第五章 数理统计的基本概念与抽样分布习题
1,设 是来自 总体 的样本,则样本 的分 布 律为
),,,(
21 n
XXX null ),( pNB ),,,(
21 n
XXX null； XE = ； XD = ；
=
2
n
ES ； =
2*
n
ES 。
2,设 是来 自总体),,,(
21 n
XXX null )(λP 的样 本，则 样本 的分布律为
),,,(
21 n
XXX null； XE = ； XD = ；
=
2
n
ES ； =
2*
n
ES 。
3,设（ 4,6,4,3,5,4,5,8,4,7） 是来自总体 X 的一个样本值,则样本均值 =x ； 样本方差
=
2
10
S ；修 正样本方差 =
2*
10
S 。
4,设 是来自正 态总体 的样本,则统 计量),,,(
21 n
XXX null )1,0(N
2
1
1
=
∑
=
m
i
i
X
m
Y
2
1
1
+
∑
+=
n
mi
i
X
mn
服从的分布是 。
5,设 是来自正 态总体 的样本,统计量
，则当常数
),,,(
621
XXX null )1,0(N
2
654
2
321
)()( XXXXXXY +++++=
=C 时,CY 服从自由度为 的 分布。
2
χ
6,设 1.5,2,2.5,3,3.5,1.5 为 来自正态总体 X 的样本,求样本均值,样本方差的观察值。
7,设总体 X 服从泊松分布 )(λP,是总体),,,(
21 n
XXX null X 的一个样本。
（ 1）试求样 本 的分布律； ),,,(
21 n
XXX null
（ 2）试求
2*2
,,,
nn
ESESXDXE；
8,设 是来自 正态总 体 的一个样 本,求统计量 ),,,,,,(
121 mnnn
XXXXX
++
nullnull ),0(
2
σN
∑
∑
+
+=
=
=
mn
ni
i
n
i
i
Xn
Xm
F
1
2
1
2
的概率分布 。
9,设
1
X 和
2
X 是来 自正态 总体 的容量 为 的两个独 立样 本和 的样本均值,试确定 n,使得这两个样本均值之差的绝对值超过
),(
2
σμN n ),,,(
11211 n
XXX null
),,,(
22221 n
XXX null σ 的概率大约为 0.01。
10,设 是来 自正态 总体 的样本,),,,(
21 n
XXX null ),(
2
σμN X 和 是样本 均值 和样本方
2
n
S
1
差，又设 服从 分布，且与 独立，试求统计量
1+n
X ),(
2
σμN
n
XXX,,,
21
null
1
1
1
+

=
+
n
n
S
XX
T
n
n
的概率分布。
11,是来自正态总体 的一个样本，记 ),,,(
1021
XXX null ),0(
2
σN
Y= ( )
2
10
2
6
2
5
4321
XXX
XXXX
a
+++
+++
null
选择常数,使 Y 服从 t 分布。 a
第五章 数理统计的基本概念与抽样分布习题解答
1,(X
1
,X
2
,…,X
n
）的分布律为
11
1
(1 )
nn
nNx x
ii
i
n
x
N
i
Cp p
∑∑
==
=
Π?; XΕ = Np ;
DX =
(1 )Np p
n;
2
n
SΕ=
1
(1 )
n
Npp
n
;
2
n
S
Ε = (1 )Np p?,
2,样本 (X
1
,X
2
,…,X
n
)的 分布律为
1
1
[/ !];
λ; DX =
n
λ;
n
i
i
nx
n
i
i
xe
λ
λ
=
=
∑
∏
XΕ =
2
n
SΕ=
1n
n
λ;
2
n
S
Ε=λ,
3,均值 =x 5；样 本方差 2.2； 修正样本方差
2
10
S =
2
10
S
=
22
9
4.
2
(2)χ
5,C= 1/3,2
6,样本均值,6/14)5.15.335.225.1(
6
1
6
1
6
1
=+++++==
∑
=i
i
xx
样本方差：
])3/75.1()3/75.3()3/73(
)3/75.2()3/75.2()3/75.1[(
6
1
)(
6
1
222
2222
6
1
2
+?+?+
+?+?=?=
∑
=i
i
xxs
7,
(1)
1
11
() / !
!
n
i
i
i
xnn n
x
n
ii
ii i
i
1
P xee x
x
λλ
λ
λ
=

== =
∑
==
∏∏ ∏
0,1...,1,2,,
i
xi n
,,
= = null
(2)
1
1
,
n
i
i
EX E X EX
n
λ
=
===
∑
DX
DX
nn
λ
= =
2
22222 2
1
22
1
() ()
1
n
ni
i
2
ES E X X EX EX DX EX DX EX
n
n
nn
λ
λλ λ λ
=

=?=?=+


=+ =
∑
22
1
11
nn
nnn
ES E S
nnn
λ λ
==?

=
8,F(n,m)
9,由题意,
1
X
～ N
2
(,)
n
σ
μ,
2
X
～
2
(,)N
n
σ
μ,且 他们相互独立
则
12
X X? ～
2
2
(0,)N
n
σ
。由
{ }
12
0.01PX X σ?>=
得
{ }
12
10.01PXXσσ≤?≤=,则 { }
12
0.99PXXσσ?≤? ≤ =
于是
12
222
{}
XX
P
nnn
σσ
σσσ

≤ ≤ =.9
,
12
2
{}
22
2
XXnn
P
n
σ
≤ ≤ =0.9
于是,0.99
22
nn

Φ?Φ?=


，
2 1 0.99
2
n

Φ?=


,
2.57
2
n
=,求得 13.2n =
10,由题意 X ～
2
(,)N
n
σ
μ,
1n
X
+
～
1
,
3
α =
所以
1n
X X
+
～
2
2
(0,)N
n
σ
σ +,
2
2
2
(1
n
nS
nχ
σ
)?～
所以
2
11
2
2
[
(1)
1
n
XX nS
n
n
n
σ
σ
]
+
+
～ t (n-1),
即：
1
1
1
n
n
XXn
Sn
+

+
～ t (n-1)
3
11,由于 ( )
2
4321
4,0~ σNXXXX +++
则
()
(1,0~
4
2
4321
N
XXXX
σ
+++
),又
( )
()6~
2
2
2
10
2
6
2
5
χ
σ
XXX +++ null
,
由 T 分布的 定义
()()
()6~
6
4
2
2
10
2
6
2
5
2
4321
t
XXXXXXX
σ
σ
+++
+++ null
得到
63
42
a ==,
4