§ 7,2 正态总体均值与方差的假设检验
一、简介
对于正 态总体,其参数无非是两个,均值(期望) μ 和方差,如果加上两总体的参数比较，概括起来，对参数的假设一般只有如下四种情形,
2
σ
（ⅰ）对 μ,（ⅱ）对,（ⅲ）对
2
σ
21
μμ?,（ⅳ）对,
2
2
2
1
/σσ
检验的类别和方法,
关于均 值的检验
)(
)(
方差未知检验法方差已知检验 法
t
u
关于方 差的检验
)(
)(
2
两个正 态 总 体检验法一个正态总体检验法
F
χ
下面我们将分别予以讨论。
二、正态 总 体均值 μ 的检 验
(一 ) u 检验
u 检验适应在方差已知的情况下，对均值的检验（一个总体或两个总体）。
1,一个正态 总体情形
设总体,样本 来自总体 X,已知,),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX null
2
σ
1° 提出假 设,H
0
,； H
0
μμ =
1
,
0
μμ ≠
2° 取检验 统计量,
n
X
U
σ
μ
0
=,在 H
0
成立的条件下,(0,1)~
0
N
n
X
U
σ
μ?
=
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
≥
2
uUP
由,
2
1)(
2
α
α
=Φ u 查表可得临界值,
2
α
u 拒绝域,}.:),,,{(
2
21 α
uuxxxW
n
≥= null
2
α
)(xy?=
2
α
2
α
u?
2
α
u
x O
y
4°
U 由样本值计算 的观察值
5°
作判断,若 H
0；否则，
.
0
u
，则 拒 绝Wu ∈
0
，若 Wu ∈
0
则接受 H,
0
例 7.4 某工 厂 生 产 的 铜 丝 的 折 断 力 (单 位,N)服从 正态分布 N(μ,8
2
),某日抽取 10 根铜丝,
若 已 认为该日生产的铜丝合格 (α=0.10)?
解 1°
假设,H
0
：
进 行 折 断 力试验,测得 结果如下,
578,572,570,568,572,
570,572,596,584,570
知 μ=576,问 是 否 可 以
576=μ ； H
1
,576≠μ
108
576?
=
X
U 2°
取检验统 计量,
(0,1)~
108
576
N
X
U
= 在 H
0
成立的条件下，
10.0=α,{ } 10.0
05.0
=≥uUP 3°
给定显著性水平
由 查表可得临界值
拒绝域：
95.0)(
05.0
=Φ u,645.1
05.0
=u
}.645.1:),,,{(
05.021
=≥= uuxxxW
n
null
4° 由样本值计算
0
u
2.575=x
U的观察值
这里 n=10,算得
.
，于是
,645.1316.010
8
5762.575
0
<=?
=u
5
0
作判断
，因为 Wu ∈
0
所以接受 H,即在显著水平 α=0.10 下，可认为该日生产的铜丝合格。
0
例 7.5 微波 炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质量指标,某厂该指标服从正态分布 N(μ,σ
2
),长期以来 1.0=σ,且均值都符合要求不超过 0.12,为检 查近期产品的质量,抽查了 25 台,得 其 炉 门 关 闭 时 辐 射 量 的 均 值,1203.0=x 试问在 α=0.05 水平下该厂炉门关闭时 辐 射 量 是 否 升 高 了?
μ解 1°
假设,H
0
,12.0≤μ ； 12.0>
此问题属于单侧假设检验问题,已知 1.0=σ,
H
1
：
n=25,
2°
取检验统 计量,
251.0
μ?
=
X
U
(0,1)~
251.0
N
X
U
μ?
=
在 H
0
成立的条件下，
05.0=α,{ } 05.0
05.0
=≥
uUP 3°
给定显著性水平
由
05.0
=Φ u 95.0)( 查表可得临界值,645.1
05.0
=u
12.0≤μ若 H
0
成立，则,从而
251.0
12.0
251.0
=≥
=
X
U
X
U
μ
05.005.0
uUuU ≥≥
，则若,所以
拒绝域：
4°
由样本值计算 U的观察值
这里 n=25,
}{}{
05.005.0
uUuU ≥?≥
事件事件
05.0}{}{
05.005.0
=≥≤≥
uUPuUP
}.645.1:),,,{(
05.021
=≥= uuxxxW
n
null
1203.0=x
.
