes－ Lebesque 控制收敛定理得
() () () ()
0
lim,
bb
n
aan
x td t x td tαα
→∞
=
∫∫
即 ( ) ( )
0
lim
n
n
f xfx
→∞
=,f 是任意的，故
0
w
n
x x →,
9
定义 4 设 X 是线性赋范空间,X
是 X 的共轭空间，
n
f,f X
∈,
若 xX∈,() ()
n
f xfx→,则称序列
n
f 弱星 (w*）收敛于 f,记为
lim
n
n
f wf
→∞
=? 或
w
n
f f
→,
定理 10 w
收敛序列的极限是惟一的,
证明 设
w
n
f f
→,
w
n
f f
′ →,,则? xX∈,
( )()
n
f xfx→,
() ( )
n
f xfx′→,于是 () '(),,f xfxxX=?∈ 故 '.f f=
定理 11 设
n
f,f X
∈,
w
n
f f →,则
w
n
f f
→,
证明 若
w
n
f f →,则 x X
∈,
() ( ),
n
x fxf
→
但 X X
,xX?∈ 若 Jx x
=,则
() ( ) ( ) ( ),
nn
f xxf xf fx
=→=
故
w
n
f f
→,
例 5 w
收敛而不 w收敛的泛函序列,设
1
n
el∈,
n
e 如同例 1,由于
1
0
cl
=,()
12 0
,,x xx c? =∈ " ",( ) 0
nn
ex x= →,故 0
w
n
e
→,
另一方面，
( )
1
ll
∞
=,取 ( )
0
1,1,x l
∞
= ∈ " ",则
( )
0
1
n
xe
=,
故 0
w
n
e →,
定理 12 设 X
是 X 的共轭空间，
n
f,f X
∈,则
*w
n
f f → 当
10
且仅当
1
sup
n
n
x
≥
∞＜ 并且存在 E X?,span E 在 X 中稠密，对于每个
xE∈,( )()
n
f xfx→,
证明与定理 9 类似，此处略,
定义 5 线性赋范空间 X 中的子集 A 称为是弱序列闭集，若
n
x A?∈，
0
w
n
x x → 时，
0
x A∈,称 A是弱序列紧集，若 A中任一无穷序列有子序列弱收敛于 A中元。空间 X 称为是弱序列完备的，若 X
中的每个弱 Cauchy 序列 (即 f X
∈,( )
n
f x 是 Cauchy 序列 )都是弱收敛序列,
在前面我们已经证明过一个集合的弱有界与按范数有界等价,现在我们证明
定理 13 设 X 是线性赋范空间,A X? 是凸集，则 A是 (强 )闭集当且仅当 A是弱序列闭集,特别地，一个线性子空间是闭的当且仅当它是弱序列闭的,
证明 设 A 是弱序列闭的，
n
x A∈,
0
s
n
x x →,自然有
0
w
n
x x →,由弱序列闭性
0
x A∈,故 A是（强）闭的,
反之，若 A (强 )闭，
n
x A∈,
0
w
n
x x →,由定理 5，存在 { }
n
x 的凸组合构成的序列 { }
n
y,
0
s
n
yx →,但 A是凸集，所以
n
yA∈,A
（强）闭，故
0
x A∈,于是 A弱序列闭,
定理 14 线性赋范空间中的每个弱序列紧集是弱序列闭的,
证明 设 A 是弱序列紧的，
n
x A∈,
0
w
n
x x →,则存在子列
0
k
w
n
x xA′ →∈，由弱序列极限的惟一性
00
x xA′= ∈,
定理 15 若 X
是可分的,X 必为可分的,
11
证明 注意在第一章第 7 讲中我们已经知道 *XX或是可分的当
且仅当其单位球是可分的,设
( )
p
SX
是 X
的单位球面，
12
,,ff " 是
()
p
SX
中的可数稠密子集，由于
( )
1
sup
nn
n
ffx
≥
= =1,
取
n
x,1
n
x =,使
()
1
2
nn
fx＞ ( )1,2,n= ",
记 E = span{ }
n
x,则 E X=,若不然，有
0
\x XE∈,则 ( )
0
,dxE＞0,
根据第二章第 14 讲推论 5，存在 f X
∈,1f =,( )( )
00
,f xxEρ=
并且 () ( )0f xxE=?∈，于是
( )
p
f SX
∈,但 1n? ≥,
() () ()
1
2
nnnnnn
f f fx fx fx?≥? = ＞,
这与 { }
n
f 在
()
p
SX
中稠密矛盾,
例 5 定理 15 的逆不真,
我们已经知道
( )
1
ll
∞
=,
1
l 是可分的，但 l
∞
不是可分的,
定理 16 设 X 是可分线性赋范空间，则 X
中的任一有界序列
{ }
n
f 存在子序列
{ }
k
n
f,
*
.
