第四章 大数定理与中心极限定理
一,教学要 求
1．掌握 切比雪夫不等式,
2．了解 切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论，理解其直观意义,
3．掌握 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格叫心极限定理 (独立同分布中心极限定理 )的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率,
本章重点,运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率
二、教学 内 容
§ 4.1 大 数定理
一,随机变量序列的收敛性
定义,（依分 布收敛）设,若 )(}{ xFXxFXX
nnn
～），（～，
)()(lim xFxF
n
n
=
∞→
在 的每个连续点上成立,)(xF
则称 依分布收敛于 }{
n
X,,XXX
L
n
→记为定义 4.2,（ 依概率收敛）设,若 XX
n
，}{
{}01lim >?=<?
∞→
εεXXP
n
n
，则称 依概率收敛于 }{
n
X,,XXX
P
n
→记为两种收敛性的关系,
若,则 。反之不成立。 XX
P
n
→ XX
L
n
→
概率收敛的性质,
（ 1）,XX
P
n
→ 1}{ ==?→ YXPYX
P
n
（ 2） XX
P
n
→? cXcX
P
n
→
（ 3）,XX
P
n
→ )()( YXYXYY
P
nn
P
n
±→±?→
（ 4）,XX
P
n
→ XYYXYY
P
nn
P
n
→?→
（ 5） XX
P
n
→ )()(
)(
XgXg
P
n
xg
→?
连续证（ 5）,由 于 连续，则对任意)(xg 0>ε,存在 0>δ,
使当 εδ <?<? |)()(|,|| XgXgXX
nn
时,从而
1}|{|}|)()({|1 →<?≥<?≥ δε XXPXgXgP
nn
即 1}|)()({|lim =<?
∞→
εXgXgP
n
n
二、大数定理
定义 4.1 设,记 }{
n
X
∑
=
=
n
i
in
X
n
Y
1
1
,若存在,有 }{
n
a
01}|{|lim >?=<?
∞→
εε
nn
n
aYP
则称 服从大数定理。 }{
n
X
定理 4.1 (切比谢夫大数定理 ) 设 两两不相关且方差 }{
n
X
有界,即 则有,,nCDX
n
≤
01
11
lim
11
>?=
<?
∑∑
==
∞→
εε
n
i
i
n
i
i
n
EX
n
X
n
P
证明,两两不相关，故有 }{
n
X
n
C
DX
n
X
n
D
n
i
i
n
i
i
≤=?
∑∑
== 1
2
1
11
≥1
<?
∑∑
==
ε
n
i
i
n
i
i
EX
n
X
n
P
11
11
2
1
1
1
ε
≥
∑
=
n
i
i
X
n
D
∞→→?≥ n
n
C
11
2
ε
即 01
11
lim
11
>?=
<?
∑∑
==
∞→
εε
n
i
i
n
i
i
n
EX
n
X
n
P
定理 4.5 (辛 钦大数定理 ) 设 独立同分布且}{
n
X μ=
i
EX,
则有
∑
=
→
n
i
P
i
X
n
1
1
μ
证明：因为
∑
=
=
n
i
i
EX
n
1
1
μ 所以
∑
=
→
n
i
P
i
X
n
1
1
μ
该定理表明,
∑
=
n
i
i
X
n
1
1
具有稳定性。
定理 4.3 (贝 努里大数定理 ) 设
n
μ 是 n 重 贝努里试验中事件
A出现的次数,p 是每 次试验中 A 出现的概率，则有
A的频率：
P
n
n
→
μ
p
证明：引入
=
Ai
Ai
X
i
次试验不出现第次试验出现第
0
1
ni,，，""21=
∑
=
=+++=
n
i
inn
XXXX
1
21
"μ
考察,（ 1） 独立，则两两不相关； }{
n
X }{
n
X
（ 2）
)1(1
10
ppDXppp
pEXX
i
ii
=?
=
：
：
故 满足定理 4.1 的条 件，由定理 4.1 得 }{
n
X
01
11
lim
11
>?=
<?
∑∑
==
∞→
εε
n
i
i
n
i
i
n
EX
n
X
n
P
即 01lim >?=
<?
∞→
εε
μ
p
n
P
n
n
此外由 于,),( pnB
n
～μ
)1(
11
11
pnpDXXDD
npEXXEE
n
i
i
n
i
in
n
i
i
n
i
in
==?
=
==?
=
∑∑
∑∑
==
==
μ
μ
定理 4.4 (泊 松大数定理 ) 设
n
μ 是 n 重贝 努里试验中事件
A出现的次数,是第 k 次试验中 A 出现的概率，则有
k
p
01
1
lim
1
>?=
<?
∑
=
∞→
εε
μ
n
k
k
n
n
p
nn
P
证明与定 理 4.3 类似,
例 4.1 设 独立同分布且}{
n
X μ=
i
EX,均存在,
2
σ=
n
DX
证明,μ
P
n
i
in
iX
nn
Y →
+
=
∑
=1
)1(
2
2
1
2
22
2
1
22
11
)1(3
)12(2
)1(
4
)1(
2
)1(
2
)1(
2
σ
σ
μ
μ
+
+
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
∑∑
∑∑
==
==
nn
n
i
nn
DXi
nn
DY
i
nn
iEX
nn
EY
n
i
n
i
in
n
i
n
i
in
）（
证明：
≥1 {} }{ εεμ <?=<?
nnn
EYYPYP
( )
2
1
ε
n
YD
≥
∞→→
+
+
= n
nn
n
1
)1(3
)12(2
1
2
2
ε
σ
即 {} 01lim >?=<?
∞→
εεμ
n
n
YP