0
u
，于是
645.1015.025
1.0
12.01203.0
251.0
12.0
0
<=×
=
=
x
u
5
0
作判断
，因为 Wu ∈
0
所以接受 H
0
，即在显著 水平 α=0.05 下，可认为 当前生产的 微波炉关 门时的辐射量无明显升高,
两个总体 检验适应的问题的一般提法如下,设 为出自 的样本,YYY null 为出自 μN 的样本，
2．两个正态 总体情形
u ).,,,(
1
21 n
XXX null ),(
2
11
σμN
.,,,( ),(
2
1
σ,
2
σ)
2
21 n 22
σ
21
μμ =
21
μμ ≠
已知,两个总体的样本之间独立。
1° 提出假 设,H
0
,； H
1
：
2° 取检验 统计量,
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
σσ
+
=
)1,0(~
)(
2
2
2
1
2
1
N
nn
YX
U
σσ
+
=在 H
0
成立的条件下,
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
≥
2
uUP
,
2
1)(
2
α
α
=Φ u 查表可得临界值,
2
α
u 由
拒 绝 域,,;,,,{(
2
yxxxW = nullnull,
2
21
211 α
uuyy
nn
≥
4°
由样本值计算 U的观察值 u,
}.:),
0
5°
∈,Wu ∈ 则接受 H,作判断,若,则 拒 绝Wu
0
H
0；否则,若
0
0
例 7.6 一卷 烟,化验尼古丁的含量是否相同,从 A,B 中
1 24
26
据经验知,尼古丁含量服从正态分布,且 A 种 的方差为 B 种的方差为 8,取 α=0.05，问两 种 差 异？
解 设两种烟草的尼古丁平均含量分别为
1° 提出零 假设,H
0
,； H
1
：
2° 取检验 统计量,
厂 向 化 验 室 送 去 A,B 两 种 烟 草各随机抽取重量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量 (单位：毫克 )为,
A,24 27 26 2
B,27 28 23 31
5，
21
μμ 和,
烟 草 的 尼 古 丁 含 量 是 否 有
21
μμ =
21
μμ ≠
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
σσ
+
=
)1,0(~
)(
2
在 H
0
成立的条件下，
2
2
σ
1
2
1
N
nn
YX
U
σ
+
=
3°
给定显著性水平 05.0=α,{ } 05.0
025.0
=≥ uUP
由 查表可得临界值
拒绝域：
975.0)(
025.0
=Φ u,96.1
025.0
=u
}.96.1:),,,;,,,{(
21
2121
≥= uyyyxxxW
nn
nullnull
4°
由样本值,27,4.24,5
21
==== yxnn 计算 U的观察值,
0
u
612.1
5
85
2
+
n
5
274.24)(
2
2
1
2
1
0
=
=
+
=
n
yx
u
σσ
5°
作判断：,因为 Wu ∈
0
所以接受 H
0
,即在显著水平 α=0.05 下,认为两种烟草的尼古丁含量是无显著差异,
7.2 中,
表 7.2
统计假设
方差已知时，对正态总体期望的假设检验小结于表对总体要求 检方 法 H
0
H
1
验 统计量 拒绝域
0
μμ =
0
μμ ≠
2
α
uu ≥
0
μμ≤
0
μμ >
α
uu ≥
0
μμ≥
0
μμ<
一个正态总体
u检验已知
2
2
),(
σ
σμN
n
X
U
σ
μ
0
=
α
uu?≤
21
μμ =
21
μμ ≠
2
α
uu ≥
21
μμ ≤
21
μμ >
α
uu ≥
2
μ
两个相互独立的
正态总体
u检验已知
2
2
2
1
2
2
2
1
,
),(),,(
σσ
σμσμ NN
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
σσ
+
=
α
uu?≤
21
μμ ≥
1
μ <
时,对 期 望 的 检 验,可 以 是 单 总 体,也 可 是 双 总 体 。 当 然 对 于 双总体，它们的样本之间应该是独立的。
1.
设总体,样本 来自总体 X,未知,
1° 提出假 设,H
0
,； H
1
：
：
(二 ) t 检验
t 检 验 用 于 当 方 差 未 知
一个正态总体情形
),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX null
2
σ
0
μμ =
0
μμ ≠
nS
X
T
n
=
0
μ
2° 取检验 统 计 量在 H
0
成立的条件下,)=T 1(~
0
nt
nS
X
n
μ
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
≥ )1(
2
ntTP
查表可得临界值 ).(
2
nt
α
拒绝域：,= txW
n
null
2
α
y
2
α
1 )}.1(:),,{(
2
21
≥ ntxx
α
= )(x
T
)1(
2
)1(
2
nt
α
nt
.
0
t
α
x O
4°
由样本值计算 T的观察 值
5°
作判断,若,则拒绝Wt ∈
0
H
0；否则，,若 Wt ∈
0
则接受 H
0
,
例 7.7 设某 次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考 生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分,修正的标准差为 15 分,问,在显著水平 0.05 下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？
解 设该次考 试的学生成绩为 X，则,),(~
2
σμNX
1° 提出假 设,H
0
：,
nS
X
T
n
=
0
μ
70=μ 70≠μ ； H
1
由于 未知，所以用 t 检 验法,
：
2
σ
2° 取检验 统 计 量
)1(~
0
在 H
0
成 立 的 条 件 下,= tT
n
nS
X
n
μ
3° 给定显著 性水平 05.0=α,α
α
=
≥ )1(
2
ntTP
由 得临界值 36=,查 表 可,0301.2)35(
025.
=
15,5.66,36 ===
n
sxn,
n )1(
0
2
=? tnt
α
拒绝域,}.0301.2:),,,{(
21
≥= txxxW
n
null
4°
由样本值 计算 T的观 察值,
0301.24.136
15
0
=?=t
，因为 Wt
705.66
<
5°
作判断,∈
0
所以接受 H
0
,即在显著水平 α=0.05 下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为总体情形
对于两个总体，一般地讨论比较麻烦，通常考虑两种特殊情况,
70 分,
2．两个正态
(1) σσσ ==
21
（ 未 知 ）,这 一 情 形 问 题 的 一 般 提 法 是,
设 为来 自 的样本,为 来 的样假 设,
:
2111o
<>≠ 或或μμμ
的显著水平为
),,,(
1
21 n
XXX null ),(
2
1
σμN ),,,(
2
21 n
YYY null ),(
2
2
σμN自
)0,0(0:
本,两 个 总 体 的 样 本 之 间 独 立,需 检 验
α
H;0H
2
=μ
21
μμ =
21
μμ ≠
的检验。检验步骤,
1° 提出假 设,H
0
,； H
1
：
2° 取检验 统 计
)2
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)1()1(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+?
=
量,
在 H
0
成 立 的 条 件 下,(
= ntT ~
)2(
)1()1(
)(
21
21
2121
2
2
2
2
1
1
21
+
+
+
+?
n
nn
nnnn
SnSn
YX
nn
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
+≥ )2(
21
2
nntTP
查表可得临界值 ).2(
21
2
+ nnt
α
)}.2(:),,,;,,,{(
212121
2
21
+≥= nnttyyyxxxW
nn α
nullnull拒绝域,
4°
由样本值计算 T的观察 值
作 判 ∈
.
