§ 1.3 随机事件的概率
一,概 率 的 统计定 义
若事件 A 在 n 次试验中出 现了 m 次,称
n
m
为 A 出现的频率。
频率的特点,1、可通过 实验来计算； 2、具有稳 定性。
例 1.2,掷硬 币试验,A={出现正面 }
表 1— 2 掷,硬币”试验结果
实验者 掷次数 n 出现“正面”次数 m
频率
n
m
德莫根 2048 1061 0.518
浦 丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
A 的频率
n
m
→0.5，当 n,定义：∞→ 5.0)( =AP 。
定义 1.2（概 率统计定义）,
若 A的频率
n
m
)(以某种方式充分大n
→p,则定义 A的概率 pAP =)( 。
性质 1.1,
? 1,； 1)(0,≤≤? APA
.0)(,1)( =Φ=? PP ? 2,
? 3,若,,……,两两互斥，则
P +…… )=P( )+P )+…… +P( );
古典 概型,随机 试验满足,
2) 样本点两两互斥；
3) 样本点等可能出现。
1
A
2
A
n
A
(
1
A +
2
A +
n
A
1
A (
2
A
n
A
二,概率的古 典 概型定义,
1) 样本点有限个；
定义 1.3,（ 概率古典定义）
n
mA
AP =
=
包含样本点的个数包含样本点的个数
)(
如 掷 一
5.
枚 骰子,
}6,5,4,3,2,1{=? ； }5,3,1{=A ；则 )(AP 0
6
==
3；
例 1.3 产 品,其 中 3 件次品,从中任取 5 件,
B={5件中至多有 一件次品}；
解,所以
．有 100 件求概率,
A={5件中恰有一 件次品}；
5
100
Cn=
4
97
1
3
CCm
A
=
138.0)(
5
100
4
97
1
3
==
C
CC
AP； 所以
4
97
1
3
5
97
CCCm
B
+=
994.0)(
5
100
4
97
1
3
5
97
=
+
=
C
CCC
BP；
)!(!
!
!
)1)1(
mnm
n
m
mnnn
C
m
n
=
+?…?
=
（
性质 1
对
（2） P(Ω )=1; P(Φ) =0;
（3）,
注意：
i
n
i
AA
∑
意 投 一 点,求 该 点 落 在 A中。
设,（
（2） （ 面 积 ）
.2,
（1） 任 意 A 0≤P (A)≤ 1；
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP
11
)()(
的区别与
∪
n
ii 11 ==
三,概率的几 何 概型定义
例 1.4,向 Ω 中 任
1） 该点等可能的落在
内；
落在 A 中的可能性只和 A 的 几 何 度 量
A
有关，而与 A 的形状和位置无关。
记
则中该点落 在 },{ AA =
)(
)(
)(
=
=
m
AmA
AP
的面积的面积；
定义 1.5（概 率几何定义）,
)(?m
)(
)( =
Am
AP
其中规 定
（ 2）
（3）三维区 域 -- 体积 ；
性质 1.3,
正则性
∑∑
∞∞
=
i
APAP }完全可 加性
例另 一 人 20 分钟后方可 离去，求两人能会面的概率。
解,
设 x,y 表示 两人到达的时刻,
m(A)表 示 A 的几何量度。
)(Am,（1） 一维区域 -- 长 度 ；
二 维 区 域 -- 面 积 ；
=Φ=?
≤≤?
0)(,1)()2
1)(0,)1
PP
APA
)3 )()(
11 == ii
i
1.5：甲乙 两人相约 8 点到 9 点之 间在某地会面，先到者
等 候;600,600,≤≤≤≤? yx
两 人 能 条 件 为,会 面 的 充 要
A,.20≤? yx
所求概率为,
56.0
60
40
2
1
260
)(?m
)(
)(
2
22
=
××?
==
Am
AP
定义 1.7 率公理化定义）,设事件四、概率 的 公理化定 义
（ 概 A∈F（事件域）,P(A)为实 值集函数,若 P(A)满足,
1,≤? P
1)( =?P
1)(0,≤∈ AFA ；
2,
11；
== i
i
i
则称 P
3,)()(
∑∑
∞∞
=
i
APAP 。
),,( PF?(A)为 F 上的概率。并称三元总体
0)( =ΦP
为概率空间。
性质 1.4,
（ 1） ；
（ 2）
∑∑
=
=
n
i
i
n
i
APAP ；
（ 3）
)()(
11=i
=+ AA
1)()( =+ APAP
AP( ) )(1 AP?= ；
证明,； 证毕 。
应用,）APAP )(
)()
(1?= 。
若（ 4）
A ( BAAB
AB?
