§2.2 多维随机变量及其分布
一,二维随机变量与分布函数
定义：X=的分布函数定义为,
T
n
XXX ),,,(
21
"
},,,{),,,(
221121 nnn
xXxXxXPxxxF ≤≤≤= ""，+∞<<∞?
n
xxx,,,
21
"
对二维随机变量（X,Y），其分布函数定义为,
yxyYxXpyxF,,},{),(?≤≤=
),( yxF的几何意义,
（X,Y）落在区域yYxX <<∞?<<∞?,上的概率。
若则有 ),,(),( yxFYX～
},{
2121
yYyxXxP ≤<≤<
= ),(),(),(),(
11122122
yxFyxFyxFyxF +
),( yxF的性质,
（1） 1),(0 ≤≤ yxF
（2）关于x,y分别单调非降 ),( yxF
（3）1),(,0),(),(),( =+∞+∞=?∞?∞=?∞=?∞ FFxFyF
（4）关于每个变元右连续。 ),( yxF
二,二维离散型随机变量
定义2.4：若(X.,Y)分量X,Y为离散型随机变量，则称(X,Y)
为二维离散型随机变量。(X,Y)的分布律表示为,
ijji
pyYxXP === },{,",2,1,=ji
其中（1） （2） 0≥
ij
p
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
.1
ij
ij
p
Y …… ……
1
y
2
y
j
y
X
1
x …… ……
11
p
12
p
j
p
1
…… ……
2
x
21
p
22
p
j
p
2
# # # …… # ……
…… ……
i
x
1i
p
2i
p
ij
p
#
#
……
#
……
#
例2.11：袋中有三个球：① ② ② （无放回抽样）
X 表示第一次抽到的球的标号
Y 表示第二次抽到的球的标号
求（X Y）分布律。
解,X=1,2 ; Y=1,2
(X,Y)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)
00
3
1
}1|1{}1{}1,1{ =×======= XYPXPYXP
3
1
2
2
3
1
}2,1{ =×=== YXP
3
1
2
1
3
2
}1.2{ =×=== YXP
3
1
2
1
3
2
}2,2{ =×=== YXP
Y 1 2
X
1 0 1/3
2 1/3 1/3
对n维离散型，（联合）分布律表示为,
T
n
XXX ),,,(
21
"
),,,(},,,{
212211 nnn
xxxpxXxXxXP "" ====,
n
xxx,,,
21
"?
三,二维连续型随机变量
定义2.5：对(X,Y)，若存在非负可积函数,使对任意 ),( yxp
x,y，有
∫∫
∞?∞?
=
x y
dudvvupyxF ),(),(
称（X,Y）为二维连续型随机变量，称为(X,Y)的 ),( yxp
（联合）密度函数,
),( yxp的性质,
1．
0),( ≥yxp
2．
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=1),( dxdyyxp
3．
yx
yxF
yxp

=
),(
),(
2
4．若(X,Y)～p(x,y),则有 dudvvupDYXP
D
),(}),{(
∫∫
=∈
其中D为任意平面区域。
例2.12：设（X,Y）的密度函数为
∞<<<
=
其它0
0,
),(
yxcxe
yxp
y
求：(1) c （2）P{X+Y<1} (3) F(x,y)
解：（1）
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=1),( dxdyyxp
1
00
=
∫∫
∞
dxcxedy
y
y
c=1
（2） dxdyyxpYXP
yx
),(}1{
1<+
∫∫
=<+
=
2
1
1
12/1
0
1
=
∫∫
eedyxedx
x
x
y
（3）
∫∫
∞?∞?
=
x y
dudvvupyxF ),(),(
+∞<<≤
+∞<<≤
=
∫∫
∫∫
其它
，
，
0
0
0
0
00
yxdvuedu
xyduuedv
y
u
v
x
v
v
y
=
+∞<<≤?+?
+∞<<≤++?