0
t
5°
断,若 t
0
H ；否则，
0
，若 Wt ∈
0
则接受 H,
0
(2)
21
,σσ 未知，但,则可考虑所谓配对检验法。此时令 nnn ==
21
,则 拒 绝W
∑∑
=
==
n
SZZ
2
1
,
1
=
==?
n
i
in
i
iiii
ZZ
nn
ZniYX
1
2
1
)(
1
,,,2,1,null
由于当
21
μμ = 时，,且相互独立，则 ),0(~
2
2
2
1
σσ +NZ
i
)1(~
)1(
),,0(~
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
+
+
n
Sn
n
NZ χ
σσ
σσ
2?
n
SZ与 独立，故 )1(~
1
1
)1(
2
2
2
1
2
2
2
2
1
=
+
+
=
ntn
S
Z
n
Sn
n
Z
T
n
n
σσ
σσ
且
t可作为
0
=?μμH 。
8 羊毛在处理前后，各抽取样本，侧得含脂率如下( %)
1 30 27
的检验统计量0:
21
例 7,某种,
处理前 19 18 21 30 66 42 8 2
05.0=α
处 理 后 4
162,8,10
2121
=?+== nnnn 自由度：已知,
15 13 7 24 19 8 20
羊毛含脂率服从正态分布，问：处理后含脂率有无显著变化( )?
解
1° 假设,H
0
,； H
1
：
21
μμ =
21
μμ ≠
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)1()1(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+?
=
2° 取检验 统计量,
在 H
0
成立的条件下,
)16()2(~
)2(
)1()1(
)(
1
YX
+
=
05.0=α,{ } 05.0)16(
025.0
=≥ tTP
2
21
2121
2
2
2
2
1
1
1
tnnt
nn
nnnn
SnSn
T
nn
=?
+
+
+?
3° 给定显著 性水平
2
.12.2)16(
025.0
=t
查表可得临界值
拒绝域,}.12.2:),,,;,,,{(
21
2121
≥= tyyyxxxW
nn
nullnull
4°
由样本值计算 T的观察 值,
0
t
64.49)75.13(
18
1
,1.281)3.27(
110
1
75.13,3.27
8
1
22
1
10
1
22
1
21
=?
==?
===
∑∑
=
=
i
in
i
in
ysxsyx,
1522.21
)2(
(
212
0
≈
+
=
nnn
x
t
)1()1(
)
21
1
2
2
2
2
1
1
+
+?
nn
n
snsn
y
nn
，即可以认为处理后含脂率有显著变化,
表 7.3
统计假设
21
5° 作判断,因为,所以拒 绝Wt ∈
0
H
0
方差未知时，对正态总体期望的假设检验小结于表 7.3 中：
对 总 体 要 求 检验
方 法
0
μμ =
0
μμ ≠
)1(
2
≥ ntt
α
0
μμ ≤
0
μμ > )1(?≥ ntt
α
0
μμ ≥
0
μμ <
正态总体
t 检验
未知
2
2
),(
σ
σμN
nS
X
T
n
=
0
μ
)1(≤ ntt
α
21
μμ =
21
μμ ≠
)1(
21
2
+≥ nntt
α
21
μμ ≤
21
μμ > )1(
21
+≥ nntt
α
21
μμ ≥
21
μμ < N )1(
21
+≤ nntt
α
H
0
H
1
统计量 拒绝域
两个相 互独立的正 态总体
未知
22
2
2
2
1
),(
),,(
σσ
σμ
σμ
=
N
t 检验
21
2
χ F
2
χ F
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)1()1(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+?
=
(三 ) 检验和 检验( test and test)
2
χ 检验和 F 检验都是对于方差的检验，前者用于一个正态总体的方差检验,,后者用于两个正态总体的方差比的检验。
检验
为出自 的样本,要对参数 进行检验,这里
1.
设 ),,,(
21 n
XXX null ),(
2
σμN
2
σ μ
2
χ
往往是未知的。
0
,； H
1
,
2
σ =
2
0
σ
2
σ ≠
2
0
σ 1° 提出假 设,H
2° 选择统计 量,
2
=χ?
n
Sn
n
χ
σ
(在 H
0
成立下)
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα
)1(~
)1(
2
2
0
2
,
拒绝域为
)}1({)1(),,,{(
2
1
222
21
22
≥?≤=
nnxxxW
n αα
χχχχ ∪null,
如图 7-3 所 示。
图7 -3
此 时,,)|(
0
α
α
=+=HWP
2
χ 的观察值
2
0
χ
22
α
4°
由 样 本 值 计 算,
2
5°
作判断,若,则拒绝W∈
0
χ H
0；否则，,若 W∈
0
χ 则接受 H
2
例 7.9 某厂生产的 汽车 蓄电池 使用 寿命服 从正 态分布,其 说明书 上写 明其标 准差 不超过 0.9a，现 随机抽取 10 只，得修正样本标准差为 1.2a，试 在
0
05.0=α 水平下检验厂方说明书上所写的标准差是否可信,； H
1
,
采用 检验法,为单侧检验,
2° 选择统计 量,
解 1° 假设,H
0
：
2
σ ≤ 9.0
2
σ 9.0>
2
χ
)1(~
(
22
χχ =?=
n
n )1
2
2
2
χ
σ
S
n
(在 H
0
成立下)
3° 给定显著 性水平 05.0=α,查 表得
拒绝域为
2
21
=
α
χ
n
W null,其中
919.1699
2
05.0
2
== ）（）（ χχ
α
)9(
}919.16)9(),,,
2
2
2
0
2
2
9.0
9)1(
=
=
nn
SSn
σ
χ {(
2
=≥ χ：xxx
2
χ 的观察值
.