，则
()()( PAPBAP )B,且 (BP
)()()( BAPABPAP?+=
=? AP≤ ；
证明,)?
BABAB =? 则,,)()()( BPAPBAP?=?
+=
所以
若 故
)()()()( ABPBPAPBAP?+=∪ （ 5）
ABBABAB=
= )()()( ABPBPAP?+
A ++∪ ； 证明：
)()()()( ABPBAPBAPBAP ++=∪
= )()()()()( ABPABPBPABPAP +?+?
例 1.6,袋 中 有 N-1 个黑 球和 1 个 白 球，每次随机摸出 1 球,
并换入 1 黑 球，求：第 k 次摸到黑球 的概率。
解：设 A={第 k k 次 摸
4
1
)()()( === CPBPAP,0)( =ABP
A= 次 摸 到 黑球}； {第 到 白 球 }。
APAP (1)(?= ）
k
NN
k
N 1)1(
1
×?
=
k
1
1
×=
16
1
)()( == CAPBCP
N
1
1
)1(1
例1,7,已 知,
。求：事件
0)()(0 =≤≤ ABPABCP
A，B，C 都 不 发生的概率。
解,
AP( B )C
AP( B C） )( CBAP ∪∪= )(1 CBAP ∪∪?=
)()()()()()([ CAPBCPABPCPBPAP +++=?
因 为,所以 ABABC?
8164
323
)](1 ABCP
所以 )(1 ==
例5 从 0，1,2,…，9 这十个 数字中任取 3 个不同的数
字，求概率,
A1={三个数字 中不含 0 和 5}；
A2={三个数字 中含 0 但 不 含 5}；
A3={三个数字 中不含 0 或 不含 5}。
解,
15
7
)(
3
8
1
=A
9
10
3
=
C
C
P
30
3
10
2
C
7
1221
CCCC
8
2
2
CC
)(
8291
==AP
其中
1
,
表示含 0 和 5 的数字个数 。
设 B={所取 三个数字中不含 0}
C={所取三个 数字中不含 5}
则 A 3=B C
21
CC
表示含 0 的数字个数
1
∪
15
14
)()()()()(
3
10
3
8
3
10
3
9
3
10
3
9
3
=?+=
+==
C
C
C
C
C
C
BCPCPBPCBPAP ∪
一,概 率 的 统计定 义
若事件 A 在 n 次试验中出 现了 m 次,称
n
m
为 A 出现的频率。
频率的特点,1、可通过 实验来计算； 2、具有稳 定性。
例 1.2,掷硬 币试验,A={出现正面 }
表 1— 2 掷,硬币”试验结果
实验者 掷次数 n 出现“正面”次数 m
频率
n
m
德莫根 2048 1061 0.518
浦 丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
A 的频率
n
m
→0.5，当 n,定义：∞→ 5.0)( =AP 。
定义 1.2（概 率统计定义）,
若 A的频率
n
m
)(以某种方式充分大n
→p,则定义 A的概率 pAP =)( 。
性质 1.1,
? 1,； 1)(0,≤≤? APA
.0)(,1)( =Φ=? PP ? 2,
? 3,若,,……,两两互斥，则
P +…… )=P( )+P )+…… +P( );
古典 概型,随机 试验满足,
2) 样本点两两互斥；
3) 样本点等可能出现。
1
A
2
A
n
A
(
1
A +
2
A +
n
A
1
A (
2
A
n
A
二,概率的古 典 概型定义,
1) 样本点有限个；
定义 1.3,（ 概率古典定义）
n
mA
AP =
=
包含样本点的个数包含样本点的个数
)(
如 掷 一
5.
枚 骰子,
}6,5,4,3,2,1{=? ； }5,3,1{=A ；则 )(AP 0
6
==
3；
例 1.3 产 品,其 中 3 件次品,从中任取 5 件,
B={5件中至多有 一件次品}；
解,所以
．有 100 件求概率,
A={5件中恰有一 件次品}；
5
100
Cn=
4
97
1
3
CCm
A
=
138.0)(
5
100
4
97
1
3
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C
CC
AP； 所以
4
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1
3
5
97
CCCm
B
+=
994.0)(
5
100
4
97
1
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5
97
=
+
=
C
CCC
BP；
)!(!
!
!
)1)1(
mnm
n
m
mnnn
C
m
n
=
+?…?