k
w
n
f fX
→∈ 特别地,X
的闭单位球是 w
序列紧的,
证明 不妨设 { }
n
x 在 X 中稠密,1
n
f ≤,
12
由
( )
11n
f xx≤,取子序列 ( )
1
1,2,
i
fi= " 使
( )
11i
f x 收敛，又由
()
12 2i
f xx≤,取 { }
1i
f 的子序列
( )
2
1,2,
i
fi= " 使
( )
22i
f x 收敛，
",一般地有
ki
f 使得 ( )
ki k
f x 收敛
( )
i→∞,取对角线上的一列函数为 ()1,2,
kk
fk= ",则
kk
f 在每一点
i
x 收敛,
由于 { }
i
x 在 X 中稠密，对于每个 xX∈ 和任意的 ε＞0,存在
i
x 使得
i
xx ε? ＜,由不等式 (以下简记 kk 为 k,ss 为 s )
() () ( ) ( ) ( ) ( )
ns kk k s
f xfx fxfx fx fx′ ′′?≤?+?
( ) ( )
ss
f xfx′+?,
( ) ( )
kks
f xx fx fx′ ′′≤?+?
s
f xx′+?
取
0
n 足够大，使当
0
,ks n≥ 时，
( ) ( )
ks
fx fx ε′′? ＜,则上式变为
( ) ( ),
ks
fx fx ε? ＜3
于是
k
f 在 X 上处处收敛,
现在设 () ( )lim
k
k
f xfx
→∞
=,则 f 是线性的，并且
( ) ()lim
k
k
f xfxx
→∞
≤≤,
故 f X
∈,由 f 的定义即知
*w
k
f f →,
由上述内容可以看出，弱收敛的概念与强收敛既有联系又有区别,
13
记住这些联系与区别在理论上和应用上都是重要的,当把它们应用于不同的研究对象时，会引出形形色色彼此相同的或不同的方法或结果,
例如应用于向量值函数时，我们会得到强连续与弱连续，强可导与弱可导，强解析与弱解析，强可积与弱可积的概念,在很多情况下它们是不同的，不过，下面我们要讨论的定义在复平面 C的开集中的向量值函数的两种解析性是等价的,
设 X 是复线性赋范空间,?是复平面 C 中的开集,( )uz是定义在?中取值于 X 的向量值函数，称 u 在?中是（强）解析的，若
0
z?∈?,
0
z
r? ＞0,
n
aX∈ 使得
() ( )
0
0
n
n
n
uz a z z
∞
=
=?
∑
，
0
0 z
z zr? ＜
依 X 中范数收敛，称 u 在?中是弱解析的，若上述级数弱收敛，即
() ( )( )
0
0
n
n
n
x uz x a z z
∞
=
=?
∑
，
0
0 z
z zr? ＜
收敛,
由强解析容易得出弱解析，下面定理保证了相反的关系也能成立,
定理 17 设 X 是 Banach 空间，若 (形式 )幂级数
()
0
0
n
n
n
azz
∞
=
∑
，
n
aX∈
在
00
z zr? ＜ 中弱收敛，则此级数在
00
z zr? ＜ 中依范数收敛,
证明 对于
00
z zr?z,＜,取
10 0
z zr?
1
z,＜ 并且
010
z zzz＜,
由上述幂级数的弱收敛性,x X
∈,()( )
0
lim 0
n
n
n
xa zz
→∞
=,故
()
{ }0;1
n
n
azz n?≥弱有界，从而范数有界。不妨设
14
0
,1
n
n
azz M n? ≤≥
于是
0
010
00
10
n
n
n
nn n
zz
azz azz
zz
∞∞
==
=
∑∑
0
0
10
n
n
zz
M
zz
∞
=
≤∞
∑
＜,
由比较定理，
0
0
n
n
n
azz
∞
=
∑
收敛,X 是完备的，故
()( )
0
0
n
n
n
azz
∞
=
∑
依范数收敛,z是
00
z zr? ＜ 中任一点,所以结论成立,
思考题
1,若集合 *EX? 是 *w 有界的,E是否范数有界,
2,设 X 是 Banish 空间,(,),KBXY? 证明下面三条等价,
(1) sup,
TK
T
∈
<∞
(2),sup,
TK
xX Tx
∈
∈ <∞
(3),*,sup().
TT
xXfY fTx
∈
∈ ∈ <∞