2
0
χ4°
由样本值计算
919.16)9(16
9.0
2.1
9
22
×
，因为 W∈
2
0
χ 所以接受 H
0
，即认为在 05.0=α
05.0
2
2
0
=<== χχ
5°
作 判断,水平下厂方 说明书上所 写的标准差可信。
设,
1
XX 出
1 n
YY null 为出自 的样本，
且样本之间独立。考虑假设
(ⅰ ) H,；,
(四 ) F 检验
,N
2
,,,),(
2
22
σμN
1
,
2 n
X null 为 自 ),(
2
11
σμ 的 样 本,
2
Y
2
1
σ =
2
2
σ
1
H
2
1
σ ≠
2
2
σ
0
(ⅱ ),； H,σ σ
对此可采用统计量
0
H
2
1
σ ≤
2
2
σ
2
>
2
1 1 2
2
2
2
2
2
1
2
1
/
S
F
/σ
σ
=
S
进行检验，易知，对于（ⅰ），在 下，,我们可取拒绝域为
0
H )1,1(~
21
nnFF
)]1,1({)}1,1({
21
1
21
22
>∪<=
nnFFnnFFW
αα
此时,
0
,
例 7.10 假设其寿命服从正态分布，
α=)|(
0
HWP
对于（ⅱ），类似前面的讨论，可取拒绝域为
α≤)
)}1,1({
211
>=
nnFFW
α
此时 |( HWP
现有 两箱灯泡,今从第一箱中抽取 9 只,算得寿命的样本均值,1532=x 样 本 均 方 差;432
1
1
=
n
s
从第二箱中 抽取 18 只,算得寿命的样本 均值,1532=x 样本均方差 ； 作适当 的检验,对380
2
2
=
n
s 05.0=α,检验是否可以认为这两箱灯泡寿命服从同一正态分布,
69.3)9,18(
025.0
=F 05.4)8,17(
025.0
=F
052.2)27(
025.0
=t 06.2)25(
025.0
=t
93.2)18,9(
025.0
=F 061.3)17,8(
025.0
=F
解 设第一箱,第 二 箱 独立，
),(~),,(~
2
22
2
11
σμσμ NYNX
灯 泡 寿 命 分 别 为 X,Y,X 与 Y
1° 假设,H
0
,; H
1
：
(1) 先作 F 检验
2
1
σ =
2
2
σ
2
1
σ ≠
2
2
σ
)17,8()2,1(~
/
/
21
2
2
2
1
2° 取统计 量,
2
2
S
05.0=α,由 得
05.4)8,17(
025.0
=F
2
2
2
1
2
1
FnnF
S
S
S
F ===
σ
σ
(在 H
0
成立下)
°3 给定显著 性水平
247.0
05.4
1
)8,17(
1
)17,8(
025.0
975.0
≈==
F
F
拒绝域为
,
025.0975.01
=≥=≤ FFFF ∪,
算
:),;,,{(
1
21
= yyxxW
nn
nullnull
F
}061.3)17,8(247.0)17,8(
4°
由 样 本 值 计 值,32.1
0
≈f
，
2
1
σ =
2
2
σ,
的 观 察
5°
作判断,因 为 Wf ∈
0
所以接受 H
0
，即可认为
(； H
1
：
2° 取检验 统计量,
2) 再作 t 检验
2 21
μμ ≠ 1° 假设,H
0
：
1
μμ =
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+
=
在 H
0
成立的条件下,
)25()2(~
)2(
)(
21
21
2
2
2
2
1
1
21
SnSn
nn
+
+
{ } 05.0)25(
025.0
=≥ tTP
2121
tnnt
nn
nnnn
YX
T =?+
+
=
给定显著 性水平3° 05.0=α,
}.06.2:),,,;,,
依 题,设,06.2)25(
025.0
=t 拒 绝 域,
1
x{(
21
212
≥= tyyyxxW
nn
nullnull
4°
由 样 本 值 计 值,72.0
0
≈t
，因为 Wt ∈
0
21
μμ
算 T的观察
5°
作判断,所以接受 H,即可认为 =
0
,
综上所述：可以认为这两箱灯泡寿命服从同一正态分布。
例 7.11 批 零 件 的 样 本 方 差 为一台机床大 修 前曾加工 一,共
1
n =10 件,加 工 尺 寸
)(2500
22
大修后加工 一批零件,共 12
1
μ=S,
2
=n 件,加工尺寸的样本方差为 )(400
22
2
μ=S,
问：此机床大修后，精度有明显提高的最小显著性水平大致有多大？
解 对 实 际问题,可 态分 布，即 机床 大修前 后加 工尺寸 分别 服 从和 于 由 题；
用 统计量
此 设加工 尺寸 服从正
),(
2
11
σμN,(
2
22
σμN,) 是 意 有
0
H,
2
1
σ =
2
2
σ
1
H,
2
1
σ >
2
2
σ
F
36.6
400912
25001110
)1(
2
212
Snn
)1(
2
121
≈
××
××
=
=
Snn
F
否定域为{ ＞,从表上查 得 F )11,9(
1 α?
