§5.2 常用统计分布
5.2.1 分布
2
χ
定义5.6 设随机变量独立同分布，且每个，则称随机变量
n
XXX,,,
21
null )1,0(~ NX
i
(5.15)
22
2
2
1
2
nn
XXX +++= nullχ
所服从的分布为自由度为的分布，记为。这里自由度是表达式(5.15) n
2
χ )(~
22
n
n
χχ n
中独立变量的个数。随机变量亦称为变量。
2
n
χ
2
χ
定理5.4 自由度为n的变量的分布密度为
2
χ
2
n
χ
≤
>
Γ
=

0 0
0
)
2
(2
1
)(
1
22
2
x
xxe
n
xp
nx
n
(5.16)
其中)
2
(
n
Γ是伽玛函数在dxexa
xa
∫
+∞

=Γ
0
1
)(
2
n
a =处的值。
分布具有下列性质,
2
χ
性质5.3 ； (5.20) nE
n
=)(
2
χ nD
n
2)(
2
=χ
证明 由定义5.6得
nXEXDXEXEE
n
i
ii
n
i
n
i
iin ∑∑∑
===
=+===
1
2
11
222
]))(()([)()()(χ
由于
2131
2
))(()()(
2
4
2242
2
=?=?=?=
∞+
∞?
∫
dxe
x
XEXEXD
x
iii
π
所以
nXDXDD
n
i
n
i
iin
2)()()(
11
222
===
∑∑
==
χ
性质5.4 设，，且)(~
2
nX χ )(~
2
mY χ X与Y相互独立，则
(5.21) )(~
2
mnYX ++ χ
性质5.5 设，则对任意，有 )(~
22
n
n
χχ x
dtex
n
n
P
t
x
n
n
2
2
2
2
1
}
2
{lim
∞?∞→
∫
=≤
π
χ
证明 由假设及定义5.6，可表示，其中独立且每
，因而，，…，独立同分布，且
2
n
χ
∑
=
=
n
i
in
X
1
22
χ
n
XXX,,,
21
null
)1,0(~ NX
i
2
1
X
2
2
X
2
n
X
,1)(
2
=
=
i
def
XEμ 2)(
2
=
=
i
def
XDσ ),,2,1( ni null=
由中心极限定理得
dtex
n
nX
Px
n
n
P
t
x
n
i
i
n
n
n
2
1
2
2
2
2
1
lim
2
lim
∞?
=
∞→∞→
∫
∑
=
≤
=
≤
πσ
μ
χ
该性质表明变量的极限分布是正态分布，即当n很大时，
2
χ
n
n
n
2
2
χ
近似服从标准正态分布，进而近似服从正态分布。 )1,0(N
2
n
χ )2,( nnN
5.2.2 t分布
定义5.7 设，，且)1,0(~ NX )(~
2
nY χ X与相互独立，则称随机变量 Y
nY
X
T = (5.22)
服从自由度为的t分布，记为。随机变量n )(~ ntT T亦称为t变量。
分布具有下列性质,t
性质5.6 设，则当时有 )(~ ntT 2>n
0)( =TE
2
)(
=
n
n
TD (5.24)
性质5.7 设，是)(~ ntT )(tp T的分布密度，则
2
2
2
1
)(lim
t
n
etp
∞→
=
π
此性质说明，当时，t分布的极限分布是标准正态分布。 ∞→n
5.2.3 分布 F
定义5.8 设
22
1
~(),~(),X nY nχχ且X与Y相互独立,则称随机变量
1
2
X
F=
Y
n
n
服从自由度为( )的F分布,记为其中称为第一自由度,称为第二自由度,
12
,nn
12
~(,)FFnn.
1
n
2
n
定理5.6 自由度为( )的F分布的分布密度为
12
,nn
112
12
1
11 122
12
22 2
()
2
()(1 ),0
(),
()()
22
0,0
nnn
nn
nn n
xxx
nn
px nn n
x
+
+?
Γ
+ >
=
ΓΓ
≤
i
例5.7 已知试证 ~(),Ttn
2
~(1,)TFn.
证明:因为由定义5.7有 ~(),Ttn
nY
X
T =
其中
2
~(0,1),~ ()X NYχ n且X与Y独立,那么
2
2
X
T
Yn
=
由于
22
~(1),~()X Ynχχ且
2
X与Y独立,则由定义5.8有
2
~(1,)TFn.
F分布具有下列性质,
性质5.8 设，则 ),(~
21
nnFF
),(~
1
12
nnF
F
(5.27)
性质5.9 设，则 ),(~
21
nnFF
2
)(
2
2
=
n
n
FE (5.28) )2(
2
>n
)4()2(
)2(2
)(
2
2
21
21
2
2

+
=
nnn
nnn
FD (5.29) )4(
2
>n
性质5.10 设，则当时，对任意，有 ),(~
21
nnFF 4
2
>n x
dtex
FD
FEF
P
t
x
n
2
2
1
2
1
)(
)(
lim
∞?∞→
∫
=
≤
π
(5.30)
其中，由式(5.28),式(5.29)所确定。 )(FE )(FD
5.2.4 概率分布的分位数
定义5.9 对于总体X和给定的a )10( << a,若存在，使
a
x
{}axXP
a
=> (5.31)
则称为
a
x X的分布的上侧分位数。
如果，将标准正态分布的上侧分位数记为)1,0(~ NX
a
μ，它满足
{}{} aXPXP
aaa
=Φ?=≤?=> )(11 μμμ
即
a
a
=Φ 1)(μ (5.32)
给定，由附表2可查得a
a
μ的值，如64.1
05.0
=μ，96.1
025.0
=μ。由于标准正态分布的对称性，显然有
aa?
=
1
μμ (5.33)
如果，将自由度为的t分布的上侧分位数记为，它满足 )(~ ntT n )(nt
a
{}antTP
a
=> )(
给定a和，由附表3可查得值。如n )(nt
a
812.1)10(
05.0
=t，0860.2)20(
025.0
=t。由于分布的对称性，同样有
t
)()(
1
ntnt
aa?
= (5.34)
如果，将自由度为n的分布的上侧分位数记为，它满足 )(~
22
n
n
χχ
2
χ )(
2
n
a
χ
{ } anP
an
=> )(
22
χχ
给定和，当时可由附表4查出值，如，，
当时可由下列近似公式计算,
a n 60≤n )(
2
n
a
χ 3.18)10(
2
05.0
=χ 2.34)10(
2
025.0
=χ
60>n
aa
nnn μχ *2)(
2
+≈ (5.35)
例如，当，时 120=n 05.0=a
5.14564.1*120*2120*120*2120)120(
05.0
2
05.0
=+=+≈ μχ
如果，将自由度为的分布的上侧分位数记为，它满足
),(~
21
nnFF ),(
21
nn F ),(
21
nnF
a
{}annFFP
a
=> ),(
21
对，，的的值，可由附表5查出。如，,05.0=a 01.0 10.0 025.0 ),(
21
nnF
a
33.3)10,5(
05.0
=F
77.2)20,10(
025.0
=F。而对的值可由下列公式计算,),(
211
nnF
a?
),(
1
),(
12
211
nnF
nnF
a
a
=
(5.36)
式(5.36)的证明留作练习。