其它0
0
2
1
)1(1
0)1
2
1
(1
2
2
yxexex
xyeyy
yx
y
四,边缘分布
边缘分布：二维(X,Y)的分量X,Y的分布称为边缘分布。
由(X,Y)的联合分布可以求出X,Y的边缘分布。
=)(xF
X
),(},{}{ +∞=+∞≤≤=≤ xFYxXPxXP
。
+∞=
+∞=
),()(
),()(
yFyF
xFxF
Y
X
}=
i
xXP ={ )}(,{},{
1
∑
∞
=
===?=
j
jii
yYxXPxXP
= },{}},{{
11
∑∑
∞
=
∞
=
=====
j
ji
j
ji
yYxXPyYxXP
=
∑
∞
=1j
ij
p
即 ",2,1}{
1
====
∞
=
∑
ippxXP
i
j
iji
",2,1}{
1
====
∞
=
∑
jppyYP
j
i
ijj
∫∫
∞?
+∞
∞?
=+∞=
x
X
dxdyyxpxFxF ),(),()(
∫
+∞
∞?
=′= dyyxpxFxp
XX
),()()(
即 。
=
=
∫
∫
∞+
∞?
+∞
∞?
dxyxpyp
dyyxpxp
Y
X
),()(
),()(
例2.13
Y …… ……
1
y
2
y
j
y
i
p
X
…… ……
1
x
11
p
12
p
j
p
1?1
p
…… ……
2
x
21
p
22
p
j
p
2?2
p
# # # …… # …… #
…… ……
i
x
1i
p
2i
p
ij
p
i
p
# # # …… # …… #
…… …… 1
j
p
1?
p
2?
p
j
p
X …… ……
1
x
2
x
i
x
p …… ……
1
p
2
p
i
p
Y …… ……
1
y
2
y
j
y
p …… ……
1?
p
2?
p
j
p
例2.14：设(X,Y)的密度函数为；
+∞<<<
=
其它0
0
),(
yxxe
yxp
y
求：。 )(),( ypxp
YX
解,= )(xp
X
≤
>
=
≤
>
=
+∞
∞+
∞?
∫
∫
00
0
00
0
),(
x
xxe
x
xdyxe
dyyxp
x
x
y
≤
>
=
≤
>
==
∞+
∞?
∫
∫
00
0
2
1
00
0
),()(
2
0
y
yey
y
ydxxe
dxyxpyp
y
y
y
Y
五,随机变量的独立性,
)()()( BPAPABP =,称A,B 独立。
定义2.6：若事件独立，即,}{},{ yYxX ≤≤
yxyYPxXPyYxXP,,}{}{},{?≤≤=≤≤
称随机变量X,Y（相互）独立。
等价定义,
yxyFxFyxF
YX
,),()(),(?=
yxypxpyxp
YX
,),()(),(?=
jijiji
yxyYPxXPyYxXP,,}{}{},{?===== 。
例2.15：设（X,Y）～ ),,,,(
2
2
2
121
ρσσμμN
证：X,Y独立0=? ρ
证明,
2
1
2
1
2
)(
1
2
1
),()(
σ
μ
σπ
∞+
∞?
==
∫
x
X
edyyxpxp
2
2
2
2
2
)(
2
2
1
),()(
σ
μ
σπ
∞+
∞?
==
∫
y
Y
edxyxpyp
即 X～ ),(),,(
2
22
2
11
σμσμ NYN～
充分性：?，设0=ρ
yxypxpeyxp
YX
yx
,)()(
2
1
),(
])()[(
2
1
21
2
2
22
1
1
==
+
σ
μ
σ
μ
σπσ
即X,Y相互独立。
必要性：? 设X,Y独立，则有
yxypxpyxp
YX
,),()(),(?=
令
21
,μμ == yx，即有)()(),(
2121
μμμμ
YX
ppp =
21
2
21
2
1
2
1
12
1
σπσπ
ρσπσ
×=
0,11
2
==? ρρ即
六、条件分布
1,离散型
设（X,Y）～ ",2,1,,},{ ==== jipyYxXP
jiji
",2,1,}{
1
====
∞
=
∑
ippxXP
i
j
jii
",2,1,}{
1
====
∞
=
∑
jppyYP
j
i
jij
条件分布律为,
",2,1,
}{
},{
}|{ ==
=
==
===
i
p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
j
ji
j
ji
ji
或者
X …… ……
1
x
2
x
i
x
i
p
j
j
p
p
1
j
j
p
p
2
……
j
ji
p
p
…… }{
j
yY =
它表示在条件下，X的条件分布律。 }{
j
yY =
同理,
",2,1,}|{ ====
j
p
p
xXyYP
i
ji
ij
Y …… ……
1
y
2
y
j
y
i
p
i
i
p
p
1
i
i
p
p
2
……
i
ji
p
p
…… }{
i
xX =
2,连续型
设(X,Y)～，X～，Y～。 ),( yxp )(xp
X
)(yp
Y
在Y=y条件下X的条件分布函数为,
}|{}|{)|(
0
yyYyyxXPLimyYxXPyYxF
y
+≤≤≤==≤==
→?
=
}{
},{
0
yyYyyP
yyYyyxXP
Lim
y
+≤≤
+≤≤≤
→?
=
dyyp
y
dudvvup
y
Lim
Y
yy
yy
x yy
yy
y
)(
2
1
),(
2
1
0
∫
∫∫
+

∞?
+

→?
=
)(
),(
yp
duyup
Y
x
∫
∞?
=
∫
∞?
x
Y
du
yp
yup
)(
),(
)(
),(
)|()|(
yp
yxp
yYxFyxp
Y
==′=
定义,在Y=y条件下X的条件分布密度定义为,
)(
),(
)|(
yp
yxp
yxp
Y
=
同理,
)(
),(
)|(
xp
yxp
xyp
X
=
例2.16：设（X,Y）在圆上服从均匀分布,
222
Ryx ≤+
1,X,Y是否独立
2,求p(x|y),p(y|x)。
解：
≤+
=
其它,0
,
1
),(
222
2
Ryx
Ryxp π
dyyxpxp
X
),()(
∫
+∞
∞?
=
=
<
∫

其它,0
,
1
22
22
2
xR
xR
Rxdy
Rπ
=
<?
其它,0
,
2
22
2
RxxR
Rπ
同理,
<?
=
其它,0
,
1
)(
22
2
RyyR
Ryp
Y
π
由于，故X,Y不独立。 )()(),( ypxpyxp
YX
≠
当Ry <时，有,
<
==
其它,0
,2
1
)(
),(
)|(
22
22
yRx
yR
yp
yxp
yxp
Y
同理，当Rx <时，有
<
==
其它,0
,
2
1
)(
),(
)|(
22
22
xRy
xR
xp
yxp
xyp
X