F };36.612.8)11,9(001.0;36.654.5)11,9(005.0
11
>==<==
αα
αα FF 时，当时，当
由 此 可 知,在 否 定 的前提下，最小显著性水平在 0.001 到 0.005 之间。
0
H
一、简介
对于正 态总体,其参数无非是两个,均值(期望) μ 和方差,如果加上两总体的参数比较，概括起来，对参数的假设一般只有如下四种情形,
2
σ
（ⅰ）对 μ,（ⅱ）对,（ⅲ）对
2
σ
21
μμ?,（ⅳ）对,
2
2
2
1
/σσ
检验的类别和方法,
关于均 值的检验
)(
)(
方差未知检验法方差已知检验 法
t
u
关于方 差的检验
)(
)(
2
两个正 态 总 体检验法一个正态总体检验法
F
χ
下面我们将分别予以讨论。
二、正态 总 体均值 μ 的检 验
(一 ) u 检验
u 检验适应在方差已知的情况下，对均值的检验（一个总体或两个总体）。
1,一个正态 总体情形
设总体,样本 来自总体 X,已知,),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX null
2
σ
1° 提出假 设,H
0
,； H
0
μμ =
1
,
0
μμ ≠
2° 取检验 统计量,
n
X
U
σ
μ
0
=,在 H
0
成立的条件下,(0,1)~
0
N
n
X
U
σ
μ?
=
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
≥
2
uUP
由,
2
1)(
2
α
α
=Φ u 查表可得临界值,
2
α
u 拒绝域,}.:),,,{(
2
21 α
uuxxxW
n
≥= null
2
α
)(xy?=
2
α
2
α
u?
2
α
u
x O
y
4°
U 由样本值计算 的观察值
5°
作判断,若 H
0；否则，
.
0
u
，则 拒 绝Wu ∈
0
，若 Wu ∈
0
则接受 H,
0
例 7.4 某工 厂 生 产 的 铜 丝 的 折 断 力 (单 位,N)服从 正态分布 N(μ,8
2
),某日抽取 10 根铜丝,
若 已 认为该日生产的铜丝合格 (α=0.10)?
解 1°
假设,H
0
：
进 行 折 断 力试验,测得 结果如下,
578,572,570,568,572,
570,572,596,584,570
知 μ=576,问 是 否 可 以
576=μ ； H
1
,576≠μ
108
576?
=
X
U 2°
取检验统 计量,
(0,1)~
108
576
N
X
U
= 在 H
0
成立的条件下，
10.0=α,{ } 10.0
05.0
=≥uUP 3°
给定显著性水平
由 查表可得临界值
拒绝域：
95.0)(
05.0
=Φ u,645.1
05.0
=u
}.645.1:),,,{(
05.021
=≥= uuxxxW
n
null
4° 由样本值计算
0
u
2.575=x
U的观察值
这里 n=10,算得
.
，于是
,645.1316.010
8
5762.575
0
<=?
=u
5
0
作判断
，因为 Wu ∈
0
所以接受 H,即在显著水平 α=0.10 下，可认为该日生产的铜丝合格。
0
例 7.5 微波 炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质量指标,某厂该指标服从正态分布 N(μ,σ
2
),长期以来 1.0=σ,且均值都符合要求不超过 0.12,为检 查近期产品的质量,抽查了 25 台,得 其 炉 门 关 闭 时 辐 射 量 的 均 值,1203.0=x 试问在 α=0.05 水平下该厂炉门关闭时 辐 射 量 是 否 升 高 了?
μ解 1°
假设,H
0
,12.0≤μ ； 12.0>
此问题属于单侧假设检验问题,已知 1.0=σ,
H
1
：
n=25,
2°
取检验统 计量,
251.0
μ?
=
X
U
(0,1)~
251.0
N
X
U
μ?
=
在 H
0
成立的条件下，
05.0=α,{ } 05.0
05.0
=≥
uUP 3°
给定显著性水平
由
05.0
=Φ u 95.0)( 查表可得临界值,645.1
05.0
=u
12.0≤μ若 H
0
成立，则,从而
251.0
12.0
251.0
=≥
=
X
U
X
U
μ
05.005.0
uUuU ≥≥
，则若,所以
拒绝域：
4°
由样本值计算 U的观察值
这里 n=25,
}{}{
05.005.0
uUuU ≥?≥
事件事件
05.0}{}{
05.005.0
=≥≤≥
uUPuUP
}.645.1:),,,{(
05.021
=≥= uuxxxW
n
null
1203.0=x
.