=
（
性质 1
对
（2） P(Ω )=1; P(Φ) =0;
（3）,
注意：
i
n
i
AA
∑
意 投 一 点,求 该 点 落 在 A中。
设,（
（2） （ 面 积 ）
.2,
（1） 任 意 A 0≤P (A)≤ 1；
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP
11
)()(
的区别与
∪
n
ii 11 ==
三,概率的几 何 概型定义
例 1.4,向 Ω 中 任
1） 该点等可能的落在
内；
落在 A 中的可能性只和 A 的 几 何 度 量
A
有关，而与 A 的形状和位置无关。
记
则中该点落 在 },{ AA =
)(
)(
)(
=
=
m
AmA
AP
的面积的面积；
定义 1.5（概 率几何定义）,
)(?m
)(
)( =
Am
AP
其中规 定
（ 2）
（3）三维区 域 -- 体积 ；
性质 1.3,
正则性
∑∑
∞∞
=
i
APAP }完全可 加性
例另 一 人 20 分钟后方可 离去，求两人能会面的概率。
解,
设 x,y 表示 两人到达的时刻,
m(A)表 示 A 的几何量度。
)(Am,（1） 一维区域 -- 长 度 ；
二 维 区 域 -- 面 积 ；
=Φ=?
≤≤?
0)(,1)()2
1)(0,)1
PP
APA
)3 )()(
11 == ii
i
1.5：甲乙 两人相约 8 点到 9 点之 间在某地会面，先到者
等 候;600,600,≤≤≤≤? yx
两 人 能 条 件 为,会 面 的 充 要
A,.20≤? yx
所求概率为,
56.0
60
40
2
1
260
)(?m
)(
)(
2
22
=
××?
==
Am
AP
定义 1.7 率公理化定义）,设事件四、概率 的 公理化定 义
（ 概 A∈F（事件域）,P(A)为实 值集函数,若 P(A)满足,
1,≤? P
1)( =?P
1)(0,≤∈ AFA ；
2,
11；
== i
i
i
则称 P
3,)()(
∑∑
∞∞
=
i
APAP 。
),,( PF?(A)为 F 上的概率。并称三元总体
0)( =ΦP
为概率空间。
性质 1.4,
（ 1） ；
（ 2）
∑∑
=
=
n
i
i
n
i
APAP ；
（ 3）
)()(
11=i
=+ AA
1)()( =+ APAP
AP( ) )(1 AP?= ；
证明,； 证毕 。
应用,）APAP )(
)()
(1?= 。
若（ 4）
A ( BAAB
AB?
，则
()()( PAPBAP )B,且 (BP
)()()( BAPABPAP?+=
=? AP≤ ；
证明,)?
BABAB =? 则,,)()()( BPAPBAP?=?
+=
所以
若 故
)()()()( ABPBPAPBAP?+=∪ （ 5）
ABBABAB=
= )()()( ABPBPAP?+
A ++∪ ； 证明：
)()()()( ABPBAPBAPBAP ++=∪
= )()()()()( ABPABPBPABPAP +?+?
例 1.6,袋 中 有 N-1 个黑 球和 1 个 白 球，每次随机摸出 1 球,
并换入 1 黑 球，求：第 k 次摸到黑球 的概率。
解：设 A={第 k k 次 摸
4
1
)()()( === CPBPAP,0)( =ABP
A= 次 摸 到 黑球}； {第 到 白 球 }。
APAP (1)(?= ）
k
NN
k
N 1)1(
1
×?
=
k
1
1
×=
16
1
)()( == CAPBCP
N
1
1
)1(1
例1,7,已 知,
。求：事件
0)()(0 =≤≤ ABPABCP
A，B，C 都 不 发生的概率。
解,
AP( B )C
AP( B C） )( CBAP ∪∪= )(1 CBAP ∪∪?=
)()()()()()([ CAPBCPABPCPBPAP +++=?
因 为,所以 ABABC?
8164
323
)](1 ABCP
所以 )(1 ==
例5 从 0，1,2,…，9 这十个 数字中任取 3 个不同的数
字，求概率,
A1={三个数字 中不含 0 和 5}；
A2={三个数字 中含 0 但 不 含 5}；
A3={三个数字 中不含 0 或 不含 5}。
解,
15
7
)(
3
8
1
=A
9
10
3
=
C
C
P
30
3
10
2
C
7
1221
CCCC
8
2
2
CC
)(
8291
==AP
其中
1
,
表示含 0 和 5 的数字个数 。
设 B={所取 三个数字中不含 0}
C={所取三个 数字中不含 5}
则 A 3=B C
21
CC
表示含 0 的数字个数
1
∪
15
14
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3
10
3
8
3
10
3
9
3
10
3
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3
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C
C
C
C
C
C
BCPCPBPCBPAP ∪
