§ 4.2 中心极限定理
中心极限定理研究在什么条件下,}{
n
X
)1,0(
)(
11
N
XD
XEX
L
i
n
i
i
n
i
i
→
∑
∑∑
==
。
定理4.6 （林—列中心极限定理）,
设独立同分布，且 则 }{
n
X,0)(,)(
2
≠== σμ
ii
XDXE
).1,0(
1
NX
n
nX
Y
L
n
i
i
n
～→
=
∑
=
σ
μ
即 xxxFLim
n
Y
n
Φ=
∞→
),()(
证明复杂从略。
）
∑
∑∑
=
==
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
1
11
(
)(
。
定理意义,
)()( xxF
n
Y
Φ≈ 即 （A表示近似） )1,0(ANY
n
～
即 ),(
2
1
σμ nnANX
n
i
i
～
∑
=
定理4.7 （李雅普诺夫定理）：设独立，且 }{
n
X
.)(,)(
2
iiii
XDXE σμ == 记若存在正数.
1
22
∑
=
=
n
i
in
σβ δ，使
0}||{
1
lim
2
1
2
=?
+
=
+
∞→
∑
δ
δ
μ
β
i
n
i
i
n
n
XE——李雅普诺夫条件
则有 )1,0(
11
NX
X
Y
L
n
n
i
i
n
i
i
n
～→
=
∑∑
==
β
μ
即,)()( xxxFLim
n
Y
n
Φ=
∞→
证明从略，该定理表明：独立非同分布的有 }{
n
X
))),((),(
111
2
11
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XDXEANANX
∑∑∑∑∑
=====
=σμ～
定理4.8 （棣莫佛—拉普拉斯定理）,
设随机变量 则的标准化随机变量,).,( pnBX
n
～}{
n
X
).1,0(
)1(
NX
pnp
npX
Y
L
n
n
～→
=
即 ).()(lim xxF
n
Y
n
Φ=
∞→
证明,引入
），（～
则，
不发生次实验第发生次实验第
pnBXX
ni
Ai
Ai
X
n
i
in
i
∑
=
=
=
=
1
*
*
,,,2,1
0
1
"
考察,}{
*
n
X
（1）独立 }{
*
n
X
（2）同分布于B(1,p),且 }{
*
n
X 0)1()(,)(
**
≠?== ppXDpXE
nn
故满足定理4.6的条件。由此,}{
*
n
X
).1,0(
)1(
1
*
NX
pnp
npX
n
nX
Y
L
n
n
i
i
n
～→
=
=
∑
=
σ
μ
定理应用,若，则，故有,),( pnBX～),( npqnpANX～
)()(}{
npq
npa
npq
npb
bXaP
Φ?
Φ=≤<。
例4.3 设 独立同分布，且同服从分布,{}
n
X )1,0(U
求,}60{
100
1
≤
∑
=i
i
XP
解：由已知 )1,0(~UX
i
12
1
5.0
2
1
===
ii
DXEX
由中心极限定理4.6,
)
3
25
,50()
12
1
100,5.0100(~
100
1
ANANX
i
i
=××
∑
=
9997.0)464.3(
3
25
5060
}60{
100
1
=Φ=
Φ=≤
∑
=i
i
XP
例1：炮击坦克群100次，每次炮击中，炮弹命中数的均
值为4，均方差为1。求当炮击100次时有380～420颗
炮弹击中目标的概率。
解：设表示第次射击命中目标的炮弹数，
i
X i,100,,2,1"=i
1,4 ==
ii
DXEX 则击中目标的总的炮弹数为,
∑
=
100
1i
i
X
由中心极限定理,
～
∑
=
100
1i
i
X )100,400(),(
2
ANnnAN =σμ
所求概率为,
)
10
400380
()
10
400420
(}420380{
100
1
Φ?
Φ=≤≤
∑
=i
i
XP
= 95.01)2(2)2()2( =?Φ=?Φ?Φ
例2：甲，乙戏院竞争1000名观众，每个观众选择每个
戏院的概率相同且独立选择。问每个戏院应设多少个座位,
才能保证因缺少座位（买不到票）而使观众离去的概率
小于0.01。
解：设X为进入某一戏院的观众数，n表示应设的座位数。
则 ).2/1,1000(BX～
离去的概率：,01.0}{ <> nXP
,250,500 ==== npqDXnpEX
由中心极限定理,故有,).250,500(ANX～
)33.2(99.0)
250
500
(,01.0)
250
500
1 Φ=>
Φ<
Φ?
nn
（
5378.53633.2
500
500
≥∴>>
∴ nn
n
例4.6：一份考卷由100个题组成（每题1分），题目按由易
到难排列，某学生答对第1题的概率为1，答对第2题的概
率为0.99，一般地答对第i题的概率为)100,,2,1(,
100
1
1"=
= i
i
p
i
。
试求该考生通过考试的概率。
解：引入,
100,,2,1
0
1
"=
= i
i
i
X
i
题答错第题答对第
答对题的总数（即该生成绩）为
∑
=
100
1i
i
X
由中心极限定理,),(
100
1
100
1
100
1
∑∑∑
=== i
i
i
i
i
i
DXEXANX～
由于 0 1
i
X
ii
pEX =
p
i
p?1
i
p )1(
iii
ppDX?=
其中=
i
p
100
01.1
100
1
1
ii
=
5.50
2
101100
100
1
10001.1)
100
01.1(
100
1
100
1
=
×
×?×=?=
∑∑
== ii
i
i
EX
)01.0
100
)(
100
01.1(
100
1
100
1
=
∑∑
== ii
i
ii
DX
= )0101.0
100
1
100
02.1
(
2
2
100
1

∑
=
ii
i
= 01.1
6
201101100
100
1
2
101100
100
02.1
2
××
×?
×
× =16.665
即,通过考试的概率为,)665.16,5.50(
100
1
ANX
i
i
～
∑
=
P{ 0099.09901.01)3271.2(1)
665.16
5.5060
(1}60
100
1
=?=Φ?=
Φ?=≥
∑
=i
i
X
验证李雅普诺夫条件,
规定开始都与同分布且独立
∑
=
=
100
1
2
i
in
DXβ
101
X
100
X
于是,∞→∞→?==
∑∑
==
nppDX
i
n
i
i
n
i
in
,)1(
11
2
β
（因为，故级数发散）。 ∞→→
/
npp
ii
,0)1(
iiiiii
pppppXE ×?+?×=?
333
)1()1()|(|
= )1(])1()[1(
22
iiiiii
pppppp?≤?+?
于是：取1=δ，有
∞→→
=
≤?
∑∑
∑
∑
==
=+
=
+
n
pppp
pp
pXE
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
i
n
i
i
n
,0
])1([
1
))1((
)1(
}|{|
1
2
1
1
2
3
1
112
1
12
β
即满足李雅普诺夫中心极限定理条件。 }{
n
X