0
u
，于是
645.1015.025
1.0
12.01203.0
251.0
12.0
0
<=×
=
=
x
u
5
0
作判断
，因为 Wu ∈
0
所以接受 H
0
，即在显著 水平 α=0.05 下，可认为 当前生产的 微波炉关 门时的辐射量无明显升高,
两个总体 检验适应的问题的一般提法如下,设 为出自 的样本,YYY null 为出自 μN 的样本，
2．两个正态 总体情形
u ).,,,(
1
21 n
XXX null ),(
2
11
σμN
.,,,( ),(
2
1
σ,
2
σ)
2
21 n 22
σ
21
μμ =
21
μμ ≠
已知,两个总体的样本之间独立。
1° 提出假 设,H
0
,； H
1
：
2° 取检验 统计量,
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
σσ
+
=
)1,0(~
)(
2
2
2
1
2
1
N
nn
YX
U
σσ
+
=在 H
0
成立的条件下,
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
≥
2
uUP
,
2
1)(
2
α
α
=Φ u 查表可得临界值,
2
α
u 由
拒 绝 域,,;,,,{(
2
yxxxW = nullnull,
2
21
211 α
uuyy
nn
≥
4°
由样本值计算 U的观察值 u,
}.:),
0
5°
∈,Wu ∈ 则接受 H,作判断,若,则 拒 绝Wu
0
H
0；否则,若
0
0
例 7.6 一卷 烟,化验尼古丁的含量是否相同,从 A,B 中
1 24
26
据经验知,尼古丁含量服从正态分布,且 A 种 的方差为 B 种的方差为 8,取 α=0.05，问两 种 差 异？
解 设两种烟草的尼古丁平均含量分别为
1° 提出零 假设,H
0
,； H
1
：
2° 取检验 统计量,
厂 向 化 验 室 送 去 A,B 两 种 烟 草各随机抽取重量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量 (单位：毫克 )为,
A,24 27 26 2
B,27 28 23 31
5，
21
μμ 和,
烟 草 的 尼 古 丁 含 量 是 否 有
21
μμ =
21
μμ ≠
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
σσ
+
=
)1,0(~
)(
2
在 H
0
成立的条件下，
2
2
σ
1
2
1
N
nn
YX
U
σ
+
=
3°
给定显著性水平 05.0=α,{ } 05.0
025.0
=≥ uUP
由 查表可得临界值
拒绝域：
975.0)(
025.0
=Φ u,96.1
025.0
=u
}.96.1:),,,;,,,{(
21
2121
≥= uyyyxxxW
nn
nullnull
4°
由样本值,27,4.24,5
21
==== yxnn 计算 U的观察值,
0
u
612.1
5
85
2
+
n
5
274.24)(
2
2
1
2
1
0
=
=
+
=
n
yx
u
σσ
5°
作判断：,因为 Wu ∈
0
所以接受 H
0
,即在显著水平 α=0.05 下,认为两种烟草的尼古丁含量是无显著差异,
7.2 中,
表 7.2
统计假设
方差已知时，对正态总体期望的假设检验小结于表对总体要求 检方 法 H
0
H
1
验 统计量 拒绝域
0
μμ =
0
μμ ≠
2
α
uu ≥
0
μμ≤
0
μμ >
α
uu ≥
0
μμ≥
0
μμ<
一个正态总体
u检验已知
2
2
),(
σ
σμN
n
X
U
σ
μ
0
=
α
uu?≤
21
μμ =
21
μμ ≠
2
α
uu ≥
21
μμ ≤
21
μμ >
α
uu ≥
2
μ
两个相互独立的
正态总体
u检验已知
2
2
2
1
2
2
2
1
,
),(),,(
σσ
σμσμ NN
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
σσ
+
=
α
uu?≤
21
μμ ≥
1
μ <
时,对 期 望 的 检 验,可 以 是 单 总 体,也 可 是 双 总 体 。 当 然 对 于 双总体，它们的样本之间应该是独立的。
1.
设总体,样本 来自总体 X,未知,
1° 提出假 设,H
0
,； H
1
：
：
(二 ) t 检验
t 检 验 用 于 当 方 差 未 知
一个正态总体情形
),(~
2
σμNX ),,,(
21 n
XXX null
2
σ
0
μμ =
0
μμ ≠
nS
X
T
n
=
0
μ
2° 取检验 统 计 量在 H
0
成立的条件下,)=T 1(~
0
nt
nS
X
n
μ
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
≥ )1(
2
ntTP
查表可得临界值 ).(
2
nt
α
拒绝域：,= txW
n
null
2
α
y
2
α
1 )}.1(:),,{(
2
21
≥ ntxx
α
= )(x
T
)1(
2
)1(
2
nt
α
nt
.
0
t
α
x O
4°
由样本值计算 T的观察 值
5°
作判断,若,则拒绝Wt ∈
0
H
0；否则，,若 Wt ∈
0
则接受 H
0
,
例 7.7 设某 次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考 生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分,修正的标准差为 15 分,问,在显著水平 0.05 下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？
解 设该次考 试的学生成绩为 X，则,),(~
2
σμNX
1° 提出假 设,H
0
：,
nS
X
T
n
=
0
μ
70=μ 70≠μ ； H
1
由于 未知，所以用 t 检 验法,
：
2
σ
2° 取检验 统 计 量
)1(~
0
在 H
0
成 立 的 条 件 下,= tT
n
nS
X
n
μ
3° 给定显著 性水平 05.0=α,α
α
=
≥ )1(
2
ntTP
由 得临界值 36=,查 表 可,0301.2)35(
025.
=
15,5.66,36 ===
n
sxn,
n )1(
0
2
=? tnt
α
拒绝域,}.0301.2:),,,{(
21
≥= txxxW
n
null
4°
由样本值 计算 T的观 察值,
0301.24.136
15
0
=?=t
，因为 Wt
705.66
<
5°
作判断,∈
0
所以接受 H
0
,即在显著水平 α=0.05 下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为总体情形
对于两个总体，一般地讨论比较麻烦，通常考虑两种特殊情况,
70 分,
2．两个正态
(1) σσσ ==
21
（ 未 知 ）,这 一 情 形 问 题 的 一 般 提 法 是,
设 为来 自 的样本,为 来 的样假 设,
:
2111o
<>≠ 或或μμμ
的显著水平为
),,,(
1
21 n
XXX null ),(
2
1
σμN ),,,(
2
21 n
YYY null ),(
2
2
σμN自
)0,0(0:
本,两 个 总 体 的 样 本 之 间 独 立,需 检 验
α
H;0H
2
=μ
21
μμ =
21
μμ ≠
的检验。检验步骤,
1° 提出假 设,H
0
,； H
1
：
2° 取检验 统 计
)2
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)1()1(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+?
=
量,
在 H
0
成 立 的 条 件 下,(
= ntT ~
)2(
)1()1(
)(
21
21
2121
2
2
2
2
1
1
21
+
+
+
+?
n
nn
nnnn
SnSn
YX
nn
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα,α
α
=
+≥ )2(
21
2
nntTP
查表可得临界值 ).2(
21
2
+ nnt
α
)}.2(:),,,;,,,{(
212121
2
21
+≥= nnttyyyxxxW
nn α
nullnull拒绝域,
4°
由样本值计算 T的观察 值
作 判 ∈
.
0
t
5°
断,若 t
0
H ；否则，
0
，若 Wt ∈
0
则接受 H,
0
(2)
21
,σσ 未知，但,则可考虑所谓配对检验法。此时令 nnn ==
21
,则 拒 绝W
∑∑
=
==
n
SZZ
2
1
,
1
=
==?
n
i
in
i
iiii
ZZ
nn
ZniYX
1
2
1
)(
1
,,,2,1,null
由于当
21
μμ = 时，,且相互独立，则 ),0(~
2
2
2
1
σσ +NZ
i
)1(~
)1(
),,0(~
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
+
+
n
Sn
n
NZ χ
σσ
σσ
2?
n
SZ与 独立，故 )1(~
1
1
)1(
2
2
2
1
2
2
2
2
1
=
+
+
=
ntn
S
Z
n
Sn
n
Z
T
n
n
σσ
σσ
且
t可作为
0
=?μμH 。
8 羊毛在处理前后，各抽取样本，侧得含脂率如下( %)
1 30 27
的检验统计量0:
21
例 7,某种,
处理前 19 18 21 30 66 42 8 2
05.0=α
处 理 后 4
162,8,10
2121
=?+== nnnn 自由度：已知,
15 13 7 24 19 8 20
羊毛含脂率服从正态分布，问：处理后含脂率有无显著变化( )?
解
1° 假设,H
0
,； H
1
：
21
μμ =
21
μμ ≠
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)1()1(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+?
=
2° 取检验 统计量,
在 H
0
成立的条件下,
)16()2(~
)2(
)1()1(
)(
1
YX
+
=
05.0=α,{ } 05.0)16(
025.0
=≥ tTP
2
21
2121
2
2
2
2
1
1
1
tnnt
nn
nnnn
SnSn
T
nn
=?
+
+
+?
3° 给定显著 性水平
2
.12.2)16(
025.0
=t
查表可得临界值
拒绝域,}.12.2:),,,;,,,{(
21
2121
≥= tyyyxxxW
nn
nullnull
4°
由样本值计算 T的观察 值,
0
t
64.49)75.13(
18
1
,1.281)3.27(
110
1
75.13,3.27
8
1
22
1
10
1
22
1
21
=?
==?
===
∑∑
=
=
i
in
i
in
ysxsyx,
1522.21
)2(
(
212
0
≈
+
=
nnn
x
t
)1()1(
)
21
1
2
2
2
2
1
1
+
+?
nn
n
snsn
y
nn
，即可以认为处理后含脂率有显著变化,
表 7.3
统计假设
21
5° 作判断,因为,所以拒 绝Wt ∈
0
H
0
方差未知时，对正态总体期望的假设检验小结于表 7.3 中：
对 总 体 要 求 检验
方 法
0
μμ =
0
μμ ≠
)1(
2
≥ ntt
α
0
μμ ≤
0
μμ > )1(?≥ ntt
α
0
μμ ≥
0
μμ <
正态总体
t 检验
未知
2
2
),(
σ
σμN
nS
X
T
n
=
0
μ
)1(≤ ntt
α
21
μμ =
21
μμ ≠
)1(
21
2
+≥ nntt
α
21
μμ ≤
21
μμ > )1(
21
+≥ nntt
α
21
μμ ≥
21
μμ < N )1(
21
+≤ nntt
α
H
0
H
1
统计量 拒绝域
两个相 互独立的正 态总体
未知
22
2
2
2
1
),(
),,(
σσ
σμ
σμ
=
N
t 检验
21
2
χ F
2
χ F
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)1()1(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+?
=
(三 ) 检验和 检验( test and test)
2
χ 检验和 F 检验都是对于方差的检验，前者用于一个正态总体的方差检验,,后者用于两个正态总体的方差比的检验。
检验
为出自 的样本,要对参数 进行检验,这里
1.
设 ),,,(
21 n
XXX null ),(
2
σμN
2
σ μ
2
χ
往往是未知的。
0
,； H
1
,
2
σ =
2
0
σ
2
σ ≠
2
0
σ 1° 提出假 设,H
2° 选择统计 量,
2
=χ?
n
Sn
n
χ
σ
(在 H
0
成立下)
3° 给定显著 性水平 )05.00( ≤<αα
)1(~
)1(
2
2
0
2
,
拒绝域为
)}1({)1(),,,{(
2
1
222
21
22
≥?≤=
nnxxxW
n αα
χχχχ ∪null,
如图 7-3 所 示。
图7 -3
此 时,,)|(
0
α
α
=+=HWP
2
χ 的观察值
2
0
χ
22
α
4°
由 样 本 值 计 算,
2
5°
作判断,若,则拒绝W∈
0
χ H
0；否则，,若 W∈
0
χ 则接受 H
2
例 7.9 某厂生产的 汽车 蓄电池 使用 寿命服 从正 态分布,其 说明书 上写 明其标 准差 不超过 0.9a，现 随机抽取 10 只，得修正样本标准差为 1.2a，试 在
0
05.0=α 水平下检验厂方说明书上所写的标准差是否可信,； H
1
,
采用 检验法,为单侧检验,
2° 选择统计 量,
解 1° 假设,H
0
：
2
σ ≤ 9.0
2
σ 9.0>
2
χ
)1(~
(
22
χχ =?=
n
n )1
2
2
2
χ
σ
S
n
(在 H
0
成立下)
3° 给定显著 性水平 05.0=α,查 表得
拒绝域为
2
21
=
α
χ
n
W null,其中
919.1699
2
05.0
2
== ）（）（ χχ
α
)9(
}919.16)9(),,,
2
2
2
0
2
2
9.0
9)1(
=
=
nn
SSn
σ
χ {(
2
=≥ χ：xxx
2
χ 的观察值
.
2
0
χ4°
由样本值计算
919.16)9(16
9.0
2.1
9
22
×
，因为 W∈
2
0
χ 所以接受 H
0
，即认为在 05.0=α
05.0
2
2
0
=<== χχ
5°
作 判断,水平下厂方 说明书上所 写的标准差可信。
设,
1
XX 出
1 n
YY null 为出自 的样本，
且样本之间独立。考虑假设
(ⅰ ) H,；,
(四 ) F 检验
,N
2
,,,),(
2
22
σμN
1
,
2 n
X null 为 自 ),(
2
11
σμ 的 样 本,
2
Y
2
1
σ =
2
2
σ
1
H
2
1
σ ≠
2
2
σ
0
(ⅱ ),； H,σ σ
对此可采用统计量
0
H
2
1
σ ≤
2
2
σ
2
>
2
1 1 2
2
2
2
2
2
1
2
1
/
S
F
/σ
σ
=
S
进行检验，易知，对于（ⅰ），在 下，,我们可取拒绝域为
0
H )1,1(~
21
nnFF
)]1,1({)}1,1({
21
1
21
22
>∪<=
nnFFnnFFW
αα
此时,
0
,
例 7.10 假设其寿命服从正态分布，
α=)|(
0
HWP
对于（ⅱ），类似前面的讨论，可取拒绝域为
α≤)
)}1,1({
211
>=
nnFFW
α
此时 |( HWP
现有 两箱灯泡,今从第一箱中抽取 9 只,算得寿命的样本均值,1532=x 样 本 均 方 差;432
1
1
=
n
s
从第二箱中 抽取 18 只,算得寿命的样本 均值,1532=x 样本均方差 ； 作适当 的检验,对380
2
2
=
n
s 05.0=α,检验是否可以认为这两箱灯泡寿命服从同一正态分布,
69.3)9,18(
025.0
=F 05.4)8,17(
025.0
=F
052.2)27(
025.0
=t 06.2)25(
025.0
=t
93.2)18,9(
025.0
=F 061.3)17,8(
025.0
=F
解 设第一箱,第 二 箱 独立，
),(~),,(~
2
22
2
11
σμσμ NYNX
灯 泡 寿 命 分 别 为 X,Y,X 与 Y
1° 假设,H
0
,; H
1
：
(1) 先作 F 检验
2
1
σ =
2
2
σ
2
1
σ ≠
2
2
σ
)17,8()2,1(~
/
/
21
2
2
2
1
2° 取统计 量,
2
2
S
05.0=α,由 得
05.4)8,17(
025.0
=F
2
2
2
1
2
1
FnnF
S
S
S
F ===
σ
σ
(在 H
0
成立下)
°3 给定显著 性水平
247.0
05.4
1
)8,17(
1
)17,8(
025.0
975.0
≈==
F
F
拒绝域为
,
025.0975.01
=≥=≤ FFFF ∪,
算
:),;,,{(
1
21
= yyxxW
nn
nullnull
F
}061.3)17,8(247.0)17,8(
4°
由 样 本 值 计 值,32.1
0
≈f
，
2
1
σ =
2
2
σ,
的 观 察
5°
作判断,因 为 Wf ∈
0
所以接受 H
0
，即可认为
(； H
1
：
2° 取检验 统计量,
2) 再作 t 检验
2 21
μμ ≠ 1° 假设,H
0
：
1
μμ =
21
2121
2
2
2
2
1
1
)2(
)(
21
nn
nnnn
SnSn
YX
T
nn
+
+
+
=
在 H
0
成立的条件下,
)25()2(~
)2(
)(
21
21
2
2
2
2
1
1
21
SnSn
nn
+
+
{ } 05.0)25(
025.0
=≥ tTP
2121
tnnt
nn
nnnn
YX
T =?+
+
=
给定显著 性水平3° 05.0=α,
}.06.2:),,,;,,
依 题,设,06.2)25(
025.0
=t 拒 绝 域,
1
x{(
21
212
≥= tyyyxxW
nn
nullnull
4°
由 样 本 值 计 值,72.0
0
≈t
，因为 Wt ∈
0
21
μμ
算 T的观察
5°
作判断,所以接受 H,即可认为 =
0
,
综上所述：可以认为这两箱灯泡寿命服从同一正态分布。
例 7.11 批 零 件 的 样 本 方 差 为一台机床大 修 前曾加工 一,共
1
n =10 件,加 工 尺 寸
)(2500
22
大修后加工 一批零件,共 12
1
μ=S,
2
=n 件,加工尺寸的样本方差为 )(400
22
2
μ=S,
问：此机床大修后，精度有明显提高的最小显著性水平大致有多大？
解 对 实 际问题,可 态分 布，即 机床 大修前 后加 工尺寸 分别 服 从和 于 由 题；
用 统计量
此 设加工 尺寸 服从正
),(
2
11
σμN,(
2
22
σμN,) 是 意 有
0
H,
2
1
σ =
2
2
σ
1
H,
2
1
σ >
2
2
σ
F
36.6
400912
25001110
)1(
2
212
Snn
)1(
2
121
≈
××
××
=
=
Snn
F
否定域为{ ＞,从表上查 得 F )11,9(
1 α?
F };36.612.8)11,9(001.0;36.654.5)11,9(005.0
11
>==<==
αα
αα FF 时，当时，当
由 此 可 知,在 否 定 的前提下，最小显著性水平在 0.001 到 0.005 之间。
0
H
